fisico quimica- quimica estatística

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Físico-Química III
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Paulo Cezar Frangiosa
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Introdução à Química Estatística
Introdução à Química Estatística
 
 
• Conhecer os conceitos mais importantes desta ciência e suas aplicações na Química;
• Interpretar os diversos tipos de erro que afetam uma medida analítica;
• Estudar as distribuições de frequências mais utilizadas em estatística aplicadas à Química;
• Elucidar os testes de significância mais comuns, comparando-os.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• A Estatística no Nosso Dia a Dia;
• Tipos de Erros em Medidas Experimentais;
• Erros Determinados ou Sistemáticos;
• Tratamento Estatístico de Erros Aleatórios;
• Intervalos de Confiança;
• Regressão Linear.
UNIDADE Introdução à Química Estatística
A Estatística no Nosso Dia a Dia
É praticamente impossível não nos depararmos, durante o nosso dia, com infor-
mações em forma de gráficos, diagramas ou tabelas. Alguns de nós têm dificuldade 
em entender essas informações, uma vez que não são capazes de interpretar corre-
tamente o que está descrito. Mas não há como fugirmos desta realidade: a estatística 
está presente em praticamente todas as áreas do conhecimento humano, impactan-
do diretamente as ações que tomamos diariamante. Ela fornece aos cientistas as fer-
ramentas estatísticas adequadas a uma interpretação crítica dos dados analíticos, por 
um lado, e disponibiliza ao cidadão uma maneira mais simples para compreender 
essa enxurrada de informações, por outro. 
No passado, lembra Moita (2010), as incertezas da vida humana eram marcadas 
a ferro e fogo em todas as culturas, principalmente quando o ser humano não com-
preendia os fenômenos da natureza. Recorria-se normalmente aos deuses, orácu-
los ou mesmo sonhos miraculosos como forma imediata para interpretar os fatos. 
A incerteza é condição própria da natureza humana, seja no passado ou atualmente. 
O que mudou foi a forma como avaliamos tais incertezas e as ferramentas disponí-
veis naquele momento. De fato não há medida sem erros a ela associados, e esperar 
obter uma medida com certeza absoluta seria humanamente impossível.
Assim, todas as áreas do conhecimento humano nos bombardeiam diariamente 
com dados e estatísticas. Atividades como a empresarial, bancária, econômica, mé-
dica, política, agrícola, esportiva, de pesquisa, entre tantas outras, dependem desta 
ferramenta para sobreviverem.
No ramo empresarial, a estatística colabora na medida em que possibilita a cons-
trução de ferramentas que embasam a tomada de decisões e estimativas, facilitando 
o trabalho do empresário em organizar, dirigir e controlar melhor sua empresa, 
gerando melhores resultados. Por meio de programas de qualidade específicos para 
cada setor, eliminam-se desperdícios, ajustes de processos são minimizados, possibi-
litando tomadas de decisões mais rápidas e, no conjunto, resultam em um aumento 
da satisfação do consumidor final. 
Pessoas utilizam a economia praticamente todos os dias, seja quando fazemos uma 
compra, em aplicações financeiras, em empréstimos ou financiamento de imóveis e 
veículos. Para tanto, utilizamo-nos de dados estatísticos para nos certificarmos que 
tomamos as melhores decisões econômicas e, a partir deste momento, tornamo-nos, 
também, uma estatística! Índices econômicos como oscilações do dólar, variações da 
bolsa de valores, tudo isso nos impacta diretamente.
Na política, a estatística encontra-se presente, por exemplo, à época das eleições, 
quando analisamos antecipadamente as intenções de voto para os candidatos, seja 
por regiões, estados, faixa etária e gênero dos eleitores. Encerrada a votação, para 
quantificação dos resultados das urnas, uma enxurrada de dados e estatísticas nos 
são mostrados, em tempo real. Maravilha não é mesmo?
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A estatística atua como uma interface para a área médica, auxiliando na identifi-
cação dos problemas típicos de pesquisa clínica: o estudo da associação entre a ex-
posição a um fator e o eventual desenvolvimento de uma doença; a comparação de 
opções terapêuticas e o estudo de fatores de prognóstico para pacientes submetidos 
a um dado tratamento. Modelagem de casos de dengue no Estado do Rio de Janeiro, 
malária no Amazonas, e mais recentemente a pandemia do corona vírus que se es-
palhou por vários países nos cinco continentes, para citar apenas alguns exemplos, 
servem para melhorar as previsões espaço-temporais da incidência das doenças. 
Com estes dados, os responsáveis pela saúde nos estados e países podem alocar 
verbas de acordo com a expectativa do número de casos que eles vão apresentar.
Neste panorama, destaca-se a Química como sendo uma ciência predominante-
mente experimental. Muitas das atividades desempenhadas pelo profissional químico 
se desenvolvem em um laboratório, utilizando-se de medidas experimentais. E como 
não há medida sem erro, é necessário o apoio da ciência Estatística para o tratamen-
to adequado dos resultados, por exemplo, para medidas de absorbância de amostras 
de águas de rios obtidas em um espectrofotômetro, ou ainda nos resultados obtidos 
na determinação de chumbo contido em amostra de sangue.
