ENSINO FUNDAMENTAL 8º ANO _MATEMÁTICA_VOLUME 1 (PROFESSOR)

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Livro do professor
2 Transformações 
geométricas 23
1 Potenciação 
e radiciação 2
3 Porcentagem 44
8o. ano
Volume 1
Matemática
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/O
rio
nt
ra
il
Livro
didático
1
©
NA
SA
/J
PL
-C
al
te
ch
b c d e f g h
1. Esse sistema com sete planetas está localizado a cerca de 40 anos-luz do nosso Sistema Solar. Você 
sabe o que é ano-luz?
2. Um ano-luz equivale a aproximadamente 9 461 000 000 000 quilômetros. Notando que essa distância 
é um pouco menor do que 9,5 trilhões de quilômetros, qual é a distância aproximada entre o nosso 
Sistema Solar e o sistema dos sete planetas descobertos?
3. Por que você acha que as distâncias astronômicas são expressas em ano-luz e não em unidades como 
quilômetros ou metros?
Potenciação e 
radiciação
f g h
1. É a distância percorrida pela luz em um ano.
2. 40 · 9 500 000 000 000 km = 380 000 000 000 000 km
3. Para evitar a escrita de números muito grandes. Repare que quando es-
crevemos 40 anos-luz em km, usamos um número com 15 algarismos.
Comente com os alunos que neste capítulo será 
estudado um modo de representar números 
muito grandes (ou muito pequenos) que faci-
lita sua escrita e leitura.
A Nasa descobriu sete planetas com tamanhos próximos ao da Terra e que orbitam 
a estrela anã chamada TRAPPIST-1. Desses sete planetas, que estão localizados fora 
do nosso Sistema Solar e por isso são conhecidos como exoplanetas, três são muito 
parecidos com a Terra, identificados pelas letras e, f e g na imagem.
2
Potências com expoentes inteiros
Potências com expoentes inteiros positivos
Este é o triângulo de Sierpinski, um tipo de fractal criado pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski. Ele 
é construído da seguinte maneira:
• Iniciamos com um triângulo qualquer. Nesse caso, vamos escolher um triângulo equilátero. 
• Marcamos os pontos médios dos lados desse triângulo. 
• Ligamos os pontos médios e obtemos quatro triângulos. 
• Retiramos o triângulo central.
Em cada estágio, repetimos os três últimos passos anteriores para cada um dos triângulos restantes obtidos 
no estágio anterior. Veja os quatro primeiros estágios.
Estágio 2 Estágio 3Estágio 0 (inicial) Estágio 1
a) Pesquise o que é fractal.
É uma figura que pode ser dividida sucessivamente em partes, em que cada uma é 
semelhante à figura toda. Um fractal contém cópias reduzidas de si mesmo, essas 
cópias contêm cópias ainda menores e assim por diante.
b) No estágio 1, têm-se três triângulos equiláteros roxos. Quantos triângulos equiláteros roxos existem 
no estágio 2? 9 
c) E no estágio 3, quantos triângulos roxos existem? 27 
d) Represente, na forma de multiplicação de fatores iguais, a quantidade de triângulos roxos obtidos no 
estágio 3. 3 ∙ 3 ∙ 3 
e) Escreva as quantidades de triângulos roxos dos estágios 1, 2 e 3 como potências de base 3.
Estágio 1: 31 Estágio 2: 32 Estágio 3: 33 
f) Observe o padrão do item anterior e escreva a quantidade de triângulos roxos do estágio 4 como uma 
potência de base 3. Depois, calcule o resultado dessa potência. 
De acordo com o padrão observado, o número de triângulos roxos do estágio 4 é 34. Essa potência é igual a 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Objetivos
Após o estudo deste capítulo, espera-se que você efetue cálculos de potências com expoentes 
inteiros, conheça algumas propriedades da potenciação, represente números em notação científi-
ca e resolva problemas que envolvem as operações de potenciação e radiciação.
O termo fractal é originário do la-
tim fractus, que significa “fracionar”, 
“quebrar”. Foi criado pelo matemá-
tico polonês Benoit Mandelbrot, 
em 1975.
3
No estágio 5, haverá 243 triângulos roxos. Esse número poderia ser obtido por meio da seguinte potência:
↓ ↓
← = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =5
5 fatores
Expoente Potência
Base 3 3 3 3 3 3 243
Também podemos chamar 35 de potência.
Essa representação pode ser lida da seguinte maneira: “três elevado à quinta potência”. 
Lembre-se de que nessa operação a base é o fator que se repete, o expoente indica a quantidade de vezes 
que esse fator aparece na multiplicação e o resultado é a potência.
Agora, complete a tabela com a fração que cada triângulo menor destacado representa do triângulo inicial.
Estágio
1 2 3
Fração do 
estágio inicial
1
4
1
16
1
64
Note que, no estágio 2, a fração que cada um dos triângulos menores representa do triângulo inicial pode 
ser escrita da seguinte forma: 
1
16
1
4
1
4
1
4
2
= ⋅ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
a) Represente a fração do estágio 3 na forma de uma potência. 1
64
1
4
1
4
1
4
1
4
3
= ⋅ ⋅ =⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b) Calcule, por meio de uma potência, a fração do estágio inicial que cada um dos triângulos menores 
representa
• no estágio 4: 
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
256
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ = • no estágio 5: 
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
1 024
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
c) Continuando com o processo nos estágios seguintes, qual é a potência que 
indica a fração que cada um dos triângulos menores do estágio n representa 
do estágio inicial?
Dados um número racional a e um número inteiro n maior do que 1, a expressão an é uma 
potência e representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a.
a a a a an
vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅…� �������
n
Definimos também que a a1 . Quando a é diferente de zero, a 0 1.
Note que, até o momento, você calculou potências com base positiva e obteve sempre resultados positivos, 
pois o produto de números positivos é sempre positivo.
1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n
8o. ano – Volume 14
Atividades
 1. João vai viajar e colocou na mala 2 jaquetas, 2 calças, 2 camisas e 2 pares de calçados.
Para resolver potenciações cuja base é um número negativo, utilizamos o mesmo procedimento que para 
as de base positiva. 
Vamos observar o que acontece com o sinal do resultado quando a base é negativa: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= + ⋅ +
= +
2 2 2 2 2
4 4
4
� ����� � �����
� ��������
116
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= + ⋅ +
2 2 2 2 2 2
4 4
5
� ����� � �����
� ���������
� ����������
⋅ −
= + ⋅ −
= −
( )
( ) ( )
2
16 2
32
Agora é sua vez! Calcule as seguintes potências:
a) (–6)2 = (–6) ∙ (–6) = 36 b) (–6)3 = (–6) ∙ (–6) ∙ (–6) = –216 
Com base nos resultados obtidos, responda se o resultado é positivo ou se é negativo.
a) Uma potência cuja base é um número positivo e o expoente é ímpar. Positivo. 
b) Uma potência cuja base é um número positivo e o expoente é par. Positivo. 
c) Uma potência cuja base é um número negativo e o expoente é ímpar. Negativo. 
d) Uma potência cuja base é um número negativo e o expoente é par. Positivo. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/R
ob
ua
rt
a) Com as roupas e os calçados que ele está le-
vando, de quantas maneiras diferentes João 
pode se vestir escolhendo uma calça, uma 
camisa, um par de sapatos e uma jaqueta? 
Escreva a resposta na forma de uma potên-
cia e calcule o resultado.
2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16
b) Quando sair para viajar, ele estará usando 
uma calça, uma camisa, um par de tênis e 
uma jaqueta. Considerando também essas 
peças, de quantas maneiras ele poderá se 
vestir? 
3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81
 Matemática 5
 2. Determine os resultados das seguintes potên- 
cias:
a) 24 = 16 
b) 72 = 49 
c) 53= 125 
d) 104= 10 000 
e) 16 = 1 
f) 04 = 0 
g) 0,32 = 0,09 
h) 30 = 1 
i) 1,12 = 1,21 
j) 0,13 = 0,001 
 3. Escreva as potências relativas às seguintes frases 
e obtenha os resultados. 
a) Um oitavo ao quadrado. 
b) Seis ao cubo. 
63 = 216
c) Dois elevado à décima potência. 
210 = 1 024
d) Quatro terços elevado a zero. 
 
e) Menos um elevado à sétima potência.
(–1)7 = –1
f) Dez elevado à quinta potência. 
105 = 100 000
 4. Determine os resultados das seguintes potên- 
cias:
1
8
1
64
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
4
3
1
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
b) O resultado de –42 é igual a (–4)2? 
Não, pois –42 = –4 · 4 = –16 e (–4)2 = (–4) · (–4) = 16. 
Note que –42 não é o quadrado de –4, mas, sim, o 
oposto do quadrado de 4. 
c) O resultado de –23 é igual a(–2)3? 
Sim, pois –23 = –2 · 2 · 2 = –8 e (–2)3 = (–2) · (–2) · 
· (–2) = –8. Nesse caso, como o expoente é ímpar, o 
oposto do cubo de 2 é igual ao cubo de –2.
 6. Sem efetuar os cálculos, escreva se o resultado 
da potência é positivo ou negativo. 
a) ( )72 4 Positivo 
b) ( )15 3 Positivo 
c) ( , )8 3 5 Negativo 
d) ( , )0 4 6 Positivo 
e) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
6
19
8
 Positivo 
f) ( , )0 1 9 Negativo 
g) ( )9 7 Negativo 
h) 52 Negativo 
i) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
2
0
 Positivo 
j) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
7
11
 Negativo 
k) ( )5 2 Positivo 
l) ( , )0 8 2 Positivo 
 7. Complete as lacunas com um destes símbolos: 
> (maior que), < (menor que) ou = (igual a).
a) ( )6 2 < ( )2 6
b) ( )12 3 < ( )5 2
c) ( )2 0 > 0 7
d) ( , )1 4 2 > ( , )0 5 2
e) ( )4 5 < ( )4 2
f) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
5
1
 < ( , )0 1 2
g) 52 < ( )5 2
h) ( )8 3 = 83
i) ( )1 3 > ( )3 1
a) ( )7 3 = –343 
b) ( )12 2 = 144 
c) ( )3 5 = –243 
d) ( )9 0 = 1 
e) ( )4 2 = 16 
f) ( , )1 5 2 = 2,25 
g) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
3
5
 = 
h) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
4
4
 = 
i) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
11
13
0
 = 1 
32
243
625
256
 5. Responda a cada uma das questões e justifique 
sua resposta.
a) O resultado de 32 é igual a 23? 
Não, pois 32 = 3 ·3 = 9 e 23 = 2 · 2 · 2 = 8.
8o. ano – Volume 16
Potências com expoentes inteiros negativos
a) Complete a tabela com os resultados das potências.
Potência 23 22 21 20 2–1 2–2 2–3
Resultado 8 4 2 1
1
2
1
4
1
8
: 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2
b) Agora, complete esta outra tabela: 
Potência 33 32 31 30 3–1 3–2 3–3
Resultado 27 9 3 1
1
3
1
9
1
27
: 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3
Observe as seguintes potências: 
 2 8 2
1
8
3 3= =−e 3 9 3
1
9
2 2= =−e
Podemos reescrever duas delas da seguinte maneira:
 2
1
2
3
3
− = 3
1
3
2
2
− =
NOTE QUE, DE UMA 
POTÊNCIA PARA A SEGUINTE, 
O EXPOENTE DIMINUI UMA 
UNIDADE E O RESULTADO É 
DIVIDIDO POR 2.
