Cópia de 2 - Temperatura

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Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 1 
TEMPERATURA 
 
Termodinâmica – estuda a temperatura, calor e troca de energia. 
 
Temperatura – está relacionada com a energia cinética das moléculas de um corpo. 
 
1 – Escalas de Temperatura Celsius e Fahrenheit 
 
Propriedade termométrica – é uma propriedade que depende da temperatura do corpo. 
Exemplos: resistência elétrica, densidade, condutividade, ponto de fusão,... 
 
Anteprimeira Lei ou Lei Zero da Termodinâmica – Se dois corpos estiverem em equilíbrio 
térmico com um terceiro corpo, então estarão em equilíbrio térmico entre si. 
 
 
 
 
Escala de temperatura Celsius 
 
Termômetro – é um equipamento destinado à medir a temperatura de um corpo. Ele pode ser 
construído a partir de uma comparação entre dois parâmetros físicos. Por exemplo, um 
termômetro usual relaciona a temperatura de um corpo com relação ao comprimento da coluna 
de, e.g., mercúrio. 
 
As duas escalas mais largamente utilizadas para medir a temperatura de um corpo são a 
Celsius e a Faherenheit. Na escala Celsius, a água se funde e evapora (supondo uma pressão 
atmosférica de 1 atm) a 0°C e a 100°C, respectivamente. Já na escala Fahrenheit, estas 
temperaturas são 32°F e 212°F. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha um termômetro que, em contato com o gelo a 0°C e a 100°C esteja numa 
posição denominada de L0 e L100, respectivamente. Sendo L o comprimento de uma barra 
metálica, por exemplo. 
0100
0
0100
0
0100
100
0
LL
LL
t
LL
LL
tt
t
c








 (1) 
 
 
 
 
B 
C A 
Fig. 1 – A está em contacto térmico com B que está em 
contacto térmico com C. Desse modo, TA = TB e TB = 
TC então TA = TC. 
212°F 
tF 
32°F 
100°C 
tC 
0°C 
)32(
9
5
0100
32212
0
32






FC
C
F tt
t
t
 
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 2 
2 – Termômetro a Gás e Escala de Temperatura Absoluta 
 
A utilização de vapor de água e gelo é uma atribuição que pode variar de acordo com as 
condições físicas do local, assim, não são referencias absolutos. Sendo assim, qual o melhor 
referencial para medição de temperatura? 
Termômetro a gás a volume constante 
Semelhantemente ao que fizemos anteriormente, podemos utilizar a Equação (1) e 
relacionar a temperatura com a pressão do ar contido dentro de um termômetro a gás. Ou seja: 
 
c
c
t
PP
PP
ou
PP
PP
t
PP
PP
tt
t
100
100
0
0100
0
0100
0
0100
0
0100










 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2 – Termômetro a gás a volume constante. Isto se 
deve a mangueira flexível que permite baixar ou levantar o 
tubo da direita de modo que o volume do gás não mseja 
modificado. A pressão é medida pela altura da coluna h 
que é igual à diferença de altura entre as superfícies nos 
dois tubos. 
 
 
 
 
O gás utilizado e a sua pressão têm alguma influência no resultado da medição da 
temperatura? 
 
Faremos a seguinte experiência para responder a pergunta acima: colocamos o bulbo do 
termômetro em contacto com vapor de água a 100°C e regulamos, através de uma válvula, sua 
pressão para 1000 mmHg (este é um valor arbitrário). Calibramos a pressão para 0°C e em 
seguida, levamos este termômetro para medir a temperatura do vapor de enxofre. A temperatura 
obtida, via a Equação (2) é, digamos, 446,2°C. Se repetirmos estas medidas várias vezes, mas 
sempre mudando o valor de P100 (e de P0) , podemos formar a seguinte tabela: 
 
Tabela 1 – Dados obtidos pelo termômetro a gás 
 
P100 (mmHg) Temp. de vapor da substância (°C) 
1000 446,2 
800 445,7 
600 445,5 
400 445,3 
Gás 
 
P 
Hg 
h 
Patm 
Hg 
Gás 
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 3 
 
Vemos então que a temperatura decresce à medida que a pressão P100 decresce. Logo, 
qual a verdadeira medida da temperatura do vapor da substância? 
 
O gráfico da Figura 3 mostra o comportamento entre a temperatura do vapor da 
substância medida e a pressão P100. Após a realização de um ajuste linear, obtemos que o valor 
da temperatura do vapor da substância é 444,66 °C para um valor de P100 = 0mmHg. Este é o 
valor mais provável da temperatura de vapor da substância. 
 
