APOSTILA-INTRODUÇÃO-A-TEORIA-DOS-NÚMEROS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO A TEORIA DOS 
NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
1 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 3 
2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS ................................................................................... 4 
2.1 Origens primitivas ............................................................................................... 4 
2.2 Sistema de numeração Babilônico ...................................................................... 5 
2.3 Sistema de numeração Egípcio .......................................................................... 6 
2.4 O Sistema Romano ............................................................................................. 6 
2.5 Sistema de numeração indo – arábico ................................................................ 7 
3 NÚMEROS INTEIROS E INDUÇÃO MATEMÁTICA ............................................... 8 
3.1 Conjunto dos números inteiros ℤ ........................................................................ 8 
3.1.1 Propriedades do operador adição (+) sobre o conjunto dos números inteiros ℤ..9 
3.1.2 Propriedades do operador multiplicação (∙) sobre o conjunto dos números inteiros 
ℤ.................................................................................................................................10 
3.1.3 Divisibilidade no conjunto dos números inteiros ℤ ............................................ 11 
3.2 Conectivos lógicos ............................................................................................ 11 
3.2.1 Conjunção.... ..................................................................................................... 12 
3.2.2 Disjunção..... ..................................................................................................... 12 
3.2.3 Condicional...... ................................................................................................ .13 
3.2.4 Bicondicional ..................................................................................................... 14 
3.3 Princípio da indução matemática ...................................................................... 14 
4 DIVISIBILIDADE ................................................................................................... 17 
4.1 O algoritmo euclidiano ...................................................................................... 17 
4.2 Teorema do algoritmo da divisão de Euclides .................................................. 18 
4.2.1 Demonstração do teorema do algoritmo da divisão de Euclides ...................... 18 
4.3 Sistema de numeração decimal ........................................................................ 21 
5 NÚMEROS PRIMOS ............................................................................................. 23 
5.1 Teorema fundamental da aritmética ................................................................. 25 
6 MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO ..................................................... 30 
6.1 MMC e MDC ..................................................................................................... 31 
7 DIVISIBILIDADE E O USO DA CONGRUÊNCIA E DOS TEOREMAS DE FERMAT 
E DE WILSON ........................................................................................................... 35 
7.1 Critérios de divisibilidade aplicando congruência.............................................. 35 
 
2 
 
7.2 Critérios de divisibilidade .................................................................................. 36 
7.2.1 Critério de divisibilidade por 2 ........................................................................... 37 
7.2.2 Critério de divisibilidade por 3 ........................................................................... 37 
7.2.3 Critério de divisibilidade por 4 ........................................................................... 37 
7.2.4 Critério de divisibilidade por 8 ........................................................................... 38 
7.2.5 Critério de divisibilidade por 11 ......................................................................... 38 
7.3 Estruturação dos teoremas de Wilson e de Fermat .......................................... 40 
7.3.1 Teorema de Wilson ........................................................................................... 42 
7.3.2 Teorema de Euler ............................................................................................. 44 
7.3.3 Teorema de Fermat .......................................................................................... 45 
7.4 Aplicações dos teoremas de Wilson e de Fermat ............................................. 46 
8 EQUAÇÕES DIOFANTINAS E O TEOREMA CHINÊS DO RESTO ..................... 47 
8.1 Equações diofantinas ........................................................................................ 47 
8.2 Teorema chinês do resto .................................................................................. 51 
9 O PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS .............................................................. 54 
10 FUNÇÃO DE MÖBIUS .......................................................................................... 58 
11 PRIMOS DE FERMAT E DE MERSENNE ............................................................ 60 
11.1 Números Perfeitos ............................................................................................ 62 
12 SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ............................................................................... 64 
13 CONGRUÊNCIAS QUADRÁTICAS ...................................................................... 68 
13.1 Resíduos Quadráticos ...................................................................................... 68 
13.2 Símbolo de Legendre e o Critério de Euler ....................................................... 70 
14 A LEI DA RECIPROCIDADE QUADRATICA ........................................................ 72 
14.1 As Leis suplementares ...................................................................................... 73 
14.2 O Lema de Gaus ............................................................................................... 73 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em 
tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora 
que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS 
 
Os números estão em toda parte como em um calendário, na identificação de 
um jogador (camiseta 10), no código do ônibus (637 – J), nos telefones (2643 – 0000), 
na colocação de ganhadores com seu número ordinal (1° colocado, 2° colocado e 
assim por diante), os números são utilizados em diversas situações por meiode 
representações gráficas ou tabelas, por meio de medidas e grandezas. Dessa maneira 
percebemos que não podemos viver sem eles. Mas vem a curiosidade desde quando 
os números existem? 
A história dos números faz parte da história da humanidade na qual 
encontramos extraordinárias realizações, ligadas diretamente a noção de número e 
sistemas de numerações. Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais 
atrasadas, encontra-se no homem, o sentido do número. Os números são tão 
familiares que raramente pensamos como é que eles apareceram, mas não podemos 
deixar-nos conduzir pelo pensamento de que uma Matemática simples tem 
necessariamente uma história simples. (SALOMÃO, 2019). 
 
2.1 Origens primitivas 
 
A ideia de número pode ser representada pelos dedos de uma mão para indicar 
um conjunto de um a cinco objetos e para representar duas mãos para contar até o 
dez e se combinar os dedos dos pés para contar até vinte. Quando faltavam elementos 
para contar nos dedos humanos, usava monte de pedras para representar um 
conjunto, no início grupos de cinco pedras. “[...] Homem pré-histórico às vezes 
registrava um número fazendo marcas num bastão ou pedaço de osso [...]” (BOYER, 
1974, p. 3). Para compreendermos a complexidade de nosso sistema de numeração, 
devemos analisar os sistemas de numerações já existentes. “Umas das mais antigas 
é a dos egípcios, datada de 5500 anos. Quase na mesma época e próximo ao Egito, 
desenvolveu-se uma civilização na Mesopotâmia, região que corresponde atualmente 
ao Iraque [...]” (IMENES, 1999, p. 17). 
Segundo Imenes (1999) como tínhamos civilizações, e como as pessoas 
tinham que se alimentar, o comércio começou a progredir com barcos de mercadorias, 
tecidos na qual navegam pelo mar Vermelho e Mediterrâneo e para ter as negociações 
 
5 
 
precisavam de produtos, pagamentos e como fazer isso sem os números, com isso e 
outros itens necessários os números como na contagem de soldados, pagar impostos 
cobrados da população, observou – se que os números era essenciais por esse motivo 
cada civilização inventou um sistema de numeração. 
 
2.2 Sistema de numeração Babilônico 
 
Segundo Almeida (2007), foi na Mesopotâmia, (do grego, mesos e potamos 
que significa “terra entre rios” - nome que os gregos deram ao território situado entre 
as bacias dos rios Tigre e Eufrates), que as primeiras sociedades urbanas surgiram e 
onde, um pouco antes do fim do IV milênio a.C., apareceu a primeira escrita. Esta 
grande mudança na organização social teve consequências importantes na história 
da Matemática. 
Na cidade da Mesopotâmia, encontraram-se milhares de placas de barro que 
havia registros na qual foi possível decifrar o sistema de numeração mesopotâmico. 
Os babilônios recorreram a um sistema de numeração cuja base era 60 (sexagesimal), 
utilizando-se apenas de dois símbolos, devendo esse sistema ser também posicional. 
Os símbolos numéricos eram esculpidos em pequenas placas de argila, que serviam 
de base de “impressão” da escrita cuneiforme. 
 
 
Fonte: História dos Números, (SALOMÃO, 2018). 
 
6 
 
2.3 Sistema de numeração Egípcio 
 
Os egípcios criaram um elaborado sistema de escrita, que incluía também uma 
forma de registro numérico por volta de 3000 a.C, ou seja, mais ou menos ao mesmo 
tempo que na Mesopotâmia. 
 
O sistema egípcio de numeração utilizava a base dez, mas, tal como visto 
para as culturas mesopotâmicas, eles não tinham nenhum símbolo para o 
zero. Os números de 1 a 9 eram representados por uma respectiva 
quantidade de traços verticais, sendo que cada símbolo poderia se repetir até 
nove vezes. O valor de cada símbolo é sempre o mesmo, independente de 
seu posicionamento. Para que se entendesse a quantidade ali representada, 
utilizava-se a adição dos valores socialmente atribuídos a esses símbolos. 
(SILVA, 2016, p. 30) 
 
Segundo Silva (2016), a base do sistema de numeração hieroglífico é 10, 
existindo símbolos para 1, 10, 100, 1 000, 10 000 e 1 000 000, como se poderá 
observar na figura que se segue. 
 
 
Fonte: GULLBERG,Jan. Mathematics, from the birth of numbers. Nova Iorque: W.W. Norton & 
Company,1997 
 
2.4 O Sistema Romano 
 
Segundo Silva (2016) com o cenário mundial de Roma, os numerais ficaram 
conhecidos por toda parte, pois sua escrita e seus monumentos utilizavam seu 
sistema de numeração. Esse sistema estendeu a todo o império romano. 
O sistema de numeração romano sofreu um longo processo de evolução. 
Inicialmente, utilizavam apenas o princípio aditivo, sendo que um mesmo símbolo 
podia ser repetido até, no máximo, 4 vezes, como os outros sistemas já utilizam do 
princípio aditivo. Após estudos passaram a utilizar o princípio subtrativo, além de 
permitir a repetição de um mesmo símbolo, no máximo, três vezes. 
 
7 
 
Esse sistema de numeração foi edificado como um sistema de agrupamento 
simples de base dez, utilizando-se do princípio posicional subtrativo, para representar 
algumas quantidades. Segundo Eves (1997), os símbolos gráficos a que este sistema 
recorre, tal como os conhecemos hoje. 
Os romanos desconheciam o zero, introduzido posteriormente pelos árabes de 
forma que não existia nenhuma forma de representação deste valor pelo fato de terem 
apenas como base o início do numeral o um. Usavam um sistema interessante para 
representar os números. Utilizavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas 
atribuíam valores. 
Segue tabela com os principais algarismos romanos: 
 
 
 
2.5 Sistema de numeração indo – arábico 
 
O sistema de numeração indo arábico, também conhecido como decimal, é o 
mais utilizado no nosso dia a dia, foi criado aproximadamente 1500 anos pelos povos 
hindus e foi divulgado na Europa pelos árabes, e passou por muitas modificações para 
chegar no sistema que temos hoje. Existe dez símbolos para representar os números 
que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Ele é utilizado no valor posicional. 
 
 
8 
 
3 NÚMEROS INTEIROS E INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
Nesta seção, você vai aprender importantes conceitos matemáticos que vão 
acompanhar você ao longo de sua formação. Inicialmente, você vai estudar a ideia 
intuitiva de conjuntos e do pertencimento ou não de um elemento a um determinado 
conjunto. Ainda no tema dos conjuntos, você vai estudar o conjunto dos números 
inteiros, quais operações estão definidas sobre eles e quais são as propriedades 
dessas operações. 
Você também vai compreender um dos alicerces da matemática, que são as 
demonstrações e seus tipos. Toda a matemática se fundamenta nesse tipo de 
estratégia. 
Por fim, você vai estudar um dos princípios da matemática mais simples, que é 
o princípio da indução finita, que mostra propriedades que são verdadeiras para uma 
sequência de objetos, sem a necessidade de provar cada uma delas. 
 