 8. Observe os seguintes “triângulos” formados por 
números ímpares.
1
1 3
1 3 5
1 3 5 7
1 3 5 7 9
 
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
a) Cada linha do primeiro triângulo é formada 
pelos primeiros números ímpares positivos. 
A primeira linha só tem o número 1. A soma 
dos números da segunda linha é 4 e da ter-
ceira linha é 9. Qual é a soma dos números 
da quarta linha? E da quinta?
Quarta linha: 1 + 3 + 5 + 7 = 16
Quinta linha: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
b) Note que você pode escrever todas as so-
mas do item anterior como potências de 
expoente 2. Usando esse fato e imaginando 
que você amplie o primeiro triângulo até 10 
linhas, qual será a soma dos números da dé-
cima linha?
A soma dos números da décima linha será 102 = 100.
c) O segundo triângulo é construído de um 
jeito diferente. Cada linha também tem um 
número ímpar a mais do que a linha anterior, 
mas os números são escritos em sequência. 
Obtenha a soma dos números de cada linha 
e represente-a como potência de um mes-
mo expoente. 
Primeira linha: 1 
Segunda linha: 3 + 5 = 8 = 23 
Terceira linha: 7 + 9 + 11 = 27 = 33
Quarta linha: 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43
Quinta linha: 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 53 
d) Usando o que você observou no item ante-
rior, qual seria a soma dos números da oitava 
linha, caso o triângulo fosse ampliado?
A soma dos números da oitava linha seria 
83 = 8 · 8 · 8 = 512.
Sugestão de atividades: questões 1 e 2 da seção Hora de estudo.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
. 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
 Matemática 7
Com base nas igualdades anteriores, determine os resultados das seguintes potências:
5–2 = = 1
5
1
252
2–5 = = 1
2
1
325
7–1 = = 1
7
1
71
 
Veja que quando o expoente for um número inteiro negativo, o resultado é o inverso da potência com o 
correspondente expoente positivo. Por exemplo, o resultado de 10–4 (dez elevado a menos quatro) é o inverso 
de 104 (dez elevado a quatro). 
10
1
10
1
10000
4
4
− = =
Essa ideia é válida sempre? Bem, quase sempre! Quando o expoente for um número inteiro negativo qual-
quer, a base deve ser diferente de zero, porque não faz sentido dividir por zero. Veja como ficaria a potência 0–2.
0
1
0
1
0
2
2
− = = (como a divisão de 1 por 0 não faz sentido, não podemos calcular 0–2.)
Veja agora como podemos calcular uma potência em que a base é uma fração e o expoente é negativo. Por 
exemplo, 
3
4
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
. Vamos mostrar duas maneiras de fazer isso. 
Primeira maneira: Usamos a mesma ideia dos 
exemplos anteriores. O resultado é o inverso da po-
tência com expoente 2.
3
4
1
3
4
1
9
16
1
16
9
16
9
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= = ⋅ =
−
Segunda maneira: Como o inverso de 
3
4
 é 
4
3
, 
basta inverter a fração e trocar o sinal do expoente. 
3
4
4
3
4
3
4
3
16
9
2 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ =
−
Atividades
 1. Calcule os resultados das seguintes potências:
a) 7 2− = 1
7
1
492
b) ( )− =−5 3 1
5
1
1253( )−
=−
c) 10 5− = 1
10
1
100 0005
d) ( )− =2 8 256
e) ( )− =−2 4 1
2
1
164( )−
=
f) ( )− =−10 1 1
10
1
101( )−
=−
g) ( )− =6 3 –216
h) ( )− =11 2 121
i) ( )− =−4 3 1
4
1
643( )−
=−
 2. Complete as lacunas com um destes símbolos: <, > ou =.
a) 12 2 > ( )10 3
b) 
1
5
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
 < 
1
3
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
c) 
1
2
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
 = ( )4 2 
d) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
8
0
 < ( , )0 1 1
8o. ano – Volume 18
 3. Calcule os resultados das seguintes potências: 
a) 
3
7
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
 7
3
343
27
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
b) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−5
14
2
 −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
14
5
196
25
2
c) 
2
7
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
 7
2
7
2
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
d) 
1
17
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
 172 = 289
e) 
5
2
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
 2
5
16
625
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
f) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−2
3
3
 −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =−
3
2
27
8
3
4. Observe as potências do quadro a seguir, cada uma representada por uma letra.
A B C D E
2 2 ( )2 2 22 ( )2 2 22 
a) Calcule: 
• A + D • B – E (–2)2 – (–4) = 4 + 4 = 8
b) Ao obter o resultado de cada potência do quadro, quantos valores diferentes você encontrou?
 3 valores diferentes 
 1
4
4 4, e −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
1
2
1
42
= 4 = 4
1
2
1
42( )−
=
= –4
1
2
1
2
1
4
1
4
2
4
1
22 2
+
−
= + = =
( )
Propriedades da potenciação
Você já sabe como calcular o resultado de muitas potências. Imagine que alguém faça a seguinte pergunta:
Quanto é 2 223 10 dividido por 230 ?
Isso daria um trabalho danado! Em muitas calculadoras, nem conseguiríamos calcular 223 · 210 e 230, pois 
os resultados não caberiam no visor. Entretanto, veremos que existem algumas propriedades da potencia-
ção, com as quais o cálculo acima pode ser feito rapidamente. Aliás, não apenas esse, mas muitos outros.
Produto de potências de mesma base
Observe a expressão 5 53 2.
Para resolvê-la, escrevemos cada potência como uma multiplicação de fatores iguais. 
5 5 5 55 5 5 53 2 5⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Como os fatores são todos iguais, pudemos escrever uma só potência. Comparando a expressão com o 
resultado obtido, vemos que:
5 5 5 53 2 3 2 5⋅ = =+
Na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Veja mais dois exemplos. 
• 37 · 33 = 37 + 3 = 310 • 712 · 7–8 = 712 + (–8) = 712 – 8 = 74
 Matemática 9
Quociente de potências de mesma base
Observe a expressão 9 95 2: .
9 9
9
9
9 9 9 9 9
9 9 9 9
9 9
5 2
5
2
3: = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ =
⋅
 
Ao observar os expoentes do numerador, do denominador e do quociente, vemos que:
9 9 9 95 2 5 2 3: = =−
Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Veja mais 
dois exemplos:
• ( ) : ( ) ( ) ( )− − = − = −−5 5 5 510 5 10 5 5
• 
1
2
1
2
1
2
1
2
10 12 10 12 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− −
:
Potência de uma potência
Agora que já sabemos como multiplicar e dividir potências de mesma base, vamos ver um modo de escre-
ver expressões como (102)3. 
Podemos escrever a potência como um produto de fatores iguais e depois aplicar a propriedade da multipli-
cação de potências de mesma base.
( )10 10 10 10 10 102 32 2 2 2 2 2 6= ⋅ ⋅ = =+ +
O expoente da potência resultante é igual ao produto dos expoentes da expressão inicial.
( )10 10 102 23 3 6= =⋅
Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base 
e multiplicamos os expoentes. 
Exemplos:
• (52)10 = 52 · 10 = 520 • (2–1)–3 = 2(–1) · (–3) = 23
Produto e quociente de potências de mesmo expoente
Vimos que a multiplicação ou a divisão de potências de mesma 
base pode ser escrita como uma só potência. Isso também pode ser 
feito quando multiplicamos ou dividimos potências com o mesmo 
expoente. Acompanhe dois exemplos:
• 2 53 3
Podemos escrever a expressão como multiplicações de fatores iguais:
2 5 2 2 2 2 2 2 25 5 5 5 5 5 53 3 3⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅( ) ( ) ( ) ( )
Portanto:
2 5 2 5 103 3 3 3⋅ = ⋅ =( )
Tome cuidado para não confundir 
( )22 3 com 22
3
.
A expressão 22
3
não é uma potên-
cia elevada a um expoente, mas, sim, 
uma potência cuja base é 2 e o ex-
poente é a potência 23. Nesse caso, 
resolvemos primeiramente a potên-
cia do expoente. Veja a diferença:
( )2 2 2 642 3 2 3 6= = =⋅
2 2 2562 8
3
8o. ano – Volume 110
• 12 34 4
Veja como podemos escrever essa expressão:
12 3
12
3
12 12 12 12 12 12 12 12 12
3 3 3 3 3 3 3 3 3
4
4
4
4
4
= =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Portanto:
12 3
12
3
44 4
4
4=⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
Quando multiplicamos potências de mesmo expoente, multiplicamos as bases 
e conservamos o expoente; quando dividimos potências de mesmo expoente, 
dividimos as bases e conservamos o expoente. 
Exemplos:
• 3 2 3 2 65 5 5 5⋅ = ⋅ =( )
• 20 16
20
16
5
4
2 2
2 2
: = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Atividades
1. Em uma potência de base 10 podemos saber facilmente a quantidade de algarismos do resultado obser-
vando o expoente. 
Potência Expoente Número de algarismos
102 2 3
103 3 4
104 4 5
105 5 6
Gabaritos e comentários.1
c) Você sabe o que é um googol? Em 1938, o matemático Edward Kasner pediu a um sobrinho de 8 anos 
que desse um nome a um número muito grande, maior do que qualquer outro do Universo, igual a 
10100. Esse número foi chamado de googol (lemos “gugol”). Veja que um googol é formado por 101 
algarismos, o 1 seguido de 100 zeros.
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Qual é o número de algarismos
• do dobro de um googol?
• de um googol elevado ao quadrado?
• de 20 vezes um googol?
a) Simplifique a expressão a seguir e escreva 
quantos algarismos tem o resultado.
( )10 10 10
5 2
2 9 2 3
8 8
2
⋅ ⋅
⋅
−
b) Quantos algarismos tem o resultado de 
1 00033? Para responder a essa pergunta, 
você pode escrever 1 000 como 103.
 Matemática 11
 2. Escreva cada expressão como uma só potência. 
a) 7 75 3⋅ = 
b) ( ) ( )− ⋅ − =9 94 5 
c) 13 1313 10: 
d) ( ) : ( )− − =2 23 7 
e) ( )33 3 
f) 5 55 5 2
2
: ( ) 
g) 2 2 27 2 10⋅ =: 
h) ( ) : ( )11 112 6 4 3 
i) ( ) : ( )2 10 5 45 5 3 3⋅ ⋅ = 
j) ( : ) ( : )8 2 24 65 5 4 4⋅ = 
 3. Você já estudou algumas propriedades da po-
tenciação. Por exemplo, quando multiplicamos 
potências de mesma base, conservamos a base 
e somamos os expoentes. Com base nelas, um 
aluno pensou em outras “propriedades” e escre-
veu as seguintes igualdades.
