8 Matriz de uma Transformação Linear Mudança de base

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Álgebra Linear
Matriz de uma Transformação Linear. Mudança de base.
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Matriz de uma transformação linear
Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita. Fixemos uma base
B = {u1, . . . ,un} de U e uma base C = {v1, . . . , vm} de V . Se
T ∈ L(U,V ), podemos escrever
T (uj) = a1jv1 + · · ·+ amjvm, para todo j ∈ {1, . . . ,n}.
Relembre que a1j , . . . ,amj ∈ R são unicamente determinados pelo
vetor T (uj), pois são coordenadas em relação à uma base de V .
Logo, podemos coletar estes valores numa matriz que se torna única:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 ,
chamada de matriz da transformação linear T com relação às bases B
e C.
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Matriz de uma transformação linear: notação
• A matriz da transformação linear T com relação às bases B e C
será denotada por [T ]BC . Alguns materiais utilizam a notação
[T ]B,C para esta matriz. Em ambas, note que a ordem escrita das
bases como índices é muito importante.
• Se U = V e B = C, usaremos a notação [T ]B := [T ]BB.
• Para padronizar os índices nestas matrizes, daqui em diante
denotaremos a base canônica de Rn por Cn. Quando não houver
dúvidas, usaremos apenas a notação C para denotar a base
canônica de um espaço vetorial em questão.
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Exemplos
Como encontrar a matriz das transformações abaixo?
1 T : R3 → R2 dada por T (x , y , z) = (x + y , x − z) com relação às
bases canônicas C3 e C2 de R3 e R2, respectivamente.
2 T : R3 → R2 dada por T (x , y , z) = (x + y , x − z) com relação às
bases C3 de R3 e B = {u = (1,1), v = (0,1)} de R2.
Solução: Observe que a função em ambos os itens é a mesma. Basta calcular
T (e1),T (e2) e T (e3), escrever estes vetores na base canônica de R2 para o item
1) e na base B para o 2) e construir as matrizes colocando-os como colunas:
T (1, 0, 0) = (1, 1) = 1e1 + 1e2 = 1u + 0v ,
T (0, 1, 0) = (1, 0) = 1e1 + 0e2 = 1u + (−1)v
e T (0, 0, 1) = (0,−1) = 0e1 + (−1)e2 = 0u + (−1)v .
Portanto,
[T ]C3C2 =
(
1 1 0
1 0 −1
)
e [T ]C3B =
(
1 1 0
0 −1 −1
)
Note que a matriz de T muda com uma simples alteração de bases.
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Exemplos
3 T : R2 → P1(R) dada por T (a,b) = a + (a + b)x com relação às
bases canônicas C2 de R2 e P de P1.
Solução: Basta calcular T (e1) e T (e2), escrever estes vetores na base canônica
P = {1, x} de P1 e construir a matriz colocando-os como colunas:
T (1, 0) = 1 + x = 1 · 1 + 1 · x
e T (0, 1) = x = 0 · 1 + 1 · x .
Portanto,
[T ]C2P =
(
1 0
1 1
)
.
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Propriedade da matriz de uma transformação linear
Teorema 3
Sejam U e V dois espaços vetoriais de dimensão finita com bases B e
C, respectivamente. Se T ∈ L(U,V ) e u ∈ U, então
T (u)C = [T ]BCuB.
Observe:
• [T ]BC é uma matriz com (dimU) colunas e (dimV ) linhas.
• T (u)C ∈ M(dim V )×1(R) representa as coordenadas do vetor T (u) na base C e
uB ∈ M(dim U)×1(R) as coordenadas de u na base B.
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Propriedade da matriz de uma transformação linear
Demonstração: Suponha B = {u1, . . . , un}, C = {v1, . . . , vm}, [T ]BC = (αij) e
uB =
a1...
an
. Temos:
T (u) = T (a1u1 + · · ·+ anun) = a1T (u1) + · · ·+ anT (un)
= a1(α11v1 + · · ·+ αm1vm) + · · ·+ an(α1nv1 + · · ·+ αmnvm)
= (a1α11 ++anα1n)v1 + · · ·+ (a1αm1 + · · ·+ anαmn)vm,
ou seja,
T (u)C =
 a1α11 + · · ·+ anα1n...
a1αm1 + · · ·+ anαmn
 =
α11 . . . α1n...