Tipos de Erros em Medidas Experimentais
Você é capaz de se lembrar de valores numéricos que aparecem no seu cotidiano? Nossa vida 
está repleta de números: massa de um pacote de farinha, temperatura corporal, distância 
até a praia, acompanhamento da perda de peso em uma dieta, média semestral desta dis-
ciplina. A pergunta que se faz é: essas e outras medidas são precisas ou contêm incertezas?
A rotina do profissional em Química não é diferente. Frequentemente, ele se de-
para com medidas experimentais e várias operações matemáticas são utilizadas para 
interpretá-las. Todas elas contêm incertezas, que podem ser divididas em dois tipos: 
• Erros determinados ou sistemáticos (Es): aqueles que levam a resultados 
maiores ou menores que os valores reais;
• Erros indeterminados ou aleatórios (Ea): aqueles que levam a variações em 
torno da média.
O erro na média de um conjunto de repetições de medidas é, consequentemente, 
resultado da soma dos dois tipos de erros, sou seja:
a s
E E E= +
 (1)
A ideia agora é discutir as incertezas nas medidas experimentais, que resultam das 
quatro operações matemáticas básicas, bem como os tipos de erros envolvidos nes-
sas medidas e seus efeitos, bem como ferramentas para evitar ou avaliar esses erros.
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UNIDADE Introdução à Química Estatística
Algarismos Significativos
Interessante se faz introduzir o conceito de algarismos significativos por meio do 
exemplo da Figura 1, que traz um lápis ajustado ao zero de uma régua com escala 
em centímetros e a outra extremidade do objeto não está coincidindo com nenhum 
traço. Obviamente a sensibilidade e precisão de todo instrumento de medida está 
limitada à sua fabricação e, muitas vezes, a leitura do valor de uma grandeza é inter-
mediária a dois traços consecutivos da escala, como no caso em discussão.
L
medida
cm
Figura 1 – Algarismos significativos
Fonte: Adaptado de Freepik
Observa-se que o valor deste comprimento é 6 cm mais alguns décimos de cen-
tímetro, mas não podemos afirmar com certeza o seu valor, apenas estimá-lo. Se 
duas pessoas apresentassem como resultado desta medida os valores 6,4 cm e 6,5 
cm, notaríamos que houve concordância com relação ao algarismo 6, chamado de 
“verdadeiro” ou “exato”. Em contrapartida, os algarismos 4 e 5 são denominados 
“duvidosos”, por apresentarem uma incerteza devido à perícia do observador e à 
sensibilidade do instrumento. Por algarismos significativos entende-se tanto os 
algarismos exatos de uma medida como os algarismos duvidosos. Qualquer grandeza 
física escalar pode ser escrita na forma: 
 
( )aA a s u= ± (2)
Onde “a” é seu valor numérico, “sa” é a sua incerteza e “u” é a sua unidade.
A medida de uma grandeza física ou química é sempre aproximada, por mais 
habilitado que seja o analista e por mais preciso que seja oequipamento utilizado. 
Esta limitação reflete-se no número de algarismos que usamos para representar as 
medidas, ou seja, devemos utilizar apenas os algarismos que temos certeza de esta-
rem corretos, admitindo-se apenas o uso de um algarismo duvidoso.
Analisemos a situação apresentada na Figura 2, que mostra a pesagem, em balança 
semianalítica, de uma substância química. O resultado da pesagem foi 357,43 g, de 
modo que os algarismos 3, 5, 7 e 4 são corretos ou verdadeiros, enquanto que e o 
algarismo 3 é duvidoso: 
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Figura 2 – Pesagem de substância química
Fonte: Divulgação | Ohaus®
Algumas observações devem ser feitas:
• Os zeros são significativos somente se fizerem parte do número e não são sig-
nificativos quando são indicativos da ordem de grandeza. Desta forma, os zeros 
situados a esquerda de outros dígitos não são significativos. Se quisermos repre-
sentar 15 mg em gramas, escreveremos 0,015 g, que continua a ter apenas dois 
algarismos significativos. Analogamente, os valores 0,2125, 0,02125, 0,002125 
e 0,0002125 têm, todos, quatro algarismos significativos, independente do núme-
ro de zeros que existem à esquerda;
• Zeros colocados à direita de outros dígitos somente são significativos se fizerem 
parte do resultado de uma medida. Se indicarem apenas a ordem de grandeza 
de um número, não são significativos. Por exemplo, se uma determinada pesa-
gem fornece como resultado cinco gramas, e a análise foi feita com uma balança 
que fornece uma precisão de 0,1 g, deve-se representá-la por 5,0 g, 5.000 mg 
(miligramas) ou ainda 5.000.000 μg (microgramas);
• O número de algarismos significativos independe do número de casas decimais. 
Assim, quando se quer expressar uma massa de 12,5521 g (quatro casas decimais) 
em miligramas, deve-se representá-la por 12552,1 mg (apenas uma casa decimal);
• Arredondamento: Quando precisarmos fazer arredondamento de alguma medida, 
seguiremos a seguinte regra: se o último algarismo significativo for menor ou igual a 
5 este é desprezado; quando o último algarismo significativo for maior que 5, soma-
mos 1 unidade ao algarismo significativo anterior. Exemplificando, o valor 5,324 cm 
é arredondado para 5,32 cm, enquanto que 5,327 cm é arredondado para 5,33 cm.