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/M
ar
id
av
23 + 24 = 23 + 4 = 27 
32 + 42 = (3 + 4)2
a) Na primeira igualdade, ele pensou que, 
quando adicionamos potências de mesma 
base, conservamos a base e somamos os ex-
poentes. Calcule 23 + 24 e compare o resul-
tado com o de 27.
b) A primeira igualdade escrita pelo aluno é 
verdadeira?
c) Na segunda igualdade, o raciocínio do aluno 
foi o seguinte: quando adicionamos potên-
cias com o mesmo expoente, conservamos 
o expoente e adicionamos as bases. Calcule 
32 + 42. Depois, calcule (3 + 4)2, começando 
pela adição, e compare os resultados.
d) A segunda igualdade é verdadeira? 
75 + 3 = 78
(–9)4 + 5 = (–9)9
1313 – 10 = 133
(–2)3 – 7 = (–2)–4
33 · 3 = 39
525 : 510 = 515
27 + 2 – 10 = 2–1
1112 : 1112 = 110
205 : 203 = 202
45 · 44 = 49
 4. Para obter o resultado de algumas expressões, o 
uso das propriedades da potenciação pode nos 
ajudar bastante. 
a) Calcule o valor da expressão 
2 2 2
2 2
5 7 2 4
2 34
⋅ ⋅
⋅ −
( )
.
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
5 7 2 4
2 3
5 7 2 4
16 3
12 8
16 3
12 8
13
4
⋅ ⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
= =
−
+ ⋅
− −
+
( )
22
2
2 2 128
20
13
20 13 7= = =−
b) Use uma única potência para escrever o va-
lor da expressão 
4 25
25
10 50
40 . 
4 25
25
4 25 4 25
4 25 100
10 50
40
10 50 40 10 10
10 10
⋅
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ =
−
( )
Caso um aluno escreva 100 como 102, obterá 
como resultado (102)10 = 1020.
 5. Você já ouviu falar em quadrado mágico? Nos 
quadrados a seguir, a soma dos números de cada 
linha, de cada coluna e de cada diagonal é a mes-
ma. Essa soma é chamada de constante mágica. 
1 15 14 4
4 9 2 12 6 7 9
3 5 7 8 10 11 5
8 1 6 13 3 2 16
No primeiro, a constante mágica é 15; no 
segundo, 34.
Vamos pensar em outro tipo de quadrado má-
gico, formado apenas por potências de base 2. 
Nele, não é a soma, mas o produto dos números 
de cada linha, coluna e diagonal que é o mesmo.
29 22 27
24 26 28
25 210 23
a) Qual é a constante mágica desse quadrado? 
218
b) Complete o quadrado com as potências de 
2 que estão faltando. 
Veja os comentários nas orientações didáticas.
Sugestão de atividades: questões de 3 a 6 da seção Hora de estudo.
8o. ano – Volume 112
Notação científica
No início do capítulo, falamos sobre a descoberta de um sistema solar com sete planetas chamado 
TRAPPIST-1, que está a cerca de 40 anos-luz de distância da Terra. Já vimos que 1 ano-luz é a distância percorrida 
pela luz em 1 ano e que equivale a quase 9 461 000 000 000 quilômetros. 
Arredondando 1 ano-luz para 9 500 000 000 000, qual é a distância aproximada da Terra ao TRAPPIST-1?
40 · 9 500 000 000 000 km = 380 000 000 000 000 km
O número que você encontrou é bastante grande! É comum aparecerem números muito grandes ou muito 
pequenos no meio científico. Existe um procedimento para apresentar esses números de modo que sua escrita 
e leitura sejam mais simples. Por exemplo, em trabalhos científicos, a distância que você calculou é escrita da 
seguinte maneira:
3,8 · 1014 km
Dizemos que esse número está escrito em notação científica. Agora, veremos como fazer esse tipo de repre-
sentação. Vamos começar com esse mesmo exemplo, a distância aproximada, em km, entre a Terra e o TRAPPIST-1.
380 000 000 000 000 (trezentos e oitenta trilhões)
Esse número pode ser escrito da seguinte maneira: 
38 · 10 000 000 000 000 (trinta e oito vezes dez trilhões)
Como 10 000 000 000 000 é igual a 1013, podemos escrever: 38 · 1013
Apesar de o número anterior já estar representado de um modo bem mais simples do que no início, ele 
ainda não está em notação científica. Para padronizar a escrita, foi estabelecida uma regra que diz que o número 
que multiplica a potência de 10 precisa ser no mínimo 1 e menor que 10. Como 38 não se encaixa nesse interva-
lo, precisamos pensar mais um pouco. Se dividirmos 38 por 10, obteremos 3,8, que serve para nós. Fazendo isso, 
devemos aumentar em uma unidade o expoente da potência, pois assim compensamos a troca de 38 por 3,8.
3,8 · 1014
Agora sim, como 3,8 está entre 1 e 10, o número 3,8 · 1014 está escrito em notação científica.
Veja outro procedimento para escrever 380 000 000 000 000 em notação científica. 
1. Nesse número, onde está posicionada a vírgula? 
2. Para colocar a vírgula entre 3 e 8, quantas casas precisamos deslocá-la para a esquerda?
3. Qual é a relação entre a quantidade de casas deslocadas para a esquerda e o expoente da potência de 10 do 
número escrito em notação científica? 
Escreva os seguintes números em notação científica: 
a) 25 000 2,5 · 104 
b) 175 000 000 1,75 · 108 
c) 987 654 321 9,87654321 · 108 
Agora, vamos pensar em um número bem pequeno. A espessura média de um fio 
de cabelo é de 0,00007 m. Será que podemos escrever esse número em notação científica?Sim, mas nesse caso a potência de 10 terá expoente negativo. Inicialmente, observe 
algumas potências de 10 em que o expoente é um número inteiro negativo.
10
1
10
0 11− = = , 10
1
10
0 012
2
− = = , 10
1
10
0 0013
3
− = = , 10
1
10
0 00014
4
− = = ,
Sugestão de encaminhamento.2
©
Sh
ut
te
rst
oc
k/
Pi
xie
M
e
 Matemática 13
Repare que a quantidade de casas decimais é o expoente com o sinal trocado. Assim, por exemplo, sabemos 
que o resultado de 10–9 tem 9 casas decimais e algarismo 1 na última casa.
10 0 0000000019
9
− = ,
casas decimais
� ��� ���
Agora, vamos usar essa ideia para escrever 0,00007 de outra maneira.
0,00007 = 7 · 0,00001
Como 0 00001 10
5
5,
casas
decimais
= − , temos:
0,00007 = 7 · 10–5
Como 7 está entre 1 e 10, o número acima está representado em notação científica.
Da mesma forma que fizemos antes, existe um procedimento prático para escrever 0,00007 em notação 
científica. 
1. Para colocar a vírgula depois do 7, quantas casas precisamos deslocá-la para a direita?
2. Qual é a relação entre a quantidade de casas deslocadas para a direita e o expoente da potência de 10 do 
número escrito em notação científica?
Escreva os seguintes números em notação científica: 
a) 0,000000015 1,5 · 10–8 b) 0,00258 2,58 · 10–3 c) 0,0000000000352 3,52 · 10–11 
Um número em notação científica é escrito como o produto de dois fatores:
• um número maior que ou igual a 1 e menor que 10;
• uma potência de base 10.
Número maior que ou igual a 1 e 
menor que 10
Número inteiro
· 100
Para colocar a vírgula depois do 7, precisamos deslocar a vír-
gula 5 casas para a direita. O expoente da potência de 10 do 
número escrito em notação científica é o oposto do número 
de casas deslocadas para a direita.
Atividades
 1. Escreva as medidas a seguir em notação 
científica. 
a) Massa da Terra:
5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg 
5,97 · 1024 kg
b) Velocidade da luz: 300 000 km/s
3 · 105 km/s
c) Idade da Terra: 4 550 000 000 anos 
4,55 · 109 anos
Gabaritos.3
d) Diâmetro do vírus da dengue: 0,00000005 m 
5 · 10–8 m
 2. A distância média entre o Sol e a Terra é de 
149 600 000 km. Para termos uma ideia de como 
essa distância é grande, a luz do Sol, com uma 
velocidade de quase 300 000 km/s, leva cerca 
de 8 minutos e 18 segundos para chegar até a 
Terra. A massa do Sol é de aproximadamente 
1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg, 
bem mais do que a da Terra.
8o. ano – Volume 114
Sugestão de atividades: questões 7 e 8 da seção Hora de estudo.
Escreva em notação científica:
a) a distância média entre o Sol e a Terra.
1,496 · 108 km
b) a massa aproximada do Sol.
1,99 · 1030 kg
 3. Em 2017, a população mundial chegou a 
7 500 000 000 de habitantes. Escreva esse núme-
ro de pessoas em notação científica. 
7 500 000 000 = 7,5 · 109
 4. O que é nanotecnologia?
Nanotecnologia é o estudo dos 
princípios de funcionamento, do 
projeto e da fabricação de dispo-
sitivos mecânicos, eletrônicos, óp-
ticos, etc., com funções definidas 
e cujas dimensões são da ordem 
de 1 a 100 nanômetros. Um na-
nômetro é a bilionésima parte do 
metro, ou seja:
1 nanômetro = 
1
1 000 000 000
0 000000001m m,
A molécula do DNA humano tem apenas 
2,5 nanômetros de largura.
Transforme essa medida em metros e escreva-a 
em notação científica.
2,5 · 0,000000001 m = 0,0000000025 m
0,0000000025 m = 2,5 · 10–9 m
 5. Para medir a capacidade de armazenamento 
de informações dos computadores, usamos 
o byte (lê-se “baite”) 
como unidade de medi-
da. Um byte é uma se-
quência de 8 bits, como 
10011001 ou 11111101. 
Geralmente, um carac-
tere corresponde a um 
byte. No caso da letra B, 
a sequência é 01000010.
Você pode estar pensando que um byte é uma 
unidade muito pequena, pois um texto com al-
gumas páginas terá muitos bytes. Uma imagem 
ou uma fotografia, nem se fala! Por isso, existem 
múltiplos do byte, como o quilobyte (kB), o 
megabyte (MB) e o gigabyte (GB). Porém, no 
caso dessa unidade, as coisas são um pouco dife-
rentes do que estamos acostumados. O prefixo 
“quilo” não significa 1 000, como em quilograma 
(1 000 gramas) ou quilômetro (1 000 metros). 
Nesse caso, 1 quilobyte é igual a 1 024 bytes. Re-
pare que 1 024 é uma potência de base 2, pois 
210 = 1 024. Aliás, 1 byte são 8 bits, outra po-
tência de base 2. Os demais prefixos seguem a 
mesma ideia, como mostra o quadro.
1 quilobyte = 1 024 bytes
1 megabyte = 1 024 quilobytes
1 gigabyte = 1 024 megabytes
1 terabyte = 1 024 gigabytes
a) Considere um notebook com um HD de 
1 terabyte (TB). Essa capacidade equivale a 
quantos megabytes? 
b) O tamanho de uma música pode variar mui-
to. Vamos considerar uma média de 5 MB. 
Em um pen drive de 9 GB livres cabem 
quantas músicas?
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
ph
el
le
on
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/V
al
di
s T
or
m
s
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/V
al
er
y 
Br
oz
hi
ns
ky
Cada bit pode ser indicado 
pelo algarismo 1 ou pelo al-
garismo 0, que representam 
situações diferentes entre si, 
como ligado e desligado ou 
aberto e fechado.