αm1 . . . αmn

a1...
an
 = [T ]BCuB.
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Função Identidade ∼ mudança de base
Sejam U um espaço vetorial sobre R com bases B = {u1, . . . ,un} e
C = {v1, . . . , vn}, IU : U → U a função identidade e [IU ]BC = (αij).
Então,
(∗)

u1 = IU(u1) = α11v1 + · · ·+ αn1vn
...
un = IU(un) = α1nv1 + · · ·+ αnnvn.
Nesse caso, a matriz [IU ]BC = (αij) é chamada de matriz mudança de
base da base B para a base C e será denotada por MBC , isto é,
MBC :=
α11 α12 . . . α1n... ... . . . ...
αn1 αn2 . . . αnn
 = [IU ]BC .
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Mudança de base
A nomenclatura é motivada pelo Teorema anterior, pois
uc = IU(u)C = [IU ]BCuB, para todo u ∈ U. Em outras palavras:
conhecendo as coordenadas de u na base B e (∗), conhece-se as
coordenadas de u na base C.
Qual a relação entre MBC e M
C
B ?
Solução: Observe que
uC = MBCuB e uB = M
C
B uC .
Logo,
uC = MBCM
C
B uC e uB = M
C
B M
B
CuB.
Portanto, MBCM
C
B = IdimU e M
C
B M
B
C = IdimU .
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Exemplo sobre a função identidade
Considere o espaço vetorial R3 com bases
A = {(1,1,1), (1,0,1), (0,0,1)} e B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.
Seja IR3 : R3 → R3 a função identidade. Então, para encontrar [IR3 ]AB,
calculamos:
(1,1,1) = IR3(1,1,1) = 1.(1,1,1) + 0.(1,1,0) + 0.(1,0,0)
(1,0,1) = IR3(1,0,1) = 1.(1,1,1) + (−1).(1,1,0) + 1.(1,0,0)
(0,0,1) = IR3(0,0,1) = 1.(1,1,1) + (−1).(1,1,0) + 0.(1,0,0).
Assim,
MAB :=
1 1 10 −1 −1
0 1 0
 = [IR3 ]AB.
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Exemplo sobre a função identidade - cont.
Agora, seja u = (x , y , z) ∈ R3 um vetor arbitrário. Na base A,
podemos escrever:
u = (x , y , z) = y .(1,1,1) + (x − y).(1,0,1) + (z − x).(0,0,1),
isto é, uA =
 yx − y
z − x
 .
O que fazer para encontrar as coordenadas de u na base B? De
maneira direta, basta montar o sistema em α, β, γ ∈ R tal que:
u = (x , y , z) = α.(1,1,1) + β.(1,1,0) + γ.(1,0,0).
A solução desse sistema é α = z, β = y − z e γ = x − y , isto é,
uB =
 zy − z
x − y
.
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Exemplo sobre a função identidade - cont.
Entretanto, se possuirmos MAB e uA, não precisamos desse trabalho
braçal de montar sistemas para encontrar as coordenadas de u na
base B. O Teorema anterior nos dá:
MAB uA =
1 1 10 −1 −1
0 1 0
 yx − y
z − x
 =
 zy − z
x − y
 = uB.
Isso auxilia a responder às seguintes perguntas:
Pergunta 1: Se as coordenadas de v ∈ R3 são conhecidas numa
base A, como obter as coordenadas de v numa base B?
Pergunta 2: Se as coordenadas de v ∈ R3 são conhecidas com
relação à duas bases A e B, é possível determinar MBA e M
A
B ?
 As 2 perguntas acima podem ser feitas substituindo R3 por
qualquer espaço vetorial de dimensão finita!
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Propriedades da matriz de uma transformação linear
Sejam U, V e W espaços vetoriais de dimensão finita com bases B, C
e D, respectivamente.
Proposição 6
1 Se T ,S ∈ L(U,V ) e λ, µ ∈ R, então [λT + µS]BC = λ[T ]
B
C + µ[S]
B
C .
2 Se T ∈ L(U,V ) e S ∈ L(V ,W ), então [S ◦ T ]BD = [S]CD [T ]
B
C .
