EstudoCongruenciaDivisibilidade-Dantas-2016

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE / SEDIS 
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O 
ENSINO MÉDIO 
 
 
 
Alexsandro Cavalcanti Dantas 
 
 
 
O ESTUDO DE RESTOS, CONGRUÊNCIA E DIVISIBILIDADE: UMA 
ABORDAGEM TEÓRICA APLICADA AO ENSINO MÉDIO NO BRASIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Currais Novos, 2016 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE / SEDIS 
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O 
ENSINO MÉDIO 
 
 
ALEXSANDRO CAVALCANTI DANTAS 
 
O ESTUDO DE RESTOS, CONGRUÊNCIA E DIVISIBILIDADE: UMA 
ABORDAGEM TEÓRICA APLICADA AO ENSINO MÉDIO NO BRASIL 
 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada ao Curso de Especialização 
em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte / 
SEDIS como parte dos requisitos para obtenção do 
Título de Especialista em Ensino de Matemática para 
o Ensino Médio. 
Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos 
Freire 
 
 
 
 
 
 
Currais Novos, 2016 
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A Matemática é a honra do espírito humano. (Leibniz) 
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Alexsandro Cavalcanti Dantas 
 
O ESTUDO DE RESTOS, CONGRUÊNCIA E DIVISIBILIDADE: UMA 
ABORDAGEM TEÓRICA APLICADA AO ENSINO MÉDIO NO BRASIL 
 
 
 
Monografia apresentada ao Curso de Especialização 
em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte / 
SEDIS como parte dos requisitos para obtenção do 
Título de Especialista em Ensino de Matemática para 
o Ensino Médio. 
 
 
Banca Examinadora 
 
_____________________________________________________ 
1º Membro Titular: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire 
 
_____________________________________________________ 
2º Membro Titular: Professora Julia Victoria Toledo Benavides 
 
_____________________________________________________ 
3º Membro Titular: Professor Odilon Júlio dos Santos 
 
 
 
Currais Novos (RN), ___ de ___________ de 2016 
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Dedico este trabalho primeiramente a Deus, 
aos meus pais Francisco José Dantas e 
Sonia de Sousa Cavalcanti Dantas 
Que me apoiaram, independente das circunstancias. 
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AGRADECIMENTOS 
A Deus, Sempre e por tudo me conceder sabedoria e força de vontade a mim e está sempre 
comigo nos momentos mais importantes e mais difíceis da minha vida. A meus pais 
Francisco e Sonia pelo incentivo, paciência e apoio que me foram dados durante o período 
do curso e de elaboração deste trabalho. Aos meus professores da Especialização pelos 
conhecimentos passados durante o curso, em especial a meu orientador professor 
Benedito Freire por toda orientação e contribuição que foi de grande importância para 
que este trabalho pudesse ser realizado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESUMO 
Esta monografia aborda a aritmética modular, trabalhando em cima dos conceitos de 
restos, congruência e divisibilidade, como uma ferramenta valiosa de ensino para todas 
as séries do ensino de matemática básica no Brasil. Apresenta um breve embasamento 
teórico, pautado nos conceitos e propriedades aritméticas dos restos, a teoria básica das 
congruências e conceitos aplicados a divisibilidade, demonstrando principalmente os seus 
principais critérios, sempre com o cuidado de não exceder quanto ao que é realmente 
necessário absorver nesta etapa de aprendizado. Justifica propor o ensino deste tópico aos 
estudantes de nível médio o que não é feito tradicionalmente nesta faixa de ensino, através 
de problemas desenvolvidos no cotidiano e das provas que são desenvolvidas através dos 
critérios de divisibilidade. 
Palavras chave: aritmética modular, restos, congruência, divisibilidade, critérios de 
divisibilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ABSTRACT 
This paper addresses the modular arithmetic, working on the concepts of debris, 
congruence and divisibility, as a valuable teaching tool for all basic math education series 
in Brazil. Presents a brief theoretical framework, based on the concepts and arithmetic 
properties of the remains, the basic theory of congruences and concepts applied to 
divisibility, mainly demonstrating its main criteria, always careful not to exceed as to 
what is really necessary to absorb this stage of learning. Appropriate to propose the 
teaching of this topic to high school students which is not traditionally done in this 
educational track through problems developed in daily life and the tests that are developed 
through the divisibility criteria. 
Keywords: modular arithmetic, remains, congruence, divisibility, divisibility criteria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 10 
2. INTRODUZINDO O ESTUDO DA ARITMÉTICA DOS RESTOS.........................11 
2.1 Algoritmo da divisão Euclidiana............................................................................11 
 2.1.1 Partes da Divisão..............................................................................................11 
 2.1.2 Quando usar a Divisão......................................................................................11 
2.2 Propriedade Aritmética dos Restos.........................................................................14 
3. CONGRUENCIA........................................................................................................16 
4.DIVISIBILIDADE.......................................................................................................18 
 4.1. Múltiplos e Divisores.............................................................................................18 
 4.2. Números primos....................................................................................................18 
 4.2.1. A explicação do Crivo de Erastótenes.............................................................19 
 4.3. Critérios de Divisibilidade......................................................................................20 
 4.4. Um método prático para o cálculo do MDC e do MMC.......................................29 
 4.4.1. Cálculo de MDC e de MMC............................................................................29 
 4.4.2. O outro método...............................................................................................30 
 4.4.3. Descrição do método......................................................................................30 
 4.4.4. Justificativa do método...................................................................................30 
 4.4.5. Uma disposição do método para o cálculo do MDC e do MMC.....................31 
5. A APLICAÇÃO DA ARITMÉTICA MODULAR NA RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS.................................................................................................................32 
6. CONCLUSÃO............................................................................................................38 
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................39 
 
 
 
 
10 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
A palavra aritmética, proveniente do grego arithmetiké, significa “ciência dos números”. 
É conhecida como um dos ramos mais antigos e elementares da matemática, tendo 
surgido com a necessidade do homem de contar e evoluído com sua necessidade de 
calcular. O prefixo 'ar' significa reunir, ou seja, a aritmética é a ciência que reúne - soma, 
subtrai, multiplica, divide - os números. Trata-se, portanto, da parte da matemática que 
estuda as operações numéricas. 
Dentre essas operações, esta monografia tem como foco as divisões nos naturais e seus 
respectivosrestos, caracterizando assim a chamada Aritmética Modular, cujas bases 
teóricas tiveram início com trabalhos do matemático suiço Euler, por volta de 1750. 
Posteriormente, grandes matemáticos como Lagrange e Legendre também produziram 
trabalhos sobre o assunto. Porém a “Teoria das Congruências” se tornou mais explícita 
através do livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801 pelo matemático alemão 
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), abordando o assunto com a simbologia e definições 
utilizadas até hoje. 
O estudo da aritmética faz parte do currículo obrigatório do ensino de matemática básica 
brasileira, o mesmo não acontecendo especificamente com a aritmética modular, 
conteúdo que acaba sendo visto apenas por estudantes que seguem alguns ramos das 
ciências exatas no ensino superior. 
Utilizando como motivação o ensino da matemática como ferramenta de formação de um 
cidadão crítico, capaz de compreender pensamentos conceituais, o presente trabalho tem 
como objetivo propor a inserção de uma introdução à “Teoria dos Restos, Congruências 
e Divisibilidade” nas séries do Ensino Médio, discutindo suas aplicações aos conhecidos 
(mas raramente demonstrados nesse nível) critérios de divisibilidade. 
A metodologia utilizada para justificar tal escolha será apresentar uma breve 
fundamentação teórica no capítulo 2 e argumentar utilizando dois enfoques específicos: 
no capítulo 3, introduzindo os conceitos de congruência e sua real aplicação e no capítulo 
4 é abordado através das demonstrações dos critérios de divisibilidade mais utilizados, o 
que não é tradicionalmente feito no Ensino Fundamental e nem no médio, pela falta de 
um arcabouço teórico que torne tais demonstrações viáveis; No capítulo 5, 
apresentaremos e resolveremos problemas recentes de concursos, ao utilizarmos a 
Aritmética Modular, tornam-se mais simples. 
Pretendemos que esta monografia possa servir de ponto de apoio ao professor, com um 
caráter de “formação continuada”, e que também se mostre aplicável em sala de aula, que 
estimule o raciocínio lógico como ponto chave do aprendizado da matemática, em 
detrimento de assimilar métodos ou fórmulas preestabelecidas. 
Temos também como meta obter conclusões sobre a validade e adequação do ensino da 
Aritmética Modular nesta fase de aprendizado, se realmente é condizente e útil com a 
maturidade e necessidades dos alunos nesse ponto do ciclo escolar. 
 