 Matemática 15
Raízes exatas
Judô é um esporte olímpico disputado sobre um 
tatame dividido em três regiões. A área de combate 
é um quadrado composto de uma faixa de largura 
constante de 1 metro e um quadrado menor, que fica 
no centro do tatame. A faixa serve para alertar os ju-
docas de que devem voltar para o quadrado central. 
Por fim, tem-se a chamada área de segurança, que 
tem largura de 3 metros. 
Considere um tatame com área total de 196 m2.
Ilus
tra 
Car
too
n. 2
018
. Di
gita
l.
3 m
? m
3 m
? m
a) Qual a medida dos lados do tatame? 
14 m.
b) Que operação você utilizou para determinar 
a medida dos lados do tatame?
A radiciação.
c) Qual a medida dos lados da área de combate? 
8 m.
d) Quantos metros quadrados tem a área de 
combate? 64 m2. 
Você já estudou que a radiciação é a operação in-
versa da potenciação.
216 6363 = 216
Radicando
Expoente
Base
Índice
Veja alguns exemplos. 
• Qual a medida dos lados de um quadrado cuja 
área é igual a 75,69 cm²?
Para responder a essa pergun-
ta, precisamos descobrir um nú-
mero que elevado ao quadrado 
seja igual a 75,69. Isso equivale a 
calcular a raiz quadrada de 75,69.
n 75 69,
Mas como determinar a raiz quadrada de 75,69?
A maneira mais simples é utilizar uma calculadora. 
Na falta dela, podemos fazer tentativas. Primeiramen-
te, pensamos quais são os dois quadrados perfeitos, 
um menor e outro maior do que 75,69. Nesse caso, 
os números são 64 e 81. Assim, sabemos que a raiz 
quadrada de 75,69 é maior do que 8 e menor do que 
9. Além disso, veja que 75,69 está mais perto de 81. 
Por isso, vamos iniciar as tentativas com um número 
maior do que 8,5.
8,6 · 8,6 = 73,96
Como 73,96 é menor do que 75,69, o número 8,6 
ainda é pouco. Vamos fazer outra tentativa.
8,7 · 8,7 = 75,69
Portanto, descobrimos que 75 69 8 7, , , 
ou seja, os lados do quadrado medem 8,7 cm.
Você poderia ter iniciado as tentativas 
por qualquer outro número. Caso tivesse co-
meçado com 8,8, obteria 8,8 · 8,8 = 77,44. 
Nesse caso, precisaria tentar outro número menor, pois 
77,44 é maior do que 75,69. 
• Milena está construindo um empilhamento 
na forma de um cubo, em que cada aresta tem 
5 cubinhos.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
av
i
a) Quantos cubinhos Milena usará nesse empi-
lhamento?
125 cubinhos, pois 5 · 5 · 5 = 53 = 125.
 
Comentário sobre a raiz 
quadrada de um número.
4
Raízes exatas e aproximadas
ℓ
ℓ
75,69 cm2
8o. ano – Volume 116
b) Caso ela utilize exatamente 64 cubinhos para 
formar um empilhamento cúbico, quantos 
cubinhos seriam colocados em cada aresta?
Além das raízes quadradas e raízes cúbicas, exis-
tem raízes quartas, raízes quintas, raízes sextas e assim 
por diante. Veja alguns exemplos. 
625 5 5 625
243 3 3 243
64 2 2 64
4 4
5 5
6 6
, .
, .
, .
pois
pois
pois
Raízes aproximadas
Para decorar uma mesa quadrada, cujos lados 
medem 8 decímetros, foi confeccionada uma toalha, 
também quadrada, 
de modo que suas 
pontas ficassemexa-
tamente nas metades 
dos lados da mesa. A 
figura mostra a vista 
superior da mesa com 
a toalha.
a) Qual é a área da mesa?
Como 82 = 64, a área da mesa é 64 dm2.
b) Qual é a área da toalha? Justifique sua 
resposta.
Como a toalha tem o formato de um quadrado, a 
medida dos lados, em decímetros, é a raiz quadrada 
de 32, ou seja, 32 dm . Se usarmos uma calculadora, 
obteremos um valor aproximado.
O resultado que aparece no visor tem 10 casas de-
cimais e é uma aproximação de 32.
8 dm
8 dm
A área da toalha é 32 dm2, pois é a metade da área 
da mesa.
O valor exato tem infinitas casas decimais, mas 
não é uma dízima periódica. Portanto, ele não é um 
número racional. Você vai aprender mais a respeito de 
números com essa característica no próximo ano.
Veja uma aproximação com 31 casas decimais 
obtida na calculadora de um computador.
5,6568542494923801952067548968388
Também podemos obter uma aproximação para 
a raiz quadrada de 32 fazendo tentativas. Como 32 é 
maior do que 25 e menor do que 36, sabemos que sua 
raiz quadrada está entre 5 e 6, mais perto do 6.
Assim:
5 6 5 6 3136
5 7 5 7 32 49
32
, , ,
, , ,
⋅ =
⋅ =
⎤
⎦
⎥→ está entre 5,6 e 5,7.
Se quisermos uma aproximação com mais casas 
decimais, continuamos com as tentativas.
5 64 5 64 31 8096
5 65 5 65 319225
5 66 5 66 32 0356
3
, , ,
, , ,
, , ,
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
→ 22 está entre 5,65 e 5,66.
Portanto, a medida dos lados da toalha é quase 
5,66 dm, ou seja, cerca de 56,6 cm.
Imagine agora que precisemos obter uma aproxi-
mação para a raiz cúbica de 12. Usando a calculadora 
de um computador, por exemplo, obtemos a seguin-
te aproximação:
2,2894284851066637356160844238794
Caso não tenhamos uma calculadora que forneça 
raízes cúbicas, podemos fazer tentativas. Sabemos 
que 123 é maior do que 2 e menor do que 3, pois 
23 = 8 e 33 = 27. Repare também que como 12 está 
mais perto de 8, 123 está mais perto de 2.
Complete as lacunas a seguir.
2,1 · 2,1 · 2,1 = 9,261 
2,2 · 2,2 · 2,2 = 10,648 
2,3 · 2,3 · 2,3 = 12,167 
• Com base nos resultados anteriores, qual o valor 
aproximado de 123 , com uma casa decimal?
2,3
Quatro cubinhos, pois 4 4 4 4 643 = ⋅ ⋅ = . A quantidade 
de cubinhos é a raiz cúbica de 64, ou seja, 64 43 .
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/V
al
en
tin
 V
al
ko
v
5,6568542495
32
 Matemática 17
Potenciação e radiciação: uma relação curiosa
Até agora, vimos potências com expoentes intei-
ros, como 23, 3–2 e 50. Será que também podemos cal-
cular potências com expoentes não inteiros? 
Veja o resultado de 90,5, obtido em uma 
calculadora:
9 30 5,
Será que foi uma coincidência o resultado de 90,5 
ser igual ao resultado da raiz quadrada de 9?
Vamos ver o que acontece com outros números.
4 2
25 5
10 3 1622776602
0 5
0 5
0 5
,
,
, ,
Podemos ver que 40,5 é a raiz 
quadrada de 4 e que 250,5 é a raiz 
quadrada de 25. 
O resultado de 100,5 na calcula-
dora foi 3,1622776602. Se você 
multiplicar esse número por ele 
mesmo, não obterá exatamente 
10, pois a calculadora forneceu 
apenas uma aproximação para 
100,5. 
Podemos verificar qual é o nú-
mero fornecido pela calculadora 
para a raiz quadrada de 10.
Compare o número do visor com o resultado de 
100,5. São iguais, certo? Isso quer dizer que, quando o 
expoente da potência for 0,5, estamos obtendo uma 
raiz quadrada? Isso mesmo! 
Veja mais um exemplo para esse fato curioso. Va-
mos calcular o valor de 30,5. Sem uma calculadora em 
mãos, fica difícil imaginar quanto isso vai dar. Mas se 
você pensar em multiplicar 30,5 por ele mesmo, isso 
pode ficar mais fácil. 
30,5 · 30,5 (Usamos a propriedade da multiplicação 
de potências de mesma base.)
30,5 · 30,5 = 30,5 + 0,5
30,5 · 30,5 = 31
30,5 · 30,5 = 3
Como o resultado obtido foi 3, concluímos que a 
raiz quadrada de 3 é igual a 30,5. Veja agora o que po-
demos notar se escrevermos 0,5 como 
1
2
.
3 3
3 3
0 5
1
2
,
3 3
1
12 2
O numerador do expoente fracionário é o expoen-
te da base da potência, e o denominador é o índice 
do radical. Essa é uma relação curiosa entre potências 
e raízes. Mas atenção! Para trabalhar com o expoente 
fracionário, precisamos que a base não seja um nú-
mero negativo.
Acompanhe mais um exemplo. 
8
2
3
Vamos calcular essa potência de 
expoente fracionário de duas maneiras.
Primeira 
maneira
Escrevemos 8 como 23.
8 2
2
3 3
2
3( )
Usamos a propriedade de potência de 
potência.
8 2
8 2
8 2 8 4
2
3
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3 2
2
3
=
=
= ⇒ =
⋅
⋅
Segunda 
maneira
Usamos a “relação curiosa”.
8 8
2
23 3
O numerador do expoente fracionário 
é o expoente da base da potência, e o 
denominador é o índice do radical.
8 64 8 4
2
3 3
2
3= ⇒ =
Nesse exemplo, obtivemos o mesmo resultado 
nos dois modos de resolução. Isso nos mostra que 
a relação curiosa funcionou. Na verdade, com uma 
calculadora, você pode verificar que ela sempre 
funciona.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/V
al
en
tin
 V
al
ko
v
3,1622776602
10
8o. ano – Volume 118
Atividades
 1. Calcule as seguintes raízes: 
a) 81 9 
b) 225 15 
c) 144 12 
d) 36 6 
e) 273 3 
f) 164 2 
g) 325 2 
h) 1 0003 10 
i) 1 69, 1,3 
j) 4 41, = 2,1 
 2. Sabemos que a radiciação e a potenciação são 
operações inversas. Por exemplo, a raiz quadra-
da de 49 é 7, pois 72 = 49.
Você já parou para pensar que o quadrado de –7 
também é 49? Assim, não daria para dizer que 
49 7= − ? Pensando apenas dessa forma, sim, 
pois realmente (–7)2 = (–7) · (–7) = 49. Porém, 
nesse e em muitos outros casos, teríamos dois 
resultados para a mesma situação, o que não faz 
sentido. Por isso, ficou convencionado que a raiz 
quadrada de 49 é +7. Nunca teremos uma raiz 
quadrada com resultado negativo. 
a) Quais são os números que elevados ao qua-
drado resultam em 400? 20 e –20. 
b) Qual é a raiz quadrada de 400? 20 
c) Ao contrário da raiz quadrada, quando pre-
cisamos calcular uma raiz cúbica, não é ne-
cessário fazer uma convenção. 
• Qual é o número que elevado ao cubo 
resulta em 8? 2 
• Qual é o número que elevado ao cubo 
resulta em –27? –3 
d) Calcule o valor de:
• 83 2 • − =273 –3 
e) Calcule o valor da seguinte expressão:
64 8 25 81 13 4 5+ − − + − −
Dica: Note que nessa expressão temos outros 
tipos de raízes. Para qualquer raiz com índice par, 
vale a mesma ideia da raiz quadrada; para as raízes 
com índice ímpar, a ideia é a mesma da raiz cúbica.