3.1 Conjunto dos números inteiros ℤ 
 
Para compreender o conjunto dos números inteiros ℤ, faz-se necessário 
conhecer alguns conceitos iniciais que auxiliam na construção do pensamento 
matemático. Como observam Iezzi e Murakami (2019), quando se considera a teoria 
dos conjuntos, há três noções que são aceitas sem definição, a saber: conjunto, 
elemento e pertinência entre um elemento e um conjunto. 
Ainda segundo esses autores, na matemática, a noção de conjunto é 
praticamente a mesma que se utiliza na linguagem comum, ou seja, tem-se o sentido 
de agrupamento, classe; por exemplo: conjuntos dos meses de um ano, dos dias de 
um mês, de vogais, entre tantos outros. Assim, considerando-se que A é um conjunto 
e x é um elemento, se x pertence ao conjunto A, então se denota x ∈ A. Por sua vez, 
se x não pertence ao conjunto A, então se escreve x ∉ A. A Figura abaixo também 
demonstra essa notação de pertencimento 
Na matemática, o conjunto numérico matemático mais elementar é o conjunto 
dos números naturais, o qual é denotado por ℕ e possui como elementos {1,2,3,4…}. 
Sobre esse conjunto, podem ser definidasas operações de soma e multiplicação. 
 
 
9 
 
 
Representação do conjunto A e a notação de pertencimento do elemento a ao conjunto A 
Fonte: SANTIAGO, 2018 
 
Uma extensão do conjunto dos números naturais é o conjunto dos números 
inteiros, o qual é denotado por ℤ. (SANTIAGO, 2018). 
Os seguintes elementos compõem esse conjunto: ℤ = {… –3,–2,–1,0,1,2,3, …}. 
Sobre esse conjunto, é possível distinguir três subconjuntos notáveis, a saber: 
 Conjunto dos números inteiros não negativos, denotado por ℤ+ = {0,1,2,3,…} 
= N; portanto, o conjunto dos números naturais é um subconjunto de ℤ. 
 Conjunto dos números inteiros não positivos, denotados por ℤ– = {…,–3,–
2,–1,0}. 
 Conjunto dos inteiros não nulos, denotados por ℤ* = {…–3,–2,–1,1,2,3,…}. 
Sobre o conjunto dos números inteiros ℤ, podem ser definidas operações de 
adição e multiplicação, sendo para cada uma delas válidas as propriedades 
apresentadas a seguir. 
 
3.1.1 Propriedades do operador adição (+) sobre o conjunto dos números 
inteiros ℤ 
 
Dados quaisquer elementos a, b, c ∈ ℤ e o operador de adição (+), são válidas 
as propriedades descritas a seguir. 
 
Associação em relação à adição: para quaisquer elementos a, b, c 
pertencentes ao conjunto dos números inteiros, matematicamente descrito por ∀ a, b, 
c ∈ ℤ, é válida a seguinte igualdade: 
 
(a + b) + c = a + (b + c), ∀ a, b, c ∈ ℤ 
 
 
10 
 
Comutativa em relação à adição: para quaisquer elementos a e b 
pertencentes ao conjunto dos números inteiros, sendo matematicamente descrito por 
∀ a, b ∈ ℤ, é válida a seguinte igualdade: 
 
a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ℤ 
 
Elemento neutro da adição: existe e é único o elemento neutro da adição em 
ℤ, de modo a se obter a igualdade a seguir: 
 
a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ Z, ∃!0 ∈ ℤ 
 
Simétrico da adição: para todo a ∈ ℤ, existe –a ∈ ℤ, tal que a igualdade a 
seguir é mantida: 
 
a + (–a) = (–a) + a = 0, ∀ a ∈ ℤ 
 
3.1.2 Propriedades do operador multiplicação (∙) sobre o conjunto dos números 
inteiros ℤ 
 
Dados quaisquer elementos a, b, c ∈ ℤ e o operador de multiplicação (∙), são 
válidas as propriedades descritas a seguir. (SANTIAGO, 2018). 
 
Associativa da multiplicação: dados quaisquer a, b, c ∈ ℤ, é válida a 
associatividade da multiplicação para esses elementos. Portanto, é válida a igualdade 
a seguir: 
 
(ab)c = a(bc), ∀ a, b, c ∈ ℤ 
 
Comutativa da multiplicação: dados quaisquer a, b ∈ ℤ, é válida a 
comutatividade da multiplicação para esses elementos. Portanto, é válida a igualdade 
a seguir: 
 
ab = ba, ∀ a, b ∈ ℤ 
 
11 
 
Elemento neutro da multiplicação: existe e é único o elemento neutro da 
multiplicação em ℤ, para ∀ a ∈ ℤ, sendo válida a igualdade a seguir: 
 
a ∙ 1 = 1 ∙ a = a, ∀ a ∈ Z, ∃!1 ∈ ℤ 
 
Distributiva da adição em relação à multiplicação: dados quaisquer a, b, c 
∈ ℤ, bem como os operadores de adição (+) e de multiplicação (∙), é válida a 
distribuição da multiplicação em relação à adição à esquerda e à direita. Portanto, é 
válida a igualdade a seguir: 
 
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c = b ∙ a + c ∙ a = (b + c) ∙ a, ∀ a, b, c ∈ ℤ 
 
3.1.3 Divisibilidade no conjunto dos números inteiros ℤ 
 
Sobre o conjunto dos números inteiros ℤ, é possível definir o conceito de divisor. 
Nesse sentido, diz-se que a ∈ ℤ é divisor inteiro de b ∈ ℤ, e se denota por a|b quando 
existe c ∈ ℤ tal que seja válida a seguinte igualdade: ca = b. (SANTIAGO, 2018). 
Portanto, matematicamente, tem-se: 
 
a|b ⇔ (∃ c ∈ ℤ|c ∙ a = b) 
 
Por exemplo: 
–2|–14 ⇔ 7(–2) = –14 
 
 
 
3.2 Conectivos lógicos 
 
Na matemática, você vai encontrar essencialmente quatro tipos de conectivos, 
a saber: 
 
12 
 
 o conectivo “e”, denotado por “∧”; 
 o conectivo “ou”, denotado por “∨”; 
 o conectivo “se”, matematicamente denotado por “→”; e 
 o conectivo “se e somente se”, denotado por “↔”. 
A partir dos conectivos apresentados, e considerando-se as proposições “p” e 
“q”, obtêm-se a conjunção “p ∧ q", a disjunção “p ∨ q”, a condicional “p → q” e a 
bicondicional “p ↔ q”. A seguir, você vai estudar cada uma delas. 
 
3.2.1 Conjunção 
 
Sejam “p” e “q” duas proposições; ao se colocar o conectivo “e” denotado por 
“∧” entre elas, obtém-se uma nova proposição denominada conjunção entre “p” e “q”, 
a qual é denotada por “p ∧ q”. Por exemplo: 
 
p: 3 > 0, q: 3 ≠ 1, p ∧ q: 3 > 0 e 3 ≠ 1 
 
A conjunção “p ∧ q” será verdadeira apenas se ambas as proposições “p” e “q” 
são verdadeiras. Se uma delas for falsa, isso implica que “p ∧ q” é falso. (SANTIAGO, 
2018). A partir do exposto, obtém-se a tabela verdade expressa no Quadro a seguir: 
 
 
Fonte: SANTIAGO, 2018. 
 
3.2.2 Disjunção 
 
Assim como para a conjunção, considere “p” e “q” duas proposições. Ao se 
colocar o conectivo “ou”, denotado por “∨”, entre elas, obtém-se uma nova proposição 
denominada disjunção entre “p” ou “q”, a qual é denotada por “p ∨ q”. (SANTIAGO, 
2018). Por exemplo: 
 
13 
 
p: 4 > 0, q: 4 > 2, p ∨ q: 4 > 0 ou 4 > 2 
 
A disjunção “p ∧ q” será verdadeira se ao menos uma das proposições “p” e “q” 
forem verdadeiras, e “p ∧ q” será falsa apenas se as duas proposições “p” e “q” forem 
falsas. A partir do exposto, obtém-se a tabela verdade apresentada no Quadro abaixo: 
 
 
Fonte: SANTIAGO, 2018. 
 
3.2.3 Condicional 
 
Considere as proposições “p” e “q”. Ao se colocar o condicional “→” entre elas, 
é obtida uma nova proposição, dada por “p → q”, que se lê: se “p”, então “q”; portanto, 
“p é condição necessária para q” ou “q é uma condição suficiente para p”. (SANTIAGO, 
2018). Por exemplo: 
 p: quatro é divisor de oito (4|8); 
 q: oito é divisor de quarenta (8|40); 
 p → q: se quatro é divisor de oito, então quatro é divisor de quarenta. 
O condicional “p → q” assume o valor de falso apenas quando “p” é verdadeira 
e “q” é falsa; caso contrário, “p → q” é verdadeiro. A partir do exposto, obtém-se a 
tabela verdade apresentada no Quadro abaixo: 
 
 
Fonte: SANTIAGO, 2018. 
 
14 
 
3.2.4 Bicondicional 
 
Considere “p” e “q” duas proposições. Ao se colocar o conectivo “↔” entre elas, 
obtém-se uma nova proposição dada por “p ↔ q”, a qual se lê: “p” se e somente se 
“q”; ou “p” é uma condição necessária e suficiente para “q”; ou, ainda, se “p”, então “q” 
é reciprocamente. (SANTIAGO, 2018). Por exemplo: 
 
p: 2|12, q: 27|127, p ⇔ q: 2|12 ⇔ 27|127 
 
O bicondicional “↔” assume valor verdadeiro apenas quando ambas as 
proposições “p” e “q” são verdadeiras, ou quando ambas simultaneamente são falsas. 
Caso contrário, o condicional “↔” é falso. A partir do exposto, obtém-se a tabela 
verdade mostrada no Quadro a seguir: 
 
 
Fonte: SANTIAGO, 2018. 
 
3.3 Princípio da indução matemática 
 
Neste tópico, você vai aprender um dos princípios mais importantes da 
matemática, conhecido como princípio da indução finita. Este é empregado para 
demostrar que uma sequência de proposições P(1), P(2), …, P(n) é verdadeira sem 
que seja necessário realizar a prova para cada uma delas. 
De acordo com Mota e Carvalho (2011), ao fazer uso do princípio da indução 
matemática, basta mostrar que P(1) é verdadeira; em seguida, deve-se supor que P(k) 
é verdadeira e, por fim, mostrar que P(k + 1) é verdadeira. Nesse tipo de 
demonstração, P(k) é denominada hipótese de indução. 
Para compreender como funciona o princípio da indução, suponha que você 
queira demonstrar que a sequência: 
 
15 
 
 
 
é verdadeira para todo n ∈ ℕ. Assim, inicialmente, você deve mostrar que P(1) é 
verdadeira; assim: 
 
 
 
portanto, a igualdade é válida. Como segundo passo, você deve supor que a 
propriedade é válida para uma quantidade, assumindo assim a hipótese de indução: 
 
 
 
No terceiro e último passo, você deve mostrar que ela é válida para P(k + 1). Assim, 
tem-se: 
 
 
 
Dessa forma, ao assumir P(k) como verdadeira, foi possível provar que P(K + 1) é 
verdadeira, concluindo assim a demonstração. 
 