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Disquisitiones_Arithmeticae&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Disquisitiones_Arithmeticae&action=edit&redlink=1
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2. INTRODUZINDO O ESTUDO DA ARITMÉTICA DOS RESTOS 
 
2.1.ALGORÍTMO DA DIVISÃO EUCLIDIANA 
Como sabemos, a divisão é a operação inversa a da multiplicação. Para ilustrar, podemos 
destacar a seguinte situação problema. 
Exemplo 1: 
Maria corta o pão em fatias para o Jantar. Ela calcula: “Somos cinco, eu, meu marido e 
meus três filhos; seis fatias para cada um é o suficiente. 
Logo serão necessárias 6 × 5 = 30 fatias de pães. 
Na mesa, cada um faz o pensamento inverso ao da mãe: “Uma, duas, três, ..., são trinta 
fatias; somos cinco, trinta fatias divididas para cinco pessoas, quer dizer que cada um 
poderá comer seis fatias. 
30 fatias ÷ 5 pessoas = 6 fatias de Pães para cada Pessoa. 
Assim, na situação acima trabalhamos com o conceito de dividir, cuja notação é (÷), (lê-
se dividido por) e o resultado da mesma é chamado de quociente. 
 
2.1.1. Partes da divisão 
De uma maneira geral, se a, b são números inteiros e a ≠ 0, a divisão de b por a implica 
na existência de dois números inteiros q e r, tais que 
b = q.a + r, com 0 ≤ r < a 
Chamamos o número b de dividendo, a é o divisor, q é o quociente e o número r é o 
resto da divisão. Este fato é conhecido como Algoritmo da Divisão ou Algoritmo de 
Euclides. 
Dizemos que a divisão é exata quando r é igual a zero. Neste caso, temos que 
b = q.a, 
e costumamos notar que a |b (isto é, a divide b). Isto significa dizer que o número inteiro 
não nulo a divide o número inteiro b se existe um número inteiro q para o qual b = qa. 
Nesta situação, dizemos que b é um múltiplo de a. 
2.1.2. Quando usar a divisão? 
Veja em que situações você pode usar essa operação. Você precisa saber isso para resolver 
os probleminhas de matemática: 
12 
 
Exemplo 2: Quatro agricultores formaram uma pequena cooperativa, conseguindo 
arrecadar R$ 2.540,00 na colheita de milho. Quanto cada um vai receber? 
Solução: 
 
Esse é um problema típico de divisão: ao dividir 2.540 reais para 4 pessoas, pensa-se 
sempre em quantias iguais para cada um dos agricultores. A divisão é uma inversão: ela 
desmancha a operação de multiplicação. Queremos saber qual parte cada um deve receber 
para que ao juntar as 4 partes (multiplicarmos por 4), obtenha-se o total arrecadado pela 
venda da colheita (2540). 
Essa pergunta é resolvida pela divisão 2540 ÷ 4 = 635. 
Uma questão: Por que, dados dois inteiros quaisquer, um deles não nulos, o Algoritmo da 
Divisão sempre funciona 
A explicação segue a seguir. 
Sejam dados os números naturais a e b, com a > 0 e b qualquer. Queremos comparar o 
número natural b com os múltiplos do número a. 
Para isto, consideramos todos os intervalos da forma [na, (n+1)a), para n um número 
natural qualquer. É fácil ver que podemos escrever N, o conjunto dos números naturais, 
como uma união infinita de intervalos: 
N = [0, a)  [a, 2a)  [2a, 3a)  ...  [na, (n+1)a) .........., 
onde os intervalos acima são dois a dois disjuntos, isto é, sem elementos comuns. Esse 
conjunto de intervalos disjuntos cuja união nos dá o conjunto N é o que chamamos de 
uma partição de N. 
Portanto, o número b estará em um e apenas um dos intervalos acima. Digamos que b 
pertença ao intervalo 
[qa, (q+1)a) 
Logo, existem dois números naturais q e r, unicamente determinados, tais que: 
b = a.q + r, com 0 ≤ r < a 
Note que dados dois números naturais a e b, nem sempre b é múltiplo de a, este será o 
caso se, e somente se, r = 0. 
Como determinar os números q e r na divisão euclidiana? 
Caso b < a. Como b = 0 × a + b, temos que q = 0 e r = b. 
13 
 
Caso b = a. Neste caso, tomamos q = 1 e r = 0. 
Caso b > a, Podemos considerar a sequência: 
b – a, b – 2a, ... , b – na, 
Até encontrar um número natural q tal que b – (q+1)a < 0, com b – q.a > 0, Assim, 
obtemos b = q.a + r, onde r = b – q.a e, portanto, 0 ≤ r < a. 
Por exemplo, para dividir o número 54 por 13, determinamos os resultados da subtração 
de 54 pelos múltiplos de 13. 
54 – 13 = 41, 
54 – 2 × 13 = 28, 
54 – 3 × 13 = 15, 
54 – 4 × 13 = 2, 
54 – 5 × 13 = - 11 < 0. 
Assim, a divisão euclidiana de 54 por 13 se expressa como: 
54 = 4 × 13 + 2. 
Dados inteiros a e b, com a > 0, existe um único par de inteiros q e r tal que 
 b = q.a + r, com 0 ≤ r < a 
Se a > 0, os possíveis restos de um número qualquer por a são os números 0, 1, ..., a - 1. 
Por exemplo, os possíveis restos da divisão de um número inteiro por 2 são r = 0 e r = 1. 
 Se um dado número inteiro m, quando dividido por 2, deixa resto r = 0, isto é, m = 2q, 
dizemos que ele é um número par. 
Por outro lado, quando da divisão de um número inteiro m por 2, o resto for 1, isto é, m 
= 2q + 1, dizemos que ele é um número ímpar. 
Assim, um número inteiro é par se é da forma 2q e é ímpar se é da forma 2q+1, para 
algum inteiro q. 
Os possíveis restos na divisão por 3 são: r = 0, r = 1 ou r = 2. 
Problema 1: Mostre que, de três inteiros consecutivos, um e apenas um deles é múltiplo 
de 3. 
Solução: 
Suponha que os três inteiros consecutivos sejam a, a + 1 e a + 2. Temos as seguintes três 
possibilidades possíveis: a deixa resto 0, 1 ou 2 quando dividido por 3. 
14 
 
1) Suponha que a deixa resto 0 quando dividido por 3, ou seja, a = 3q. Logo, 
 a + 1 = 3q + 1 e a + 2 = 3q + 2. Assim, um e apenas um dos três números é 
múltiplo de 3, a saber, a. 
2) Suponhaque a deixa resto 1 quando dividido por 3, ou seja, a = 3q + 1. Logo, a 
+ 1 = 3q + 2 e a + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1). Assim, um e apenas um dos três números 
é múltiplo de 3, a saber, a + 2. 
3) Suponha que a deixe resto 2 quando dividido por 3, ou seja, a = 3q + 2. Logo, a 
+ 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) e a + 2 = 3q + 4 = 3(q + 1) + 1. Assim, um e apenas um 
dos três números é múltiplo de 3, a saber, a + 1. 
Assim, dividir por a > 0 é agrupar em conjuntos com a elementos. Por exemplo, para 
saber quantas dúzias de ovos temos no quintal de uma granja, temos que dividir o número 
de ovos por 12, a divisão podendo ser exata ou não. Se tivermos 36 ovos, teremos 3 dúzias 
exatas, mas se tivermos 38 ovos, teremos ainda 3 dúzias de ovos e sobrariam 2 ovos. 
2.2 PROPRIEDADES ARITMÉTICAS DOS RESTOS 
Vamos fazer a seguir uma abordagem prática em cima de exercícios sobre as propriedades 
aritméticas dos restos. 
Exemplo 3: Encontre o resto da divisão de 1991 + 1992 por 7. 
Solução: 
Não iremos desenvolver essa soma, nosso intuito é a aplicação de uma propriedade 
inerente aos restos. 
Vamos dividir separadamente 1991 por 7 e 1992 por 7. 
1991 ÷ 7 = 284 e deixa resto r = 3. Ou seja, 1991 = 284  7 + 3. 
Ou seja, 1991 deixa resto 3 quando dividido por 7. 
1992 ÷ 7 = 284 e deixa resto r = 4. Ou seja, 1992 = 284  7 + 4. 
Ou seja, 1992 deixa resto 4 quando dividido por 7. 
Assim, temos que 
1991 + 1992 = 284 7 + 3 + 284 7 + 4 = 2  284 7 + 3 + 4 = 2  284 7 + 7 = 
= ( 2  284 + 1 )  7 + 0. 
Portanto, o resto da divisão de 1991 + 1992 por 7 é igual a zero. 
Exemplo 4: Encontre o resto da divisão de 1991  1992 por 7. 
Solução 1: 
Vamos fazer uma aplicação utilizando o algoritmo da divisão Euclidiana. 
15 
 