0.0 200.0 400.0 600.0 800.0 1000.0
Pressão de vapor de água (mmHg)
444.4
444.6
444.8
445.0
445.2
445.4
445.6
445.8
446.0
446.2
446.4
T
e
m
p
e
ra
tu
ra
 d
e
 v
a
p
o
r 
d
a
 s
u
b
s
tâ
n
c
ia
 (
C
e
ls
iu
s
)
Y = 0.00145004 * X + 444.66
 
 
Fig. 3 – Temperatura do vapor da substância versus pressão P100. A equação dentro da área representa a 
curva de ajuste dos 4 pontos da Tabela 1. 
 
 
Se diminuirmos a temperatura do gás dentro do termômetro, teremos, de acordo com a 
Equação (2), que a pressão deste cairá cada vez mais, chegando a zero quando a temperatura 
do gás alcançar –273,15°C. Este comportamento pode ver visto na Figura 4. Exemplo: suponha 
que a pressão de um gás a 100°C seja de 1000 mmHg. Ao esfriar este gás até 0°C, sua pressão 
cai para 732 mmHg. Se baixarmos a temperatura do gás para –273,15°C, a sua pressão será de 
0 mmHg. Todo gás ideal apresenta este comportamento. 
 
 
Fig. 4 – O prolongamento da reta de ajuste dos pontos toca a abscissa no ponto t = -273,15°C. 
 
 
-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100
Temperatura do gás (Celsius)
0
2
4
6
8
P
re
s
s
ã
o
 d
o
 g
á
s
 (
m
m
H
g
)
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 4 
A fim de estabelecer um padrão de temperatura, foi adotado como referência o ponto 
triplo da água (condição em que a água líquida, o vapor de água e o gelo coexistem em 
equilíbrio) onde o valor de t3 = 0,01°C e P3 = 4,58 mmHg. Utilizando a Equação (2), e dois 
pontos de referencia (0,01°C e 4,58mmHg) e (– 273,15°C; 0mmHg) obtemos a seguinte 
expressão: 
 
333
16,27316,27315,273
)15,273(01,0
)15,273(
0
0
P
P
T
P
P
t
t
P
P






 (3) 
 
onde T = t + 273,15 e é dado em kelvins. T é a temperatura absoluta. 
 
 
3 – A Lei dos Gases Ideais 
 
Lei de Boyle (1662) (ou Lei de Boyle-Mariot ou Lei de Mariot)
1
 
 
O produto entre a pressão de um gás e o seu volume, quando a temperatura T é fixa, é 
constante ou seja P V = cte. Esta relação experimental foi descoberta em 1662. 
 
Por outro lado, se estes três parâmetros variam, podemos escrever que P V = C T, onde 
C é uma constante de proporcionalidade que depende da quantidade de partículas que compõem 
o gás. 
 
C  k N, 
 
onde k = 1,381x10 
–23
J/K é a constante de Boltzmann e N é o número de partículas. 
 
Se NA é o número de Avogadro (6,022x10
23
) e se o gás tem n moles então, 
 
N = nNA ou 
P V = n k NA T = n R T, (4) 
 
onde R = kNA = 8,314 J/K.mol = 0,08206 l.atm/K.mol é denominado de Constante Universal dos 
Gases. A temperatura na equação dos gases ideais 
(eq. 4) é SEMPRE em kelvins. 
 
Um gás ideal é aquele que obedece a Equação (4). 
 
Massa Molecular M – é a massa de 1 mol, também conhecida como massa molar ou peso 
molecular. 
 
1
 A relação entre pressão e volume foi primeiramente observada por dois cientistas amadores, Richard Towneley e Henry Power. Boyle 
confirmou a descoberta de ambos e publicou os resultados. De acordo com Robert Gunther e outras autoridades foiRobert Hooke, assistente de 
Boyle, quem construiu os aparelhos para os experimentos. As leis de Boyle são baseadas em experimentos com ar, que ele considerou ser um 
fluído de partículas em repouso entre pequenas molas invisíveis. Naquela época, ar ainda era considerado como um dos quatro elementos, embora 
Boyle discordasse. O interesse de Boyle era provavelmente compreender o ar como um elemento essencial da vida;4 por exemplo, ele publicou 
trabalhos sobre o crescimento de plantas sem ar.5 O físico francês Edme Mariotte (1620–1684) descobriu a mesma lei independentemente de 
Boyle em 1676, embora Boyle já houvesse publicado os dados em 1662. Portanto esta lei referida como Leide Boyle-Mariotte ou simplesmente 
como Lei de Mariotte. Mais tarde em 1687 na Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Newton exibiu matematicamente que, se um fluído 
elástico constituído de partículas em repouso, entre as quais existem forças repulsivas inversamente proporcionais a sua distância, a densidade 
será diretamente proporcional a pressão,6 mas esta prova matemática não é a explicação física para a relação observada. Ao invés de uma teoria 
estática, é necessária uma teoria cinética que foi fornecida dois séculos depois por Maxwell e Boltzmann. 
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Boyle-Mariotte) 
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Richard_Towneley&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Henry_Power&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_Gunther&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Boyle-Mariotte#cite_note-4
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Boyle-Mariotte#cite_note-5
http://pt.wikipedia.org/wiki/Edme_Mariotte
http://pt.wikipedia.org/wiki/Philosophi%C3%A6_Naturalis_Principia_Mathematica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Boyle-Mariotte#cite_note-6
http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Boyle-Mariotte
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 5 
 