De acordocom Hefez (2009), a demonstração mostrada no exemplo anterior 
foi feita pela primeira vez por Francesco Maurolycos no ano de 1575. É importante 
compreender que a indução matemática é diferente da indução empírica. Como 
observa Hefez (2009), essa última, após um número necessariamente finito de 
experimentos, permite formular leis gerais que regem o movimento. Tais leis são 
válidas até que seja provado o contrário. Já uma demonstração por indução 
matemática consiste em determinar que certa sentença aberta sobre os naturais é 
sempre verdadeira. 
 
16 
 
 
 
 
 
O primeiro uso conhecido da indução matemática é o trabalho do matemático 
Francesco Maurolico (1494–1575), no século XVI. Maurolico escreveu 
exaustivamente sobre os trabalhos de matemáticos clássicos e fez muitas 
contribuições em geometria e ótica. Em seu livro, Arithmeticorum Libri Duo, Maurolico 
apresentou várias propriedades de números inteiros juntamente com as 
demonstrações dessas propriedades. Para demonstrar algumas dessas 
propriedades, ele desenvolveu o método de indução matemática. Seu primeiro uso da 
indução matemática em seu livro foi para demonstrar que a soma dos primeiros n 
números inteiros positivos e ímpares é igual a n² . (ROSEN, 2009). 
 
17 
 
4 DIVISIBILIDADE 
 
Nesta seção, você vai aprender conceitos fundamentais da álgebra elementar 
que constituem um poderoso conjunto de ferramentas matemáticas empregadas na 
obtenção de teorias mais sofisticadas. Em um primeiro momento, você vai aprender o 
algoritmo euclidiano da divisão, verificando como este amplia o conceito de divisão 
sobre o conjunto dos números inteiros. 
Em um segundo momento, você vai estudar as propriedades do sistema de 
numeração decimal, este que é um dos mais importantes sistemas de numeração 
adotados atualmente. 
 
4.1 O algoritmo euclidiano 
 
Para estudar o algoritmo da divisão euclidiana, é importante recordar os 
conceitos referentes à divisão no conjunto de números inteiros ℤ, o que será feito 
neste primeiro momento. 
Dado um número inteiro qualquer, matematicamente denotado por ∀a ∈ ℤ, diz-
se que esse inteiro a é divisor do número inteiro b, ou, de forma análoga, que o inteiro 
b é divisível por a se existe outro número inteiro c, tal que b = a ∙ c. (SANTIAGO, 
2018). 
 
 
 
Se a|b e a ≠ 0, o número c ∈ ℤ da igualdade b = ac é denominado quociente de 
a por b e é denotado por b/a. 
 
Exemplo: 
O número inteiro 2 divide o inteiro 10, pois existe um c ∈ ℤ tal que b = a ∙ c, em 
que se tem a = 2, b = 10 e c = 5; portanto, 10 = 2 ∙ 5. 
 
18 
 
Segundo Domingues e Iezzi (2003), no conjunto Z, a relação x|y, como 
apresentada anteriormente, tem as propriedades a seguir, cujas demonstrações 
podem ser encontradas nos referidos autores. 
1. Seja a ∈ ℤ, então a|a (reflexividade). 
2. Dados a, b ∈ ℤ tal que a, b ≥ 0, se a|b e b|a, então a = b. 
3. Dados ∀a, b, c ∈ ℤ, se a|b e b|c, então a|c (transitividade). 
4. Dados ∀a, b, c ∈ ℤ, se a|b e a|c, então a|(bx + cy) ∀x, y ∈ ℤ. 
5. Dados ∀a, b, c, d ∈ ℤ, se a|b e c|d, então ac|bd. 
Como observado por Domingues e Iezzi (2003), existe uma infinidade de pares 
de números inteiros tais que nenhum deles é divisor um do outro — por exemplo, 2 
não é divisor de 5, nem 5 é divisor de 3. Assim, o algoritmo da divisão euclidiano que 
você vai estudar a seguir estabelece uma divisão com resto. Porém, antes da 
apresentação desse teorema, considere o lema a seguir. 
Lema: dados a, b ∈ ℤ, sendo a ≥ 0 e b > 0, então existem q, r ∈ ℤ, tais que a = 
bq + r, sendo 0 ≤ r < b. 
A demonstração do lema apresentado pode ser encontrada em Caixeta (2016). 
Como você verá a seguir, o teorema da divisão de Euclides amplia os resultados 
apresentados por esse lema. 
 
4.2 Teorema do algoritmo da divisão de Euclides 
 
Dados a, b ∈ ℤ, sendo b ≠ 0, então existem q, r ∈ ℤ únicos, tais que a = bq + r, 
sendo 0 ≤ r < |b|. Sendo a matemática uma ciência formal, ela requer que todo teorema 
seja demostrado. Assim, a seguir, você vai verificar a demonstração desse teorema, 
como feita por Caixeta (2016). 
 
4.2.1 Demonstração do teorema do algoritmo da divisão de Euclides 
 
A demonstração do teorema da divisão de Euclides é feita considerando-se 
dois casos separados. Uma vez que o teorema afirma que 0 ≤ r < |b|, deve-se 
considerar o caso em que b > 0 e aquele em que b < 0. Assim, tem-se as condições 
descritas a seguir. 
 
 
19 
 
 Para b > 0: 
■ se a > 0, o lema anteriormente apresentado garante a ocorrência do 
teorema. 
■ se a < 0, é possível determinar por meio do lema anteriormente 
apresentado q₁ e r₁, tais que |a| = b ∙ q₁+ r₁ , 0 ≤ r₁ < b. No caso em que r₁ = 
0, tem-se –|a| = a = b(q₁) + 0. Portanto, q = –q₁ e r = 0 satisfazem a condição 
do teorema. Considerando-se agora r₁ > 0, tem-se: 
 
 
 
■ Uma vez que 0 < b – r₁ < b, então q = –q₁ – 1 e r = b – r₁, o que satisfaz 
as condições do teorema. 
 
 Para b < 0: 
■ Para ∀a ∈ ℤ, é possível determinar q₁ e r₁, tais que a = |b| ∙ q₁ + r₁, 0 
≤ r₁ < |b|. No caso em que b < 0, então |b| = –b; logo, a = |b| ∙ q₁ + r₁ = 
(–b) ∙ q₁+ r₁ = (b) ∙ (–q₁) + r₁. Portanto, q = –q₁ e r = r₁, que satisfazem 
as condições do teorema. 
 
Até este ponto, você aprendeu a demonstrar a existência de q e r; no entanto, 
para que a demonstração esteja completa, faz-se necessário provar a unicidade de 
ambos. De fato, a = b ∙ q + r = a = b ∙ q₁ + r₁. (SANTIAGO, 2018). Assumindo sem 
perda de generalidade que r1 ≥ r, tem-se que (q – q₁)b = r₁ – r; uma vez que |b| > r₁, 
tem-se r₁ – r < |b|. Por sua vez, (q – q₁)b = r₁ – r ⇒ 0 ≤ |q – q₁ ||b| < |b|. Como |b| > 0, 
tem-se que 0 ≤ |q – q₁ | < 1. Como entre 0 e 1 não há outros números inteiros, tem-se 
|q – q₁| = 0 ⇒ q = q₁. Assim, 
 
 
O que demonstra a unicidade de q e r. 
 
 
 
 
20 
 
Exemplo 1 
Determine o número natural que, quando dividido por 7, resulta em um quociente 4 e 
resto o maior possível. 
 
Solução 
A fim de se determinar o maior resto possível, é necessário revisitar o teorema, que 
diz: dados a, b ∈ ℤ, sendo b ≠ 0, então existem q, r ∈ ℤ únicos, tais que a = bq + r, 
sendo 0 ≤ r < |b|. Considerando-se ℤ+, tem-se que 0 ≤ r < 7. Logo, os únicos valores 
que podem ser assumidos por r são {0,1,2,3,4,5,6}. Voltando com as informações do 
exemplo, tem-se: a = 7 ∙ 4 + 6 ⇒ a = 34. 
 
Exemplo 2 
Determine os valores de p e q de modo que, para A = 720 e B = 2ᴾ ∙ 5ɋ, MDC (A, B) 
= 8. 
 
Solução 
Inicialmente, deve-se fatorar o número 720. Dessa forma, tem-se: A = 720 = 2⁴∙ 3² ∙ 
5. Além disso, você sabe que: MDC(A, B) = 8 = 2ᶟ . Considerando-se B = 2ᴾ ∙ 5ɋ, é 
possível afirmar que p = 3. Dessa forma, 2ᶟ passa a ser comum entre os dois termos. 
Como o 5 não aparece no MDC, a única alternativa para q é este ser zero, pois 5⁰ = 
1. 
 
 
Fonte: https://blog.faspec.edu.br/ 
 
21 
 
4.3 Sistema de numeração decimal 
 
Neste tópico, você vai aprender os principais conceitos envolvendo o sistema 
de numeração decimal. No entanto, faz-se necessário incialmente compreender o 
significado da palavra sistema. Como afirma André (2009), a palavra “sistema” 
designa uma forma de organizar ou sistematizar algo a fim de se chegar a resultados 
favoráveis. Ainda segundo o referido autor, ela também pode ser entendida como a 
relação entre elementos que formam uma totalidade. 
Segundo Domingues e Iezzi (2003), o primeiro sistema decimal posicional data 
do século XV a.C., tendo origem na China. No entanto, esse sistema tinha 
características diferentes do atual e, apesar de ter apresentado algumas evoluções 
ao longo do tempo — como um símbolo para o zero, ele não prosperou. 
Como observa Cardoso (1992), coube aos hindus o desenvolvimento do 
sistema de numeração decimal na forma como o conhecemos, por volta do ano de 
400 d.C. O povo hindu reuniu as características existentes nos sistemas numéricos 
de outros povos em um único sistema; assim, foram eles os responsáveispor reunir 
os 10 símbolos utilizados para representar qualquer quantidade. 
De acordo com André (2009), a partir da invasão da Europa e por meio do 
comércio, os árabes espalharam pelo mundo os símbolos hindus, os quais evoluíram 
até os dias atuais. Ainda segundo o referido autor, a estrutura do sistema de 
numeração indo-arábico garante a realização de operações mais facilmente, uma vez 
que permite representar qualquer quantidade de forma fácil. As características desse 
sistema podem ser sintetizadas como apresentado a seguir. 
 No sistema decimal de numeração, são utilizados somente 10 símbolos, a 
fim de representar toda e qualquer quantidade; esses símbolos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9. 
 O símbolo 0 indica a ausência de quantidade em uma determinada ordem. 
 O sistema de numeração decimal é multiplicativo, uma vez que o valor 
posicional é obtido via multiplicação. 
 O sistema de numeração decimal é aditivo, pois o valor total de um número 
é obtido por meio de uma adição. 
 
 
 
 
22 
 
Como observam Domingues e Iezzi (2003), o resultado apresentado 
anteriormente é uma consequência do algoritmo euclidiano da divisão. Os autores 
justificam essa afirmação supondo n ∈ ℕ, tal que n ≥ 10 — assim, n < 10 é imediato. 
Partindo da suposição anterior, aplica-se o algoritmo de Euclides a esse número que 
contém n como dividendo e 10 como divisor. Assim, tem-se: n = 10 ∙ q + r, sendo 0 ≤ 
r ≤ 9 
 
 
Se 0 ≤ q ≤ 9, a justificativa está encerrada, uma vez que a igualdade dada por 
n = 10 ∙ q + r está em conformidade com o enunciado, pois 0 ≤ q e r ≤ 9. Caso se tenha 
q > 9, deve-se então aplicar novamente o algoritmo da divisão euclidiana, no entanto, 
tendo agora q como dividendo e 10 como divisor, obtendo-se, assim, q = 10 ∙ q₁ + r₁, 
sendo 0 ≤ r₁ ≤ 9. Então, n = 10 ∙ q + r é escrito com o auxílio do resultado obtido por n 
= 10 ∙ (10 ∙ q₁ + r₁) + r. Caso se tenha 0 ≤ q₁ ≤ 9, a justificação está encerrada, uma 
vez que 0 ≤ r, r₁ e q₁ ≤ 9. Caso contrário, aplica-se o algoritmo a q₁ e 10, e assim 
sucessivamente. 
 