Baseado no exemplo 3, já sabemos que 
1991 = 284 7 + 3 e 1992 = 284 7 + 4. 
Então: 
1991  1992 = (284  7 + 3)( 284 7 + 4) = 
 = 72  2842 + 7  284  4 + 7  284  3 + 3 4 = 
 = 72  2842 + 7  284  4 + 7  284  3 + 12= 
 = 72  2842 + 7  284  4 + 7  284  3 + 7 + 5 = 
 = 7K + 5, onde K = 7  2842 + 284  4 + 284  3 + 1 
Portanto, o resto da divisão de 1991  1992 por 7 é igual a 5. 
Exemplo 5: Encontre o resto da divisão de 1991³ por 7. 
Solução: 
Usando a mesma analogia baseada nos exemplos anteriores, vamos solucionar este 
problema da seguinte maneira. Como 1991³ = 1991  1991  1991, segue que o resto da 
divisão de 1991³ por 7 é o resto da divisão do cubo do resto da divisão de 1991 por 7. De 
fato, sabemos que 1991 deixa resto 3 quando dividido por 7. Logo, podemos concluir que 
3  3  3 = 27, como 27 é um valor maior que 7 façamos novamente a divisão, 
27:7 = 3  7 + 6 e o resto será r = 6. 
Exemplo 6: Encontre o resto da divisão de 1989  1990 1991 + 1992³ por 7. 
Solução: 
Como 1989 = 284  7 + 1; 1990 = 284  7 + 2 e 1992 = 284  7 + 4, temos que o resto 
procurado é dado pela resto da divisão de 1  2  3 + 4³ = 6 + 64 = 70 = 10  7 + 0. 
Portanto o resto é igual a zero. 
Exemplo 7: Encontre o resto da divisão de 9100 por 8. 
Solução: 
O número 9 quando dividido por 8 vai deixar resto igual a 1, pois 9 = 1  8 + 1. 
Sabemos que 9100= 9  9  9  9 ...  9 (100 fatores iguais a 9) 
Isso implica dizer que teremos o resto da divisão de 9100 por 8 igual ao produto de 
100 fatores iguais a 1: 1  1  1  1 ...  1. 
 
16 
 
3. CONGRUÊNCIA 
Vamos agora realizar uma introdução sobre a grande ideia de Carl Friedrich Gauss para 
estudar aritmética usando os restos da divisão, que ficou conhecida como aritmética 
modular. 
Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um 
sistema de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem 
um certo valor, o módulo. 
O matemático suíço Euler foi o pioneiro na abordagem de congruência por volta de 1750, 
quando ele explicitamente introduziu a ideia de congruência módulo um número 
natural n. 
A aritmética modular foi desenvolvida posteriormente por Carl Friedrich Gauss em seu 
livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801. É um livro-texto sobre teoria dos 
números, escrito em latim, em 1798, quando Gauss tinha 21 anos de idade, e publicado 
a primeira vez em 1801. Neste livro, Gauss reuniu resultados da teoria dos números 
obtidos pelos matemáticos Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Joseph-Louis 
Lagrange e Adrien-Marie Legendre, adicionando aos mesmos diversos resultados de sua 
autoria. 
 
O relógio usa aritmética módulo 12. 
Um uso familiar da aritmética modular é no relógio de ponteiros, no qual o dia é divido 
em dois períodos de 12 horas cada. Se a hora atual é 7 horas, então daqui a 8 horas serão 
3 horas. A adição usual sugere que o tempo futuro deveria ser 7 + 8 = 15. Mas, na 
aritmética modular 15 é igual a 3, pois 15 = 1  12 + 3. Assim, em vez de falar 15 horas, 
dizemos 3 horas, já que o relógio não marca 15 horas. 
 Da mesma forma, se o relógio marca 12 h (meio dia) e passam-se 21 horas, então a hora 
será 9 h do dia seguinte, pois 12 + 21 = 33 = 2 12 + 9. 
No caso do relógio, esta aritmética é chamada aritmética módulo 12. Como 12 deixa 
resto 0 na divisão por 12, pois 12 = 1  12 + 0, segue que as 12 horas da noite (que 
corresponde às 24 horas) pode ser chamada de 0 h. 
A seguir, apresentamos a definição formal de números congruentes. 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Inteiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Congru%C3%AAncia_(%C3%A1lgebra)
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://pt.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_latina
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange
https://pt.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%B3gio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Clock_group.svg
17 
 
Definição: Seja dado um número inteiro m maior do que 1. Diremos que dois números 
inteiros a e b são congruentes módulo m se a e b possuem o mesmo resto quando 
divididos por m. 
Utilizamos o mesmo símbolo usado por Gauss para dizer que um número inteiro a é 
côngruo ao inteiro b módulo m: a ≡ b mod m. 
Quando a e b não são congruentes módulo m, escreve-se: 
a ≢ b mod m 
e dizemos que os dois números são incongruentes módulo m. 
Exemplo 8: 15 ≡ 8 mod 7, pois os restos das divisões de 15 e 8 por 7 são os mesmos 
(iguais a 1). 
27 ≡ 32 mod 5, pois os restos das divisões de 27 e 32 por 5 são os mesmos (iguais a 2). 
31 ≢ 29 mod 3, pois o resto da divisão de 31 por 3 é 1, enquanto o resto da divisão de 29 
por 3 é 2. 
Para mostrar que a ≡ b mod m não é necessário efetuar a divisão de a e de b por m, como 
mostrado a seguir: 
Proposição: Tem-se que a ≡ b mod m se e somente se m divide b - a. 
Demonstração: De fato, pelo algoritmo da divisão, podemos escrever 
a = m.q1+r1 e b = m.q2+r2, 
Onde 0 ≤ r1 < m e 0 ≤ r2 < m. Sem perda de generalidade, podemos supor que r1 ≤ r2 (se 
o contrário ocorrer, basta trocar os papeis de r1 e r2). Assim, podemos escrever, 
b – a = m.(q1 – q2) + r1 – r2. 
Logo, m divide b – a se, e somente se, m divide r2 – r1. Por ser 0 ≤ r2 – r1 ≤ r2< m, segue 
que m divide b – a se e somente se r2 – r1=0, ou seja, se e somente se r2 = r1. 
Pela definição, as congruências módulo m tem tudo a ver com os restos da divisão por m. 
Assim, todo número inteiro a é congruente módulo m a um e somente um dos números 0, 
1, 2, ..., m-1. 
De fato, os possíveis restos da divisão de a por m são precisamente os números0, 1, 2, 
..., m – 1, cujos restos da divisão por m são eles próprios, logo dois a dois são 
incongruentes módulo m. 
 
 
 
18 
 
4. DIVISIBILIDADE 
 
4.1. MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Os números 0, 1, 2, 3, etc. serão chamados aqui de números naturais. O conjunto dos 
números naturais será denotado por N e escreveremos n pertence N para indicar que o 
número n é um número natural. 
Assim, 
Um número n é múltiplo de outro, se existir um terceiro n natural que multiplicado pelo 
segundo dê o primeiro. 
Exemplo 9: 12 é múltiplo de 3, pois existe o número natural 4 tal que: 
12 = 4 × 3 
Já 12 não é múltiplo de 5, pois não existe um número natural que multiplicado por 5 de 
12. 
Um número é divisível por outro, se a divisão do primeiro pelo segundo for exata (deixa 
resto zero). 
Exemplo 10: 12 é divisível por 3. 
12 ÷ 3 = 4 logo, r = 0 
12 não é divisível por 5. 
12 = 2  5 + 2, logo, r = 2. 
4.2.NÚMEROS PRIMOS 
Um número inteiro é dito ser primo se é positivo, maior do que 1, e só é divisível apenas 
por 1 e por  ele mesmo. Caso contrário, um número inteiro é dito composto. Isto é, um 
número inteiro m é composto se pode ser escrito como um produto de dois números: 
m = ab, com 1 < a < m e 1 < b < m, a, b inteiros. 
Suponha: 
a ≥ b → m = ab ≥ a.a = a² 
Extraindo a raiz quadrada de cada membro, temos: 
√m ≥ a 
Euclides demonstrou que existem infinitos números primos. 
Existe um algoritmo simples que permite encontrar os primos. Trata-se do Crivo de 
Erastótenes, que descreveremos a seguir. 
19 
 
