07 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
 
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Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 
Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma 
tabela retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então 
que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n) 
Exemplos: 
A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5) 
 
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1. 
Notas: 
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n. 
Exemplo: 
 
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3×3 , dita simplesmente de ordem 3 . 
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha 
i e coluna j da matriz. 
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc. 
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j . 
Assim a matriz identidade de 2ª ordem, ou seja, de ordem 2×2 ou simplesmente de ordem 2 é: 
 
A matriz identidade de 3ª ordem, ou seja, de ordem 3×3 ou simplesmente de ordem 3 é: 
 
4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-
versa. 
Exemplo: 
 
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A matriz At é a matriz transposta da matriz A . 
Notas: 
4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica. 
4.2) Se A = – At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica. É óbvio que as matrizes simétricas e anti-
simétricas são quadradas . 
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) . 
Produto de matrizes 
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao 
número de linhas de B. 
Amxn x Bnxq = Cmxq 
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem 
ordem m x q . 
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo: 
 
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da 
segunda matriz, obtido da seguinte forma: 
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: 
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5 
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17 
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4 
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0 
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6 
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50 
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30 
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a: 
 
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3×2 por outra 2×3, resultou na matriz produto P 
de ordem 3×3. 
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A 
Os sistemas lineares são formados por um conjunto de equações lineares de m incógnitas. Todos os 
sistemas possuem uma representação matricial, isto é, constituem matrizes envolvendo os coeficientes 
numéricos e a parte literal. Observe a representação matricial do seguinte sistema: 
. 
Matriz incompleta (coeficientes numéricos) 
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Matriz completa 
 
 
Representação Matricial 
 
 
A relação existente entre um sistema linear e uma matriz consiste na resolução de sistemas pelo mé-
todo de Cramer. 
Vamos aplicar a regra de Cramer na resolução do seguinte sistema: 
 . 
 
Aplicamos a regra de Cramer utilizando a matriz incompleta do sistema linear. Nessa regra utilizamos 
Sarrus no cálculo do determinante das matrizes estabelecidas. Observe o determinante da matriz dos 
sistemas: 
 
Regra de Sarrus: soma dos produtos da diagonal principal subtraída da soma dos produtos da diagonal 
secundária. 
 
 
 
Substituir a 1ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do 
sistema. 
 
Substituir a 2ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do 
sistema. 
 
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Substituir a 3ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do 
sistema. 
 
 
 
 
De acordo com regra de Cramer, temos: 
 
Portanto, o conjunto solução do sistema de equações é: x = 1, y = 2 e z = 3. 
Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas que apresentam a forma a seguir: 
 
A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar que as equações fazem parte de um sis-
tema. O resultado do sistema é dado pelo resultado de cada equação. 
Os coeficientes amxm, am2xm2, am3xm3, ... , an, an2, an3 das incógnitas x1, xm2,xm3, ... , xn, xn2, xn3 são nú-
meros reais. 
Ao mesmo tempo, b também é um número real que é chamado de termo independente. 
Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a 0 (zero): a1x1 + a2x2 = 
0. 
Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0 (zero) indica que o sistema não 
é homogêneo: a1x1 + a2x2 = 3. 
Classificação 
Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis. Lembrando 
que a solução das equações é encontrado pela substituição das variáveis por valores. 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o 
determinante é diferente de zero (D ≠ 0). 
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• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando 
o determinante é igual a zero (D = 0). 
• Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o que acontece quando 
o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes 
de zero (D ≠ 0). 
As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas. São completas as 
matrizes que consideram os termos independentes das equações. 
Os sistemas lineares são classificados como normais quando o número de coeficientes é o mesmo que 
o número de incógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz incompleta desse sistema não é 
igual a zero. 
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