 3. Nem sempre existe um número que elevado ao 
quadrado resulta em outro. Por exemplo, se ten-
tarmos pensar em qual número que elevado ao 
quadrado resulta em –100, não conseguiremos 
achar um. Assim, a raiz quadrada de –100 não 
existe. O mesmo acontece com qualquer raiz de 
índice par. Quando o índice for ímpar, sempre exis-
tirá a raiz. Calcule, se possível, cada uma das raízes 
a seguir. Caso não seja uma raiz exata, escreva o 
resultado com aproximação de uma casa decimal.
a) 5 76,
b) 40
c) 4
d) 83
e) 814
f) 1253
g) 180
h) 56 25,
i) 35
4. Em um anúncio de locação de uma sala comer-
cial, aparecia a informação de que a área era de 
17,64 m2. Considerando que essa sala é “quadra-
da”, qual a medida do comprimento e da largura?
 5. Um terreno com formato retangular foi dividido 
por uma cerca, como ilustra a figura. O terreno 
ABEF é um quadrado e BCDE é um retângulo.
A B C
F E D
116,64 m2 207,36 m2
a) Qual é a medida dos lados do terreno ABEF?
b) Qual é a maior dimensão do terreno BCDE?
c) Imagine outro terreno, com formato quadra-
do, cuja área é igual à do terreno ACDF. Qual 
é a medida dos lados desse terreno? 
6. Determine o resultado de cada potência ou 
expressão.
a) 64
1
2 
b) 343
1
3
c) 27
2
3 
d) 49 6250 5 0 25, , 
e) 
1
2
36 2 36
1
2
1
2⋅ + ⋅
−
 
Sugestão de atividades: questões de 9 a 11 da 
seção Hora de estudo.
Gabaritos.5
 Matemática 19
Hora de estudo
Organize as ideias 
Neste capítulo, aprendemos algumas ideias novas sobre a potenciação e a radiciação. Vimos também como 
escrever um número em notação científica. 
Invente uma potenciação e uma radiciaçãoe preencha os quadrinhos. Além disso, complete as lacunas.
Expoente
Base
Índice
Radicando
Complete as lacunas.
• Com exceção do zero, qualquer outro número elevado a 0 é igual a 1 .
• Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número/a ele mesmo .
• Quando o expoente de uma potência é um número inteiro negativo, o 
resultado é o inverso da potência com o correspondente expoente 
positivo. Invente um exemplo e preencha o esquema ao lado.
• Na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
• Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
• Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
• Quando multiplicamos potências de mesmo expoente, multiplicamos as bases e conservamos o 
expoente.
• Quando dividimos potências de mesmo expoente, dividimos as bases e conservamos o expoente.
1. A malha pontilhada ao lado é formada por 
25 pontos.
Observe as nove expressões a seguir. Resolva cada 
uma delas, marque os pontos na malha de acordo 
com os resultados obtidos e os ligue na ordem em 
que elas aparecem, começando com A e terminando 
em I. A primeira já está resolvida e é igual a 15. Por isso, 
a figura começa no ponto 15, indicado em vermelho.
Gabaritos.6
20
1
1 cm
1 cm
1 2 3 4 5
6
11
16
22 23 24
21
10
15
20
25
A: 42 – 70 = 16 – 1 = 15
B: 3 22 4+ −( )
C: 5 22 2
D: ( )7 3 2
E: ( ) :2 6 46 2
F: (35 – 152) : (20 + 21)
G: 13 5 4 92 2⋅ − ⋅
H: 5 1 9 13 4⋅ − + ⋅ −( ) ( )
I: 3 5 82 1 0
Qual é a área da figura obtida?
a) 16 cm2
b) 15 cm2
X c) 14 cm2
d) 13 cm2
e) 12 cm2
2. (ENEM) No depósito de uma biblioteca há cai-
xas contendo folhas de papel de 0,1 mm de es-
pessura, e em cada uma delas estão anotados 
10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram 
empilhadas formando uma torre vertical de 1 m 
de altura.
Qual a representação, em potência de 10, cor-
respondente à quantidade de títulos de livros 
registrados nesse empilhamento?
a) 102
b) 104
X c) 105
d) 106
e) 107
 3. Você já sabe que, em uma potência de base 10, 
em que o expoente é um número inteiro positi-
vo, a quantidade de zeros do resultado é igual ao 
expoente da potência. Veja alguns exemplos.
10 100
10 10000
10 10 000 000
2
4
7
2
4
7
zeros
zeros
zeros
��
� ���
� �������
Quando o expoente é um número inteiro nega-
tivo, também existem relações entre o expoente 
e o resultado.
a) Complete a tabela a seguir.
Potência Fração Forma decimal
10–1 1
10
0,1
10–2
1
100
0,01
Potência Fração Forma decimal
10–3
1
1000 0,001
10 4
1
10 000
0,0001
b) Nas potências do item a, qual é a relação entre 
o número de casas decimais e o expoente? 
c) Nas potências do item a, qual é a relação en-
tre o número de zeros do resultado na forma 
decimal e o expoente?
d) É comum ouvirmos nomes como milhão, bi-
lhão, trilhão. Esses termos estão associados a 
potências de base 10. Complete a tabela.
Cem 100 = 102
Um mil 1 000 = 103
Dez mil 10 000 = 104
Cem mil 100 000 = 105
Um milhão 1 000 000 = 106
Um bilhão 1 000 000 000 = 109
Um trilhão 1 000 000 000 000 = 1012
Um décimo 0,1 = 10–1
Um centésimo 0,01 = 10–2
Um milésimo 0,001 = 10–3
Um décimo de 
milésimo
0,0001 = 10–4
Um centésimo 
de milésimo
0,00001 = 10–5
Um 
milionésimo
0,000001 = 10–6
Um 
bilionésimo
0,000000001 = 10–9
O número de casas decimais é o oposto do expoente, 
ou seja, é o expoente com o sinal trocado.
O número de zeros do resultado na forma decimal é o 
oposto do expoente.
21
Técnicos concluem mapeamento do 
aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no sub-
terrâneo dos territórios da Argentina, Bra-
sil, Paraguai e Uruguai, com extensão total 
de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos 
quais 840.000 quilômetros quadrados es-
tão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 
30 mil quilômetros cúbicos de água e é 
considerado um dos maiores do mundo. 
Na maioria das vezes em que são feitas 
referências à água, são usadas as unidades 
metro cúbico e litro, e não as unidades já 
descritas. A Companhia de Saneamento 
Básico do Estado de São Paulo (SABESP) 
divulgou, por exemplo, um novo reserva-
tório cuja capacidade de armazenagem é de 
20 milhões de litros.
4. Assinale a alternativa que apresenta o maior dos 
cinco números.
a) ( )35 2
b) 35
2
X c) 32
5
d) 
3
3
52
25
e) 3 35 2
 5. (OBM) Dividindo-se o número 4 4
2( ) por 4 4 
obtemos o número:
a) 2
b) 43
c) 44
d) 48
X e) 412
4
4
4
4
4 4
4
4
16
4
16 4 12
2( )
= = =−
 6. (OBMEP) Qual é a soma dos algarismos do nú-
mero que se obtém ao calcular 2 5100 103 ?
a) 7 X b) 8 c) 10 d) 12 e) 13
Dica: Escreva 5103 como 5100 · 53.
7. (ENEM) 
a) 1 5 10 2, vezes a capacidade do reservatório 
novo.
b) 1 5 103, vezes a capacidade do reservatório 
novo.
c) 1 5 10 6, vezes a capacidade do reservatório 
novo.
d) 1 5 10 8, vezes a capacidade do reservatório 
novo.
X e) 1 5 10 9, vezes a capacidade do reservatório 
novo.
Dica: 1 km é igual a 1 000 m, então 
1 quilômetro cúbico é igual a 1 bilhão de 
metros cúbicos.
8. Um dia é igual a 24 horas, uma hora é igual a 60 mi- 
nutos e 1 minuto é igual a 60 segundos, certo? 
a) Calcule quantos segundos correspondem a 
um ano de 365 dias.
b) Escreva o resultado obtido no item anterior 
em notação científica.
c) Reescreva o número do item b aproximando 
para duas casas decimais a parte que multi-
plica a potência de 10.
 9. Assinale a alternativa que mais se aproxima de 
53.
a) 7,1
b) 7,2
X c) 7,3
d) 7,4
e) 7,5
10. O valor da expressão 
10 89 2 25
84 64 46 24
, ,
, ,
+
−
 é: 
X a) 2
b) 2,5
c) 3
d) 3,5
e) 4
11. A terça parte de 312 é 
3
3
3 3
12
12 1 11= =− . Qual é 
a metade de 2
3
2 ?
a) 1
3
2
b) 2
3
4
c) 2
X d) 2
e) 0,75
Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 
2009. (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Gua-
rani e desse novo reservatório da SABESP, a ca-
pacidade do aquífero Guarani é
22
2
1. Você sabe o que é uma mesquita?
2. Aponte uma ocorrência de simetria que aparece na foto. 
Transformações 
geométricas
©
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s/
M
oh
am
m
ad
Re
za
 D
om
iri
 G
an
ji
A grande variedade de motivos e formas ornamentais presentes na mesquita 
de Nasir al-Mulk surpreende visitantes do mundo inteiro. A simetria na construção, 
a riqueza de detalhes nos mosaicos e a iluminação proporcionada pelos vitrais são 
algumas das características que chamam a atenção nesse local.
• Mesquita de Nasir al-Mulk, em Shiraz, no Irã
1. Pessoal. Templo dos muçulmanos.
2. Respostas possíveis: Reflexão; rotação; translação.
Leia comentário nas orientações didáticas.1
23
Neste capítulo, relembraremos e aprofundaremos o estudo dos tipos de transformações geométricas no 
plano denominadas isometrias, mais conhecidas como simetrias. Elas modificam a posição de uma figura, mas 
mantêm sua forma e suas medidas. 
Na figura ao lado, por exemplo, considere o passarinho 1 como a 
figura original para completar as frases a seguir.
• O passarinho que representa uma reflexão do original é o de 
número 2 . 
• O passarinho 3 é uma translação do original. 
• O passarinho 4 é uma rotação do original.
Reflexão
A reflexão é uma transformação isométrica e recebe 
esse nome por produzir um resultado semelhante ao ob-
tido quando refletimos um objeto em um espelho plano. A 
posição da figura se modifica, mas a forma e o tamanho são 
mantidos. 
Na imagem, temos um hexágono refletido em um espe-
lho plano. O hexágono e sua imagem são iguais em forma e 
tamanho, mas em posições diferentes. Nesse caso, o espe-
lho funciona como um eixo de simetria da foto. O hexágo-
no refletido é também chamado de simétrico do original.
• Veja essa situação representada no plano cartesiano. O eixo vertical representa o espelho, ou seja, é o eixo de 
simetria. Vamos ver o que acontece com as coordenadas dos vértices do hexágono ao ser refletido?
©
P. 
