Porto Editora - Novo Espaco - 12 Ano 2017-18 - 5 Teste

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Novo Espaço – Matemática A 12.º ano 
Proposta de Teste [abril – 2018] 
 
 
1 
 
Nome: _______________________________________________________________ 
Ano / Turma: _________ N.º: _____ Data: ___ - ____ - ___ 
 
 
• Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado. 
• A prova inclui um formulário. 
• As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. 
 
 
CADERNO 1 
(É permitido o uso de calculadora gráfica) 
 
1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular 
[OABCDE]. 
Sabe-se que: 
. os vértices O e E pertencem ao eixo Oz; 
. o plano BCE é definido pela equação 2 2 12 0y z+ − = ; 
. a reta AB é definida pela equação ( ) ( ) ( ), , 3,0,3 2 0,1,0 ;= + ∈ℝx y z k k . 
1.1. Determina as coordenadas do ponto B. 
1.2. Considera todas as sequências de seis elementos formadas pelas letras O, A, B, C, D e E, que 
representam os vértices do octaedro. 
Quantas dessas sequências começam por uma consoante e têm as vogais juntas? 
(A) 108 (B) 360 (C) 60 (D) 120 
1.3. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices do octaedro. 
Determina a probabilidade de ser escolhido o vértice A, sabendo que a reta definida pelos vértices 
escolhidos não é paralela ao plano xOy. 
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 
 
2. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considera 3 2i= −Az . 
Seja S a região do plano complexo definida pela condição: 
( ) ( )3i Im Im− ≤ − ∧ ≤A Az z z z 
O perímetro da região S, arredondado às centésimas, é igual a: 
(A) 4,71 (B) 14,14 (C) 15,42 (D) 18,85 
 
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Proposta de Teste [abril – 2018] 
 
 
2 
 
3. Numa casa houve uma rutura na instalação de água, tendo sido detetada uma mancha numa das 
paredes da casa. 
A área da superfície da mancha foi aumentando até ao 
momento em que a rutura foi reparada. A partir desse 
momento a mancha foi diminuindo até desaparecer. 
Admite que a área da mancha, t horas após ter sido 
detetada, é dada em metros quadrados, pela função 
definida por: ( ) 0,3
2 0,7
e
+
=
t
t
f t . 
Recorre às capacidades gráficas da calculadora e resolve o seguinte problema: 
Quanto tempo decorreu, após a reparação da rutura, 
até a área da mancha atingir 25% da área detetada inicialmente? 
Na tua resposta deves: 
. Equacionar o problema. 
. Reproduz num referencial o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizares na calculadora e 
assinalar pontos relevantes para a resolução do problema e as respetivas coordenadas. 
. Apresentar a resposta na forma h min⋯ ⋯ (os minutos arredondados às unidades). 
 
 
 
FIM (Caderno 1) 
Cotações 
Total 
Questões – Caderno 1 1.1. 1.2. 1.3. 2. 3. 
Pontos 10 15 15 10 20 70 
 
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3 
 
CADERNO 2 
(Não é permitido o uso de calculadora) 
 
1. Na figura, em referencial o.n. xOy, está representada uma região sombreada do plano constituída 
por um triângulo retângulo e um semicírculo. 
Sabe-se que: 
. 2OB = 
. a reta AB é paralela a Oy e o ponto A pertence ao semieixo 
positivo Ox; 
. α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com 
π
0,
2
 
∈   
α . 
Seja f a função, de domínio 
π
0,
2
 
  
, que a cada valor de α faz corresponder a área da região da 
região sombreada. 
1.1. Mostra que 
π
0,
2
 
∀ ∈   
α , ( ) ( ) 2
π
sin 2 sin
2
= +f α α α . 
1.2. Recorre ao resultado obtido em 1.1 e indica o valor de 
( )
π
8
π
8
lim
π
8
→
 
−  
 
−
f f
α
α
α
. 
(A) 
2 π
2 2
− (B) 
π
2
2
− (C) 
π
2
 (D) 
2 π
2
4
+ 
2. Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo [ ]0, 12=I medido em 
segundos. 
 
