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Análise estatística de incertezas aleatórias Página 1 
Professor responsável: Marinonio Lopes Cornélio 
 
 
 
 
 
 
Introdução à Prática 
Experimental 
 
 
 
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Capítulo 4. Análise estatística de incertezas aleatórias 
4.1 Erros sistemáticos e aleatórios 
4.2 Média e desvio padrão 
4.3 O desvio padrão como a incerteza em uma única medida 
4.4 Desvio padrão da média 
4.5 Erros sistemáticos
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Capítulo 4 
Análise Estatística de Incertezas Aleatórias 
Temos visto que uma das melhores maneiras de avaliar a confiabilidade de uma medição deve 
ser repetindo várias vezes e examinar os diferentes valores obtidos. No presente capítulo e no 
seguinte, descreveremos métodos estatísticos para análise de medidas. 
4.1 Erros sistemáticos e aleatórios 
Incertezas experimentais podem ser reveladas, repetindo-se as medidas que são chamadas de 
erros aleatórios. Aqueles que não podem ser revelado desta forma são chamados sistemáticos. 
Para ilustrar esta distinção, vejamos alguns exemplos. Suponha que em primeiro lugar 
medimos o tempo de uma revolução constante de um rotor. Uma fonte de erro será nosso 
tempo de reação em Iniciar e parar o relógio. Se nosso tempo de reação sempre for 
exatamente o mesmo, estes dois atrasos serão cancelados. Na prática, no entanto, nosso 
tempo de reação deve variar. Podemos atrasar mais na partida e então subestimar o tempo de 
uma revolução; ou podemos atrasar mais na parada e então superestimar o tempo. Uma vez 
que qualquer possibilidade é igualmente provável, o sinal do efeito é aleatório. Se pudermos 
repetir a medida várias vezes, vamos às vezes superestimar e às vezes subestimar. Assim, 
nosso tempo de reação variável será mostrado como uma variação das respostas encontradas. 
Analisando a propagação nos resultados estatisticamente, podemos obter uma estimativa 
muito confiável deste tipo de erro. 
Por outro lado, se o tempo de resposta na marcação final está sendo executado lentamente, 
em seguida, todos os nossos tempos serão subestimados e nenhuma quantidade de repetição 
(com o mesmo cronometro) irá revelar esta fonte de erro. Esse tipo de erro é chamado 
sistemático, porque ele sempre coloca nosso resultado na mesma direção. (Se a resposta no 
cronometro marca de forma lenta, sempre subestimamos; se o cronometro marca de forma 
rápida, sempre superestimamos). Erros sistemáticos não podem ser descobertos pelo tipo de 
análise estatística descrita aqui. 
Como um segundo exemplo dos erros aleatório versus sistemáticos, suponha que temos que 
medir algum comprimento bem definido com uma régua. Uma fonte de incerteza será a 
necessidade para interpolar entre as marcas de escala. E esta incerteza é provavelmente 
aleatória. (Quando a interpolação, nós provavelmente sejamos prováveis a superestimar a 
subestimar). Mas há também a possibilidade de que nossa régua tenha distorção; e esta fonte 
de incerteza provavelmente seria sistemática. (Se a régua dilatou-se, subestimamos sempre; se 
ela encolheu, nós sempre superestimamos). 
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Tal como nestes dois exemplos, quase todas as medidas estão sujeitas a incertezas aleatórias e 
sistemáticas. Você não deve ter nenhuma dificuldade em encontrar mais exemplos. Em 
particular, observe que são fontes comuns de incertezas aleatórias 
 