Im
ag
en
s/Pi
th
Original Refletido ou simétrico
A (0, 2) A (0, 2)
B (0, 4) B (0, 4)
C (1,5; 5) C' (–1,5; 5)
D (3, 4) D' (–3, 4)
E (3, 2) E' (–3, 2)
F (1,5; 1) F' (–1,5; 1)
Considere o hexágono da direita como o original e preencha a tabela com as coordenadas dos vértices dos 
dois hexágonos. Depois, explique a mudança que ocorre nas coordenadas dos vértices do hexágono refletido 
em relação ao original.
Objetivos
Após o estudo deste capítulo, espera-se que você reconheça e construa diferentes transforma-
ções geométricas com base nas propriedades das figuras envolvidas.
Espera-se que a resposta dos alunos faça referência à permanência das ordenadas e ao fato de as abscissas 
serem opostas nos dois hexágonos − com exceção dos vértices A e B, que são comuns. Peça que expliquem a 
coincidência desses vértices, que ocorre pelo fato de eles estarem sobre o eixo de simetria (eixo y). 
0 1 2 3 4–4 –1–3 –2
1
2
3
4
y
x
5
C
D
E
F
A
B
F’
E’
D’
C’
6
1 2
4 3
Ilu
st
ra
çõ
es
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ac
k 
Ar
t. 
20
17
. D
ig
ita
l.
8o. ano – Volume 124
Repare que a distância de um vértice do hexágono original 
ao eixo de simetria é igual à distância desse eixo ao vértice corres-
pondente no hexágono simétrico. 
Por exemplo, a distância do eixo ao vértice F é 1,5, assim como 
a do vértice F’ ao eixo também é 1,5. Essas distâncias estão indica-
das pelos segmentos em linha vermelha.
As distâncias de um ponto a uma reta dada são sempre medidas sobre 
uma reta perpendicular à reta dada. Desse modo, garantimos que a distân-
cia seja a medida do menor segmento que vai do ponto à reta. 
• Agora, observe a figura formada por um pentágono e seu reflexo. 
a) Anote na tabela as coordenadas dos vértices do pentágono original e do simétrico. Depois, escreva 
um texto sobre o posicionamento do eixo de simetria e quais mudanças ocorreram nas coordenadas.
O eixo de simetria está posicionado sobre o eixo x. As abscissas de todos os vértices do pentágono original são mantidas como 
abscissas dos vértices do pentágono simétrico, e as ordenadas de um são opostas às do outro.
b) Confira as distâncias entre o eixo de simetria e os vértices dos dois pentágonos e converse com o 
professor e os colegas sobre o que observou.
• No próximo exemplo, o eixo de simetria não coincide com qualquer dos eixos cartesianos, mas, sim, com 
uma reta que forma um ângulo de 45° com ambos, ou seja, divide ao meio o 1º. e o 3º. quadrantes. 
Uma reta que divide um ângulo em duas partes iguais é chama-
da de bissetriz do ângulo. Assim, dizemos que essa reta é a bissetriz 
dos quadrantes ímpares do plano cartesiano. 
Preencha a tabela com as coordenadas dos vértices do triângulo 
original e as do simétrico.
Original Simétrico
A (–1, 1) A’ (1, –1)
B (–1, 3) B’ (3, –1)
C (–4, 1) C’ (1, –4)
0 1 2 3 4–4 –1–3 –2
1
2
3
4
y
x
5
C
D
E
F
A
B
F’
E’
D’
C’
6
0 1 2 3 4
–4
–3
–1
1
2
3
4
y
x5 6
–2
B C
D
E
A
A’ 
B’ C’
E’
D’
Original Simétrico
A (2, 3) A’ (2, –3)
B (4, 4) B’ (4, –4)
C (6, 4) C’ (6, –4)
D (5, 3) D’ (5, –3)
E (6, 2) E’ (6, –2)
0
1 2 3
–4
–1
–3
–1
1
2
3
y
x
–2
–2–3–4 4
4
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B
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l.
 Matemática 25
O par ordenado de cada vértice original ficou em ordem invertida no vértice correspondente do simétrico. 
Para justificar essa mudança, note que cada ponto do eixo x está à mesma distância do eixo de simetria que um 
ponto do eixo y com as coordenadas trocadas entre si. Por exemplo, o ponto (3, 0) está à mesma distância do 
eixo de simetria que o ponto (0, 3).
Atividades
Gabaritos.2
 1. Em cada item, desenhe a figura simétrica em relação ao eixo de simetria indicado em vermelho.
b) 
c) 
d) y
x
a) 
 2. Forme uma faixa decorativa refletindo sempre a figura formada segundo um eixo de simetria vertical. 
Cada eixo deve estar um quadradinho à direita da figura anterior. 
 3. Na malha a seguir, forme uma faixa decorativa refletindo uma figura original à sua escolha. É preciso que 
ela seja simétrica sempre em relação aos eixos verticais.
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Ar
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17
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ita
l.
8o. ano – Volume 126
 4. No plano cartesiano ao lado, há três eixos de simetria indicados 
em verde e uma figura original.
a) Desenhe as figuras simétricas à original segundo cada um 
dos eixos de simetria.
b) Elabore uma tabela e registre os pares ordenados dos vérti-
ces da figura original e de uma das figuras simétricas à sua 
escolha. 
• Observe-os com atenção e descubra quais modificações 
aconteceram nas coordenadas dos vértices. Em seguida, 
elabore um pequeno texto explicando isso. 
 5. No plano cartesiano ao lado, marque os seguintes pontos: 
A (2, 6), B (3, 5), C (3, 2), D (1, 1), E (1, 2) e F (0, 4). Una-os com 
segmentos de reta nessa ordem.
a) Descreva o polígono que você obteve.
b) Agora, marque estes pontos na malha e una-os com 
segmentos de reta nesta ordem: G (–6, –2), H (–5, –3), 
I (–2, –3), J (–1, –1), K (–2, –1), L (–4, 0). 
• Notou que esse novo polígono é simétrico ao original? 
Então, responda à pergunta: onde deve estar posicio-
nado o eixo de simetria para produzir esse polígono 
simétrico? Trace o eixo e justifique sua resposta.
O eixo de simetria coincide com a bissetriz dos quadrantes pares (2º. e 4º. quadrantes) do plano cartesiano. A justificativa 
pode fazer referência ao fato de a distância dos vértices correspondentes ser a mesma em relação a essa reta.
Espera-se que a descrição enfoque características como “é um hexágo-
no não convexo”. Podem ser incluídas outras informações, por exemplo, 
“tem um vértice sobre o eixo y”, “não toca no eixo x”, entre outras.
40 1 2 3
–4
–1
–3
–1
1
2
3
4
y
–2
–2–3
5
–5
–4 5 x
Matemática em detalhes
Vamos mostrar como podemos localizar o eixo de simetria caso as figuras não estejam posicionadas sobre 
um plano cartesiano ou uma malha quadriculada. Reúna-se com um colega para acompanhar as próximas 
orientações e trocar ideias a respeito desse assunto. Você vai precisar de um lápis bem apontado, uma régua, 
um compasso, um esquadro e duas das casinhas que estão no material de apoio. 
Primeiro, colamos uma casinha de cada cor no meio de uma folha em branco, afastadas entre si e alinhadas 
na horizontal. 
Marcamos o ponto A no ponto mais alto da casinha original 
e o ponto A’, correspondente ao ponto A, na casinha simétrica. 
Aqui, consideramos a casinha verde como a original. Depois, 
traçamos um segmento de reta unindo esses dois pontos, con-
forme o exemplo dado.
0 1 2 3
–4
–1
–3
–1
1
2
3
4
y
–2
–2–3
5
–4 x–5–6
6
L
K
J
IH
G
E
D
C
B
A
F
Comente com os alunos a respeito da sobreposição da figura 
original a uma das figuras simétricas. Verifique nas orienta-
ções didáticas mais comentários de encaminhamento e gabarito.
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 Matemática 27
Sabendo que as distâncias do eixo de simetria até cada um desses pontos devem ser iguais, precisamos 
encontrar o ponto que fica exatamente na metade desse segmento. Esse ponto é denominado ponto médio. 
Sim, é possível medir o segmento com a régua, dividir a medida por 2 e marcar o ponto médio. Contudo, o 
primeiro procedimento que vamos mostrar aqui pode ser usado mesmo que não disponhamos de uma régua 
graduada e que a situação não seja tão planejada como esta, em que os assoalhos das duas casinhas estão 
alinhados na horizontal. Acompanhe a explicação.
Posicionamos a ponta-seca do compasso sobre uma das extremida-
des do segmento AA’. Usamos a abertura do compasso igual ao com-
primento do segmento. Na verdade, a abertura pode ser menor do que 
o comprimento do segmento, mas precisa ser maior do que a metade 
dele. Traçamos dois arcos, um acima e outro abaixo do segmento.
Com a mesma abertura, repetimos o procedimento com a ponta-seca na 
outra extremidade do segmento, de modo que os arcos se cruzem com os tra-
çados anteriormente. Indicamos os pontos em que os arcosse cruzam como 
M e N.
Com auxílio da régua, traçamos uma reta que passa por M e N e é 
perpendicular ao segmento AA’. Essa reta passa por P, ponto médio do 
segmento AA’, e coincide com o eixo de simetria.
Agora, suponha que na folha haja espaço somente para fazer 
os arcos acima do segmento.
Nesse caso, marcamos com os arcos apenas um dos pon-
tos e traçamos a reta perpendicular ao segmento AA’ passando 
por esse ponto. Para isso, posicionamos a régua alinhada com o 
segmento AA’ e apoiamos nela o esquadro conforme mostra a 
figura. Traçamos o segmento que vai do ponto M até P, o ponto 
médio de AA’. 
Prolongando o segmento MP, obtemos o eixo de simetria.
Obviamente, esse procedimento vale também para arcos traçados 
abaixo do segmento AA’.
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8o. ano – Volume 128
Atividades
 1. Trace as figuras simétricas em cada item considerando o eixo de simetria indicado em vermelho.
a) c) 
b) d) 
e) 
f) 
 2. Use o procedimento que preferir para traçar o eixo de simetria de cada uma das imagens.
a) b) 
Sugestão de atividade: questão 1 da seção Hora de estudo.
Os alunos podem traçar dois seg-
mentos entre pontos correspon-
dentes, medi-los, marcar os pontos 
Rotação
Você já deve ter visto os vitrais usados como peças decorativas em edifícios e monumentos. Eles proporcionam 
belos efeitos visuais com a passagem da luz por suas composições. Observe o vitral abaixo, produzido com base 
em uma rosácea.
As rosáceas são elaboradas por meio de simetrias, como a reflexão e a rotação. Neste momento, vamos nos 
ater ao estudo da rotação.
a) Quantas pétalas tem a rosácea do vitral apresentado? Essas 
pétalas são todas iguais?
São 8 pétalas, todas iguais em tamanho e forma, apenas a posição se modifica.
b) Sobre a rosácea, traçamos segmentos de reta que separam as 
pétalas entre si. Quanto mede cada um dos ângulos formados 
entre esses segmentos?
Cada ângulo mede 360° : 8 = 45°. 
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médios medindo-os com 
a régua e traçar a reta que 
passa por eles ou usar um 
dos dois procedimentos 
apresentados na seção Ma-
temática em detalhes. 