Algarismos Significativos em Cálculos
Raramente um resultado experimental fornece diretamente a informação deseja-
da pelo químico, tornando-se necessário realizar alguma operação matemática, como 
soma, subtração, divisão ou multiplicação. Quando isso ocorre, a incerteza no resultado 
do cálculo deve expressar as incertezas associadas a cada uma das medidas empregadas. 
Analisemos algumas situações que podem ocorrer no trabalho do profissional em 
química. veja a seguir.
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UNIDADE Introdução à Química Estatística
Adição e Subtração
Uma amostra pesou 2,1 g numa balança cuja sensibilidade é 0,1 g e outra 
0,1142 g quando pesada em uma balança analítica. Calcular a massa total das 
amostras, nestas condições:
2,1
0,1142
2,2142
xxx
+
O resultado a ser tomado deve ser 2,2 g, uma vez que o valor 2,1 apresenta a 
maior incerteza absoluta, na primeira casa decimal. 
Um pedaço de polietileno pesou 5,8 g numa balança cuja incerteza 0,1 g. Um pe-
daço deste corpo foi retirado e pesado em uma balança analítica cuja massa medida 
foi de 2,6791 g. Calcular a massa do polietileno restante.
5,8
2,6791
3,1209
xxx
-
A massa do polietileno restante é 3,1 g.
Importante!
Adição e subtração: o resultado apresenta o número de casas decimais igual ao da 
medida com menor número de casas decimais.
Multiplicação e Divisão
a) Calcular a quantidade dos números de moles “n” existentes em 0,303 g de KCl.
0,303 74,5513 0,004064n N M n= ® = =
A massa do sal possui três algarismos significativos e a massa molar apresenta 
seis algarismos significativos, portanto, o resultado deve apresentar apenas três alga-
rismos significativos: 0,004064 = 0,00406 = 4,06.10-3.
Importante!
O resultado da operação deve apresentar o mesmo número de algarismos significati-
vos da medida de menor certeza, ou seja, daquela que tem o menor número de alga-
rismos significativos.
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Precisão e Exatidão
De acordo com Holler (2009), precisão e exatidão são dois termos extensiva-
mente empregados nas discussões sobre a confiabilidade dos resultados. A Figura 3 
ilustra um alvo onde são desferidos tiros por quatro pessoas diferentes. Imaginando 
se tratar de uma competição esportiva, em qual dos atiradores você apostaria?
Exato e preciso Exato mas não preciso
Preciso mas não exato Não preciso e não exato
Centro do Alvo
Repetitivo Exato
Centro do Alvo
Não Repetitivo Exato
Centro do Alvo
Repetitivo Inexato
Centro do Alvo
Não Repetitivo Inexato
Figura 3 – Diferença entre precisão e exatidão
 Obviamente você deve ter apostado no atirador cujo alvo está mostrado no lado 
superior esquerdo! De fato, ele foi exato e preciso! Vamos então às definições.
• Precisão: parâmetro que descreve a reprodutibilidade dos resultados, ou seja, a 
concordância entre os valores numéricos para duas ou mais médias replicadas 
ou entre medidas que foram feitas exatamente nas mesmas condições. Desta-
cam-se três termos com significância estatística muito utilizados para descrever 
a precisão de um conjunto de repetições de dados analíticos: desvio padrão, 
variância e coeficiente de variação;
• Exatidão: parâmetro que descreve quão correto é um resultado experimental, 
sendo definida como a proximidade entre o valor medido e o valor aceito ou ver-
dadeiro. É um termo relativo e depende da necessidade do cientista e da dificul-
dade do problema analítico enfrentado. Exemplificando, podemos colocar duas 
situações distintas: se um determinado método de análise forneceu um resultado 
para a concentração de mercúrio com exatidão de +/ –10%, ou uma parte por 
bilhão, em amostras de tecido de peixe que contêm 10 partes por bilhão do 
metal, consideraríamos uma exatidão razoável; por outro lado resultados que 
estão dentro de +/ –10% da quantidade correta de mercúrio em um minério que 
contém 15% do metal seriam considerados de inaceitável exatidão!
A exatidão é expressa em termos do erro absoluto ou do erro relativo. O erro 
absoluto da média x de um pequeno conjunto de repetições de medidas é dado por:
v
E x x= -
 (3)
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UNIDADE Introdução à Química Estatística
Onde xv é o valor aceito no mundo real como sendo verdadeiro, para a quanti-
dade medida. Uma vez que, dependendo das grandezas envolvidas, o erro absoluto 
pode não ser muito significativo, devemos empregar o erro relativo, Er:
 
100%v
r
v
x x
E
x
-
= ´
 (4)
Tanto os erros absolutos quanto os erros relativos são expressos por um sinal: um 
sinal positivo indica que o resultado medido é maior do que seu valor verdadeiro, 
enquanto que um sinal negativo indica a situação oposta.