 
 
 
23 
 
5 NÚMEROS PRIMOS 
 
Os números primos são números que podem ser divididos por apenas dois 
divisores: o número um e ele mesmo. 
Inicialmente, relembraremos um pouco sobre conjuntos numéricos, 
especificamente o conjunto Z dos números inteiros, no qual estão todos os números, 
inteiros, negativos e positivos. 
 
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
Entre os elementos dos números inteiros, assim como acontece em outros 
conjuntos numéricos, podemos facilmente separar os números pares dos números 
ímpares. O conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são 
subconjuntos dos números inteiros. (STEFANI, 2018). 
Por definição, um número par é aquele múltiplo de 2, inclusive o número 0 
(zero), ou todo número par é divisível por 2. Contudo, todo número ímpar não é 
múltiplo de 2. Assim, o subconjunto de Z formado pelos números pares é: 
 
{... –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6 ...} 
 
Analogamente, o subconjunto de Z composto por números ímpares é: 
 
{... –5, –3, –1, 1, 3, 5 ...} 
 
Outra “classificação” dentro do conjunto dos números inteiros, Z, refere-se aos 
números primos. Um número n inteiro, diferente de 1, é primo se seus divisores forem, 
exclusivamente, ±1 e ± n (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2014). 
Por exemplo, o número 2 é um número primo, pois somente na divisão por ±1 
e ± 2 temos uma divisão exata. Da mesma forma acontece com os números –2, 3, 
–3, 5, –5, 7, –7, 11, –11, 13, –13. 
Entretanto, diversos outros números no conjunto também são números primos, 
como os exemplos descritos a seguir. 
 
24 
 
Da sequência dos seguintes números, determine qual, ou quais, é ou são 
número(s) primo(s): 
 
27, 32, 41, 73, 89, 109 
 
 27 é um número divisível por ±1, ±3, ±9, ±27, portanto não é um número 
primo; 
 32 é divisível por ±1, ±2, ±4, ±8, ±16 e ±32, portanto não é um número primo; 
 41 é divisível por ±1 e ±41, portanto é um número primo; 
 73 é divisível por ±1 e ±73, portanto é um número primo; 
 89 é divisível por ±1 e ±89, portanto é um número primo; 
 109 é divisível por ±1 e ±109, portanto é um número primo. 
 
Ainda, pode-se determinar diversos outros números em Z que são números 
primos. 
 
 
 
Em outras palavras, um número positivo p é primo se ele tem exatamente dois 
divisores positivos — 1 e p (HARDY et al., 2009). Dessa definição, extrai-se que 1 não 
é primo, uma vez que ele não tem dois divisores positivos distintos. Logo, o menor 
número primo é 2, e ele é o único número primo par, já que qualquer outro número 
inteiro par n tem pelo menos três divisores distintos: 1, 2 e n. 
Para compreender as propriedades dos números primos com mais clareza e 
precisão, é útil definir uma notação para expressar a relação de divisibilidade entre 
números. Nesse sentido, sejam a e b números inteiros com a ≠ 0, suponha que ac = 
b para algum inteiro c. A afirmação de que a divide b ou de que b é divisível por a será 
denotada por a | b. Isso é equivalente a dizer que b é um múltiplo de a ou que a é um 
fator ou divisor de b. 
 
25 
 
5.1 Teorema fundamental da aritmética 
 
Não é incomum encontrar na literatura a noção de que os números primos 
podem ser considerados como “blocos de construção” a partir dos quais os demais 
números são gerados (isto é, números inteiros maiores que um). Indo mais além, eles 
também são tratados como blocos elementares sobre os quais toda a teoria dos 
números é fundamentada (SILVERMAN, 2011, tradução nossa). O próximo resultado, 
comumente conhecido como teorema fundamental da aritmética e enunciado em 
conformidade com Prest e Humphreys (2004, tradução nossa), traz essa noção dos 
números primos como elementos geradores dos demais inteiros positivos. 
Teorema fundamental da aritmética: Todo número inteiro positivo n maior ou 
igual a 2 pode ser escrito na forma: 
 
n = p₁ p₂ ... pr 
 
onde os inteiros p₁, p₂ ... pr são números primos (os quais não são necessariamente 
distintos) e r ≥ 1. Essa fatoração é única, no sentido de que se também existir: 
 
n = q₁ q₂ ... qs 
 
onde q₁, q₂ ... qs são números primos, então r = s, e é possível renumerar cada qi de 
tal forma que qi = pi para i = 1, 2, ..., r. Em outras palavras, a menos que haja 
rearranjos, há apenas uma maneira de se escrever um número inteiro positivo como 
produto de números primos. 
Outra maneira mais sucinta de apresentar o mesmo teorema foi indicada por 
Lipschutz e Lipson (2013), a saber: todo número n > 1 pode ser unicamente expresso 
(em termos de ordem) como um produto de primos distintos. Então, n pode ser 
expresso de maneira única como: 
 
n = p₁ᵐ ¹ p₂ᵐ ¹ ... pr ᵐ ʳ 
 
onde cada mi é positivo, e p₁ < p₂ < ... < pr. Essa fatoração é conhecida como 
decomposição canônica de n. 
 
26 
 
Demonstração (teorema fundamental da aritmética): A demonstração será feita 
em duas partes, conforme apresentado por Domingues e Iezzi (2003). Primeiramente, 
será mostrado que todo inteiro n positivo maior ou igual a 2 pode ser decomposto 
como um produto de primos. Para n = 2, não há o que ser provado, já que 2 é primo. 
Se n for maior que 2, então uma possibilidade é que n seja primo. Nesse caso, ele 
tem uma fatoração, com apenas um fator, conforme requerido pelo teorema. Caso n 
não seja primo (segunda possibilidade), pelo lema 2 ele possui um divisor primo 
positivo p1 que é o menor dentre os seus divisores. Logo, n pode ser escrito como um 
produto p1 q1 ∈ ℕ (como n e p1 são positivos, q1 também é positivo). Dessa 
decomposição, dois casos podem surgir: 
 
a) se q₁ = 1, então a demonstração está concluída, já que n = p₁; 
b) se q₁ > 1, então uma mesma decomposição análoga à feita para n pode ser 
conduzida para q₁. 
 
De fato, pelo lema 2, q₁ pode ser fatorado em um produto p₂ q₂ ∈ ℕ, onde p₂ é 
primo e q₂ < q₁ . Nesse caso, n já seria formado pela decomposição n = p₁ p₂ q₂. 
Iterativamente,sucessivas fatorações de qr podem ser obtidas até que qr seja igual a 
1, o que põe fim às decomposições. Ao término desse processo, tem-se que n = n = 
p₁ p₂ ... pr, conforme objetivado pela primeira parte da demonstração. 
A segunda parte visa a demonstrar a unicidade da decomposição de n em 
números primos. Suponha que existam duas fatorações de n em inteiros primos, ou 
seja, n = p₁ p₂ ... pr = q₁ q₂ ... qs . Para simplificar a notação, ambas as decomposições 
serão denotadas por Pr = p₁ p₂ ... pr e Qs = q₁ q₂ ... qs . Como p₁ divide Q₁, pelo lema 
1 tem-se que p₁ divide pelo menos um de seus fatores. Suponha que p₁ | q₁ . Como 
q₁ é primo e, portanto, seu único divisor primo positivo é ele mesmo, então p₁= q₁. 
Nesse caso, o fator p₁ pode ser cancelado tanto de Pr como de Qs, resultando em 
Pr‒₁ = p₂ p₃ ... pr e Qs‒₁ = q₂ q₃ ..., qs . De maneira análoga, o mesmo processo pode 
ser feito para o fator p₂, o que resultará em Pr‒₂ = p₃ p₄ ... pr e Qs‒₂= q₃ q₄ ..., qs, e, 
assim, de maneira iterativa, cada fator de Pr é cancelado com o respectivo valor de 
Qs resultando em P₀ = 1 = Q₀ e cada fator de Pr sendo igual a um fator de Qs. Logo, 
Pr = Qs. 
 
 
27 
 
 
 
É importante observar que a primeira parte da prova é feita de forma eficiente, 
particularmente em função da aplicação do lema 2. Porém, é interessante dar atenção 
à simplicidade da ideia subjacente, ainda que o lema 2 não seja empregado. De fato, 
se um inteiro n não for primo, o processo de demonstração se inicia com sua fatoração 
como ab. Se a não é primo, ele deve ser fatorado, assim como b. Esse passo deve 
ser iterativamente repetido, isto é, deve-se continuar dividindo quaisquer fatores que 
não sejam primos. (RODRIGUES, 2018). 
Naturalmente, esse processo terá fim, tendo em vista que os inteiros 
produzidos como resultado das fatorações estão diminuindo, e cada fatoração fornece 
números estritamente menores. Então, eventualmente, o processo para com um 
produto de primos. A Figura abaixo apresenta uma descrição gráfica desse processo, 
tomando como exemplo a fatoração do número 588 = 4 × 147 = (2 × 2) × (7 × 21) = (2 
× 2) × (7 × (3 × 7)). 
 
 
Decomposição de 588 por fatorações sucessivas. 
Fonte: Prest e Humphreys (2004, tradução nossa). 
 
28 
 
Já a segunda parte da prova é baseada na observação de que, se um primo 
divide um lado da equação, ele divide o outro, então, podemos cancelá-lo de cada 
lado. Esse processo continua e só pode parar com a equação 1 = 1. Portanto, deve 
haver o mesmo número de primos e, de fato, os mesmos primos em cada lado da 
equação original. 
Uma importante conclusão que pode ser derivada do teorema fundamental da 
aritmética é também conhecida como segundo teorema de Euclides — o lema de 
Euclides apresentado previamente é conhecido como primeiro teorema de Euclides. 
(RODRIGUES, 2018). 
 
Segundo teorema de Euclides: Existem infinitos números primos. 
 