 Matemática 29
Esse tipo de simetria é uma transformação geométrica caracterizada por modificar a posição de uma figura 
(original) ao girá-la em torno de um ponto central, mantendo seu tamanho e sua forma. Assim, esse vitral é uma 
composição formada por simetria de rotação.
No caso da rosácea, qualquer uma das pétalas pode ser a figura original, e o ângulo de rotação mede 45°. O 
ponto fixo em torno do qual fazemos girar a figura é chamado de centro de rotação. Nesse caso, é o centro da 
rosácea, onde se cruzam os segmentos traçados. Para formá-la, usamos rotações sucessivas segundo ângulos de 
mesma medida e sempre consideramos que a rotação será no sentido horário, a menos que seja dito o contrário.
Veja este esquema de uma rosácea de oito pétalas. Na figura da direita, é possível notar que há dois 
octógonos regulares, e todos os vértices dos octógonos estão perfeitamente ajustados sobre as intersecções 
dos arcos da rosácea. 
Em torno do octógono regular, podemos ajus-
tar uma circunferência passando por todos os seus 
vértices.
00
Esse octógono está inscrito na circunferência e 
seu centro coincide com o centro da circunfe-
rência.
Podemos, ainda, traçar ângulos com vértices no 
centro no ponto O e extremidades nos vértices do 
polígono. 
Cada um desses ângulos é chamado de ângulo 
central.
Essa situação é possível para outros polígonos e para todos os polígonos regulares. Trace os ângulos centrais 
em cada um dos polígonos a seguir.
Triângulo equilátero Quadrado Trapézio Hexágono regular Triângulo escaleno
a) Que relação existe entre cada ângulo central de um octógono regular e o ângulo de giro que formou 
a rosácea de 8 pétalas? 
Ambos medem 45°.
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8o. ano – Volume 130
b) Quanto medem os ângulos centrais dos polígonos regulares? Triângulo equilátero: 120°; 
quadrado: 90°; hexágono regular: 60°. 
c) Se você quisesse desenhar uma rosácea com 5 pétalas iguais em tamanho e forma, qual polígono 
poderia ajustar-se perfeitamente a essa composição? Um pentágono regular. 
Observe a composição ao lado e descubra o ângulo de rotação usado 
para formá-la.
a) Trace um dos ângulos de rotação e anote sua medida. Para isso, 
marque um ponto de uma das figuras e o ponto correspondente 
na figura seguinte. Trace um segmento unindo cada um desses 
pontos ao centro de rotação O. Em seguida, meça o ângulo for-
mado usando o transferidor. 
b) O que ocorreria se o ângulo de rotação fosse menor do que o 
utilizado nessa composição? E se fosse maior? 
Agora, observe a mesma figura desenhada em um plano cartesiano.
a) Oriente os alunos a marcar um dos vértices da figura. Isso facilita a localização 
do ponto correspondente na outra figura. O ângulo de rotação é de 90°.
Gabaritos.3
c) Nomeie os vértices do quadrado e o centro do círculo 
maior e preencha a tabela para anotar suas coordenadas.
Ponto Coordenadas
A (–4, 2)
B (–2, 4)
C (0, 2)
D (–2, 0)
Centro (–2, 2)
d) Desenhe a figura após uma rotação de 90° e anote no gráfico suas coordenadas. 
e) Se a rotação de 90° ocorrer no sentido anti-horário, quais serão as coordenadas dos vértices da figura?
As coordenadas dos vértices, em ordem correspondente à da tabela, serão (–2, –4), (–4, –2), (–2, 0) e (0, –2). As coordenadas 
do centro do círculo serão (–2, –2).
f) Se quisermos a figura desenhada inteiramente no 4º. quadrante, de quantos graus deverá ser a rotação 
em relação à figura original? Quais serão as coordenadas dos vértices?
A rotação deverá ser de 180° em relação à figura original. As coordenadas serão, na ordem correspondente à da tabela, (4, –2), 
(2, –4), (0, –2) e (2, 0). As coordenadas do centro do círculo serão (2, –2).
g) Note que (–3, 1) é um ponto que está em um dos lados do quadrado da figura original. Considerando 
as figuras do 1º., do 3º. e do 4º. quadrantes obtidas pela rotação da original, quais são as coordenadas 
correspondentes ao ponto (–3, 1) nessas figuras?
Figura Original Do 1º. quadrante Do 3º. quadrante Do 4º. quadrante
Coordenadas (–3, 1) (1, 3) (–1, –3) (3, –1)
As coordenadas dos vértices, em ordem correspondente à da tabela, são (2, 4), (4, 2), (2, 0) e (0, 2). As coordenadas do centro do círculo são (2, 2).
90°
O
0 1 2 3 4
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–1
–3
–1
1
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3
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x–3–4
A
B
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D
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 Matemática 31
h) Pense agora em um ponto qualquer da figura original, cujas coordenadas são (a, b). Quais são os cor-
respondentes vértices nas figuras do 1º., do 3º. e do 4º. quadrantes obtidas pela rotação da original?
Figura Original Do 1º. quadrante Do 3º. quadrante Do 4º. quadrante
Coordenadas (a, b) (b, –a) (–b, a) (–a, –b)
Para fazer a rotação de uma figura, é necessário conhecer o ângulo de rotação e o ponto em torno do qual a figura vai 
girar. Precisamos levar em conta que a rotação é uma transformação isométrica, ou seja, após a transformação, os com-
primentos e as medidas dos ângulos ficam mantidos. Desse modo, as distâncias de todos os pontos da figura original até o 
centro de rotação devem ser as mesmas dos pontos correspondentes na figura girada. 
Podemos destacar duas situações. 
1. O centro de rotação é um ponto que pertence à figura. 
Observe os exemplos.
a) O centro de rotação é o ponto C e o ângulo do giro é de 90°. 
Note que o centro de rotação coincide com um dos vértices da 
figura original.
Partindo do lado BC, traçamos um ângulo de 90° com vértice no cen-
tro de rotação e, com auxílio da régua, marcamos o ponto B’ de modo 
que a medida do lado B’C seja igual à do lado BC. Procedemos do mesmo 
modo para traçar o lado A’C. Em seguida, basta ligar A’ com B’ para obter 
a figura girada. 
b) O ângulo de rotação é de 180° e o centro de rotação é o ponto N. Note que aqui o centro de rotação 
estáno interior da figura. A figura original é a cor-de-rosa.
Partindo do segmento que une o ponto J ao ponto 
N, traçamos um ângulo de 180° com vértice no centro 
de rotação e, com auxílio da régua, marcamos o ponto 
J’ de modo que a medida do segmento J’N seja igual 
à do segmento NJ. Procedemos do mesmo modo para 
marcar todos os outros vértices da figura girada. Li-
gando esses pontos com auxílio da régua, obtemos a 
figura verde. 
2. O centro de rotação é um ponto fora da figura. O ângulo de rotação é de 60° e o centro é o ponto O.
Orientações de encaminhamento.4
• Trace um segmento ligando um 
ponto qualquer da figura ao centro 
de rotação. Aqui escolhemos um 
vértice, pois isso facilita o traça-
do da figura final. Com auxílio do 
transferidor, marque o ângulo de 
rotação com vértice em O e trace 
o outro lado do ângulo. 
A
B
C
B’ A’
90°
90°
J
N
J’
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m 60°
O
A
B C
D
EF
8o. ano – Volume 132
• Com a ponta-seca do compasso em O e abertura 
igual a OA, trace um arco que intersecte o outro 
lado do ângulo e marque o ponto A’. Esse ponto é 
o vértice correspondente ao vértice A na figura 
simétrica.
A
B C
D
EF
60°
O
A’
• Utilize o mesmo procedimento para marcar os 
outros vértices e, unindo-os com segmentos de 
reta, trace a figura simétrica.
A
B C
D
EF
A’
F’
E’
D’
C’
B’
Localização do centro de rotação
Há situações em que o centro de rotação de uma figura não está indi-
cado. Nesse caso, como é possível localizá-lo?
Você já viu como localizar o ponto médio de um segmento, lembra?
Essa reta que passa perpendicularmente pelo ponto médio de um 
segmento é chamada de mediatriz do segmento. Cada um de seus 
pontos está a distâncias iguais das extremidades do segmento. De modo 
formal, dizemos:
Mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do plano que 
equidistam de dois pontos dados. 
Para localizar o centro de rotação de uma figura, 
será necessário traçar a mediatriz. 
• Assim, no exemplo a seguir, considera-se o losango 
original ABCF e seu simétrico A’B’C’F’.
Escolha dois pontos do losango original e trace 
segmentos ligando-os aos seus correspondentes na 
figura simétrica. Nesse exemplo, traçamos os segmen-
tos CC’ e FF’. 
Então, traçamos as mediatrizes desses segmentos. 
O ponto de intersecção das mediatrizes é o centro de 
rotação.
A A’
Reta mediatriz
M
N
A
FB
C
F’
A’
B’
C’
G
Centro de
rotação
Mediatriz de FF’ 
Mediatriz de CC’ 
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 Matemática 33
Atividades
 1. Qual é o ângulo central de um pentágono regular inscrito em uma circunferência?
O centro do pentágono regular e o da circunferência são o mesmo. Podemos traçar ângulos com vértices no centro e extremi-
dades nos vértices do pentágono regular. Assim, formaremos 5 ângulos, cada qual chamado de ângulo central, cuja medida é 
igual a 360° : 5 = 72°.
 2. O polígono ao lado é um hexágono regular. Considere o ponto O como centro de rotação 
desse hexágono. Girando o hexágono em 120° no sentido horário, qual das alternativas 
representa o hexágono obtido?
a) 
O
b) 
O
X c) 
O
 3. Com o auxílio da régua, do compasso e do transferidor, trace o polígono obtido após uma rotação de 90° 
em torno do centro O de cada figura no sentido anti-horário.
a) 
I
M L
K
J
O
J’
K’
L’
M’I’
b) 
G O
F’ G’
90°
F
c) 
B C
A D
O
A’ B’
D’ C’
90°
 4. Com o auxílio de régua e compasso, localize o centro de rotação em cada item.
a) Centro de rotação: F
A
B
CD
E
A’ 
B’ 
D’ 
C’ 
E’
Mediatriz de DD’—
F 
Mediatriz de AA’—
b) Centro de rotação: M
G
Mediatriz de GG’
—
Mediatriz de HH’
—
J
I
I’
J’
G’
H
H’
M
O
Há comentário de encaminha-
mento nas orientações didáticas.
Comentário de encaminhamento. 5
Auxilie os alunos na construção das mediatrizes. Nas resoluções, são apresentadas as sugestões 
de segmentos e a construção das respectivas mediatrizes. Os alunos podem considerar outros 
segmentos, sempre ligando um ponto da figura original ao correspondente na figura simétrica.
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8o. ano – Volume 134
 5. Observe o triângulo original ABC e seu simétrico A’B’C’ na figura 
ao lado.
a) Localize o centro de rotação O dessa transformação.
b) Qual é a medida do ângulo de rotação?
O ângulo de rotação mede 90°.
 6. A figura ao lado é composta de semicírculos idênticos e triângulos 
retângulos também idênticos. Sabendo que o ponto O é o centro 
de rotação, responda às questões.
a) Qual é a medida do ângulo de rotação usado para formar essa 
composição de semicírculos?
O ângulo de 90°.
b) E para a composição de triângulos? 