Para um gás de n moles, temos que a massa total de um gás é: 
m = n M (5) 
 
e a sua densidade, por sua vez, é dada por: 
 
 = m / V = n M / V (6) 
 
Utilizando a Equação (4), podemos dizer que a densidade também pode ser dada por: 
 
n M P M P
n M
V n RT RT
    (7) 
 
Se fixarmos a temperatura e o número de moles, veremos que, de acordo com a Equação 
(4), P1/V. O comportamento de P versus V está mostrado na Figura 5. 
 
Fig. 5 – Plano PV de um gás ideal mostrando as curvas que representam as isotermas, ou seja, a curva onde a 
temperatura não muda. Estas curvas são hipérboles. 
 
Da Lei dos Gases Ideais podemos dizer que, se n e R não mudam, então: 
 
3 31 1 2 2
1 2 3
...
P VP V P V
n R
T T T
    
 
Se o gás sai de um estado para outro isotermicamente (processo isotérmico), então 
 
P1 V1 = P2 V2. 
 
Se o gás sai de um estado para outro isobaricamente (processo isobárico), então 
 
V1 / T1 = V2 / T2. 
 
Se o gás sai de um estado para outro isocoricamente (processo isocórico), então 
 
P1 / T1 = P2 / T2. 
 
Interessantes simulações podem ser encontradas nos sites http://jersey.uoregon.edu/vlab/Piston/ 
e http://www.chm.davidson.edu/ChemistryApplets/GasLaws/BoylesLaw.html. 
 
 
 
Volume
P
re
s
s
ã
o
http://jersey.uoregon.edu/vlab/Piston/
http://www.chm.davidson.edu/ChemistryApplets/GasLaws/BoylesLaw.html
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 6 
 
 
4 – A Interpretação Molecular da Temperatura: A Teoria Cinética dos Gases 
 
Descrevemos um gás através das variáveis macroscópicas P, V e T, porém, uma 
descrição microscópica, onde descreveríamos as coordenadas de cada partícula, é impossível 
devido ao enorme número de partículas que formam este gás. 
 
A seguir apresentaremos que a temperatura de um gás está relacionada com a energia 
cinética média das moléculas. Porém, inicialmente devemos dizer que a pressão de um gás é o 
resultado das colisões entre as moléculas do gás e as paredes do recipiente que o contém. 
 
Teoria Cinética dos Gases 
 
Devemos formular inicialmente as seguintes hipóteses 
 
1) Existe um enorme número de moléculas no gás colidindo elasticamente entre si e com as 
paredes do recipiente que o contém; 
2) A distância média entre as moléculas é grande em comparação com seus diâmetros; 
3) Não há direção nem posição privilegiada para as moléculas no recipiente e a ação da 
gravidade é desprezada. 
 
De acordo com a hipótese 1) e 3), podemos analisar o que acontece com uma partícula 
que está na direção, e.g., x (pois semelhantemente ocorrerá com aquela que se move na direção 
y e z). A variação de momento linear que a partícula sofre ao chocar-se com a parede da direita 
é: 
 
2f i xf xi xp p p p mv mv mv         (8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Excelentes simulaões de átomos dentro de um volume pode ser vista no site: 
 
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/Piston/jarapplet.html 
http://comp.uark.edu/~jgeabana/mol_dyn/KinThI.html 
http://www.falstad.com/gas/ 
 
 
O paralelogramo da Figura 6 contém N moléculas dentro de um volume V. Considere 
que o número de moléculas viajando na direção x e com velocidade vx dentro da região 
limitada por 2 e 3 é N´. 
 
y 
vxt 
x 
z 
1 
2 3 
Fig. 6 – O paralelogramo contém 
inúmeras moléculas colidindo entre 
si e com as paredes do recipiente. 
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/Piston/jarapplet.html
http://comp.uark.edu/~jgeabana/mol_dyn/KinThI.html
http://www.falstad.com/gas/
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O número de colisões com a parede da direita, cuja área é A, num intervalo de tempo t 
é igual ao número de moléculas entre 2 e 3 e que viajam para direita, ou seja: 
 





 

2
Atv
V
N
N x (9) 
 
o fator ½ se deve ao fato que escolhemos apenas moléculas viajando para direita. 
Assim, o a variação total de momento das moléculas ao colidir com a parede é igual a N´ vezes 
a 2mvx. 
 