Demonstração (segundo teorema de Euclides): Suponha, por absurdo, que 
P = p₁, p₂, ..., pm corresponda à lista de todos os números primos existentes — ou 
seja, não existe nenhum outro número primo que não esteja em P. Seja o número N 
= (p₁ p₂ ... pm) + 1. É importante observar que N tem resto 1 quando dividido por 
qualquer primo pertencente a P. Porém, decorre do teorema fundamental da 
aritmética que N tem um primo divisor p. Como p divide N, p não pode ser igual a 
nenhum primo de P., Porém, a existência de um primo p ∉ P contradiz a hipótese de 
que P contém todos os primos existentes. Portanto, existem infinitos números primos. 
Cabe ressaltar que essa prova do segundo teorema de Euclides busca mostrar 
como, dado qualquer conjunto finito de primos, é possível construir um número (≥ 2) 
que não é divisível por nenhum deles e que, portanto, deve ter um fator primo que não 
está presente no conjunto original. Outro detalhe relevante é que o inteiro N definido 
na demonstração não precisa ser primo. Simplesmente foi apresentado que ele tem 
um divisor primo diferente de p₁, p₂, ..., pm. A princípio, pode-se encontrar um primo 
'p' por meio da fatoração de N. Logo, a demonstração desse teorema pode ser vista 
como uma “receita” que, dada qualquer lista finita de primos, produzirá um “novo” 
primo, ou seja, um primo que não esteja na lista. 
Diversas variações do segundo teorema de Euclides podem ser encontradas 
na literatura. Uma delas corresponde à afirmação de que existem infinitos números 
primos da forma 4n ‒ 1. A demonstração pode ser construída de forma análoga à feita 
para o próprio teorema. De fato, suponha que exista um número finito de primos da 
 
29 
 
forma 4n ‒ 1, a saber, p₁, p₂, ..., pr . Considere o número N = 4p₁ p₂ ... pr ‒ 1. Como 
N é ímpar, ele é o produto de fatores primos ímpares. Sabe-se que todo número ímpar 
é da forma 4n + 1 ou 4n ‒ 1. Se todos os fatores primos de N fossem da forma 4n + 
1, então o produto N de todos esses fatores também seria dessa forma. 
Porém, como N não é da forma 4n + 1, é correto afirmar que N tem algum fator 
p da forma 4n ‒ 1. Além disso, p é necessariamente diferente de p₁, p₂, ..., pr, já que 
nenhum desses termos divide N. No entanto, a existência de um novo primo p da 
forma 4n – 1 contradiz a hipótese de que p₁, p₂, ..., pr corresponde à lista de todos os 
número primos dessa forma. Portanto, existem infinitos primos da forma 4n ‒ 1. 
(RODRIGUES, 2018). 
 
Exemplos: 
 
1. Utilizando a forma 4n ‒ 1, para n = 1, qual o número primo gerador? 
2. 
4n ‒ 1 
4. 1 ‒ 1 
5 – 1 = 4 
 
A demonstração acima mostra que nem todo número gerado pela fórmula é 
primo, visto que 4 é um número divisível por 1, 2 e 4. Ou seja, a fórmula apresentada, 
para n = 1, não apresenta um número primo em seu resultado. 
 
2. Utilizando a forma 4n ‒ 1, para n = 2, qual o número primo gerador? 
 
4n ‒ 1 
4. 2 ‒ 1 
8 – 1 = 7 
 
A demonstração mostra que a fórmula é válida para n = 2, visto que 7 é um 
número primo, divisível por 1 e ele mesmo. 
 
 
 
30 
 
6 MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
Entender as relações numéricas é extremamente importante na Matemática, 
podendo facilitar seu entendimento e a resolução de problemas mais complexos. A 
partir de agora, você estudará um pouco a respeito dos múltiplos e divisores de um 
número. (STEFANI, 2018). 
Múltiplo de um número é aquele que resulta da multiplicação por um número 
inteiro. Por exemplo, na multiplicação 2 × 5 que resulta em 10, podemos afirmar que 
10 é múltiplo de 2 e é múltiplo de 5. Para encontrar um múltiplo entre dois ou mais 
números inteiros, basta multiplicá-los, conforme os exemplos a seguir. 
Encontre um múltiplo comum de 15 e 23. 
 
15 × 23 = 345 
 
Logo, 345 é múltiplo de 15 e, ao mesmo tempo, múltiplo de 23. 
 
Determine um múltiplo comum de 2, 7, 18 e 31: 
 
2 × 7 × 18 × 31 = 7.812 
 
Assim, 7.812 é múltiplo de 2, 7, 18 e 31 ao mesmo tempo. 
 
Para o número 7, se fizermos: 
7 × 0 = 0 
7 × 1 = 7 
7 × 2 = 14 
7 × 3 = 21 
7 × 4 = 28 
7 × 5 = 35 
7 × 6 = 42 
7 × 7 = 49 
7 × 8 = 56 
7 × 9 = 63 
7 × 10 = 70 [...] 
 
31 
 
Afirmamos que 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 ⋯ são múltiplos de 7. 
Divisores de um número são aqueles que, ao dividirem números inteiros, deixam resto 
igual a 0 (zero) na operação. Por exemplo, 3 é um divisor de 12; uma vez que a divisão 
 
12 ÷ 3 = 4 
 
é exata, ou seja, o resto é 0 (zero). 
De maneira análoga, podemos garantir que 7 é divisor de 21, 28, 42, 49, 56, 
63…, uma vez que todos esses números são múltiplos de 7 e sua divisão por 7 sempre 
resultará em resto igual a 0 (zero). 
Uma vez que 7 é um divisor de 42, podemos dizer que 42 é divisível por 7. E 
que 12 é divisível por 3 e por 4. 
É importante observar que os números primos terão somente dois divisores: o 
número 1 e eles mesmos. 
Você já sabe que 3 e 4 são divisores de 12. Existem outros divisores para 12? 
Sim, 12 é divisível por 1, 2, 6 e 12. 
 
6.1 MMC e MDCO cálculo de múltiplos e divisores de um ou mais números tem, 
simultaneamente, muitas aplicações práticas. Ao falarmos de múltiplos e divisores, 
verificamos como podemos determiná-los para um número. Porém, na Matemática, 
existem métodos para determinar múltiplos e divisores comuns entre dois ou mais 
números de modo paralelo. (STEFANI, 2018). 
Esses métodos determinam o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou 
mais números e o máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números. 
Tanto para o cálculo do MMC quanto do MDC podemos utilizar o método de 
fatoração numérica, que consiste em realizar sucessivas divisões do número, ou dos 
números, por seus divisores. Na fatoração, os números devem ser divididos, 
sucessivamente, pelos mesmos números naturais primos, quando possível, 
colocando-se o quociente da divisão abaixo do dividendo. Isso deve ser repetido até 
que o quociente de todos os números seja igual a 1. 
Por exemplo, caso seja necessário fatorar o número 12, procederemos da 
seguinte maneira, trabalhando com seus divisores: 
 
32 
 
 
Ao fatorar o número 12, você pode observar que é divisível por 2; como o 2 se 
repetiu por duas vezes, é divisível por 4; na primeira divisão por 2, o resultado foi 6, 
também divisor de 12; e, por fim, foi dividido por 3, também divisor de 12. 
Quando você executar essa fatoração com dois ou mais números, conseguirá 
determinar o MMC entre eles. Por exemplo, em uma soma de frações, cujos 
denominadores são distintos, é necessário colocá-las sob um denominador comum 
para a realização da soma. (STEFANI, 2018). 
Assim, tomando todos os denominadores, é possível obter o MMC para realizar 
a operação fatorando-os: 
Resolva: 
 
 
Devemos, então, proceder à fatoração dos denominadores: 
 
 
 
Assim, ao multiplicar todos os elementos da sua direita, você obterá o MMC 
entre os números fatorados: 
 
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 1.440 
 
 
33 
 
Portanto, a soma de frações será resolvida como: 
 
 
 
Determinando o resultado da operação: 
 
 
 
Procedendo à fatoração: 
 
 
 
Logo, o MMC entre 27,3 e 9 é igual a 3 × 3 × 3 = 27. 
O MDC também pode ser obtido por meio do processo de fatoração. (STEFANI, 
2018). Como exemplo, repetiremos a fatoração entre 27,3 e 9. Após finalizada a 
fatoração, a multiplicação dos números que dividiram simultaneamente os três 
números será o MDC. 
 
 
Observe que somente a primeira divisão por 3 conseguiu, simultaneamente, 
dividir os três números. Portanto, 3 é o MDC entre 27,3 e 9. 
Determinando o MDC entre 72 e 84: 
 
 
 
34 
 
Observe que somente o número 2 dividiu os dois números, simultaneamente, 
por duas vezes e o número 3 dividiu os dois números, simultaneamente, por uma vez. 
Assim, 2 x 2 x 3 = 12 é o MDC entre 72 e 84. 
 
Exemplos: 
O MDC e o MMC podem ser úteis em aplicações práticas (STEFANI, 2018), 
como nos exemplos a seguir. 
 Suponha que dois carros estejam em fase de teste para venda, ambos com 
a mesma capacidade no tanque de combustíveis. O carro A conseguiu realizar 12 
voltas com a mesma quantidade de combustível que o carro B utilizou para dar 8 
voltas. Quantos litros de combustível, no mínimo, estavam no tanque de ambos antes 
do início dos testes? 
 
Este problema pode ser resolvido pelo MMC entre 12 e 8, que, se fatorados, 
resultarão da solução de 24 litros em cada tanque. 
 
 Para uma festa junina, foram comprados papéis coloridos, com folhas 
medindo 48 cm × 60 cm. Para cortar bandeirinhas de mesmo tamanho, quadradas, de 
modo que a totalidade da folha seja aproveitada, qual deverá ser a sua medida lateral? 
Este problema pode ser resolvido utilizando o MDC entre 48 e 60; assim: 
 
 
 
Nas linhas destacadas, os divisores eram comuns entre os dois números, 
portanto 2 × 2 × 3 = 12; as bandeirinhas deverão ser cortadas com a medida de 12 
cm × 12 cm. 
 
 
 
 
35 
 
7 DIVISIBILIDADE E O USO DA CONGRUÊNCIA E DOS TEOREMAS DE FERMAT 
E DE WILSON 
 
Na teoria dos números, a divisibilidade é um conceito fundamental. Nesse 
contexto, a definição de congruência é uma verificação da divisibilidade. Pierre de 
Fermat (1601–1665) teve vários estudos consolidados no ramo da teoria dos 
números. Entretanto, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) foi o primeiro matemático a 
tratar a teoria das congruências como uma área da matemática. 
Nesta seção, você vai estudar quais características comuns a divisibilidade e a 
congruência possuem e como resolver exemplos de congruência aplicando conceitos 
de divisibilidade. Você também vai verificar como deduzir propriedades importantes 
que utilizam as definições de congruência e de divisibilidade. Por fim, você vai 
aprender a identificar e demonstrar os teoremas de Wilson e Fermat e a fazer uso 
desses teoremas na resolução de problemas de congruência. 
 
7.1 Critérios de divisibilidade aplicando congruência 
 
Antes de interpretar a relação entre a divisibilidade e a congruência, vamos 
relembrar alguns conceitos relevantes. Considerando o conjunto dos inteiros, dizemos 
que um número b é divisível pelo número a se b é múltiplo de a (CAMPOS, 2009). A 
recíproca também é válida. Conforme Santos (2018), a aritmética a seguir, 
pertencente ao conjunto dos números inteiros, pode ser definida. 
 Definição 1: Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, denotando por 
a|b se, e somente se, existir um inteiro c ∈ ℤ tal que b = ac. 
■ Observação: caso um inteiro a não divida b, vamos denotar a∤b. 
■ Ex.: o número divide 8 porque existe um inteiro c = –2, tal que 8 = (–4) (–2). 
 
Fenômenos cíclicos ou periódicos possuem em seu comportamento a repetição 
dos acontecimentos. Podemos exemplificar matematicamente o fenômeno das horas 
(COUTINHO, 1997). Os dias mudam, mas as horas são mantidas equivalentes. 
Diante disso, vamos considerar um número inteiro n, o qual será o módulo 
(período). Mais especificamente, adotaremos dois inteiros a e b equivalentes de n em 
n períodos. Podemos dizer que a e b são congruentes módulo n. Assim, definimos 
formalmente a congruência dos elementos em ℤ, com base em Gonçalves (2017). 
 