O ângulo de 180°.
 7. Observe este mandala:
a) Trace os eixos de simetria da figura.
b) Quantos eixos de simetria ela apresenta?
6 eixos de simetria.
c) Essa figura pode ser composta de rotações sucessivas. Identifique o padrão que se repete na figura 
quando essas rotações são aplicadas. 
d) Qual é a medida desse ângulo de rotação? 
A figura original apresenta 6 dessas partes, assim, a medida do ângulo de rotação 
é 360° : 6 = 60°.
Mandala, em sânscrito, significa “círculo”. 
Por extensão, denomina-se mandala as 
composições decorativas de formato cir-
cular elaboradas com base em rotações. 
Sugestão de atividades: questões de 2 a 5 da seção Hora de estudo.
Mediatriz de AA’
—
Mediatriz de CC’
—
O
B’
C’
A
B C
A’
P Q
P’
O
180°
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ph
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o.
co
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 K
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sh
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sk
ai
a 
c) Os alunos podem 
identificar e indicar na 
figura um dos padrões 
ao lado: 
Mostre à turma que a fi-
gura original é composta 
de seis repetições de um 
desses padrões.
 Matemática 35
Translação
Você provavelmente já observou frisos geométricos utilizados em peças decorativas. Observe estes exem-
plos de frisos: 
• Em cada um dos frisos, há um padrão que se repete.
a) Crie um padrão e represente-o na malha quadriculada. A figura que você fizer será considerada a 
figura original. Reproduza o padrão pelo menos duas vezes formando um friso.
b) O que acontece com a figura original para compor o friso?
Pessoal. Possíveis respostas: Deslizamento horizontal, repetição das figuras lado a lado. 
Esse movimento feito pela figura original na compo-
sição dos frisos é chamado de translação. Do mesmo 
modo que a rotação e a reflexão, a translação é uma 
transformação isométrica, ou seja, modifica a posição da 
figura mantendo sua forma e seu tamanho.
Na translação, a figura original pode ser movida ao 
longo de uma reta. Essa reta dá a direção do movimen-
to, a qual fica determinada pelo ângulo que a reta faz 
com o eixo x. É necessário também definir o sentido da 
translação e a amplitude, ou seja, quantas unidades de 
comprimento a figura avançará.
Veja o exemplo ao lado. Na figura original, produzi-
mos uma translação de 3 unidades segundo a direção da 
reta r, no sentido de A para B. Como fizemos translações 
sucessivas, cada figura formada sofreu essa mesma trans-
formação, produzindo a próxima figura.
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to
ck
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ba
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v
A
B
45°
r
x
Figura original
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8o. ano – Volume 136
Agora, você vai fazer a translação de 4 unidades de 
comprimento (amplitude) da figura ao lado ao longo de 
uma reta paralela ao eixo x (direção), da esquerda para a 
direita (sentido).
Atividades
 1. Faça a translação das figuras a seguir segundo a direção, o sentido e a distância indicados pela seta.
a) b) c) 
 2. Em cada item, a figura B representa a translação da figura original A. Utilizando uma seta, represente a 
direção, o sentido e a amplitude da translação aplicada em cada item. 
a) 
A
B
b) 
A
B
c) 
A
B
d) 
A B
 3. O vértice E do hexágono é transladado para o ponto E’, conforme mostra a figura. 
Essa informação é suficiente para traçar a imagem do hexágono da figura por 
translação?Justifique sua resposta. 
 
Há comentários nas orientações didáticas.
Há comentário nas orientações didáticas. 
Comentários e gabaritos.6
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 Matemática 37
4. Considere a figura original e pinte, ao lado, a figura que representa sua translação.
Figura original
1 2
3
Agora, responda às questões.
a) Qual figura indica uma transformação de rotação da figura original? Figura 3. 
b) Qual representa uma transformação por reflexão da figura original? Figura 1. 
 5. Aplicando-se uma transformação isométrica no losango A, obtemos o 
losango B.
• Quais transformações podem ter sido aplicadas?
A reflexão em torno do eixo vertical, a rotação de 180° ou a translação.
 6. A figura a seguir mostra um exemplo de frisos geométricos.
• Quais transformações isométricas podem 
ser observadas nessa composição?
Reflexão e translação.
Sugestão de atividade: questão 6 da seção Hora de estudo.
Transformações combinadas
No estudo da reflexão, você realizou repetidas reflexões de uma figura em malha quadriculada, obtendo um 
resultado semelhante a este:
Figura 1 Figura 2
Nas transformações combinadas, cada figura obtida passa a ser a original para a próxima transformação. 
Na faixa acima, foram usadas sucessivas reflexões. Repare que as figuras 1 e 2 aparecem alternadamente na 
sequência de figuras que se forma. 
Imaginando que o resultado pretendido fosse uma faixa com a primeira e a última figuras, podemos fazer 
essa composição com reflexão deslizante.
Figura 1 Figura 3
A B
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8o. ano – Volume 138
Uma reflexão deslizante é a combinação de uma reflexão e uma translação. Acompanhe a explicação.
• Primeiro fazemos a reflexão em torno do eixo vertical da figura 1 e obtemos a figura 2.
Figura 1 Figura 2
• Usando a figura 2 como original, fazemos uma translação horizontal de amplitude 24 unidades para obter 
a figura 3.
Figura 2 Figura 3
• Como resultado final da reflexão deslizante, obtemos a faixa com as figuras 1 e 3.
Figura 1 Figura 3
Observe outro exemplo de reflexão deslizante.
Figura 1 Figura 2 (translação de amplitude 1)
Direção da translação
Eixo de reflexão
Figura 3 (reflexão segundo eixo horizontal) Reflexão deslizante
• Além da figura utilizada, qual diferença podemos destacar entre os dois exemplos?
No exemplo da xícara, a translação foi feita antes da reflexão. Questione a turma se a ordem de execução das transformações faz 
diferença no resultado final.
Fique atento! Para ser reflexão deslizante, o eixo de reflexão e a direção da translação devem ser paralelos. 
Para fazer transformações combinadas, é fundamental ter especificado o padrão utilizado, ou seja, a figura 
que dá origem à composição final.
Reflexão deslizante é a transformação resultante da composição de uma reflexão com 
uma translação. O eixo de orientação da translação deve ser paralelo ao eixo de simetria.
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 Matemática 39
Atividades
 1. Os pontos A (–6, 5), B (–5, 2), C (–3, 4), D (–5, 7) e E (–5, 5) são vértices de um pentágono. 
a) Represente esse pentágono no plano cartesiano a seguir.
40 1 2 3
–4
–1
–3
–1
1
2
3
4
–2
–2–3
5
–5
–4 x–5–6
–6
–7
6
y
7
A
B
C
D
E
A’
E’
B’
C’
D’
Q
T
R
S
P
• Agora, represente, no mesmo plano cartesia-
no, o pentágono A’B’C’D’E’ simétrico ao origi-
nal segundo o eixo x. 
• Com base no pentágono simétrico A’B’C’D’E’, 
represente o pentágono PQRST obtido após 
a translação de 6 unidades para a direita, em 
que o eixo de orientação é paralelo ao eixo x.
b) Na tabela a seguir, registre os pares ordenados dos vértices dos pentágonos solicitados.
Pentágono A’B’C’D’E’ Pentágono PQRST
A’ (–6, –5) P (0, –5)
B’ (–5, –2) Q (1, –2)
C’ (–3, –4) R (3, –4)
D’ (–5, –7) S (1, –7)
E’ (–5, –5) T (1, –5)
c) Essa composição de transformações é um exemplo de reflexão deslizante? Explique sua resposta.
Sim, pois a transformação resultante é uma composição de uma reflexão segundo o eixo x, que é o eixo de simetria, com uma 
translação cujo eixo de orientação é paralelo ao eixo x.
 2. Assinale as alternativas em que não é aplicada a reflexão deslizante e informe as transformações geomé-
tricas utilizadas nesses casos.
a) X b) G X c) X d) 
Comentários de encaminhamento e gabarito. 7
Reflexão segundo 
eixo horizontal.
Reflexão segundo eixo hori-
zontal e reflexão segundo eixo 
Reflexão segundo eixo vertical e 
translação em que o eixo de orien-
tação é per-
pendicular 
ao da refle-
xão.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
7.
 D
ig
ita
l.
vertical ou 
rotação de 
180°.
8o. ano – Volume 140
 3. Observe a imagem do azulejo ao lado e identifique quais transforma-
ções geométricas podem ter sido aplicadas em sua composição. Utilize 
o material de apoio, cole as figuras no caderno e trace os eixos.
 4. Com base na figura A, foi aplicada uma transformação geométrica para obter a figura B. Depois, outra 
transformação geométrica foi aplicada para obter a figura C. Observe essa sequência de transformações 
indicadas nos passos 1 e 2 do esquema a seguir.
Com base nas imagens, assinale as afirmativas 
corretas.
a) O passo 1 indica a rotação de 180° no sen-
tido horário.
X b) O passo 1 indica a reflexão sobre o eixo 
vertical. 
X c) O passo 2 indica a translação. 
X d) A sequência de passos 1 e 2 representa 
uma reflexão deslizante.
e) A sequência de passos 1 e 2 representa re-
flexões sucessivas.
 5. No plano cartesiano, represente o triângulo que tem vértices nos pontos A (4, 3), B (2, 7) e C (0, 5). Depois, 
desenhe o triângulo DEF, obtido após transladar verticalmente 7 unidades o triângulo ABC, no sentido 
negativo do eixo y.
Há comentários e gabarito detalhado nas 
orientações didáticas.
• Com base no triângulo DEF, encontre os vérti-
ces do triângulo GHI, aplicando a reflexão em 
relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
• Registre, na tabela a seguir, as coordenadas dos 
vértices do triângulo GHI.
Vértice Coordenadas (x, y)
G (–4, 4)
H (0, 2)
I (–2, 0)
40 1 2 3
–4
–1
–3
–1
1
2
3
4
–2
–2–3
5
–5
–4–5
–6
–7
6
y
7
G
65 x
I
A
B
C
E
F
D
H
Eix
o d
e s
im
etr
ia
Translação
vertical de
7 unidades
7
Passo 1 
Passo 2 
Figura A
Figura C
Figura B
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 Matemática 41
R M J G Z R O S Á C E A R
O T B M L J L U A Q B S E
T S Q E P O B G F Y O H F
A V N D O X F O R M A G L
Ç H L I R Ã N S K H O M E
à T R A N S L A Ç Ã O S X
O J C T B P M F W P N I Ã
U J A R A P A D R Ã O H O
G B V I L Ç O X F X Q H L
S Y Á Z O X R T G U J K E
Hora de estudo
42
Organize as ideias 
Neste capítulo, aprofundamos o estudo de transformações geométricas no plano e abordamos as transfor-
mações combinadas. Com base no estudo realizado, complete as lacunas tornando cada frase verdadeira e, em 
seguida, procure os termos no caça-palavras.
1. A rotação é uma transfor-
mação geométrica associada a um ponto 
fixo e uma amplitude de ângulo.
2. Em uma isometria, a forma é 
uma das características da figura que se 
mantêm inalteradas.
3. Denomina-se padrão a figura 
que se repete preenchendo totalmente o 
plano.
4. A reflexão é uma transfor-
mação associada