Em particular,
3 Se T ∈ L(U,V ) e existe T−1 ∈ L(V ,U), então [T−1]CB = [T ]
B
C
−1.
4 Se T ∈ L(U) e B′ é uma base de U, então [T ]B′B′ = MBB′([T ]BB)MB
′
B .
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Propriedades da matriz de uma transformação linear
Demonstração da Proposição 6:
Suponha B = {b1, . . . , bn}, C = {c1, . . . , cm} e D = {d1, . . . , dr}.
1 Suponha [T ]BC = (tij) e [S]
B
C = (sij). Para cada bi ∈ B, temos
(λT + µS)(bi) = λT (bi) + µS(bi) = λ
m∑
k=1
tkick + µ
m∑
k=1
skick =
m∑
k=1
(λtki + µski)ck .
2 Suponha [T ]BC = (tij) e [S]
C
D = (sij). Para cada bi ∈ B, temos
(S ◦ T )(bi) = S(T (bi)) = S
(
m∑
k=1
tkick
)
=
m∑
k=1
tkiS(ck ) =
m∑
k=1
tki
r∑
j=1
sjk dj =
=
m∑
k=1
r∑
j=1
tkisjk dj =
m∑
k=1
r∑
j=1
sjk tkidj .
3 Pelo item 2), temos: In = [IU ]BB = [T
−1 ◦ T ]BB = [T−1]CB [T ]BC . Similarmente,
Im = [IV ]CC = [T ◦ T−1]CC = [T ]BC [T−1]CB . Logo, [T−1]CB = [T ]BC
−1
.
4 Pelo item 2), temos: [T ]B
′
B′ = [IU ◦ T ◦ IU ]B
′
B′ = [IU ]
B
B′ [T ]
B
B[IU ]
B′
B = M
B
B′([T ]
B
B)M
B′
B .
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Exercícios 6
1 Considere T : P2 → R dada por T (p(x)) =
∫ 1
0 p(x)dx . Encontre a
matriz de T com relação às bases canônicas de P2 e R.
2 Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por
T (x , y , z) = (x + z, y + z, x + y + 2z).
Encontre a matriz de T com relação à base canônica de C3 e com
relação à base B = {u = (1,1,2),v = (−1,1,0),w = (−1,−1,1)}
de R3.
3 Seja T : P3(R)→ P2(R) dada por T (p(x)) = p′(x). Encontre a
matriz de T com relação às bases canônicas de P3(R) e P2(R).
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Exercícios 6
4 Considere as seguintes transformações lineares: T : R3 → M3
dada por
T (x , y , z) =
x 0 00 y 0
0 0 z
 ,
R : P2 → R3 dada por R(a + bx + cx2) = (c + a,b + a,2a) e
S : P2 → R3 dada por S(a + bx + cx2) = (a− b,0, c − b).
• Encontre a matriz de T ◦ R com relação às bases canônicas de P2
e M3.
• Encontre a matriz de R + S com relação às bases canônicas de P2
e R3.
Encontrar as expressões explícitas das funções T ◦ R e R + S sem
utilizar matrizes é uma tarefa menos simples do que a abordagem por
matrizes.
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Construindo uma transformação linear
Como determinar a transformação linear cuja matriz com relação às
bases canônicas é uma dada matriz ?
Seja A ∈ Mm×n. Defina TA : Rn → Rm da seguinte forma:
TA(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym),
onde
yi =
n∑
j=1
aijxj , i = 1, . . . ,m.
Observe que
TA(e1) = (a11, . . . , am1),TA(e2) = (a12, . . . , am2), . . . ,TA(en) = (a1n, . . . , amn).
Então, [TA]CnCm = A, ou seja, [TA(x)]Cm = AxCn .
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Exemplo
Encontre T : R3 → R3 cuja matriz em relação à base canônica seja
A =
1 2 00 0 1
1 1 1
 .
Solução: Como as coordenadas de u = (x , y , z) ∈ R3 são dadas por
uC3 =
xy
z
, basta encontrar AuC3 :
AuC3 =
1 2 00 0 1
1 1 1
xy
z
 =
 x + 2yz
x + y + z
 .
Logo, como essa igualdade acima representa T (u)C3 , temos
T (x , y , z) = (x + 2y , z, x + y + z).
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