 

2
2
tAv
V
N
mvp xx , (10) 
 
mas a variação de momento num intervalo de tempo é igual a força, logo a força que as 
moléculas exercem sobre a parede é: 
 
2 2
2 2
2 2
x xmv mvp N F NF A P
t V A V
   
       
    
 (11) 
 
Comparando a Equação (11) com a Lei dos Gases Ideais (Equação (4)), obtemos: 
 
2
2
2
xmvPV N N k T
 
  
 
 (12) 
 
Como existe várias velocidades vx é, então, melhor substituirmos v
2
x por (v
2
x)m(edio), 
assim: 
m
xmvkT 






22
1
2
. (13) 
 
O mesmo raciocínio é aplicado para y e z, logo podemos escrever que 
 
mxmmymm vvvvv zx )(3)()()()(
22222  . (14) 
 
A energia cinética média de cada molécula de um gás é dada por: 
 
2
3
2
2 kTmv
K
m
m 





 . (15) 
 
Logo, a energia total é dada por: 
 
2 33 3
2 2 2 2
A
m
n N k Tmv Nk T
K N n RT
 
    
 
 (16) 
 
Um resultado muito importante foi obtido. A energia total das moléculas de um gás está 
relacionada diretamente com a temperatura absoluta deste gás e, se dividirmos K por n na 
Equação (16), obtemos a energia cinética por mol. 
Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 8 
 
Da Equação (16) obtemos que a velocidade das moléculas num gás é 
 
2 33 3( ) Am
A
N k Tk T RT
v
m m N M
   . (17) 
 
A velocidade média quadrática, por sua vez é: 
 
 
M
RT
vv
mmq
32  . (18) 
 
 
No caso dos gases, é importante conhecermos como as velocidades das partículas estão 
distribuídas no ambiente que contém esse gás. Essa distribuição de velocidade é uma 
informação importante quando queremos descrever o gás microscopicamente. Isso é o mesmo de 
informar qual o percentual de partículas que estão dentro de um intervalo de velocidades. Essa 
função de distribuição de velocidades é dada pela seguinte expressão: 
 
 
2
2( ) exp
2
mvf v v
kT
  . 
 
 
Exemplo: Determinar a energia cinética translacional total de um mol de O2 a t=0°C e a 
1 atm e a velocidade média de cada partícula. 
 
Solução: 
Um mol (6,022x10
23
moléculas) ocupa um volume de 22,4 l qdo a T=273K e 1 atm. M = 32g/mol. 
 
Usando a Equação (16), obtemos: 
 
3 1 8,314 273
3404
2
K J
  
  
 
Usando a Equação (18), obtemos: 
 
3
3 8,314 273
461 /
32 10
mqv m s
x 
 
  . 
 
 
Essa energia cinética que calculamos acima é igual a energia potencial de um corpo de 1kg a 
~350m de altitude. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula – FísicaII; Profs Ricardo e Amauri 9 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Um termômetro a gás a volume constante tem pressão de 30 torr quando num banho na 
temperatura de 373K. (a) qual a pressão no ponto triplo da água? (b) Qual a 
temperatura quando a pressão for de 0,175 torr? 1torr = 1 mmHg = 133,32 Pa 
 
2) Se 1 mol de um gás num recipiente ocupar o volume de 10l sob a pressão de 1 atm, qual 
será a temperatura do gás em kelvins? (b) O recipiente mencionado anteriormente tem 
um pistão que pode provocar modificações no volume. Quando o gás for aquecido a 
pressão constante, o seu volume se expande a 20 l. Qual a temperatura do gás em 
kelvins? (c) O volume do gás fica fixo em 20 l e o gás é aquecido a volume constante até 
a sua temperatura ser 350K. Qual a pressão do gás? 
 
3) Um mergulhador está a 40m da superfície de um lago, onde a temperatura é de 5°C, e 
libera uma bolha de ar de 15cm
3
. A bolha sobe até a superfície, onde a temperatura é de 
25°C. Qual o volume da bolha antes de estourar na superfície? 
 
Exercício para casa. 
 
Vide livro texto, 3
a
 edição. 
 
De 1 a 10; de 14 a 23; de 45 a 49; 55 e 59.