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Lista de exercícios
Aula 06 – Coordenadas e mudança de base
Álgebra Linear
Prof. Elton Carvalho — ECT — UFRN
1. Determine as coordenadas do vetor 𝒖 = (2, 1, 4) do R3 em relação às bases
(a) Canônica
(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−1)}
2. Determine as coordenadas da matriz [
1 −1
2 0
]
em relação à base {[
1 0
0 1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
2 0
]
,
[
0 0
1 2
]}
.
3. Determine as coordenadas do polinômio 1 + 2𝑡 − 𝑡3 ∈ 𝑃3(R) em relação às bases
(a) Canônica:
{
1, 𝑡, 𝑡2, 𝑡3
}
(b)
{
1, 1 − 𝑡, 1 − 𝑡2, 1 − 𝑡3
}
4. Obtenha a matriz mudança de base [𝐼 ]𝐶𝐵 da base canônica 𝐶 do R3 para a base
𝐵 = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)} .
5. Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1, 𝑃1(R) e a base
canônica 𝐶 = {1, 𝑡}. A matriz mudança de base de uma certa base 𝐵 para a base 𝐶 é dada
por:
[𝐼 ]𝐵𝐶 =
[
1 1
1 −1
]
.
(a) Quais os vetores da base 𝐵?
Sugestão: as coordenadas dos vetores de 𝐵 na base 𝐵 são 𝒗1 =
[
1
0
]
𝐵
e 𝒗2 =
[
0
1
]
𝐵
.
(b) De posse desses vetores, escreva a matriz mudança de base de 𝐶 para 𝐵: [𝐼 ]𝐶
𝐵
.
(c) Verique que [𝐼 ]𝐶
𝐵
=
(
[𝐼 ]𝐵
𝐶
)−1
.
1
6. No espaço das matrizes 3 × 3 reais diagonais, cuja base canônica é
𝐶 =
©­«
1 0 0
0 0 0
0 0 0
ª®¬ , ©­«
0 0 0
0 1 0
0 0 0
ª®¬ , ©­«
0 0 0
0 0 0
0 0 1
ª®¬
 ,
considerando a matriz mudança de base
[𝐼 ]𝐶𝐵 =

1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
 ,
obtenha
(a) [𝒗]𝐵 onde [𝒗]𝐶 =

−1
2
3
𝐶 (b) [𝒖]𝐶 onde [𝒖]𝐵 =

−1
2
3
𝐵
(c) Escreva explicitamente os vetores 𝒖 e 𝒗 obtidos acima.
2