Figura 4.1. Erros aleatórios e sistemáticos na prática de tiro ao alvo, (a) porque todos os tiros 
chegaram perto um do outro, nós podemos dizer os erros aleatórios são pequenos. Porque a 
distribuição de tiros é no centro do alvo, os erros sistemáticos também são pequenos, (b) erros 
aleatórios são ainda pequenos, mas os sistemáticos são muito maiores — os tiros são 
"sistematicamente" fora do centro para direita, (c) aqui, os erros aleatórios são grandes, mas 
os sistemáticos são pequenos — os tiros estão amplamente espalhados, mas não 
sistematicamente fora do centro, (d) aqui, ambos aleatório e erros de sistemáticos são 
grandes. 
pequenos erros de julgamento pelo observador (como quando interpolação), pequenas 
perturbações do aparelho (por exemplo, vibrações mecânicas), problemas de definição e 
vários outros. Talvez a causa mais óbvia de erro sistemático é a descalibração dos 
instrumentos, tais como o cronometro que mede lento, a régua que foi esticada ou um 
contador que é zerado incorretamente. 
Para se ter uma idéia melhor na diferença entre erros aleatórios e sistemáticos, considere a 
analogia mostrada na Figura 4. 1. Aqui o "experimento" é uma série de tiros disparados em um 
alvo. "medidas precisas" são tiros que chegam próximo ao centro. Erros aleatórios são 
causados por alguma coisa que faz com que os tiros cheguem em pontos diferentes 
aleatoriamente. Por exemplo, o atirador pode ter uma mão instável, ou condições 
atmosféricas flutuantes entre o atirador e o destino podem distorcer a visualização do destino 
de forma aleatória. Erros sistemáticos surgirem se nada faz os tiros chegar fora do centro em 
uma direção "sistemática", por exemplo, se a mira da arma está desalinhada. Observe na 
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Figura 4.1 como os resultados mudam de acordo com as combinações de vários pequenos ou 
grandes erros aleatórios ou sistemáticos. 
Embora a Figura 4.1 seja uma excelente ilustração dos efeitos dos erros aleatórios e 
sistemáticos, é, no entanto, enganosa num aspecto importante. 
 
Figura 4.2. A mesma experiência como na Figura 4.1 redesenhado sem mostrar a posição do 
destino. Esta situação corresponde de perto a experiências mais reais, em que não 
conhecemos o verdadeiro valor da quantidade a ser medido. Aqui, pode ainda avaliar o 
facilmente o erro aleatório, mas não se pode dizer nada sobre os sistemáticos. 
Porque cada uma das quatro imagens mostra a posição do destino, que nós podemos saber 
rapidamente se um tiro especial foi preciso ou não. Em particular, a diferença entre as duas 
imagens superiores é imediatamente evidente. Os tiros na imagem à esquerda do conjunto em 
torno do centro do destino, considerando que aqueles na imagem a direita do conjunto em 
torno de um ponto bem fora do centro; claramente, portanto, o responsável pela imagem da 
esquerda tinha pouco erro sistemático, mas o da imagem da direita tinha muito mais. Saber 
que a posição do destino na Figura 4.1 corresponde, em um laboratório a medida, para 
conhecer o verdadeiro valor da quantidade medida, na maioria das medidas reais, não se sabe 
este valor verdadeiro. (Se soubéssemos o verdadeiro valor, não nos incomodaria medi-la.) 
Para melhorar a analogia da Figura 4.1 com experiências mais reais, precisamos redesenhá-lo 
sem os anéis que mostram a posição do destino, como na Figura 4. 2. Nessas fotos, identificar 
os erros aleatórios é ainda fácil. (As imagens de dois primeiros ainda, obviamente, têm erros 
aleatórios menores do que os dois piores). Para determinar que marcas tenham erros 
sistemáticos maiores, no entanto, é impossível baseado apenas na Figura 4.2. Esta situação é 
exatamente o que prevalece em experiências mais reais. Examinando a distribuição dos 
valores medidos, podemos facilmente avaliar os erros aleatórios, mas não obter nenhuma 
orientação sobre os erros sistemáticos. 
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A distinção entre erros aleatórios e sistemáticos não é sempre clara, e um problema que causa 
erros aleatórios em um experimento pode produzir erros sistemáticos em outro. Por exemplo, 
se você posicionar sua cabeça pela primeira vez para um lado e, em seguida, a outra para ler 
um medidortípico (como um relógio normal), altera a leitura do contador. Este efeito, 
chamado paralaxe, significa que um metro pode ser lido corretamente apenas se você 
posicionar-se na frente dele. Não importa quão cuidadoso você é, se você não posicionar seu 
olho exatamente na frente do contador; por conseguinte, suas medidas terão uma pequena 
margem de incerteza devido a paralaxe, e esta incerteza será provavelmente aleatória. Por 
outro lado, um experimentador descuidado que coloca um medidor ao seu lado e esquece-se 
de se preocupar com a paralaxe irá introduzir um erro sistemático em todas as suas leituras. 
Assim, o mesmo efeito, paralaxe, pode produzir incertezas aleatórias em um caso e incertezas 
sistemáticas em outro. 
O tratamento de erros aleatórios é diferente dos erros sistemáticos. Os métodos estatísticos 
descritos nas seções a seguir dão uma estimativa confiável das incertezas aleatórias e, como 
veremos, fornecem um processo bem definido para reduzi-los. Pelas razões que acabamos de 
discutir, incertezas sistemáticas são geralmente difíceis de avaliar e até mesmo para detectar. 
O experiente cientista tem de aprender a antecipar as possíveis fontes de erro sistemático e 
para certificar-se de que todos os erros sistemáticos são muito menos do que a precisão 
necessária. Isso envolverá, por exemplo, verificar os metros contra normas aceites e corrigi-los 
ou comprar melhor se necessário. Infelizmente, no laboratório de física do primeiro ano, essas 
verificações são raramente possíveis, para que o tratamento de erros sistemáticos muitas 
vezes é complicado. Este conceito é discutido na seção 4.6. Por agora, vou discutir experiências 
em que todas as fontes de erro sistemático foram identificadas e feitas muito menores do que 
a precisão necessária. 
4.2 Média e desvio padrão 
Suponha que temos de medir algumas quantidades x, e podemos ter identificado todas as 
fontes de erro sistemático e reduzir a um nível insignificante. Como todas as demais fontes de 
incerteza são aleatórias, deve ser capaz de detectá-los, repetindo a medição várias vezes. Nós 
podemos, por exemplo, fazer a medição cinco vezes e encontrar os resultados 
71, 72, 72, 73, 71 (4.1) 
A primeira pergunta que abordamos é esta: tendo em conta os valores cinco medidos (4.1), o 
que nós tomamos para nosso melhor xmelhor de estimativa da quantidade ? Razoavelmente, 
nossa melhor estimativa parece ser a média ou significa dos cinco valores encontrados para x, 
e no capítulo 5, vai provar que esta escolha é normalmente a melhor. Assim, 
Xmelhor = =71.8 (4.2) 
Mais geralmente, suponha que nós fazemos N medidas da quantidade x (tudo usando o 
mesmo equipamento e procedimentos) e encontrar os N valores de 
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x1, x2, ..., xN (4.3) 
Uma vez mais o melhor valor estimado para x, é a média dos x1, ..., xN. Isto é, 
xmelhor = (4.4) 
sendo 
 
 (4.5) 
 
Na ultima linha foi introduzido a notação de somatória 
 
O conceito de média ou média é quase certamente familiar para a maioria dos leitores. Nosso 
próximo conceito, desvio-padrão, é provavelmente menos conhecido. O desvio-padrão das 
medidas x1..., xN é uma estimativa da incerteza média da medidas х1,..., xN e é determinada do 
seguinte modo. 
Dado que a média é nossa melhor estimativa da quantidade x, é natural que se considere a 
diferença xi - = di. Esta diferença, muitas vezes chamada de desvio (ou residual) do xi de , 
nos diz quanto o x-enésimo da medida difere da média . Se os desvios di = xi — são todos 
muito pequenos, nossas medidas estão todas próximas uns dos outros e presumivelmente 
muito precisas. Se alguns dos desvios são grandes, nossas medidas, obviamente, não estão 
precisas. 
Certificar-se que você entendeu a idéia do desvio, vamos calcular os desvios para o conjunto 
de cinco medidas na tabela (4.1). Observe que os desvios não são (é claro) do mesmo 
tamanho; di é pequeno se o xi da enésima medida passa a ser perto de x, mas di é grande se xi 
é longe de x. Percebe-se também que alguns dos di são positivos e alguns negativos porque 
algumas do xi são mais elevados do que a média , e alguns são obrigados a ser menor. 
Para estimar a confiabilidade média das medidas x1,...,x5 naturalmente tente a média os 
desvios di. Infelizmente, o quadro 4.1 mostra, a média dos desvios é zero. Na verdade, esta 
média será zero para qualquer conjunto de medidas xi..., xN porque a definição da média x 
garante que di = xi — , as vezes, é positivo e as vezes negativo, desta forma d é zero. 
 
 
 
 = (x1 + x2 + ... xN)/N 
 =  xi/N 
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Tabela 4.1. Cálculo dos desvios 
 
Obviamente, então, a média dos desvios não é uma maneira útil de caracterizar a 
confiabilidade das medidas x1, ...,xN. 
A melhor maneira de evitar esse incomodo é conciliar todos os desvios, que criará um 
conjunto de números positivos, e a média, destes números. Se, em seguida, tomamos a raiz 
quadrada do resultado, obtemos uma quantidade com as mesmas unidades de x 
propriamente. Esse número é chamado o desvio-padrão de x1,..., xN e é denotado por x: 
 (4.6) 
Com esta definição, o desvio padrão pode ser descrito como raiz média quadrática ‘root mean 
square’ (ou RMS) desvio das medidas de x1,...,xN. Ele revela-se uma maneira útil de caracterizar 
a confiabilidade das medidas. [Como discutiremos em breve, a definição (4.6), às vezes, é 
modificado, substituindo o denominador N por (N — 1).] 
Tabela 4.2. Cálculo do desvio padrão 
 
Somando os números di
2 na quarta coluna da tabela 4.2 e dividindo por 5, obtemos a 
quantidade x
2 (muitas vezes chamado a variância das medidas), 
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 (4.7) 
Calculando-se a raiz quadrada deste resultado, obtemos o desvio padrão 
 (4.8) 
Infelizmente, o desvio-padrão tem uma definição alternativa. Há argumentos teóricos para 
substituir o fator N em (4.6) por (N - 1) e definindo x desvio-padrão de x1,...,xN como 
 (4.9) 
a nova definição "melhor" é obviamente um pouco maior do que em (4.6) e que corrige uma 
tendência em (4.6) esclarecendo tendências nas medidas x1,..., xN, especialmente se o número 
de medidas N é pequeno. Esta tendência pode ser entendida por considerar o caso extremo (e 
absurdo) que N = 1 (ou seja, podemos fazer apenas uma medida). Aqui, a média é igual a xi 
uma leitura e um desvio automaticamente é zero. Portanto, a definição de (4.6) resulta no 
absurdo resultado que x= 0. Por outro lado, a definição (4.9) resulta em 0/0. Ou seja, com 
definição (4.9), x é indefinido, que corretamente reflete nossa total ignorância da incerteza 
após apenas uma medição. A definição (4.6), às vezes, é chamado o desvio padrão da 
população e (4.9) o desvio padrão da amostra. 
A diferença entre as duas definições (4.6) e (4.9) quase sempre é numericamente 
insignificante. Você sempre deve repetir uma medição muitas vezes (pelo menos cinco e de 
preferência até muitos mais). Mesmo se você fizer apenas cinco medidas (N = 5), a diferença 
entre (N)1/2 = 2.2 e (N-1)1/2 = 2 é, na maioria dos casos, insignificante. Por exemplo, se nós 
recalcular o desvio-padrão (4.8) usando a melhor definição (4.9), obtém x = 0.8 em vez de x = 
0.7, não é uma diferença muito importante. No entanto, você precisaráestar ciente das duas 
definições. O laboratório de física, utilizando o mais conservador (ou seja, maior) definição 
(4.9) é quase sempre melhor, mas em qualquer caso, o relatório do laboratório afirmar 
claramente que definição que você está usando para que seus leitores possam verificar os 
cálculos por si próprios. 
4.3 O desvio padrão como a incerteza em uma única medida 
Lembre-se a alegação de que o desvio-padrão x caracteriza a média da incerteza das medidas 
x1,..., xN, do qual foi calculada. No capítulo 5, veremos a justificativa desta declaração 
provando esta instrução de modo mais preciso. Se você medir a mesma quantidade x muitas 
vezes, sempre usando o mesmo método, e se todas as suas fontes de incerteza são pequenas e 
aleatórias, então seus resultados serão distribuídos em todo o valor xverdadeiro de acordo com a 
distribuição chamada normal, ou representado por uma curva na forma de sino. Em particular, 
aproximadamente 68% do seu resultado ficarão dentro de uma distância x em ambos os 
lados do xverdadeiro; ou seja, 68% das suas medidas cairão no intervalo xverdadeiro ±x. 
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Em outras palavras, se você fizer uma única medida (usando o mesmo Método), a 
probabilidade é de que 68% do seu resultado terá o valor x correto. Assim, podemos aprovar 
x para dizer exatamente o que chamamos de "incerteza". Se você fizer uma medida de x, a 
incerteza associada a esta medida pode ser tomada como 
 
com esta opção, você pode estar 68% confiante de que a medida está dentro de x da resposta 
correta. 
Para ilustrar a aplicação dessas idéias, suponha que temos uma caixa de molas semelhantes e 
medimos a constante k. Medimos as constantes das molas pendurando uma massa e 
observando a extensão resultante ou, talvez melhor, suspendendo uma massa de cada mola e 
medindo o tempo de oscilação. Qualquer método que escolhermos, precisa-se saber k e a 
incerteza de k para cada mola, mas seria irremediavelmente demorado repetir nossas 
medidas muitas vezes para cada mola. Em vez disso podemos raciocinar da seguinte maneira: 
se medirmos к pela na primeira várias vezes (digamos, 5 ou 10), então a média dessas medidas 
deve dar uma boa estimativa de k da primeira mola. Mais importante agora, o desvio-padrão 
que x dessas medidas de 5 ou 10 proporcionam uma estimativa da incerteza em nosso 
método de medição k. Nossas molas são razoavelmente semelhantes e podemos usar o 
mesmo método para medir cada uma, podemos razoavelmente esperar a mesma incerteza em 
cada medida. Assim, para cada mola subseqüente, precisamos fazer apenas uma medida e 
imediatamente podemos afirmar que a incerteza k é o desvio padrão k medido da primeira 
mola, com uma confiança de 68% que nossa resposta está dentro do k do valor correto. 
Para ilustrar essas idéias numericamente, podemos imaginar fazendo 10 medidas na primeira 
mola e obter os seguintes valores medidos de k (em Newtons/metro): 
 (4.10) 
Deste resultado obtemos usando a definição (4.9) 
 (4.11) 
 (4.12) 
A incerteza em qualquer medida de к, portanto, é aproximadamente 2 N/m. Se agora 
medimos a segunda mola uma vez e obtermos a resposta k = 71 N/m, pode sem mais delongas 
tomar k = k = 2 N/m e declarar com 68% de confiança que k situa-se no intervalo 
(k para segunda mola)= 71 ± 2 N/m (4.13) 
4.4 Desvio padrão da média 
Se x1,..., xN, são os resultados das N medidas da mesma quantidade x, então, como vimos, 
nossa melhor estimativa da quantidade x é a média . Também vimos que o desvio-padrão x 
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caracteriza a incerteza média das medidas em separado x1,..., xN. Nossa resposta xmelhor = no 
entanto, representa uma combinação criteriosa de todas as medidas de N, e temos todos os 
motivos para pensar que é mais confiável do que qualquer uma das medidas efetuadas por si 
só. No capítulo 5, vamos provar que a incerteza da resposta final em xmelhor = é dada pelo x 
desvio padrão dividido por N1/2. Esta quantidade é chamada o desvio-padrão da média, ou 
SDOM (em inglês) e é indicada por 
 (4.14) 
 (Outros nomes comuns são erro padrão e erro padrão da média). Assim, com base nos N 
valores medidos x1,..., xN, podemos afirmar a nossa resposta final para o valor de x como 
 (4.15) 
Como exemplo, podemos considerar as 10 medidas relatadas em (4.10) da constante k de uma 
mola. Como vimos, a média desses valores é 85,7 N/m, e o desvio-padrão é k = 2.2 N/m. 
Portanto, é o desvio-padrão da média 
 (4.16) 
e nossa resposta final, com base nas 10 medidas, seria que a mola tem 
 k = 85.7 ± 0.7 N/m (4.17) 
Quando você dá uma resposta como esta, você deve dizer claramente o que os números são 
— ou seja, a média e o desvio-padrão da média — para que seus leitores possam julgar seu 
significado por si mesmo. 
Uma característica importante do desvio padrão da média, , é o fator N1/2 no 
denominador. O x desvio padrão representa a incerteza média nas medidas individuais x1,..., 
xN. Assim, se fizer algumas medidas a mais (usando a mesma técnica), desvio padrão x não 
alteraria sensivelmente. Por outro lado, o desvio-padrão da média, x/N
1/2 iria diminuir 
lentamente com o aumento de N. Esta diminuição é apenas o que seria de esperar. Se fizermos 
medidas mais antes de computar uma média, naturalmente seria de esperar que o resultado 
final é mais confiável e esta melhor confiabilidade é apenas o que o denominador N1/2 (4.15) 
garante. Esta conclusão mostra de maneira óbvia a melhora da precisão das medidas. 
Infelizmente, o fator N1/2 cresce muito lentamente com o aumento de N. Por exemplo, se 
quisermos melhorar nossa precisão por um fator de 10 simplesmente aumentando o número 
de medidas N, teremos de aumentar N por um fator de 100 — um crescimento assustador, 
para dizer o mínimo! Além disso, no momento estão negligenciados erros sistemáticos, e estas 
não são reduzidas pelo aumento do número de medidas. Assim, na prática, se você quer 
aumentar sua precisão sensivelmente, você provavelmente fará melhor para melhorar sua 
técnica do que ao confiar apenas no aumento do número de medições. 
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4.5 Erros sistemáticos 
Em algumas seções anteriores, tomamos como garantia que todos os erros sistemáticos foram 
reduzidos a um nível insignificante antes do início de medidas. Aqui, tomamos novamente a 
possibilidade desagradável de erros sistemáticos apreciáveis. No exemplo abordado aqui, 
podemos ter m medida com um equilíbrio consistentemente alta ou baixa ou nosso 
cronometro pode ser consistentemente rápido ou lento. Nenhum destes erros sistemáticos vai 
aparecer na comparação das nossas respostas diferentes para a primavera constante k. Como 
resultado, o desvio-padrão da média pode ser considerado como o kaleat a componente 
aleatória de incerteza k, mas certamente não é a incerteza total k. O nosso problema é 
decidir como estimar a ksis componente sistemática e, em seguida, como combinar kaleat e 
ksis para dar a incerteza completa k. 
Nenhuma simples teoria nos diz o que fazer sobre erros sistemáticos. Na verdade, a única 
teoria de erros sistemáticos é que devem ser identificados e reduzidos até que sejam muito 
menos do que a precisão necessária. No entanto, em um laboratório de ensino, muitas vezes 
este objetivo nãoé atingido. Os alunos muitas vezes não comparam um medidor contra um 
melhor para corrigi-lo. Por este motivo, alguns laboratórios de ensino estabelecem uma regra 
que, na ausência de informações mais específicas, metros devem ser considerados como 
tendo alguma incerteza sistemática definida. Por exemplo, a decisão pode ser que todos os 
cronômetros têm até 0,5% de incerteza sistemática, todas as balanças até 1%, todos os 
voltímetros e amperímetros acima de 3% e assim por diante em seguida, localize o 
componente sistemático de k por propagação de erros; a única questão é se combinar os 
erros em quadratura ou diretamente. Porque os erros em m e t são certamente independentes 
e algum cancelamento é possível, portanto, utilizando a soma quadrática é razoável; esta 
escolha resulta em 
 (4.18) 
 (4.19) 
Agora que temos as estimativas para ambas as incertezas aleatórias e sistemáticas em k, têm 
que decidir a nossa conclusão final para a constante k da mola com sua incerteza total. Porque 
o método para a combinação de kaleat e ksis não é completamente claro, muitos cientistas 
deixam os dois componentes separados e declaram uma resposta final sob a forma 
(valor medido de k) = kmelhor ± kaleat ± ksis (4.20) 
 
 (os quais devem provavelmente ser arredondados para uma casa decimal). Como alternativa, 
um caso pode ser feito que kaleat e ksis devem ser combinados em quadratura, nesse caso 
poderíamos indicar uma única e incerteza total 
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 (4.21) 
 
Substituindo o obtido em (4.20) 
(valor medido de k) = kmelhor ± k 
= 13.16 ± 0.19 N/m 
Ou melhor, 13.2 ± 0.2 N/m. 
A expressão (4.21) para k realmente não pode ser justificada com rigor. Nem o significado da 
resposta é claro, por exemplo, provavelmente não pode reivindicar 68% de confiança que a 
verdadeira resposta se encontra no intervalo k±k. Entretanto, a expressão, pelo menos, 
oferece uma estimativa razoável de nossa incerteza total, dado que nossos equipamentos têm 
incertezas sistemáticas que não se pode eliminar. Em particular, há um aspecto importante na 
qual a resposta (4.21) é realista e instrutivo. Vimos na seção 4.4 que o desvio-padrão da média 
aproxima-se de zero com o aumento do número de medidas N. Este resultado sugere que, 
se você tiver paciência para fazer um enorme número de medidas, você pode reduzir a 
incerteza indefinidamente sem a necessidade de melhorar o seu equipamento ou técnica. 
Agora podemos ver que esta sugestão está incorreta. Incrementar N pode reduzir a kaleat= 
 indefinidamente. Mas qualquer equipamento tem alguma incerteza sistemática, que não 
seja reduzido como podemos aumentar N (4.21), vemos claramente que pouco é adquirido 
com uma maior redução dos kaleat, uma vez que kaleat é menor que ksis . Em particular, k 
total nunca pode ser menor que ksis. Este fato simplesmente confirma o que já foi 
mencionado, que, na prática, uma grande redução da incerteza requer melhorias técnicas ou 
equipamentos para reduzir os erros aleatórios e sistemáticos em cada medida. 
Conforme discutido no capítulo 2, uma característica peculiar do laboratório de ensino é que 
você provavelmente será solicitado para medir quantidades, tais como a aceleração da 
gravidade, cujo aceite valor já é conhecido. Este tipo de experiência, na lógica da análise do 
erro é um pouco confusa. Provavelmente o procedimento mais correto é ignorar o valor aceito 
e conhecido até que você faça todos os cálculos de seu valor medido, gmelhor e a incerteza. 
Então, naturalmente, você deve perguntar se o valor aceito está dentro (ou pelo menos fechar 
para) o intervalo gmelhor ± g. Em caso afirmativo, você pode simplesmente escrever este 
resultado em seu relatório. Se o valor aceito está bem fora da faixa gmelhor ± g, no entanto, 
você tem que analisar as possíveis causas de discrepância excessiva. Por exemplo, você pode 
medir g, aceleração da gravidade e obter os resultados (todos em m/s2), 
gmelhor = 9.97 (4.22) 
com incertezas 
galeat = 0.02 e gsis = 0.03, 
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e a incerteza total 
 
Claramente o valor aceito para gravidade 
 
encontra-se agora fora do intervalo medido, 9.97 ± 0,04. (Mais especificamente, a discrepância 
é 0.17, que é quatro vezes a incerteza). Este resultado definitivamente não é satisfatório e é 
necessária uma análise mais aprofundada. 
A primeira coisa a verificar é a possibilidade que você cometeu um erro de cálculo gmelhor ou 
uma das incertezas galeat e gsis. Se você pode convencer que todos os seus cálculos estavam 
corretos, a próxima possibilidade é que o valor aceito está errado. No caso de g = 9,80 m/s2 
esta possibilidade é bastante improvável, mas é perfeitamente possível para a abundância de 
outros casos. Por exemplo, suponha que você estava medindo a densidade do ar; porque isto é 
fortemente dependente da temperatura e pressão, você poderia facilmente ter pesquisado o 
valor aceito errado para este parâmetro. 
Depois de eliminar estas suspeições, resta apenas uma possibilidade: você deve ter esquecido 
algum erro sistemático para que seu valor de gsis é muito pequeno. Idealmente, você deve 
tentar encontrar o culpado, mas essa pesquisa pode ser difícil por causa das inúmeras 
possibilidades: 
(1) talvez um de seus metros tinha erros sistemáticos maiores do que você tinha imaginado 
para calcular gsis. Você pode investigar esta possibilidade, determinando quão grande um 
erro sistemático no seu cronometro(ou voltímetro ou qualquer outro) seria necessária para 
levar em conta a discrepância. Se o erro necessário não é excessivamente grande, você tem 
uma possível explicação de sua dificuldade. 
(2) outra possível causa do erro sistemático é que você usou um valor incorreto para algum 
parâmetro necessário em seus cálculos. Um exemplo célebre disso foi medida famosa de 
Millikan da carga do elétron. Millikan dependia da viscosidade do ar, para o qual ele usou um 
valor 0,4% que foi muito pequeno. Esta discrepância causou a todos os seus valores da carga 
do elétron 0,6% menor, um erro que não foi notado por quase 20 anos. Este tipo de erro, por 
vezes, surge em um laboratório de ensino quando um aluno usa um valor que tem muito 
poucos algarismos significativos. Por exemplo, suponha que você faz um experimento com 
prótons e você espera ter uma precisão melhor do que 1%. Se você tomar a massa do próton 
para 1.7 X 10-27 kg (em vez do mais exato 1,67 X 10-27 kg), você vai introduzir um erro 
sistemático de 2%, que quase certamente irá frustrar sua esperança para resultados de 1%. 
 (3) muito mais difícil para analisar é a possibilidade de uma falha no projeto do experimento. 
Por exemplo, se você tinha medido g, soltando um objeto de uma grande altura, a resistência 
do ar poderia introduzir um erro sistemático apreciável. [Nota, como sempre, que esse erro 
não representaria o grande valor de g em (4.22) porque a resistência do ar poderia causar uma 
Análise estatística de incertezas aleatórias Página 15 
Professor responsável: Marinonio Lopes Cornélio 
 
aceleração que era muito pequena.] Da mesma forma, se você tenta medir a meia-vida de um 
material radioativo e sua amostra está contaminada com outro material de meia vida mais 
curto, você receberá uma resposta que sistematicamente é muito curta. 
Obviamente, rastrear a origem dos erros sistemáticos é difícil e desafiou os melhores esforços 
de muitos grandes cientistas. Com toda a probabilidade, seus instrutores não vão punir você 
demasiado severamente se você não conseguir fazê-lo. Noentanto, eles esperam uma 
discussão inteligente sobre o problema e, pelo menos, uma admissão honesta que parece ter 
sido erros sistemáticos que você era incapaz de identificar.