36 
 
 Definição 2: Se a e b são números inteiros, dizemos que a é congruente b 
módulo n (n >0) se n|(a – b). Denotamos isso por a ≡ b (mod n). Se n∤(a – b), dizemos 
que a é incongruente a b módulo n e denotamos a ≢ b (mod n). 
Veja a seguir alguns exemplos da Definição 2. 
1. 16 ≡ –4 (mod 10), pois 16 – (–4) = 20, sendo que 10|20. 
2. 8 ≢ 3 (mod 2), pois 8 – 3 = 5, sendo que 2∤5 no conjunto ℤ. 
3. 72 ≡ –5 (mod 7), pois 7|(72 – (–5)). 
4. 27 ≢ 8 (mod 9), pois 9|(27 – 8). 
 
O estudo do resto da divisão de dois inteiros diferentes por outro inteiro é 
chamado de módulo. Ou seja, se dois números inteiros possuem o mesmo resto na 
divisão pelo n, esses números são congruentes módulo n (LIPSCHUTZ; LIPSON, 
2009). 
 Proposição 1: Se a e b são inteiros, temos que a ≡ b (mod n) se, e somente 
se, existir um inteiro k tal que a = b + km. 
■ Demonstração: se a ≡ b (mod n), então n|(a – b). O que implica na 
existência de um número inteiro k tal que a – b = kn, isto é, a = b + kn. A recíproca é 
trivial, pois, da existência de um k satisfazendo a = b + kn, temos kn = a – b, ou seja, 
que n|(a – b), isto é, a ≡ b (mod n). 
Agora que você relembrou a associação de números divisíveis e de números 
congruentes, serão especificados os critérios de divisibilidade utilizando a 
congruência. 
 
7.2 Critérios de divisibilidade 
 
Para manipular as congruências de forma mais simplificada, você precisa 
construir os critérios de divisibilidade. Assim, poderá resolver problemas de 
congruência com números muito elevados. Ao tratarmos os critérios de divisibilidade 
de inteiros a = aₙ aₙ₋₁ ⋯ a₁ a₀, podemos representá-los pelo seguinte polinômio 
(DOMINGUES; IEZZI, 2003): 
 
 
 
 
37 
 
onde a₀ é o algarismo das unidades, a₁ é o algarismo das dezenas e assim por diante. 
Logo, o intuitode usar as propriedades de congruência é para reduzir os 
algarismos do numeral expressado em (1). (SANTIAGO, 2018). Assim, podemos 
calcular a divisibilidade de números inteiros sem a necessidade de um sistema 
computacional, como mostrado a seguir. 
 
7.2.1 Critério de divisibilidade por 2 
 
Iniciamos pela simples congruência 10 ≡ 0 (mod 2), verdadeira também para 
potências de 10 — isto é, a congruência 10 ͭ ≡ 0 (mod 2) é válida para todo t ≥ 1. Como 
o polinômio (1) possui potências de 10, podemos reescrever a congruência para o 
inteiro a — assim, a – a₀≡ 0 (mod 2). 
Então a ≡ a₀ (mod 2) e, pela definição 2, a divisão 2|(a – a₀ ) é válida. O que 
implica 2|a se, e somente se, 2|a₀ . Logo, o algarismo da unidade a₀ deve ser par. Em 
outras palavras, isso demonstra que todo inteiro com algarismo da unidade par é 
divisível por 2. 
 
7.2.2 Critério de divisibilidade por 3 
 
Pela congruência verdadeira 10 ≡ 1 (mod 3), vamos começar a construir esse 
critério de divisibilidade. Utilizando a propriedade de potência na congruência, isso 
resulta em 10 ͭ ≡ 1 (mod 3) para todo t ≥ 1. Dessa forma, vamos multiplicar os 
coeficientes at na congruência anterior. 
Assim, at 10 ͭ ≡ at (mod 3), sendo 1 ≤ t ≤ n. Somando-se todas essas 
congruências, fica a ≡ aₙ + aₙ–1 + ⋯ + a + ₀ (mod 3). Pela Definição 2, a é divisível 
por 3 se, e somente se, o termo aₙ + aₙ₋₁ + ⋯ + a₁ + a₀ é divisível por 3. Portanto, isso 
mostra que, para todo inteiro divisível por 3, a soma dos seus algarismos também é 
divisível por 3. 
 
7.2.3 Critério de divisibilidade por 4 
 
Observamos que 10²≡ 0 (mod 4), 10ᶟ ≡ 0 (mod 4) e assim sucessivamente até 
10ₙ ≡ 0 (mod 4) Se multiplicarmos os coeficientes do polinômio (1) nas congruências 
 
38 
 
respectivas, obtemos: a² 10² ≡ 0 (mod 4), aᴈ 10ᶟ ≡ 0 (mod 4), ⋯, aₙ 10ₙ ≡ 0 (mod 4). 
Pelas propriedades aritméticas de números côngruos, podemos somar todas as 
congruências e adicionar o termo a0 + a1 10 no resultado obtido. Isso implica a ≡ a₀ 
+ a₁ 10 (mod 4). É importante notar que a₀ + a₁ 10 = a₁ a₀ , ou seja, são os dois últimos 
algarismos do número a. Então, o inteiro a e o termo a0a1 possuem o mesmo resto 
na divisão por 4. Logo, a e a₁ a₀ são divisíveis por 4. Essa construção mostra que, se 
o termo formado pelos dois últimos algarismos de um inteiro é divisível por 4, o inteiro 
é divisível também. 
 
7.2.4 Critério de divisibilidade por 8 
 
Pela congruência simples 10 ≡ 2 (mod 8), podemos elevar na potência 3. Assim, 
10ᶟ ≡ 2ᶟ ≡ 0 (mod 8) é verdadeira. Também segue que, para todo aⁱ, i ≥ 3, a 
congruência ai10ⁱ ≡ 0 (mod 8) é válida. Isso mostra que a congruência a ≡ a₂ a₁ a₀ 
(mod 8) é satisfeita para qualquer inteiro a divisível por 8. 
Portanto, o critério de divisibilidade por 8 mostra que, para qualquer número 
inteiro com dígitos iguais ou maiores do que 3, um inteiro é divisível por 8 se, e 
somente se, os três últimos algarismos desse inteiro formam um número divisível por 
8. (SANTIAGO, 2018). 
 
7.2.5 Critério de divisibilidade por 11 
 
Sabemos que 10 ≡ –1 (mod 11). Assim, podemos elevar a potência k ∈ ℕ na 
congruência anterior, tornando 10ᵏ ≡ (–1)ᵏ (mod 11). Considerando a de (1), 
multiplicamos os coeficientes a₁, ⋯, aₙ em cada n congruências, somamos esses 
termos e o a₀ e obtemos: 
 
 
 
Mais especificamente, isso implica a congruência: 
 
 
 
39 
 
Logo, um número inteiro é divisível por 11 se, e somente se, a soma dos 
algarismos de ordem par subtraída da soma dos algarismos de ordem ímpar resulta 
em um número inteiro divisível por 11. (SANTIAGO, 2018). 
Agora você terá a oportunidade de aprender a resolver problemas numéricos 
que envolvem critérios de divisibilidade. 
Exemplos 
A seguir, serão apresentados cinco problemas. 
 
1. Calcule o resto da divisão de 2 ᶟ⁰ por 17. 
Como a congruência 2⁴ ≡ –1 (mod 17) é verdadeira, podemos elevar à potência 
7. Isso resulta em 2²⁸ ≡ –1 (mod 17). Agora, multiplicamos na congruência o número 
4 = 2² . Dessa forma, obtemos 2ᶟ⁰ ≡ –4 (mod 17). Sabendo que –4 ≡ 13 (mod 17) e 
que a propriedade de transitividade é válida, então 2ᶟ⁰ ≡ 13 (mod 17). Logo, o resto 
da divisão é 13. 
 
2. Mostre que 10²⁰⁰ – 1 é divisível por 11. Iniciamos pela congruência 10 ≡ –1 
(mod 11). Depois, utilizamos a propriedade de potência resultando em 10200 ≡ (–1)²⁰⁰ 
(mod 11). Assim, 10²⁰⁰ ≡ 1 (mod 11), e pela Definição 2, a expressão numérica 10²⁰⁰ 
– 1 é divisível por 11. 
 
3. Mostre que 12.564.890 é divisível por 3. Pela congruência 10 ≡ 1 (mod 3) 
válida, obtemos 10 ͭ ≡ 1 (mod 3), t ∈ ℕ. Então, pelo critério de divisibilidade por 3: 
12.564.890 ≡ (1 + 2 + 5 + 6 + 4 + 8 + 9 + 0) (mod 3). Ou seja, 12.564.890 ≡ 45 (mod 
3). Como 45 ≡ 0 (mod 3), pela propriedade de transitividade, isso resulta em 
12.564.890 ≡ 0 (mod 3). Logo, 12.564.890 é divisível por 3. 
 
4. Calcule o resto da divisão de 25.384 por 2. Fazendo a decomposição do 
número inteiro 25.384 no polinômio de base 10, representado na equação (1), isso 
implica 25.384 ≡ (2 ⋅ 104⁴+ 5 ⋅ 10ᶟ + 3 ⋅ 10² + 8 ⋅ 10¹ + 4) (mod 2). Assim, pelo critério 
de divisibilidade 2, a congruência anterior é equivalente a 25.384 ≡ 4 (mod 2). Também 
sabemos que 4 ≡ 0 (mod 2), então, pela transitividade, 25.384 ≡ 0 (mod 2). Portanto, 
o resto da divisão buscada é zero. 
 
 
40 
 
5. Calcule o resto da divisão de 17²⁰⁰² por 13. 
Pelas congruências 17 ≡ 4 (mod 13), 16 ≡ 3 (mod 13) e pelas propriedades de 
potência em congruências, segue que 17²⁰⁰² ≡ 4²⁰⁰²≡ 16 ¹⁰⁰¹ ≡ 3 ¹⁰⁰¹ (mod 13). 
Observamos que 33 ≡ 1 (mod 13); então: 
 
3 ¹⁰⁰¹ = 3²⋅ 3⁹⁹⁹ = 9 ⋅ (3ᶟ) ᶟᶟᶟ ≡ 9 ⋅ 1ᶟᶟᶟ= 9 (mod 13). 
 
Portanto, 17²⁰⁰² ≡ 9 (mod 13), isto é, 17²⁰⁰² possui resto 9 na divisão por 13. 
Os teoremas de Wilson e Fermat são consequências de conceitos introdutórios de 
congruência e de critérios de divisibilidade. Você aprenderá a construção desses 
teoremas a seguir. 
 