Escrevemos alguns números naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 
e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e 
risquemos todos o todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 5 e 
risquemos todos múltiplos dele que surgem em seguida etc. Digamos que a sua lista inicial 
seja de 2 até 100. Ao final desse procedimento você terá todos os números primos de 2 
até 100. Esse é o Crivo de Erastótenes, um algoritmo simples e prático para 
encontrar números primos até um certo valor limite. 
Segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego Erastótenes (a.c. 285-194 a.C.), o 
terceiro bibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria. 
4.2.1. A EXPLICAÇÃO DO CRIVO DE ERASTÓTENES 
Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 33. 
 Inicialmente, determina-se o maior número a ser checado. Ele corresponde à raiz 
quadrada do valor limite, arredondado para baixo. No caso, a raiz de 33, arredondada 
para baixo, é 5. 
 Crie uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 
32 e 33. 
 Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2. 
 Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado. No nosso exemplo, 
a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 e 33 
 O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo 
número da lista é 3. Removendo seus múltiplos, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 
23, 25, 29 e 31. O próximo número, 5, também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 
17, 19, 23, 29 e 31. 5 é o último número a ser verificado, conforme determinado 
inicialmente. Assim, a lista encontrada contém somente números primos. 
 
2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 etc.
 
O conjunto P dos números primos é infinito e não existe nenhuma lei de formação 
para esses números: 
 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...} 
 
Note que o 2 é o único número par que é primo. 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Biblioteca_de_Alexandria
20 
 
Os números riscados dentre os acima são compostos, por que são exatamente aqueles 
números que podem ser escritos como produto de dois outros números naturais menores. 
 
Observação: Números primos entre si. 
Quando o 1 é o divisor comum positivo de dois ou mais números naturais, não todos 
nulos, dizemos que estes números são primos entre si, ou relativamente primos. 
 
Exemplo 11: 2 e 3 são primos entre si; 
7, 8 e 9 são primos entre si. 
 
4.3.CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
Um critério de divisibilidade é uma regra que permite avaliarmos se um dado número 
natural é ou não divisível por outro número natural, sem que seja necessário efetuarmos 
a operação de divisão. 
 
Neste tópico será abordado os principais critérios de divisibilidade e será explicado o 
porquê de um número inteiro escrito na base 10 ser divisível por outro com a aplicação 
das regras. 
 
A) Critério de divisibilidade por potencias de 2. 
O primeiro critério a ser estudado é muito simples. 
 
Um número é divisível por 2 quando o seu algarismo das unidades for divisível por 2. 
Assim, para identificar se um número é divisível por 2, basta observarmos se o seu 
algarismo das unidades é igual a 0, 2, 4, 6 ou 8. Um número divisível por 2 também é 
chamado de par; dessa forma, podemos afirmar que os números pares são aqueles com 
algarismos das unidades iguais a 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja quando divididos por 2 deixa 
resto igual a 0. Um número que não é divisível por 2 (isto é, que não é par) é dito ímpar, 
ou seja, quando dividido por 2 deixa resto igual a 1. 
 
Exemplo 12: Os números 2014, 1622, 1500, 416 e 888 são divisíveis por 2, pois tem 
algarismos das unidades também divisíveis por 2; logo, tais números são pares. Os 
números 1777, 2015, 456789, 41253 e 111 não são divisíveis por 2, logo, são impares. 
 
Demonstração: Quando escrevemos um número inteiro a = anan−1 ···a1a0 na base 10, 
estamos expressando que 
a = an · 10
n + ··· + a2 · 10
2 + a1 · 10
1 + a0 · 10
0, 
onde cada ai é um algarismo entre 0 e 9, ou seja, a representação posicional considerada 
está num sistema de numeração de base 10. Por exemplo, 
1358 = 1 · 103 + 3 · 102 + 5 · 101 + 8 · 100. 
Para as demonstrações dos critérios de divisibilidade que faremos nesta seção, estaremos 
sempre considerando que o número em questão está representado na base 10. 
Escrevemos 
21 
 
a = an. 10
n + ... + a2. 10² + a1. 10 + a0, onde 0 ≤ ai ≤ 9. 
Assim, a = 10(an. 10
n-1 + ... + a2 .10 + a1) + a0 
ou seja, a é da forma 10k + a0. Deste modo, se 2 | a então como 2 | 10k vamos ter 
 
Reciprocamente se 2 | a0 então a0 = 2q para algum q ∈ Z e assim, 
a = 10(an .10
n-1 + ... + a2 .10 + a1) + 2q 
=2[5(an .10
n-1 + ... + a2 .10 + a1) + q], com m ∈ Z. 
 e portanto 2 | a. 
Vamos ao próximo critério: 
 
Um número N é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos formam um 
número divisível por 4, ou seja, quando o número formado pelos algarismos das dezenas 
e das unidades de N é divisível por 4, resultando em resto igual a 0, caso o número N não 
seja divisível por 4 os possíveis restos que a divisão poderá obter é 1, 2 ou 3. 
 
Demonstração: Seja b = an. 10
n + an-1. 10
n-1 + an-2. 10
n-2 +...+ a2. 10
2 + a1. 10 + a0 
 
Para n ≥ 2 temos 4│10n. Escrevemos b da seguinte forma: 
 
Seja b = 10². (an. 10
n-2 + an-1. 10
n-3 + an-2.10
n-4 + ... + a2. 10
0) + a1. 10 + a0 
Como 4│10². (an. 10
n-2 + an-1. 10
n-3 + an-2.10
n-4 + ... + a2. 10
0) e 4│(a1.10 + a0), 
Teremos que 4│b. 
 
Exemplo 13: Os números 1316, 2208, 145728 e 74648 são divisíveis por 4, pois seus 
dois últimos algarismos, respectivamente, 16, 08, 28 e 48, formam números divisíveis por 
4. Os números 4443, 1817, 2015 e 63663 não são divisíveis por 4, pois seus dois últimos 
algarismos, respectivamente, 43, 17, 15 e 63, formam números que não são divisíveis por 
4. 
 
Um número N é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formam um 
número divisível por 8, ou seja, quando o número formado pelos algarismos das centenas, 
dezenas e unidades de N é divisívelpor 8. Podendo obter os possíveis restos 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6 e 7. 
 
Demonstração: Seja b = an. 10
n + an-1.10
n-1 + an-2.10
n-2 + ... + a2. 10² + a1. 10 + a0 
 
Para n ≥ 3 temos que 8│10n. Escrevamos b da seguinte forma: 
 
Seja b = 10³. (an. 10
n-3 + an-1. 10
n-4 + an-2. 10
n-5 + ... + a3. 10
0) + a2. 10² + a1. 10 + a0 
 
22 
 
Como 8│10³. (an. 10
n-3 + an-1. 10
n-4 + an-2. 10
n-5 + ... + a3. 10
0), e 8│a2a1a0, temos que 8│b. 
 
Exemplo 14: Os números 14136, 13184, 2088 e 111112 são divisíveis por 8, pois os 
números formados por seus três últimos algarismos, respectivamente 136 = 8×17, 184 = 
8×23, 88 = 8×11 e 112 = 8×14, são múltiplos de 8. Os números 1881, 321123, 777778 e 
91919292, pois os números formados por seus três últimos algarismos, respectivamente 
881, 123, 778 e 292, não são divisíveis por 8. 
 
Comparando esses três critérios de divisibilidade, vemos que surge um padrão, ou seja, 
uma propriedade similar que se repete nos três casos: 
 
 Um número natural N é divisível por 2¹ se o número formado pelo último 
algarismo de N for divisível por 2¹. 
 Um número natural N é divisível por 2² se o número formado pelos 2 últimos 
algarismos de N for divisível por 2². 
 Um número natural N é divisível por 2³ se o número formado pelos 3 últimos 
algarismos de N for divisível por 2³. 
Observando esse padrão, podemos supor que ele se repete para as potencias de 2 com 
expoente maior. Dessa forma é formulado o seguinte: 
 
Generalização: Um número natural N é divisível por 2p se o número formado pelos 
últimos p algarismos de N for divisível por 2p. 
 
Exemplo 15: Considere o número natural N = 234828432. Vamos verificar se N é 
divisível por 16. 
Os últimos 4 algarismos de N formam o número 8432 = 16 × 527, divisível por 16. Assim, 
confiando na validade do critério, afirmamos que N é divisível por 16. 
 
Claro que podemos verificar esse fato diretamente, dividindo N por 16 e obtendo N = 
16.14676777. A vantagem do critério é que reduzimos o cálculo a uma divisão, onde o 
dividendo tem, no máximo, 4 algarismos. Para números muito grandes isso pode fazer a 
uma diferença significativa no esforço a ser despendido nesse cálculo. 
 
Observação: 
 
Vale ressaltar que os critérios exibidos acima não só apontam quando um número é 
divisível por uma potência de 2, como também determinam o resto da divisão por essa 
potência de 2. 
 
Por exemplo, o número 222222 não é divisível por 4 pois 22 não é divisível por 4. Além 
disso, como 22 deixa resto 2 quando dividido por 4, 222222 também deixa resto 2 quando 
dividido por 4. Da mesma forma, 222222 deixa resto 6 quando dividido por 8, pois esse 
é o resto que 222 deixa quando dividido por 8. 
 
 
B) Critério de divisibilidade por 3 e por 9 
Vamos ao critério de divisibilidade por 3: 
Um número N é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for um número divisível 
por 3. 
23 
 
Para garantir o critério de divisibilidade por 3, primeiramente provamos um lema. 
Lema: Para todo natural n ≥ 1, 10n é da forma 3q + 1. 
Demonstração: Vamos provar este resultado por indução. Claramente vale para n = 1 
pois 10 = 3 · 3 + 1. Suponhamos que vale para n = k > 1. Agora vamos mostrar que vale 
para n = k + 1. Temos: 
 
Escrevemos: 
a = an · 10
n + ··· + a2 . 10
2 + a1 · 10 + a0, onde 0 ≤ ai ≤ 9 
e usamos o lema anterior, reescrevendo: 
a = an . (3qn+1) + ...+ a2. (3q2+1) + a1 . (3q1+1) + a0 
= 3 . (an.qn +...+ a2.q2 + a1.q1) + (an + ...+ a2 + a1 + a0), 
 
 c s 
Isto é, a = 3c + s e, 3 | a se, se somente se, 3 | s. 
 
Note que o critério de divisibilidade por 3 não leva em consideração apenas os algarismos 
finais do número N, e sim todos os algarismos do número. 
 
Exemplo 16: O número 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 é divisível por 3. O número 
423712 não é divisível por 3, pois 4+2+3+7+1+2 = 19 não é divisível por 3. 
 
Observação: Vale ressaltar que, o critério de divisibilidade por 3 também determina o 
resto da divisão de um número por 3. 
Assim, no exemplo 16 o número 423712 não é divisível por 3 e o resto da divisão desse 
número por 3 coincide com o resto da divisão de 19 por 3, que é 1. Note que 1+9 = 10, 
que também deixa resto 1 quando dividido por 3. Em geral, podemos afirmar que um 
número deixa o mesmo resto que a soma de seus algarismos quando dividido por 3. 
 
Análogo ao critério de divisibilidade por 3 é o critério de divisibilidade por 9: 
Um número N é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for um número divisível por 
9. 
De um modo mais geral, podemos afirmar que um número deixa o mesmo resto que a 
soma de seus algarismos quando dividido por 9. 
 
Demonstração: Seja b = an. 10
n + an-1. 10
n-1 + an-2. 10
n-2 + ... + a2.10² + a1. 10 + a0 
Na divisão de 10n (n ≥ 1) por 9 temos 10n = 9.qn + 1, onde qn é um número formado por n 
algarismos 1. Desta forma: 
24 
 
 
b = an.(9.qn + 1) + an-1.(9.qn-1 + 1) + an-2.(9.qn-2 + 1) + ... + a2. (9.q2 + 1) + a1. (9.q1 + 1) + 
a0. 
Aplicando a propriedade distributiva: 
 
b = (an.9.qn) + an + (an-1.9.qn-1) + an-1) + (an-2.9.qn-2) + an-2) + ... + (a2.9.q2) + a2 + (a1.9.q1) 
+ a1) + a0 
 
Colocando 9 em evidencia, temos: 
 
b = 9.((an.qn) + (an-1.qn-1) + (an-2.qn-2)) +...+ (a2.q2) + (a1.q1)) + an + an-1 + an-2 +...+ a2 + a1 
+ a0. 
É obvio que 9│9.((an.qn) + (an-1.qn-1) + (an-2.qn-2)) +...+ (a2.q2) + (a1.q1)). 
Como hipótese 
9│(an + an-1 + an-2 +...+ a2 + a1 + a0) 
Teremos que 9│b. 
 
Exemplo 17: O número 18135 é divisível por 9, pois 1+8+1+3+5 = 18 é divisível por 9. 
 
Exemplo 18: Vamos testar a divisibilidade por 9 de um número grande: 
N= 4557216050676 
A soma dos algarismos desse número é: 
4+5+5+7+2+1+6+0+5+0+6+7+6 = 54, e 54 é um múltiplo de 9, logo N é múltiplo de 9. 
Veja que poderíamos ter repetido o primeiro passo para o resultado da soma, obtendo 5 
+ 4 = 9. 
Observação: Quando estudamos os critérios de divisibilidade por 2, 4 e 8, vimos que é 
possível generalizar os critérios, obtendo-se um critério para as potencias de 2. Isso não 
funciona no caso das potências de 3. Um aspecto importante é que as potencias de 10 
deixam resto 1 quando divididas por 3 ou por 9. Isso é fundamental para o funcionamento 
do critério e não ocorre no caso da divisão de uma potência de 10 por 27. 
 
C) Critério de divisibilidade por 5 
 
O critério de divisibilidade por 5 é muito simples: 
Um número é divisível por 5 se seu algarismo das unidades é 0 ou 5. 
 
Demonstração: Seja b = an. 10
n + an-1.10
n-1 + an-2. 10
n-2 + ... + a2.10² + a1.10 + a0 
 
É evidente que 5 divide todas as parcelas da soma que compõem b com exceção de a0. 
Como a0 = 0 ou a0 = 5, temos que 5│a0 e consequentemente 5│b. 
 
Exemplo 19: O número 2015 é divisível por 5 pois termina em 5. O número 314570 é 
divisível por 5 pois termina em 0. 
 
25 
 
D) Critério de divisibilidade por 7 e por 11. 
 
Para a divisibilidade por 7 temos dois critérios. O primeiro requer algumas explicações 
preliminares. 
 
A posição de cada algarismo de um número, contada a partir da direita, é chamada ordem 
do algarismo. Assim, em um número, o algarismo das unidades é de primeira ordem, o 
das dezenas é de segunda ordem, o das centenas é de terceira ordem, assim por diante. 
Por exemplo, no número N = 23437 as ordens são as seguintes: 
 
7: 1° ordem 
3: 2° ordem 
4: 3° ordem 
3: 4° ordem 
2: 5° ordem. 
 
O algarismo 3 ocupa no número N duas ordens diferentes: 2° e 4°. 
Cada grupo de 3 ordens de um número, contadas a partir da direita, forma uma classe. A 
primeira classe é formada pelas três primeiras ordens: unidades, dezenas e centenas. A 
segunda classe é formada pelas três ordens seguintes: unidades de milhar, dezenas de 
milhar e centenas de milhar. A terceira classe é formada pelas ordens, da sétima a nona: 
unidades de milhão, dezenas de milhão e centenas de milhão, e assimsucessivamente. 
Dessa forma, cada classe possui três ordens. Vejamos, por exemplo, o número N= 
214356728913. 
 
913: 1° Classe 
728: 2° Classe 
356: 3° Classe 
214: 4° Classe 
 
No número N acima o algarismo 7 é de sexta ordem e segunda classe. 
 
Vamos chamar de número da classe o número formado pelos três algarismos de uma 
mesma classe. Para o número N acima, os números da 1°, 2°, 3° e 4° classes são, 
respectivamente, 913, 728, 356, 214. 
Finalmente, vamos denotar por Sci a soma dos números das classes impares e por Scp a 
soma dos números das classes pares de um dado número. Por exemplo, para o número 
N= 214356728913, Sci = 913 + 356 = 1269 e Scp = 728 + 214 = 942. 
Com essa preparação, podemos escrever o nosso primeiro critério de divisibilidade por 7: 
 
Um número N é divisível por 7 quando a diferença não negativa entre a soma dos 
números das classes ímpares (Sci) e a soma dos números das classes pares (Scp) é 
um número divisível por 7. 
 
26 
 
Demonstração: Um número N = a0a1...an é divisível por 7 se a0 + 3a1 + 2a2 – a3 – 3a4 – 
2a5 + ... for divisível por 7. 
 
Seja b = an.10
n + an-1.10
n-1 + an-2.10
n-2 + ... + a2.10² + a1.10 + a0 
 
Na divisão de 10n por 7, obtemos respectivamente os restos 3, 2, 6, 4, 5 e 1. Então temos: 
 
b = a0 + a1(7q1 + 3) + a2(7q2 + 2) + a3(7q3 + 6) + a4(7q4 + 4) + a5(7q5 + 5) + a6(7q6 + 1) 
+ ... + an(7qn + X). 
 
Onde X є 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 
Observando que 4 = 7 – 3, 5 = 7 – 2 e 6 = 7 – 1, temos: 
 
b = a0 + a1(7q1 + 3) + a2(7q2 + 2) + a3(7q3 + 7 - 1) + a4(7q4 + 7 - 3) + a5(7q5 + 7 - 2) + 
a6(7q6 + 1) + ... + an(7qn + X). 
 
b = a0 + 7a1q1 + 3a1 + 7a2q2 + 2a2 + 7a3(q3 + 1) – a3 + 7a4(q4 + 1) – 3a4 + 7a5(q5 + 1) – 
2a5 + 7a6q6 + a6 + ... + 7anqn + Xan. 
 
b = (a0 + 3a1 + 2a2 – a3 – 3a4 – 2a5 + a6 +...+ Xan) + 7(a1q1 + a2q2 + a3(q3+1) + a4(q4+1) + 
+ a5(q5+1) + a6q6 + ... + anqn). 
 
Como, por hipótese, 7│(a0 + 3a1 + 2a2 – a3 – 3a4 – 2a5 +...+ Xan), logo 7│b. 
 
 
Observação: De modo mais geral, podemos dizer que N deixa o mesmo resto que Sci – 
Scp quando dividido por 7. 
 
Exemplo 22: Para o número N = 214356728913, temos Sci = 1269 e Scp = 942. Logo, 
Sci – Scp = 1269 – 942 = 327. Como o número 327 = 7.46 + 5 deixa resto 5 quando 
dividido por 7, o número N também deixa resto 5 quando dividido por 7. 
 
Para esclarecer o que significa a expressão “diferença não negativa”, vamos examinar o 
seguinte: 
Exemplo 23: Para o número N = 514045, Sci = 45 e Scp = 514. Neste caso, para que a 
diferença Sci – Scp não seja negativa, devemos somar um múltiplo de 7 suficientemente 
grande de modo a que o resultado 
 
7q + Sci – Scp (I) 
 
 
27 
 
Seja positivo. Como a pergunta que queremos responder diz respeito a divisibilidade por 
7, somar um múltiplo de 7 a diferença de Sci – Scp não altera a resposta. Qualquer 
múltiplo de 7 que torne a expressão (I) positiva serve, mas é aconselhável escolher a 
menor parcela 7q possível. No nosso exemplo, q = 70 fornece 7q = 490 e 7q + Sci – Scp 
= 490 + 45 – 514 = 21, que é um múltiplo de 7. Portanto, N = 514045 é divisível por 7. 
 
Há um segundo critério para divisibilidade por 7. 
 
Dado um número natural N, considere N = 10b + a, onde a é o algarismo das unidades de 
N. N = 10b + a é divisível por 7 ↔ 2N = 20b + 2a é divisível por 7, pois MDC(2,7) = 1. 
 
Mas, 
 
2N = 20b + 2a = 21b – b + 2a = 21b – (b – 2a). 
 
Portanto, 2N é divisível por 7 ↔ b – 2a é divisível por 7, então N é divisível por 7. 
 
Exemplo 23: Para decidir se o número N = 86415 é divisível por 7, devemos aplicar o 
critério acima várias vezes: 
 
86415 8641 – 2 × 5 = 8631 
8631 863 – 2 × 1 = 861 
861 86 – 2 × 1 = 84 
84 8 – 2 × 4 = 0 
Usando o critério, temos: 
0 é múltiplo de 7 84 é múltiplo de 7. 
84 é múltiplo de 7 861 é múltiplo de 7. 
861 é múltiplo de 7 8631 é múltiplo de 7. 
8631 é múltiplo de 7 86415 é múltiplo de 7. 
 
Observação: Note que N = 10b+a pode ser divisível por 7 sem que b – a seja divisível 
por 7. Por exemplo, se N = 21 = 7 × 3, então b = 2, a = 1 e b – a = 1 não é divisível por 
7. Isso indica que o critério acima não pode ser usado para encontrar o resto da divisão 
de um número por 7. 
 
Finalmente, vamos estabelecer um critério de divisibilidade por 11. 
 
Um número natural N é divisível por 11 quando a diferença não negativa entre a soma 
dos algarismos de ordem ímpar (Soi) e a soma dos algarismos de ordem par (Sop) 
for um número divisível por 11. 
 
Observação: De modo mais geral, podemos dizer que N deixa o mesmo resto que Soi – 
Sop quando dividido por 11. 
Exemplo 24: Considere o número N = 3767632. Temos: 
28 
 
2: 1° ordem; 
3: 2° ordem; 
6: 3° ordem; 
7: 4° ordem; 
6: 5° ordem; 
7: 6° ordem; 
3: 7° ordem. 
Assim, Soi = 2 + 6 + 6 + 3 = 17 e Sop = 3 + 7 + 7 = 17. Como Soi – Sop = 17 – 17 = 0 é 
divisível por 11, o número N é divisível por 11. 
Antes de enunciar o critério de divisibilidade por 11, vamos provar um lema parecido 
com o Lema. 
Lema: Para todo natural n ≥ 1, 10n é da forma 11q + (−1)n. 
Demonstração: Usaremos indução para provar este resultado. Claramente vale para n = 
1 pois 10 = 11−1. Vamos supor que vale para n = k > 1 e vamos mostrar que vale para n 
= k + 1. Temos: 
 
Demonstração: Temos: 
 a = an · 10
n + ··· + a2 · 10
2 + a1 · 10 + a0, onde 0 ≤ ai ≤ 9 
e usando o lema anterior, escrevemos: 
a = an · (11qn + (−1)
n) + ··· + a2 · (11q2 + (−1)
2) + a1 · (11q1 + (−1)) + a0 
 
= 11(an · qn + ··· + a2 · q2 + a1 · q1) + (a0 − a1 + a2 − ··· + (−1)
nan), 
 
 k t 
Isto é, a = 11k + t e, 11 | a se, se somente se, 11 | t.
29 
 
4.4.UM MÉTODO PRÁTICO PARA O CÁLCULO DO MDC E DO MMC 
Antes de apresentarmos um método prático para o cálculo do mdc e do mmc de dois 
números, vamos recordar algumas definições: dados os números 
naturais a e b, seu mdc (= máximo divisor comum) é, como o próprio nome indica, o 
maior dos números que dividem tanto a quando b. Enquanto seu mmc (= mínimo 
múltiplo comum) é o menor dentre todos os números positivos que sejam, 
simultaneamente, múltiplos de a e de b. O número 1 é divisor de qualquer número e, se 
os números a e b não admitem outro divisor comum, tem-se que mdc (a, b) = 1 e diz-se, 
então, que a e b são primos entre si. 
O mdc e o mmc aparecem em vários resultados teóricos e na resolução de problemas, 
mas, nos nossos cursos, sua mais comum aplicação é no cálculo com frações ordinárias. 
Embora nesse contexto sua utilização seja dispensável, ao preço de trabalharmos, às 
vezes, com números maiores, é na hora de simplificar frações que os textos didáticos 
usam o mdc e é na hora de comparar, somar ou subtrair frações, que aparece o mmc. 
4.4.1. Cálculo de MDC e de MMC 
Se os números a e b estão decompostos em fatores primos, é fácil encontrar a 
decomposição em fatores primos de seu mdc e seu mmc. Como exemplo, consideremos 
os números 2 100 e 198. Ora, como 
2100 = 22 . 3 . 52 . 7 e 198 = 2 . 32 . 11, 
qualquer divisor comum a 2100 e 198 só pode ter 2 e 3 como fatores primos e somente 
com expoentes 0 ou 1. O maior de todos será, então, 2 x 3, isto é 
mdc (2 100, 198) = 2 × 3 = 6. 
Daí, a regra já conhecida: o mdc é o produto dos fatores primos que aparecem tanto na 
decomposição de a quanto na de b, cada um deles elevado ao menor dos dois expoentes 
com que aí aparece. 
Analogamente, qualquer múltiplo comum a 2 100 e 198 deve ter, como fatores primos: 2 
(com expoente 2), 3 (com expoente ente 2), 5 (com expoente ente 2), 7 (com 
expoente 1) e 11 (com expoente deles deve ser 22 × 32 × 52 × 7 × 11, isto é, 
mmc (2 100, 198) = 22 × 32 × 52 × 7 × 11 = 69 300. 
Daí, a regra: o mmc é o produto de todos os fatores primos que aparecem na 
decomposição de a ou na de b, cada um deles elevado ao maior expoente com que 
aparece. 
30 
 
 
O método mais conhecido para o cálculodo mmc de dois ou mais números naturais utiliza a 
decomposição simultânea em números primos. O 
método é, geralmente, implementado mediante a 
disposição exemplificada ao lado. E daí, 
novamente, tem-se 
mmc (2 100, 198) = 22 × 32 × 52 × 7 × 11 = 69 
300. 
 
 
 
4.4.2. O outro método 
 
Uma variação deste método simplifica os cálculos e fornece, ao mesmo tempo, o mmc e 
o mdc dos números. Exemplificamos calculando o mmc e o mdc dos mesmos números 2 
100 e 198: 
 
2100, 198 2 
1050, 99 3 
 350, 33 
 
Tem-se mdc (2100, 198) = 2 × 3 = 6 
mmc (2100, 198) = 6 × 350 × 33 = 69300. 
 
4.4.3. Descrição do Método 
Nesta disposição, um número primo comparece na coluna da direita apenas quando 
divide ambos os números à sua esquerda, na mesma linha. As divisões terminam quando 
isto não mais for possível, o que significa que encontramos dois números primos entre 
si nas duas colunas da esquerda. 
O mdc é o produto dos primos que estão na coluna da direita e o mmc, o produto 
deste mdc pelo dos números primos entre si que restaram na última linha à esquerda. 
4.4.4. Justificativa do método 
Colocando na coluna da direita só os primos que dividem ambos os números da esquerda, 
estamos, certamente, relacionando fatores primos do mdc. Levando o processo até 
chegarmos a 2 números primos entre si (que não admitem mais nenhum divisor comum 
a não ser o 1), teremos esgotado os fatores primos do mdc. Assim, o produto 2 × 3 = 6 
dos primos da coluna da direita é o mdc dos números dados inicialmente. 
Por outro lado, devido à maneira como se chegou aos números primos entre si, 350 e 33, 
tem-se que 2 100 = 6 × 350 e 198 = 6 × 33. Então, qualquer múltiplo de 2 100 deve 
conter os fatores 6 e 350 e qualquer múltiplo de 198 deve conter os fatores 6 e 33; logo, 
o menor de todos os múltiplos comuns é aquele que se obtém do produto dos fatores 6, 
350 e 33. (O leitor observa que é, nesse ponto, que entra o fato de 350 e 33 serem primos 
31 
 
entre si, pois se houvesse, ainda, um número diferente de 1, dividindo 6, 350 e 33, então 
o produto dos três não seria o menor dos múltiplos comuns.) 
Observações: 
1. Os argumentos acima, para justificar o método, no caso particular estudado do cálculo 
do mdc e do mmc de 2 100 e 198, se transportam ao caso geral de dois números 
quaisquer a e b, sem mudanças significativas, mas sob uma notação muito carregada, a 
partir da decomposição em fatores primos de a e de b. 
Por isso, deixamos de apresentá-la aqui. 
2. Este método se aplica, também, ao cálculo do mdc e do mmc de mais do que dois 
números. Deixamos ao leitor a tarefa de fazer as devidas (e poucas) adaptações nos 
argumentos apresentados. 
3. A justificativa exposta acima põe à mostra uma relação importante entre 
o mdc, o mmc e o produto de dois números. Com efeito, revendo o processo 
apresentado, o leitor deduzirá que 
a × b = mmc (a, b) × mdc (a, b), 
ou, na forma como é mais utilizada, 
 
4.4.5. Uma disposição do método atribuído ao cálculo do MDC e do MMC 
Uma outra disposição de utilização desse mesmo processo é a seguinte: forma-se uma 
fração com os dois números dos quais se pretende calcular o mdc e o mmc. Vai-se 
simplificando a fração (por divisão pelos fatores primos comuns, de preferência na 
ordem, para que não se deixe escapar algum) até chegarmos a uma fração irredutível 
(isto é, com numerador e denominador primos entre si), tendo o cuidado de, a cada passo, 
anotar (por exemplo, abaixo do sinal de =) o número pelo qual foram divididos os termos 
da fração. No final do processo, o mdc é o produto dos números anotados abaixo do sinal 
de = , e o mmc é o produto deste mdc pelo numerador e pelo denominador da fração 
irredutível. Ou seja, 
 
donde mdc (2 100, 198) = 2 × 3 = 6 e mmc (2 100, 198) = 6 × 33 × 350 = 69 300. 
É claro que o processo acima se torna redundante se estamos procurando o mdc entre 
numerador e denominador de uma fração para efeito de simplificá-la. Isto só reforça, 
entretanto, a ideia de que não é nesse contexto que o mdc apresenta sua força como 
ferramenta matemática. 
 
32 
 
5. A APLICAÇÃO DA ARITMÉTICA MODULAR NA RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS 
O estudo da aritmética modular visa abordar problemas ligados aos conceitos de 
divisibilidade com frequência. Alguns desses problemas são facilmente resolvidos através 
de uma maneira tradicional ao qual é ensinado, porém outras se tornam bastantes 
trabalhosas. Assim ao estudarmos a Teoria das congruências mostra-se útil como 
ferramenta facilitadora na aprendizagem da divisibilidade, pois apresentam soluções mais 
comparativamente sucintas, ou seja, menos cansativas e trabalhosas. 
 
Vamos desenvolver a seguir uma sequência de resolução de problemas baseado na 
temática que foi trabalhada: 
 
Problema 1: (Colégio Militar de Fortaleza – 2011) Dois números inteiros positivos são 
tais que a divisão do primeiro deles por 7 deixa resto 6, enquanto a divisão do segundo, 
também por 7, deixa resto 5. Somando os dois números e dividindo o resultado por 7, o 
resto será: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Vamos desenvolver essa situação problema por meio de duas soluções, uma tradicional e 
outra utilizando os conceitos de aritmética modular. 
Solução Tradicional: 
Considera-se que os números inteiros e positivos mencionados na questão são 
respectivamente a e b. Logo, com a aplicação do algoritmo da divisão teremos: 
 
a = 7q + 6 (I) 
b = 7q’+ 5 (II) 
Somando-se I e II vamos obter: 
a + b = 7q + 6 + 7q’ + 5 
= 7(q + q’) + 11 
= 7(q + q’) + 7 + 4 
= 7(q + q’ + 1) + 4, ou seja, deixa resto 4. 
 
Solução via aritmética modular: 
a ≡ 6 mod 7 
b ≡ 5 mod 7 
Somando-se, temos: 
a + b ≡ (6 + 5) mod 7 → a + b ≡ 11 mod 7 
11 dividido por 7 deixa resto 4. 
 
Problema 2: (Colégio Naval – 2007) Qual será o dia da semana na data 17 de setembro 
de 2009? 
a) Segunda feira 
b) Terça feira 
c) Quarta feira 
33 
 
d) Quinta feira 
e) Sexta feira 
 
Solução: 
 
A prova do colégio naval neste ano ocorreu em um domingo, dia 29 de julho de 2007; 
logo esta data funcionava como referência para os candidatos. 
Contando os dias que faltam para terminar o ano de 2007, obtemos: 2 + 31 + 30 + 31 + 
30 + 31 = 155 dias; o ano de 2008 que foi bissexto, teve então 366 dias, e no ano de 2009, 
foram, 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 17 = 260 dias. Então, no total são 155 + 
366 + 260 = 781 dias. 
Ao dividir 781 por 7 encontramos quociente 111 e resto 4, significando que passaram 111 
semanas completas e mais quatro dias. Passando exatamente 111 semanas, voltaríamos a 
um domingo e, com os quatro dias a mais, encontramos quinta feira. 
 
Problema 3: (Epcar – 2011) Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos 
seguintes grupos para exploração ambiental: Um composto de batedoras e outro grupo de 
360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido 
em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você 
redistribuiria suas abelhas em: 
a) 8 grupos de 81 abelhas 
b) 9 grupos de 72 abelhas 
c) 24 grupos de 27 abelhas 
d) 2 grupos de 324 abelhas. 
 
Solução: 
 
Ao analisar o problema, identificamos que ele se trata de uma questão de mdc, pois 
devemos dividir as abelhas em grupos com o máximo valor possível sem haver sobras e 
desse modo, cada grupo deve conter o mesmo número de abelhas. Portanto, temos que o 
mdc é: 
 
288, 360 2 
144, 180 2 
72, 90 2 
36, 45 3 
12, 15 3 
4, 5 72 → abelhas 
Grupos 
 
Assim, o número total de grupos e o número de abelhas por grupo são respectivamente 9 
e 72. 
 
 
34 
 
Problema 4: (Consulplan – Correios 2008) Na fauna da Mata Atlântica, encontramos 
cerca de 250 espécies de mamíferos, 1.050 de aves, 197 de répteis, 340 anfíbios e 350 
peixes. Apesar dessa riqueza de espécies, a situaçãoé bastante grave, pois das 202 
espécies de animais ameaçadas de extinção no Brasil, 171 se encontram na Mata 
Atlântica. Quantos números citados anteriormente são múltiplos de 3? 
 
A) 5 B) 3 C) 1 D) 2 E) 4 
 
Fonte: Prova Correios para Carteiro I – realizada por Consulplan - 2008 
 
Recordando: 
Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por. 
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é múltiplo de 3, ou seja 
é divisível por 3. 
 
Solução: 
250 = 2 + 5 + 0 = 7 – não é divisível por 3 
1050 = 1 + 0 + 5 + 0 = 6 – é divisível por 3 
197 = 1 + 9 + 7 = 17 – não é divisível por 3 
340 = 3 + 4 + 0 = 7 – não é divisível por 3 
350 = 3 + 5 + 0 = 8 – não é divisível por 3 
202 = 2 + 0 + 2 = 4 não é divisível por 3 
171 + 1 + 7 + 1 = 9 – é divisível por 3 
 
Resposta: letra D 
 
Problema 5: (Expcex – 1980) Dois números tem como MMC 240, e como MDC 20. 
Calcule a soma desses números, sabendo que um deles é 60. 
a) 60 
b) 80 
c) 100 
d) 120 
e) 140 
 
Solução: 
 
O problema é facilmente resolvido desde que seja lembrado que o produto entre dois 
números naturais é igual ao produto entre o MMC e o MDC deles, ou seja: 
 
a × b = MMC (a, b) × MDC (a, b) 
 
 
Assim, se um dos números, MMC e MDC são respectivamente 60, 240 e 20, logo para 
determinarmos o outro número, o qual denominamos de X, basta aplicar a regra acima, 
ou seja: 
 
35 
 
60.X = mmc (60, X). mdc (60, X) 
60.X = 240. 20 
60.X = 4800 
X = 4800/60 
X = 80 
 
Portanto, a soma dos números em questão é: 
60 + 80 = 140. 
 
Problema 6: (Univasf – 2009.2) Quantos são os divisores naturais do número 
1.003.003.001 = (10³ + 1) ³? 
 
a) 64 
b) 60 
c) 56 
d) 52 
e) 48 
 
Solução: 
 
Inicialmente, iremos desenvolver os parênteses, seja: 
 
10³ + 1 = 1001 
 
Em seguida, escrevemos o resultado na forma fatorada, ou seja 
 
1001 = 7.11.13. 
 
Com isso: 
(10³ + 1) ³ = 7³. 11³. 13³ 
 
Daí, o número de divisores naturais será: 
 
(3 + 1). (3 + 1). (3 + 1) = 4. 4. 4 = 64 divisores naturais. 
 
Problema 7 (Torneio das Cidades – 1984) Na Ilha dos Camaleões moram 13 Camaleões 
cinzas, 15 Camaleões marrons e 17 Camaleões vermelhos. Se dois camaleões de cores 
distintas se encontram, simultaneamente ambos mudam de cor para a terceira cor (isto é, 
se um camaleão marrom e um cinza se encontram, ambos se tornam vermelhos). 
É possível que em determinado instante todos os camaleões estejam todos com uma 
mesma cor? 
 
 
 
 
 
36 
 
Solução 
 
A solução do problema aparece rapidamente quando consideramos a divisão por 3. 
Assim, é fácil ver que, no início da observação, os restos da divisão por 3 das quantidades 
de camaleões de cada cor são: 
13 = 4  3 + 1  Resto 1; 
15 = 5  3 + 0  Resto 0; 
17 = 5  3 + 2  Resto 2; 
Logo, no início os restos da divisão por 3 da quantidade de camaleões são 0, 1 e 2. 
Observe que, o encontro de dois quaisquer desses camaleões produzem uma alteração na 
quantidade de camaleões por cor. De fato, se no primeiro encontro foi: 
(i) 1 cinza e 1 marrom, a quantidade de camaleões por cor mudou para: 12 cinzas, 14 
marrons e 19 vermelhos; 
(ii) 1 marrom e 1 vermelho, a quantidade de camaleões por cor mudou para: 15 cinzas, 
14 marrons e 16 vermelhos; etc. 
Agora, é fácil ver que o resto da divisão por 3 das três quantidades de camaleões por cor 
não mudam, são sempre 0, 1 e 2 (não necessariamente nesta ordem). Isto implica que no 
mínimo duas cores ficam presentes ao longo de todos os encontros, o que torna impossível 
que exista um momento no qual todos os camaleões tenham a mesma cor. 
Portanto, a resposta é não. 
É interessante notar que só aconteceria de todos tomassem a mesma cor se as quantidades 
iniciais de duas das cores fossem iguais. 
 
Problema 8 (XXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA – 2001) Joana 
escreve a sequência de números naturais 1, 6, 11, ..., onde cada número, com exceção do 
primeiro, é igual ao anterior mais cinco. Joana para quando encontra o primeiro número 
de três algarismos. Esse número é: 
 
Solução: 
 
Os números da sequência, quando divididos por 5, deixam resto igual a 1. O menor 
número de três algarismos nessas condições é o 101. 
 
Problema 9 (Prova do magistério do Rio de Janeiro 2007) Se a, b e c são algarismos 
diferentes de zero, o quociente da divisão do número abcabc de seis algarismos por 
11×13×7 é: 
 
Solução via Teoria dos restos: 
 
Um número, de seis algarismos, da forma abcabc pode ser escrito como uma expressão 
na forma: abc x 1000 + abc. O que precisamos saber é o quociente de sua divisão pelo 
produto 11 × 13 × 7 = 1001. Assim, podemos escrever: 
 
abc × 1000 + abc 
1001 
Colocando abc em evidencia, teremos: 
 
 
37 
 
abc × (1000 + 1) 
1001 
= abc × 1001 
1001 
= abc 
 
No entanto, descobrimos que o quociente de abcabc por 11 × 13 × 7 é abc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
6. CONCLUSÃO 
 
As proposições básicas da Aritmética Modular apresentadas se mostraram de fácil 
entendimento, mesmo se tratando de um púbico jovem, pois envolvem apenas as 
operações fundamentais. Uma vez compreendidas as proposições, uma gama de 
regras de divisibilidade, antes apresentadas de forma obscura e sem justificativas 
pertinentes, passam a ser bastante claras. Além disso, criam suporte para 
investigação de outras regras, não necessariamente apresentadas pelo professor. 
Além disso, atingimos o objetivo de esquematizar um material passível e 
interessante de ser utilizado em formação inicial e continuada de docentes, e que 
também pode ser usado em sala, com atividades adequadas ao público alvo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
DANTE, Luiz Roberto. Restos, Congruência e Divisibilidade. Artigo – (RPM) Revista 
do Professor de Matemática. Disponível em: http://www.rpm.org.br/cdrpm/10/9.htm. 
 
NITERÓI, Mário Gustavo Pinto Guedes. Outros critérios de divisibilidade. Artigo – 
(RPM) Revista do professor de matemática. Disponível em: 
http://www.rpm.org.br/cdrpm/12/6.htm. 
 
PATERLINI, Roberto Ribeiro. Um método para o cálculo do MDC e do MMC. Artigo 
– (RPM) Revista do Professor de Matemática. Disponível em: 
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/6.htm. 
 
TÁBOAS, Carmem M. G., RIBEIRO, Hermano de Souza. Sobre critério de 
divisibilidade. Artigo – (RPM) Revista do professor de matemática. Disponível em: 
http://www.rpm.org.br/cdrpm/6/5.htm. 
 
E. de ALENCAR FILHO. Teoria Elementar dos Números. São Paulo, Nobel, 1989. 
 
http://matematica.obmep.org.br/ 
 
 
 
 
 
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