A abcissa de P , em cada instante t, é dada por ( )
π π
2,5 2 cos sin
2 2
    
= −    
    
t t
x t . 
2.1. Mostra que ( )
π π
5cos
2 4
 
= + 
 
t
x t . 
2.2. Responde às questões seguintes, atendendo ao resultado obtido em 2.1.. 
a) Determina [ ]0, 12∈t tal que a distância de P à origem seja igual a 5. 
 
 
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4 
 
b) Determina o valor de k de modo que ( ) ( )'' =x t k x t . 
c) Calcula 
( )
1
2
lim
2 1t
x t
t→ −
. 
d) O valor da frequência deste oscilador harmónico é: 
(A) 
1
5
 (B) 
1
2
 (C) 
1
4
 (D) 
1
3
 
 
3. Na figura estão representados, no plano complexo, os pontos P, Q, R, S e T. 
 Sabe-se que: 
. o ponto P é o afixo de um número complexo z ; 
. i= −w z 
Qual dos pontos assinalados na figura pode ser o afixo do número 
complexo w ? 
(A) R (B) T (C) S (D) Q 
 
4. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considera: 
( )
2
1 2 i 3i= + −z e 2
1
5i
=z
z
 
4.1. Representa na forma i ; ,+ ∈ℝa b a b o número complexo 2z . 
4.2. Representa no plano complexo o conjunto de pontos definido pela condição: 
1 2 3z z z− ≤ ∧ ≥ 
 
FIM (Caderno 2) 
Cotações 
 Caderno 1 (com calculadora) 
Questões 1.1. 1.2. 1.3. 2. 3. 
Pontos 10 15 15 10 20 Total 70 
 Caderno 2 (sem calculadora) 
Questões 1.1. 1.2. 2.1. 2.2. a) 2.2. b) 2.2. c) 2.2. d) 3. 4.1. 4.2. 
Pontos 15 10 15 15 15 15 10 10 15 10 Total 130 
Total 200 
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5 
 
FORMULÁRIO 
GEOMETRIA 
Comprimento de um arco de circunferência: rα 
(α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; 
 r – raio) 
Áreas de figuras planas 
Polígono regular: Semiperímetro Apótema× 
Setor circular: 
2
2
rα 
(α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio) 
Áreas de superfícies 
Área lateral de um cone: rgπ 
(r – raio da base; g – geratriz) 
Área de uma superfície esférica: 24 rπ 
(r – raio) 
Volumes 
Pirâmide: 1 
3
Área da base Altura× × 
Cone: 1 
3
Área da base Altura× × 
Esfera: 34 
3
rπ (r – raio) 
 
PROGRESSÕES 
Soma dos n primeiros termos de uma progressão (un): 
Progressão aritmética: 1
2
nu u n
+
× 
Progressão geométrica: 
1
1
1
nr
u
r
−
×
−
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
( )sin sin cos sin cos a b a b b a+ = + 
( )cos cos cos sin sin a b a b a b+ = − 
sinsin sin CA B
a b c
= = 
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 
 
 
COMPLEXOS 
( ) ( ) ( )i i cis cis ou e e
nn n n nn θ θρ θ ρ θ ρ ρ= = 
2
i2
cis cis ou e e
k
nnnn n
k
n
θ
θθρ θ ρ ρ ρ
+ π
+ π 
= = 
 
{ }( )0 ... 1 e k , , n n∈ − ∈ℕ 
PROBABILIDADES 
1 1 n np x p xµ = +…+ 
( ) ( )
2 2
1 1
 n np x p xσ µ µ= − +…+ −
 
Se X é ( )N ,µ σ , então: 
( ) 0 6827P X ,µ σ µ σ− < < + ≈ 
( )2 2 0 9545P X ,µ σ µ σ− < < + ≈ 
( )3 3 0 9973P X ,µ σ µ σ− < < + ≈ 
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
( )u v ' u' v'+ = + 
( ) u v ' u' v u v'= + 
2
 u u' v u v'
v v
′ − 
= 
 
 
( ) ( )1 n nu ' n u u' n−= ∈ℝ 
( )sin cos u ' u' u= 
( )cos sin u ' u' u= − 
( )
2
tan 
cos
u'
u '
u
= 
( )e eu uu'′ = 
( ) { }( ) In \ 1u ua u' a a a +′ = ∈ℝ 
( )In 
u'
u
u
′ = 
( ) { }( )log \ 1
 In 
a
u'
u a
u a
+′ = ∈ℝ 
 
 
LIMITES NOTÁVEIS 
1
lim 1 e
n
n
 
+ = 
 
 ( )n∈ℕ 
0
sin 
lim 1
x
x
x→
= 
0
e 1
lim 1
x
x x→
−
= 
In 
lim 0
x
x
x→+∞
= 
( )
e
lim 
x
px
p
x→+∞
= +∞ ∈ℝ 
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1 
 
 
CADERNO 1 
(É permitido o uso de calculadora gráfica) 
1.1. Qualquer ponto da reta AB é do tipo ( )3, ,3 2 ;k k ∈ℝ . 
Em particular, o ponto B é do tipo ( )3, ,3 2 ;k k ∈ℝ e pertence ao plano BCE. 
Então, 2 2 3 2 12 0k× + × − = . Daqui resulta que 3k = . 
Se 3k = , então ( )3, 3, 3 2B . 
Resposta: ( )3, 3, 3 2B 
1.2. Para a primeira letra da sequência há três possibilidades. 
O grupo das vogais e as restantes duas consoantes podem permutar entre si de 3! maneiras. 
As vogais entre si podem permutar de 3! maneiras. 
No total, o número de sequências a começar em consoante e as vogaisjuntas é dado por: 
3 3! 3!× × 
3 3! 3! 3 6 6 108× × = × × = 
Opção: (A) 108 
1.3. Sejam R e S os seguintes acontecimentos: 
R: “É escolhido o vértice A” 
S: “A reta definida pelos pontos escolhidos não é paralela ao plano xOy” 
Pretende-se obter o valor da seguinte probabilidade condicionada: ( )P R S 
( )
( )
( )
2
1
6
2
6 4
2 2
6
2
2
215
15 6 9
15
C
P R S C
P R S
C CP S
C
∩
= = = =
−−
 
Resposta: 2
9
 
 
 
 
 
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2 
 
 
2. A condição dada define um semicírculo de raio 3, tal como está 
representado na figura. 
Assim, o perímetro da região S é dado por: 
 2π2 2 π 6 3π
2
+ = + = +
r
r r r 
6 3π 15, 42+ ≈ 
Opção: (C) 15,42 
 
3. Área da mancha no momento em que foi detetada: 
( ) 0
0,7
0 0,7
e
= =f 
O momento em que se procedeu à reparação corresponde ao máximo da função. 
Após inserir a expressão da função na calculadora, identifica-se o 
instante em que esta atinge o valor máximo, considerando uma janela 
com 
m ín 0=x , uma vez que 0t ≥ . 
Verifica-se que esse instante ocorre para 2,9833t ≈ . 
Pretende-se resolver a equação ( ) 0,25 0,7f x = × . 
Para isso, insere-se a função definida por 25% da área detetada inicialmente, ou seja, 
( ) 0,25 0,7g x = × e identifica-se o ponto de interseção dos gráficos 
de f e g, fazendo o ajuste necessário à janela de visualização. 
Identifica-se o ponto de coordenadas: ( )23,284; 0,209 
O tempo decorrido após a reparação é dado por: 23, 284 2, 983 20, 301− = . 
0, 301 60 18, 06× = 
Após a reparação decorreram, aproximadamente, 20,301 horas, ou seja, 20 h 18 min. 
Resposta: 20 h 18 min 
 
 
 
 
 
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3 
 
CADERNO 2 
(Não é permitido o uso de calculadora gráfica) 
1.1. cos 2cos
2
OA
OAα α= ⇒ = 
sin 2sin
2
AB
ABα α= ⇒ = 
Área do triângulo [OAB]: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2cos 2sin
2sin cos sin 2
2 2
OA AB α α
α α α
×
= = = 
Raio do semicírculo: 
2sin
sin
2 2
AB α
α= = 
Área do semicírculo de raio sinr α= : 
( )22 πsinπ
2 2
=
r α
 
Área da região sombreada: ( ) ( )
( )2πsin
sin 2
2
= +f
α
α α 
1.2. 
( )
π
8
π
π8
lim
π 8
8
→
 
−  
   ′=  
 −
f f
f
α
α
α
 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
π sin π π
sin 2 2 cos 2 2sin cos 2 cos 2 sin 2
2 2 2
′ 
′ = + = + × = + 
 
f
α
α α α α α α α
 
π π π π 2 π 2 2 π
2cos sin 2 2
8 4 2 4 2 2 2 4
     
′ = + = × + × = +     
     
f 
Opção: (D) 
2 π
2
4
+ 
 
2.1. 
π π π π π
5cos 5 cos cos sin sin
2 4 2 4 2 4
          
+ = − =          
          
t t tπ
 
 ( )
2 π π π π
5 cos sin 2,5 2 cos sin
2 2 2 2 2
          
= × − = − =          
          
t t t t
x t 
Assim, tem-se ( )
π π
5cos
2 4
 
= + 
 
t
x t . 
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4 
 
 
2.2. a) ( ) ( )
π π π π
5 5 cos 1 cos 1
2 4 2 4
   
= ∨ = − ⇔ + = ∨ + = − ⇔   
   
t t
x t x t 
 
[ ] [ ]
[ ]
π π
π , 0 , 12 2 1 4 , 0,12
2 4
4 1
, 0, 12
2
⇔ + = ∈ ∧ ∈ ⇔ + = ∈ ∧ ∈ ⇔
−
⇔ = ∈ ∧ ∈ ⇔
ℤ ℤ
ℤ
t
k k t t k k t
k
t k t
 
1, 5 3, 5 5, 5 7, 5 9, 5 11,5t t t t t t⇔ = ∨ = ∨ = ∨ = ∨ = ∨ = 
Soluções: 1,5; 3,5; 5,5; 7,5; 9,5 e 11,5 
 b) ( )
π π
5cos
2 4
 
= + 
 
t
x t 
( )
'
π π π π π
' 5 cos 5 sin
2 4 2 2 4
    
= + = − × +    
    
t t
x t 
( )
' 2
π π π π π π π π π π
'' 5 sin 5 cos 5cos
2 2 4 2 2 2 4 2 2 4
        
= − × + = − × × + = − +        
        
t t t
x t 
( ) ( )
2
π
''
2
 
= −  
 
x t x t 
Daqui resulta que 
2
π
4
= −k . 
Resposta: 
2
π
4
− 
 c) ( )
0
0
1 1 0 0
2 2
π 1 ππ π π π5 cos5 cos 5cos
2 2 42 4 2 2
lim lim lim lim
12 1 2 22
2
 
 
 
→ →
→ →
     
+ ++ +     
      
= = =
−  
− 
 
y y
t t
t
y y
x t
t y y
t
 
Fazendo 1
2
t y− = , tem-se: 
0
0
1 0 0 0
2
π 1 ππ π π π π5cos5 cos 5 cos 5sin
2 2 42 4 2 2 2
lim lim lim lim
π 21 2 2 22
2 π2
 
 
 
→ → →
→
       
+ ++ + −       
        
= = = =
 
× ×− 
 
y y y
t
t
y y y
y y
yt
 
π
0
2
π
sin
5π 5π 5π2
lim 1
π4 4 4
2
→
 
 
 = − = − × = −
y
y
y
 
Resposta: 5π
4
− 
Novo Espaço – Matemática A 12.º ano 
Proposta de Resolução [abril – 2018] 
 
5 
 
 d) ( )
π π
5cos
2 4
 
= + 
 
t
x t 
Período da função: 2π 4
π
2
= =T 
Frequência do oscilador harmónico: 1 1
4T
= 
Resposta: 1
4
 
3. Se i= +z a b , então ( ),P a b . 
( ) ( )i i i i i= − = − − = − + = − −w z a b a b b a 
Então, o afixo de w é o ponto de coordenadas ( ),b a− − . 
O ponto S é o único que pode ter coordenadas ( ),b a− − . 
Opção: (C) S 
4.1. ( )
2
1 2 i 3i 4 4i 1 3i 3 i= + − = + − − = +z 
( )
( ) ( )
2
1
5i 3 i5i 5i 5 15i 1 3
i
3 i 3 i 3 i 10 2 2
+ − +
= = = = = − +
− − +
z
z
 
Resposta: 
2
1 3
i
2 2
= − +z 
4.2. 1 2 3z z z− ≤ ∧ ≥ 
1 2z z− ≤ → Representa um círculo de centro no ponto ( )3, 1 e 
raio 2. 
3≥z → Representa a parte exterior do círculo de centro ( )0,0 
e raio 3, incluindo a fronteira.