7.3 Estruturação dos teoremas de Wilson e de Fermat 
 
Para interpretar os teoremas de Wilson e de Fermat, vamos apresentar 
proposições, definições e corolários, os quais serão a base do conhecimento. Todo 
inteiro com o mesmo resto em módulo pertence à mesma classe. Isto é, os números 
que pertencem à mesma classe possuem o mesmo resto. Desse modo, podemos 
definir uma classe residual a seguir (HEFEZ, 2016). 
 Definição 3: Dado um inteiro m > 1. A classe residual módulo m do elemento 
a ∈ ℤ é definida como a classe de equivalência de a, conforme a seguinte relação de 
equivalência dada pela congruência módulo m: 
 
[a] = {x ∈ ℤ; x ≡ a (mod m)} 
 
 Exemplo: seja m = 2. Então: 
 
[0] = {x ∈ ℤ; x ≡ 0 (mod 2)} = {x ∈ ℤ; x é par} e 
[1] = {x ∈ ℤ; x ≡ 1 (mod 2)} = {x ∈ ℤ; x é ímpar} 
 
Também podemos perceber que [a] = [0], se a é par, e [a] = [1], se a é ímpar. 
Logo, as classes residuais, por serem classes de equivalência, possuem as seguintes 
propriedades: 
a) [a] = [b] se, e somente se, a ≡ b (mod m); 
b) se [a] ∩ [b] ≠ ∅, então [a] = [b]; 
c) ⋃a∈ℤ[a] = ℤ. 
 
41 
 
O conjunto de todas as classes residuais módulo m pode ser denotado por ℤᵐ. 
 Proposição 2: Para cada a ∈ ℤ, existe um, e somente um, r ∈ ℤ, com 0 ≤ r 
< m, tal que [a] = [r]. 
 Demonstração: seja a ∈ ℤ, e considerando-se a divisão euclidiana, existem 
dois únicos inteiros q e r, com 0 ≤ r < m, tais que a = m ⋅ q + r. Então, o inteiro r é 
único, tal que 0 ≤ r < m e a ≡ r (mod m). Por consequência, o inteiro r é único tal que 
0 ≤ r < m e [a] = [r]. 
Adicionalmente, todo resto de um número de uma classe residual é 
considerado resíduo em módulo. Em Niven, Zuckerman e Montgomery (1991), 
podemos encontrar a definição de resíduo em módulo, conforme apresentado a 
seguir. 
 Definição 4: Se x ≡ y (mod m) para x e y sendo inteiros, então y é chamado 
de resíduo de x módulo m. 
Para definir uma característica em comum de um grupo de resíduos, foram 
propostas as definições a seguir (ANDREWS, 1994). 
 Definição 5: O conjunto dos inteiros {r₁,⋯, rs } é chamado de um sistema 
completo de resíduo módulo m se ri ≢ rj (mod m) para i ≠ j; para cada inteiro n existe 
um correspondente ri tal que n ≡ ri (mod m). Em outras palavras, o sistema é completo 
de resíduos {r₁ , ⋯, rs } módulo m se, e somente se, [r₁ ], ⋯, [rᵐ] são as m classes 
residuais módulo m. 
 Definição 6: Um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto ϕ(m) 
inteiros r₁ , ⋯, rϕ (m), tais que cada elemento do conjunto é relativamente primo com 
m, e se i ≠ j, então ri ≢ rj (mod m). 
 Teorema 1: Seja a um inteiro positivo tal que MDC(a, m) = 1, sendo MDC o 
máximo denominador comum. Se r₁ , ⋯, rϕ(m) é um sistema reduzido de resíduos 
módulo m, então ar₁ , ⋯, arϕ(m) é, também, um sistema reduzido de resíduos módulo 
m. 
 Demonstração: Na sequência ar₁ , ⋯, arϕ(m) , temos ϕ(m) elementos. 
Assim, devemos provar que todos os elementos são relativamente primos com m. 
Como o MDC(a, m) = 1 e o MDC(ri , m) = 1, isso implica que MDC(ari , m) = 1. Basta 
provar que ari ≢ arj (mod m) se i ≠ j. Porém, como MDC(a, m) = 1 de ari ≡ arj (mod 
m), obtemos ri ≡ rj (mod m). Então, i = j, para r₁, ⋯, rϕ(m) ser um sistema reduzido de 
resíduos módulo m. 
 
42 
 
 Proposição 3: Um elemento [a] ∈ ℤ ᵐ é invertível se, e somente se, MDC(a, 
m) = 1. 
 Demonstração: se [a] é invertível, então existe [b] ∈ ℤ ᵐ tal que [1] = [a] ⋅ [b] 
= [a ⋅ b]. Isso implica a ⋅ b ≡ 1 (mod m). Ou seja, existe um t, tal que a ⋅ b + t ⋅ m = 1. 
Logo, MDC(a, m) = 1. Se MDC(a, m) = 1, existem números inteiros b e t, sendo a ⋅ b 
+ m ⋅ t = 1, implicando em [1] = [a ⋅ b + m ⋅ t] = [a ⋅ b] + [m ⋅ t] = [a] ⋅ [b] + [0] = [a] ⋅ [b]. 
Portanto, [a] é invertível. 
Podemos concluir por essa proposição e pelo Teorema 1 que um conjunto {r₁ , 
⋯, rϕ(m) } ⊂ ℤ é um sistema reduzido de resíduos módulo m se [r₁ ], ⋯, [rϕ(m) ] são 
elementos invertíveis de ℤᵐ. Então, podemos denotar o conjunto dos elementos 
invertíveis como ℤ*m. Além disso, na bibliografia de Galdino (2014), você poderá 
encontrar como uma solução de uma congruência é nomeada. 
 Definição 7: Para a e m números inteiros, a solução a̅ de x em ax ≡ 1 (mod 
m) é chamada de um inverso de a módulo m. 
Em Santos (2018), a proposição a seguir foi apresentada. 
 Proposição 4: Seja p um número primo. O inteiro positivo a é o seu próprio 
inverso módulo p se, e somente se, a ≡ 1 (mod p) ou a ≡ –1 (mod p). 
Agora vamos abordar os teoremas propostos no início deste estudo. O teorema 
de Wilson possui diversas demonstrações, mas apresentaremos a demonstração de 
Andrews (1994). 
 
7.3.1 Teorema de Wilson 
 
A congruência (m – 1)! ≡ –1 (mod m) é satisfeita se, e somente se, m for um 
número primo. 
 
Demonstração 1 
Vamos supor m um número primo e 1, ⋯, m – 1 inteiros positivos. Pela 
Definição 5, se a é um número inteiro, então existe um inverso ã de a módulo m tal 
que aã ≡ 1 (mod m). Caso a seja seu próprio inverso, a² ≡ 1 (mod m). Assim, m|(a – 
1)(a + 1), o que resulta em m|(a – 1) ou m|(a – 1). Pela Definição 2, a ≡ ±1 (mod m). 
Como 1 e m - 1 são os únicos próprios inversos de módulo m, vamos agrupar os 
números m – 2, ⋯, 2 em pares congruentes a 1 módulo m. Dessa forma, o produto 
 
43 
 
dessas congruências resulta em 2 × ⋯ × m – 2 ≡ 1 (mod m). Multiplicando-se pelo 
termo m – 1, isso implica (m – 1)! ≡ (m – 1) (mod m). Pela congruência, m – 1 ≡ –1 
(mod m), e, pela transitividade, obtemos (m – 1)! ≡ –1 (mod m). 
Supondo que m não é primo, então existe um número a (1 < a < m) tal que a|m. 
Também podemos observar que a|(m – 1)!. Se (m – 1)! ≡ –1 (mod m), então, pela 
definição de congruência, existirá um inteiro k tal que (m – 1)! + 1 = km. Como a|m e 
a|(m – 1)!, utilizando a equação anterior, obtemos a|1. Isso contradiz a hipótese a > 1. 
Logo, se (m – 1)! ≡ –1 (mod m), o número m deve ser primo. 
 
Demonstração 2 
A expansão de Maclaurin da função ln 
 
 
 
Pelas propriedades logarítmicas e exponenciais, isso resulta em: 
 
 
 
Reescrevemos a equação em: 
 
 
 
O que é equivalente a: 
 
 
 
Sabemos que, pela função inicial, o termo xᴾ = 1. Esse coeficiente, pela 
equação anterior, é da forma sendo r/s a soma de um número finito de 
 
44 
 
racionais que não possuem o fator p no denominador, caso MDC(r, s) = 1 e p∤s. Então, 
para , obtemos: 
 
 
 
Desse modo: 
 
 
 
Como o termo (s – r)(p – 1)! é um inteiro e p∤s, então p|(1 + (p – 1)!). Também 
será abordada a seguinte definição de função de Euler, a qual forma a base para um 
importante teorema. 
 Definição 8: A função ϕ: ℤ+ → ℤ+, que associa a cada número inteiro 
positivo m a quantidade de elementos do conjunto {k ∈ ℤ+|1 ≤ k ≤ m – 1 e MDC(k, n) 
= 1}, é chamada função de Euler. 
Pela Definição 6, podemos deduzir que a função ϕ(m) mostra quantos dos 
números do conjunto {1, ⋯, m – 1} são primos entre si. Caso m seja um número primo 
qualquer, todos os números 1, ⋯, m – 1 são coprimos de m. Logo, ϕ(m) = m – 1. Dessa 
forma, Euler também teve sua contribuição na teoria das congruências. O teorema a 
seguir mostra isso. 
 
7.3.2 Teorema de Euler 
 
Se m é um inteiro positivo e a um inteiro com MDC(m, a) = 1, então aϕ(m) ≡ 1 
(mod m). Veja a seguir a demonstração. 
Seja r1 , ⋯, rϕ(m) um sistema reduzido de resíduos módulo m. Observamos 
que ar1 , ⋯, arϕ(m) são todos primos relativos a m e que também formam um sistema 
de resíduos reduzidos módulo m. Então, para cada ri , i = 1, ⋯, ϕ(m), existe um e 
somente um arj , j = 1, ⋯, ϕ(m), tal que ri ≡ arj (mod m). Notamos que diferentes ri 
correspondem a diferentes ar. Isto é, os números ar₁ , ⋯, arϕ(m) são apenas resíduos 
 
45 
 
módulo m de r₁ , ⋯, rϕ(m) , mas não necessariamente na mesma ordem. Assim, 
multiplicando todas as congruências, obtemos: 
 
 
 
O que, pelas propriedades do produtório, implica: 
 
 
 
Sabendo que MDC(rj , m) = 1 e os rj são primos relativos em m, concluímos 
que 
 
 
 
Com o resultado de Euler, podemos enunciar o teorema de Fermat (GARCIA; 
LEQUAIN, 2006), cuja demonstração é apresentada em Monteiro (1978) 
 
7.3.3 Teorema de Fermat 
 
Se p é um número primo, a é um número inteiro e p∤a, então aᴾ-¹ ≡ 1 (mod p). 
Veja a seguir a demonstração. 
 
Demonstração 
 
Como p∤a, o MDC entre p e a é 1. Pelo teorema de Euler, aϕ(p) ≡ 1 (mod p), 
onde ϕ(p) é um número inteiro positivo menor ou igual a p. Assim, devemos buscar os 
números de ϕ(p) primos entre si. Logo, sendo p primo, ϕ(p) = p – 1. Portanto, o teorema 
de Euler é uma generalização do teorema de Fermat. 
 