Imaginemos que foram realizadas pesagens de uma amostra de NaCl para pre-
paração de uma solução, utilizando-se três balanças diferentes, denominadas “a”, 
“b” e “c”. Em cada balança, repetiu-se cinco vezes a pesagem, sendo os resultados 
mostrados na Figura 4:
(a)
(b)
(c)
16 17 18 19 20 21 22
Medidas precisas e exatas
Xv
(valor verdadeiro)
Medidas precisas mas inexatas
Medidas imprecisas e inexatas
Figura 4 – Resultados experimentais obtidos por três métodos distintos (a, b, c)
Fonte: Reprodução
Considerando 17,60vx g= como o valor verdadeiro da massa da amostra 
analisada, podemos chegar a algumas conclusões importantes sobre a precisão 
e a exatidão.
a) Qual é o erro absoluto obtido na balança “a”, sabendo-se que o valor médio x 
das determinações foi 17,60 g? 
17,60 17,60 0,00
v
E x x g= - = - =
b) Qual é o erro absoluto da balança “b”, sabendo-se que o valor médio x das 
determinações foi 20,50 g? 
20,50 17,60 2,90
v
E x x g= - = - =
c) Se a pressão medida em determinado experimento foi tal que P = 20 kg/cm2 e 
o erro absoluto cometido na leitura for de 5 kg/cm2, teremos um erro relativo tal que:
14
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100% 5 20 0,25 25%v
r
v
x x
E ou
x
-
= ´= =
Importante!
Enquanto o erro absoluto é independente do menor ou do maior valor da grandeza a 
medir, o erro relativo é grandemente dependente desse valor, revelando a precisão da 
medida feita.
Erros Determinados ou Sistemáticos
A maior preocupação dos profissionais em química que realizam uma medição 
é, naturalmente, a de tomar todas as precauções para minimizar os erros durante o 
experimento. Apesar disso, todas as medições analíticas são afetadas por um erro 
experimental devido a inevitáveis imperfeições nos aparelhos de medida ou às limita-
ções referentes aos sentidos do analista, tais como a visão, audição, para citar apenas 
os mais importantes.
Holler (2009) ensina que os erros sistemáticos apresentam um valor definido e 
uma causa determinável, sendo da mesma grandeza para repetições de medidas 
realizadas do mesmo modo. 
Para se evitar os erros sistemáticos, é preciso que haja um vasto estudo no 
momento anterior à realização da análise da amostra, devendo-se selecionar 
métodos analíticos adequados para a quantificação do analito, bem como o uso 
de reagentes que apresentem grau de pureza adequado ao método que o analista 
experiente empregará. Obedecidas estas condições prévias, os erros determina-
dos podem ser minimizados, porém, dificilmente eliminados! A ideia é, então, 
avaliar e descontar tais erros, de modo que os resultados finais obtidos sejam 
bem próximos ao valor verdadeiro.
Os erros sistemáticos podem ser de três tipos: instrumental, pessoal e de método. 
• Amostra: porção representativa da espécie ou composto a ser analisado;
• Analito: componente da amostra que se deseja fazer uma determinação;
• Interferente: é uma espécie que causa erro na análise pelo aumento ou diminuição da 
quantidade medida;
• Matriz: são todos os demais componentes da amostra na qual o analito está contido;
• Método: conjunto de operações e técnicas para analisar o composto de interesse;
• Análise: mecanismo pelo qual são obtidas informações químicas ou físicas a respeito dos 
constituintes de uma amostra.
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UNIDADE Introdução à Química Estatística
Erros Instrumentais
São causados pelo comportamento não ideal do instrumento usado para a aná-
lise, que pode apresentar algum defeito ou estar descalibrado. Um exemplo clássico 
é a balança que, se não estiver calibrada, levará a resultados maiores ou menores 
do que o valor verdadeiro. É comum também ocorrer erros por falta de calibração 
de buretas, pipetas e balões volumétricos devido a defeitos de fabricação ou de uso 
inadequado dos mesmos. Isso faz com que os volumes contidos ou dispensados se-
jam maiores ou menores do que os indicados nesses aparelhos. Nesses dois casos, 
a calibração de forma adequada resolveria o problema. Aparelhos eletrônicos, tais 
como o pHmetro e o espectrofotômetro também estão sujeitos a erros e precisam 
ser constantemente calibrados.
Os erros sistemáticos instrumentais são facilmente detectados e corrigidos por 
calibração com padrões apropriados, de modo que fazer calibrações periódicas dos 
instrumentos é sempre desejável. Propiciam uma detecção antecipada dos fenôme-
nos do desgaste, corrosão ou o tratamento inadequado dos equipamentos.
Erros Pessoais
Moita (2010) nos lembra que os erros pessoais estão associados ao analista, que 
pode não ter a habilidade necessária para a manipulação de um equipamento, seja 
para uma simples observação do menisco no ajuste do volume de uma bureta, pipeta 
ou balão volumétrico, ou ainda pela observação errônea da cor de uma solução, pois 
é necessário fazer a detecção da cor correta do ponto final de uma titulação. Com 
o objetivo de minimizar tais erros, o operador deve ser treinado para essas obser-
vações e manipulações antes de iniciar a análise das amostras. A Figura 5 ilustra a 
leitura de volumes de soluções em provetas graduadas. Você concorda com as leitu-
ras dos analistas?
11155555 115555
50000
45555
4000000
333555555
33300000000
22255555
22200000
5000
45555
444400000
3335555
33300000
22255555
222000
Volume = 37.3 mL Volume = 41.5 mL
Figura 5 – Leitura de volumes de soluções em provetas graduadas
Fonte: Reprodução
Uma fonte quase universal de erro pessoal é o de pré-julgamento. A maioria de 
nós, não importa quão honestos sejamos, tem a tendência natural de estimar as 
leituras já sabendo, antecipadamente, qual deve ser o resultado da análise, seja por 
16
17
ter alguma informação prévia sobre a amostra, ou por já ter realizado uma análise 
anterior semelhante. Assim, o analista força os resultados posteriores a coincidir com 
aquele que supõe que seja correto. A maioria dos erros pessoais pode ser minimi-
zada pelo cuidado e pela autodisciplina, devendo o analista supor que seja sempre a 
primeira análise que está realizando, ou seja, não conhece a concentração do analito 
na amostra, por exemplo.
Erros de Método
Os erros de método são frequentemente introduzidos pelo comportamento não 
ideal, físico e químico, dos reagentes e da reação na qual uma análise é baseada. 
Ao se escolher um método, supõe-se que apenas o analito responda a esse método, 
sem considerar que podem existir outras espécies presentes na amostra (interferentes) 
que também reagem da mesma forma que o analito ou apresentam uma propriedade 
físico-química semelhante a ele. Desta forma, o resultado da análise não representará 
apenas o analito, mas também o interferente, levando a um valor maior que o valor 
verdadeiro para todas as replicatas.
Para materiais simples, os padrões podem ser, às vezes, preparados por meio de 
misturas de quantidades conhecidas de compostos puros. Quando os materiais que 
estão sendo analisados são muito complexos, recorre-se a institutos ou empresas 
onde se comercializa uma variedade de materiais padrão de referência, especifica-
mente preparados para a validação de métodos analíticos. Como exemplo, podemos 
citar o National Institute of Technology and Standards (Nist). 
Outro exemplo é o uso de um indicador inadequado em uma titulação, que pode 
levar a resultados analíticos maiores ou menores que o valor verdadeiro. O ideal 
seria um conhecimento prévio da constante de equilíbrio da reação, de modo que a 
escolha do indicador seja mais adequada.
Tratamento Estatístico de Erros Aleatórios
Quando mencionamos análise estatística de dados experimentais, o primeiro pa-
râmetro que nos vem à mente é a média aritmética dos valores obtidos. É claro 
que esta informação é muito importante, porém é insuficiente. Devemos, portanto, 
considerar outras características importantes e, dentre elas, o desvio padrão “s” e o 
Coeficiente de Variação “CV” destacam-se.
Função Gaussiana
Na curva de distribuição normal gaussiana, a probabilidade será definida pela 
área de um intervalo escolhido sob análise. O cálculo da área envolve complexos 
cálculos algébricos, exigindo o uso de cálculo numérico. Felizmente, tais cálculos já 
foram parametrizados pelos estatísticos. Lembrando que a área total sob a curva é 
de 100%, de modo que podemos analisar a Figura 6:
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UNIDADE Introdução à Química Estatística
µ
-4σ +4σ
-3σ +3σ
-4σ +2σ
-1σ +1σ
68,26%
95,44%
99,73%
99,994%
Figura 6 – Curva de Gauss
Fonte: Acervo do conteudista
A interpretação desta curva gaussiana nos diz que o intervalo compreendido entre 
a “média (μ) – 1 desvio-padrão (σ)” e a “média (μ) + 1 desvio-padrão (σ)” tem 
área (probabilidade) de 68,26%, e assim sucessivamente, até uma probabilidade 
de 99,994% para +/- 4σ.
Uma característica importante da distribuição normal é que, quanto maior a amos-
tragem, mais uniformemente as ocorrências se distribuem à medida que se afastam 
da média central. A medida desta uniformidade é o “desvio padrão”, um valor que 
quantifica a dispersão dos eventos sob distribuição normal, ou seja, a média das dife-
renças entre o valor de cada evento e a média central. 
Histograma
Um histograma é um método estatístico que mede determinada realidade con-
creta. Por exemplo, pode ser útil para indicar o número de pessoas entre28 e 35 
anos de idade de um país, a divisão de uma população segundo os diferentes grupos 
étnicos ou a distribuição de salários de funcionários de uma empresa. Os diferentes 
valores manipulados num histograma são registrados em coordenadas em forma de 
diagrama, tornando possível medir os intervalos de cada objeto de estudo.
Assim, sempre que medidas analíticas são repetidas com uma mesma amostra, ob-
tém-se uma dispersão de dados, tal como a mostrada na Tabela 1, resultado da presença 
de erros aleatórios ou indeterminados. Ela mostra valores de medidas de absorbância ob-
tidas por um espectrofotômetro para 50 repetições de medidas de soluções avermelha-
das obtidas pelo tratamento idêntico de amostras aquosas contendo 10 ppm de Fe (III).
Tabela 1 – Repetições de medidas de absorbância
Análise Absorbância Análise Absorbância Análise Absorbância
1 0,488 18 0,475 35 0,476
2 0,480 19 0,480 36 0,490
3 0,486 20 0,494 37 0,488
4 0,473 21 0,492 38 0,471
5 0,475 22 0,484 39 0,486
6 0,482 23 0,481 40 0,478
7 0,486 24 0,487 41 0,486
18
19
Análise Absorbância Análise Absorbância Análise Absorbância
8 0,482 25 0,478 42 0,482
9 0,481 26 0,483 43 0,477
10 0,490 27 0,482 44 0,477
11 0,480 28 0,491 45 0,486
12 0,489 29 0,481 46 0,478
13 0,478 30 0,469 47 0,483
14 0,471 31 0,485 48 0,480
15 0,482 32 0,477 49 0,483
16 0,483 33 0,476 50 0,479
17 0,488 34 0,483 – –
Dados listados em ordem obtida
Média 0,482 Máximo 0,494 – –
Mediana 0,482 Mínimo 0,469 – –
Desvio Padrão 0,0056 Faixa 0,025 – –
Fonte: HOLLER, 2009
Ao passo que o número de medidas aumenta, obtém-se um histograma cuja curva 
apresenta formato contínuo, identificada como a curva B na Figura 7. Observe que 
o histograma não é perfeitamente simétrico, porém, a grande maioria das medi-
das de absorbância encontra-se em torno do valor médio de 0,482, apresentando 
um número reduzido de medidas muito maior ou muito menor que o valor médio. 
A inspeção visual do histograma com a distribuição da variável em questão indica 
que a variável estudada tem uma distribuição próxima à distribuição normal.
Po
rce
nt
ag
em
 de
 m
ed
id
as
μ
A B
0%
0,469
0,471
0,472
0,474
0,475
0,477
0,478
0,480
0,481
0,483
0,484
0,486
0,487
0,489
0,490
0,492
0,493
0,495
5%
10%
15%
20%
25%
30%
Figura 7 – (A) Histograma mostrando a distribuição das absorbâncias;
(B) Curva gaussiana para os dados com mesma média e mesmo desvio padrão
Fonte: Adaptado de HOLLER, 2009
Observe que nem toda distribuição tende a ser simétrica em torno da média. Um 
exemplo é a distribuição dos números sorteados da Mega-Sena. A distribuição, neste 
caso, é uniforme, pois todos os sessenta números têm a mesma chance de ocorrer.
Distribuição T de Student
Moita (2010) esclarece que a distribuição normal permanece sendo um modelo te-
órico para uma série de medidas que se distribuem em torno de uma média, porém, 
19
UNIDADE Introdução à Química Estatística
quando desejamos utilizar esta distribuição teórica para obter propriedades estatísticas 
do sistema, esbarrarmos nas limitações dos sistemas analíticos. As pequenas quantidades 
de medidas obtidas nos sistemas químicos fogem dos pressupostos teóricos da curva nor-
mal para o qual o valor de N deve ser muito grande ou infinito. Um conjunto de outras 
distribuições, baseado na mesma curva normal, foi desenvolvido para quando o valor de 
N é pequeno. Esta família de distribuições é denominada distribuição t de Student e 
tem uma fórmula matemática um pouco mais complicada que a curva normal.
Aplicações Estatísticas
O Quadro 1 nos mostra um resumo das fórmulas constantemente utilizadas quan-
do se pretende avaliar estatisticamente qualquer tipo de dado experimental. Como 
vimos, tais fórmulas são extremamente úteis na determinação de erros absolutos ou 
relativos, médias das populações de dados, variância e desvio padrão das medidas 
de uma determinada análise química, bem como ferramentas para a construção 
de histogramas.
Quadro 1 – Fórmulas estatísticas importantes
Número de medidas N
Valor da i-ésima 
medida i
x
Média da população 
(ou referência)
m
Erro absoluto vE x x= -
Erro relativo vr
v
x x
E
x
-
=
Média aritmética 1 2 1...
n
in i
xx x x
x
n n
=+ + += = å
Média ponderada
1 1 2 2
1 2
1
1
...
...
n n
p
n
n
i ii
p n
ii
x p x p x p
M
p p p
x p
M
p
=
=
+ + +
=
+ + +
= å
å
Variância
2 22
12 1
( )( )
1 1
i
nn
iii
x nxx x
s
n n
==
--
= =
- -
åå
20
21
Desvio padrão
2( )
1
i
x x
s
n
å -
=
-
Coefi ciente 
de variação
100%CV s x= ×
Função de 
distribuição normal
2
2
( )
2
2
1
( )
2
x
f x e
m
s
ps
-
-
=
Suponhamos, por exemplo, que os seguintes resultados foram obtidos nas repeti-
ções de determinação de chumbo contido em uma amostra de sangue: 0,752, 0756, 
0,752, 0,751 e 0,760 ppm de Pb. Para calcular a média, desvio padrão e o coeficiente 
de variação para os dados, procederíamos da seguinte forma:
Etapa 1: tabular os dados obtidos nas análises
Tabela 2
Amostra ix
2
i
x
1 0,752 0,565504
2 0,756 0,571536
3 0,752 0,565504
4 0,751 0,564001
5 0,760 0,577600
– 3,771ixå =
2 2, 844145
i
xå =
Etapa 2: calcular a média aritmética dos dados por meio desta equação:
1 2 1
...
3,771 5 0,7542
n
n i i
x x x x
x ppm Pb
n n
=+ + + å= = = =
Etapa 3: calcular o desvio padrão, s:
2( ) 2,844145 2,8440882 0,0000568
1 5 1 4
0,00377
i
x x
s
n
s ppmdePb
å - -
= = = =
- -
=
Etapa 4: calcular o Coeficiente e Variação, CV:
0,00377
100% 100% 0,5%
0,7542
CV s x= × = ´ =
21
UNIDADE Introdução à Química Estatística
Intervalos de Confiança
Holler (2009) ensina que, na maioria das situações que nos deparamos em análi-
ses químicas, o valor verdadeiro da média, “μ”, não pode ser determinado em razão 
do grande número de medidas que seria necessário. Felizmente, por meio da estatís-
tica, é possível estabelecer um valor ao redor da média “x ” determinado experimen-
talmente, dentro do qual se espera encontrar a média da população “μ” com certo 
grau de probabilidade. Trata-se do intervalo de confiança.
O intervalo de confiança é importante para indicar a margem de incerteza (ou 
imprecisão) frente a um cálculo efetuado, e utiliza a amostra do estudo para estimar 
o tamanho real do resultado na população de origem. 
Importante!
Quanto mais estreito for o intervalo de confiança, maior é a probabilidade de a por-
centagem da população de estudo representar o número real da população de origem, 
resultando em uma certeza maior!
O tamanho do intervalo de confiança é calculado a partir da estimativa do desvio 
padrão da amostra, desde que seja conhecido. Se consideramos o parâmetro “z” 
como o desvio da média normalizada ao desvio padrão da população, conforme 
ilustrado na Figura 7, a partir da qual construiu-se a Tabela 3, podemos escrever:
 
x
z
m
s
-
=
 (5)
Sendo “z” uma boa estimativa de σ!
Por exemplo, se temos um resultado “x” a partir de um conjunto de dados com 
um desvio padrão “σ”, podemos considerar que 90 vezes em 100 a média verdadeira 
“μ” cairá no intervalo de 1,64x s± .
Tabela 3 – Níveis de confiança para vários valores de z
Nível de confiança, % z
50 0,67
68 1,00
80 1,28
90 1,64
95 1,96
95,4 2,00
99 2,58
99,7 3,00
99,9 3,29
Fonte: HOLLER, 2009
Podemos escrever uma equação geral para o intervalo de confiança IC baseada 
no valor da média experimental x para “N” medidas como: 
22
23
z
IC x
N
s
= ± (6)
Analisemos a situação em que um químico obteve os seguintes dados para a 
porcentagem de álcool contido em uma amostra de sangue: % etanol (C2H5OH) = 
{0,084, 0,089 e 0,079}. Sabe-se que, a partir da experiência prévia com centenas 
de amostras, o valor de z = 0,005% de etanol, que é uma boa estimativa de σ. Se 
quisermos calcular o IC a 80 e 95% para a média, procederíamos como se segue:
• Etapa 1: calcular a média aritmética dos dados por meio da equação:
1 2 1
... 0, 084 0,089 0,079
, 0,084%
3
n
in i
xx x x
x x
n n
=+ + + + += = = =å
• Etapa 2: aplicar na fórmula de IC, utilizando-se os valores de “z” da Tabela 4.1,28 0,0050
80% 0,084 0,084 0,004%
3
1,96 0,0050
95% 0,084 0,084 0,006%
3
IC
IC
´
= ± = ±
´
= ± = ±
Regressão Linear
Calibração de um Método Instrumental
A maioria dos métodos analíticos baseia-se em uma curva analítica na qual uma 
quantidade média “y” (variável dependente) é representada em um gráfico como uma 
função de uma concentração conhecida “x” (variável independente) de uma série de 
padrões. Suponhamos que desejemos determinar a concentração de isoctano em 
amostras de hidrocarbonetos. A Figura 8 representa uma curva analítica típica cons-
truída a partir de análises cromatográficas para concentrações variáveis de soluções 
de isoctano. Neste exemplo, temos a ordenada “y” como sendo a área sob a curva 
do pico cromatográfico e a abscissa “x” como sendo a concentração de isoctano em 
mol%. A situação em análise ilustra um caso típico de curva de calibração!
Importante!
Para um correto uso da regressão linear, é necessário definir qual será a variável depen-
dente e qual será a independente. A variável dependente da sua análise é a medida que 
dependerá de uma outra variável, geralmente é o que você deseja descobrir ou predizer. 
Já a variável independente (a medida não depende de nenhuma outra variável) é o fator 
que se suspeita impactar a variável dependente. 
23
UNIDADE Introdução à Química Estatística
Resíduo =
yi – (mxi + b)
0
0
0,5
y, 
Ár
ea
 do
 pi
co
, u
ni
da
de
s a
rb
itr
ár
ia
s
x, Concentração de isoctano, mol %
1,0
1,0
2,0
3,0
4,0
y
x
5,0
1,5 2,0
Figura 8 – Curva de calibração para determinação de 
isoctano em uma mistura de hidrocarbonetos
Fonte: Adaptado de HOLLER, 2009
Observamos que o gráfico se aproxima de uma linha reta, mas nem todos os 
dados situam-se sobre a reta, resultado dos erros aleatórios já comentados. A regres-
são linear entra justamente nesse ponto: ela fornece um meio de se obter a melhor 
linha reta que contempla todos os pontos. Feito isso, poderemos usar o resultado 
da função dessa linha para estimar valores futuros, ou seja, o que acontecerá com 
“y” baseado no valor de “x”? Consideraremos aqui apenas o método dos mínimos 
quadrados, básico para dados bidimensionais.
Método dos Mínimos Quadrados 
Duas considerações são feitas no uso do método dos mínimos quadrados:
a) Existe uma relação verdadeiramente linear entre a resposta medida “y” e a 
concentração analítica do padrão “x”, de modo que podemos escrever o modelo de 
regressão da seguinte forma:
 y ax b= + (7)
Em que “b” é o intercepto em “y” (o valor de y quando x for igual a zero) e “a” é 
a inclinação da linha.
b) Consideramos que qualquer desvio e pontos individuais da linha reta é decor-
rente de erros na medida, ou seja, não há erros nos valores de “x” ou concentrações.
24
25
• Uma questão surge: traçar uma reta observando apenas esses pontos torna-se 
uma tarefa subjetiva, ou seja, obter os valores de “a” e “b” fica na dependência 
do analista que está realizando o procedimento, podendo variar de um para ou-
tro. Pensando justamente nisso, criou-se o método dos mínimos quadrados, por 
meio do qual o mesmo conjunto de pontos experimentais resultará na mesma 
reta, independentemente de quem está fazendo o tratamento de dados.
Considerando uma regressão linear simples, os coeficientes “a” e “b” podem ser 
calculados pelas equações que se encontram na Figura 9:
2
2
( ) ( )
( )
y b x
n
x y
xy
n
x
x
n
−
⋅
−
−
∑ ∑
∑ ∑∑
∑∑
a =
b =
Figura 9 – Valores da inclinação da reta (a) e do intercepto (b)
Se voltarmos ao exemplo mostrado na Figura 8, que representa a curva analítica 
para a determinação cromatográfica de isoctano em uma mistura de hidrocarbonetos 
e, por exemplo, uma área de pico de 2,65 fosse obtida para uma determinada amos-
tra analisada, como calcularíamos a porcentagem molar de isoctano?
A resposta pode ser obtida empregando-se a Equação 7, que vimos anteriormente: 
y ax b= + que, rearranjada, resulta em ( )x y b a= - .
Os valores de “a” e “b” são obtidos diretamente a partir da reta vista na Figura 8, 
ou por meio das equações mostradas da Figura 9 sendo que, em cada caso, a con-
centração desconhecida é encontrada a partir do rearranjo da equação dos mínimos 
quadrados para a linha que fornece:
x = (y – 0,2567) / 2,0925 e como y = 2,65, resulta em:
x = (2,65 – 0,2567) / 2,0925 = 1,144 mol%
Coeficiente de Correlação
Para uma reta ser usada como curva de calibração, o coeficiente de correlação 
linear, “r” deve ser maior ou igual a 0,999, lembrando que tal valor não pode ser 
aproximado para r = 1, pois daria uma ideia errônea de que todos os pontos esta-
riam sobre a reta. A Figura 10 mostra uma reta cujo valor de r é +1. Nesta situação 
25
UNIDADE Introdução à Química Estatística
hipotética, todos os pontos experimentais encontram-se perfeitamente alinhados, 
com inclinação positiva, e diz-se que há uma perfeita correlação positiva entre as 
variáveis x e y.
r = 1
Va
riá
ve
l y
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6
Variável x
Figura 10 – Correlação linear perfeita
Fonte: Reprodução
Para qualquer aplicação analítica da reta faz-se necessário o conhecimento dos 
valores de “a” e “b” da Equação 7. Sendo xi e yi os valores individuais para as vari-
áveis “x” e “y”, para cada ponto, e x e y as respectivas médias de cada variável, o 
coeficiente de correlação linear “r” pode ser calculado por:
 
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
- -
=
é ù é ù
ê ú ê ú- -ê ú ê ú
ë û ë û
å
å å
 (8)
26
27
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Estatística sem mistérios
BUNCHAFT, G.; KELLNER, S. R. O. Estatística sem mistérios. v. I. 2. ed. 
Petrópolis, RJ: Vozes, 1998.
Estatística básica
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: 
Saraiva 2006.
 Leitura
Estatística aplicada à química: dez dúvidas comuns
https://bit.ly/3iEYRef
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)
https://bit.ly/32B0C6C
27
UNIDADE Introdução à Química Estatística
Referências
ATKINS, P. W. Princípios de Química: questionando a vida moderna e o meio. 5. ed. 
Porto Alegre, RS: Bookman, 2012.
________; DE PAULA, J. Físico-Química. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012a.
________. Físico-Química. v. 2. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012b.
BROWN, L. S. Química geral aplicada à engenharia. 3. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2014.
FIOROTTO, N. R. Físico-Química: propriedades da matéria, composição e trans-
formações. São Paulo: Erica, 2014.
HOLLER, F. J.; SKOOG, D. A.; CROUCH, S. R. Princípios de análise instrumental. 
6. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2009.
KOTZ, J. C.; TREICHEL JR, P. Química geral e reações químicas. v. 2. 4. ed. Rio 
de Janeiro: Cengage Learning, 2002.
MOITA, G. C.; MOITA NETO, J. M. Estatística aplicada à Química. Teresina, PI: 
EDUFPI, 2010.
MOORE, W. J. Physical chemistry. 4th ed. London: Prentice-Hall, 1963.
RUSSEL, J. B. Química geral. v. 1. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1994.
TRO, N. J. Química – uma abordagem molecular. v. 2. 3. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2017.
 
28