 
 
46 
 
7.4 Aplicações dos teoremas de Wilson e de Fermat 
 
Com os conhecimentos adquiridos para elaborar e demonstrar os teoremas de 
Wilson e de Fermat, agora você vai aprender a aplicar esses conhecimentos por meio 
de proposições lógicas e exemplos. Por consequência do teorema de Fermat, foi 
construído o corolário descrito a seguir (LEMOS, 2001). 
Corolário 1: Se p é um número primo e n um inteiro positivo, então np ≡ n (mod 
p). Veja a seguir a demonstração. 
Se p|n, então nᴾ ≡ 0 ≡ n (mod p). Se p∤n, então MDC(p, n) = 1. Assim, pelo 
teorema de Euler: 
 
nᴾ-¹ ≡ 1 (mod p) 
 
onde ϕ(p) = p – 1. Agora, multiplicando ambos os lados da congruência por n, 
concluímos que: 
 
nᴾ ≡ n (mod p) 
 
Também foi construída, a partir do teorema de Euler, a seguinte proposição: se 
p é primo, então ϕ(pᶯ) = pᶯ – pᶯ–¹ = pᶯ–¹ (p – 1). Veja a demonstração a seguir. O 
número p|a se, e somente se, MDC(pᶯ , a) ≠ 1. Assim, os únicos números entre 1 e 
pn que não são primos relativos com pᶯ são os múltiplos de p, isto é, p, 2p, ⋯, pᶯ–¹ 
(p). Então, existem pᶯ–¹ múltiplos de p. O restante dos números são primos relativos 
com pᶯ. Logo, a expressão ϕ(pᶯ ) = pᶯ – pᶯ–¹= pᶯ–¹ (p – 1) é verdadeira. 
Agora vamos apresentar exemplos numéricos para que você possa aprender 
como colocar em prática seus estudos na área de congruência com aplicações de 
teoremas. 
Exemplo: 
Encontre o menor resíduo positivo da expressão6 × 7 × 8 × 9 módulo 5 
utilizando o teorema de Wilson. 
Observamos que os resíduos menores de cada número da multiplicação acima 
são 6 ≡ 1 (mod 5), 7 ≡ 2 (mod 5), 8 ≡ 3 (mod 5) e 9 ≡ 4 (mod 5). Então, pelas 
propriedades aritméticas de congruência, obtemos 6 × 7 × 8 × 9 ≡ 1 × 2 × 3 × 4 (mod 
5). Também, sabemos pelo teorema de Wilson que 4! ≡ –1 (mod 5). Pela 
transitividade, 6 × 7 × 8 × 9 ≡ –1 ≡ 4 (mod 5). Logo, o menor resíduo positivo é 4. 
 
47 
 
8 EQUAÇÕES DIOFANTINAS E O TEOREMA CHINÊS DO RESTO 
 
O teorema chinês do resto é um tópico da teoria dos números e um teorema de 
grande importância e aplicabilidade. Acredita-se que ele tenha surgido em decorrência 
de algum problema prático da Antiguidade, uma vez que uma das suas grandes 
aplicações é na partilha de senha. As equações diofantinas, termo advindo do 
matemático Diofanto de Alexandria, foram extremamente relevantes para o 
desenvolvimento da álgebra e começaram a ser usadas no século III d.C. 
As equações diofantinas são equações polinomiais que permitem a duas ou 
mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Para resolver esse tipo de 
equação, deve-se buscar as soluções para as variáveis que sejam números inteiros. 
Assim, alguns passos devem ser realizados para solucioná-las. 
Nesta seção, você vai estudar as equações diofantinas, compreendendo a sua 
definição, o seu método de resolução e a sua teoria, além de exemplos detalhados e 
aplicações práticas. Você também vai aprender sobre o teorema chinês do resto, mais 
especificamente a sua prova, os seus métodos de resolução e as suas aplicações 
práticas. Você vai verificar sugestões de caminhos que se pode percorrer para a 
aplicação dos conteúdos que são estudados em álgebra. 
 
8.1 Equações diofantinas 
 
As equações diofantinas são todas as equações polinomiais com coeficientes 
inteiros em que o universo das variáveis é o conjunto dos números inteiros. Aqui, 
veremos as equações diofantinas lineares em duas incógnitas, ou seja, equações da 
forma ax + by = c, em que a e b são inteiros não nulos. Uma solução para essa 
equação será um par (x0 , y0 ) de inteiros tal que a sentença ax₀ + by₀ = c é verdadeira 
(DOMINGUES; IEZZI, 2018). 
Scheinerman (2016) apresenta o teorema: sejam a e b inteiros, não 
simultaneamente nulos. O menor inteiro positivo da forma ax + by, em que x e y são 
inteiros, é MDC (a, b), sendo MDC o máximo divisor comum. Sejam a e b inteiros, 
uma combinação linear de inteiros de a e b é qualquer número com a forma ax + by, 
onde x e y também sejam inteiros. O teorema garante que a combinação linear de 
inteiros mínima de a e b é MDC (a, b). 
 
48 
 
Para verificar um exemplo, com base em Scheinerman (2016), considere a = 
30 e b = 24. Podemos fazer uma tabela dos valores ax + by para os inteiros x e y entre 
–4 e 4, conforme apresenta a Figura abaixo: 
 
 
Tabela de valores ax + by para os inteiros x e y entre –4 e 4. 
Fonte: Scheinerman (2016, p. 361). 
 
Note que o menor valor positivo nessa tabela é o número 6 em x = –3, y = 4, 
pois 30 × (–3) + 24 × 4 = –90 + 96 = 6, e novamente em x = 1, y = –1, pois 30 × 1 + 
24 × (–1) = 30 – 24 = 6. Vimos uma parcela relativamente pequena de todos os valores 
possíveis de ax + by. Se prolongássemos essa tabela, seria possível encontrarmos 
um valor positivo menor para 30x + 24y? Não, pois tanto 30 como 24 são divisíveis 
por 6. Portanto, qualquer inteiro da forma 30x + 24y é também divisível por 6. Dessa 
forma, mesmo prolongando indefinidamente a tabela da Figura 1, 6 é o menor inteiro 
positivo que pode ser encontrado. 
Scheinerman (2016) também afirma que: sejam a e b inteiros arbitrários (não 
simultaneamente nulos); é impossível acharmos inteiros x e y com 0 < ax + by < MDC 
(a, b), porque ax + by é divisível por MDC (a, b). O ponto central é que podemos achar 
inteiros x e y de modo que ax + by = MDC (a, b). 
Para encontrar x e y em ax + by = MDC (a, b), é necessário estender o algoritmo 
de Euclides. Vejamos como funciona esse método encontrando x e y de modo que 
431x + 29y = MDC (431,29) = 1 (SCHEINERMAN, 2016). O cálculo de MDC (431,29) 
pelo algoritmo de Euclides será: 
431 = 14 × 29 + 25 
29 = 1 × 25 + 4 
25 = 6 × 4 + 1 
4 = 4 × 1 + 0 
 
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Em todas essas equações, exceto a última, resolvemos em relação ao resto e 
escrevemos o resto à esquerda. 
25 = 431 – 14 × 29 
4 = 29 – 1 × 25 
1 = 25 – 6 × 4 
 
Passamos a trabalhar a partir da base. Note que a última equação tem 1 na 
forma 25x + 4y. Substituímos o 4 utilizando a equação anterior: 
1 = 25 – 6 × 4 
= 25 – 6 × (29 – 1 × 25) 
= –6 × 29 + 7 × 25 
 
Agora, tomamos 25 = 431 – 14 × 29 para substituir o 25 em 1 = –6 × 29 + 7 × 
25: 
1 = –6 × 29 + 7 × 25 
= –6 × 29 + 7 × (431 – 14 × 29) 
= 7 × 431 + [–6 + 7 × (–14)] × 29 
= 7 × 431 + (–104) × 29 
 
Assim, encontramos x = 7 e y = –104, para obter 431x + 29y = MDC (431,19) = 
1. 
 
Domingues e Iezzi (2018, p. 48) apresentam a seguinte proposição: “Uma 
equação diofantina linear ax + by = c tem solução se, e somente se, d = MDC (a, b) é 
um divisor de c”. Vejamos um exemplo de resolução de uma equação diofantina, com 
base em Domingues e Iezzi (2018). Vamos encontrar uma solução da equação 
diofantina 26x + 31y = 2. Como MDC (26, 31) = 1, então a equação tem solução. 
Usaremos o método das divisões sucessivas para exprimir o MDC de 26 e 31 por meio 
de uma identidade de Bezout: 
 
31 = 26 ∙ 1 + 5 
26 = 5 ∙ 5 + 1 
5 = 1 ∙ 5 
 
Assim: 1 = 26 – 5 ∙ 5 = 26 – (31 – 26 ∙ 1) ∙ 5 = 26 ∙ 6 + 31 ∙ (–5) 
 
50 
 
Então (x₀, y₀) = (6, –5), e, portanto, o par (2 ∙ 6,2 ∙ (–5)) = (12, –10) é uma 
solução da equação dada. Consequentemente (–12, –10), (12, 10) e (–12, 10) são 
soluções, respectivamente, de (–26)x + 31y =2, 26x – 31y = 2 e (–26)x + (–31y) = 2. 
Outra proposição importante apresentada por Domingues e Iezzi (2018) se 
refere à equação diofantina ax + by = c, que tem uma solução (x0 , y0 ). Nesse caso, 
ela tem infinitas soluções, e o conjunto das soluções é S = {(x0 + (b|d)t, y0 – (a|d)t|t ∈ 
Z}, em que d = MDC (a, b). Geometricamente, essa proposição evidencia que a reta 
de equação ax + by = c possui uma infinidade de pontos de coordenadas inteiras no 
plano cartesiano. 
Vejamos outro exemplo de resolução de equação diofantina, também com base 
em Domingues e Iezzi (2018). Dessa vez, vamos encontrar todas as soluções da 
equação diofantina 43x + 5y = 250. Como MDC (43, 5) = 1, que divide 250, a equação 
tem soluções. 
É importante lembrar que, se (x₀, y₀) é uma solução de 43x + 5y = 1, então 
(250x₀, 250y₀) é solução da equação dada. A solução de 43x + 5y = 1 por divisões 
sucessivas será: 
 
43 = 5 ∙ 8 + 3 
5 = 3 ∙ 1 + 2 
3 = 2 ∙ 1 + 1 
 
Assim: 
 
1 = 3 – 2 ∙ 1 = 3 – (5 – 3 ∙ 1) ∙ 1 = 3 ∙ 2 + 5 ∙ (–1) 
= (43 – 5 ∙ 8) ∙ 2 + 5 ∙ (–1) = 43 ∙ 2 + 5 ∙ (–17) 
 
Então, uma solução de 43x + 5y = 1 é (2, –17). Logo, uma solução de 43x + 5y 
= 250 é (500, –4.250). De onde a solução geral da equação pode ser expressa por: 
 
(500 + 5t, –4250 – 43t) 
 
Em que t é uma variável no conjunto dos inteiros. A reta de equação 43x + 5y 
= 250 possui uma infinidade de pontos de coordenadas inteiras do plano cartesiano. 
 
51 
 
8.2 Teorema chinês do resto 
 
Nesta seção, será abordado o teorema chinês do resto. Para tanto, partiremos 
de uma indagação apresentada por Lipschutz e Lipson (2013, p. 281): existe um inteiro 
positivo x que dividido por 3 tem resto 2, dividido por 5 tem resto 4 e dividido por 7 tem 
resto 6? Ou seja, busca-se uma solução para as três equações de congruência: 
 
x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 4 (mod 5), x ≡ 6 (mod 7) 
 
Note que os módulos 3, 5 e 7 são primos entre si se tomados dois a dois. Então, 
o teorema a seguir, conhecido por teorema chinês do resto, se aplica. Ele diz que 
existe uma única solução módulo M = 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2013). 
Prazeres (2014, p. 36) enuncia o teorema chinês do resto da seguinte forma: