Geometria do Espaço-Tempo I: Introdução à Relatividade

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Aula 2: Geometria do espaço-tempo I 2-1
Introdução à Relatividade e ao seu Ensino 2/2019
Aula 2: Geometria do espaço-tempo I
Profa. Raissa F. P. Mendes
2.2 Prinćıpio geral da relatividade
Um observador estático num campo gravitacional uniforme percebe uma força ~Fg = m~g atuando
sobre uma part́ıcula de massa m que ele lança. No entanto, um observador em queda livre pode dizer
que aquela part́ıcula está livre de forças, descrevendo, de fato, um movimento retiĺınio e uniforme.
O prinćıpio da equivalência sugere que esse referencial em queda livre está mais próximo da noção
de referencial inercial da Relatividade Restrita do que o primeiro. Note que a transformação entre
um referencial e outro envolve uma aceleração; é semelhante, em certo sentido, à transformação
para um referencial em rotação. Da mesma forma que, num referencial em rotação, aparecem
forças inerciais, ou fict́ıcias, como a força centŕıfuga, Fcf = −m~ω × (~ω × ~r), podeŕıamos imaginar
que a força gravitacional ~Fg = m~g teria essa mesma natureza, uma vez que ela não está presente
naquele referencial (em queda livre) que entendemos como a generalização de um referencial inercial
na presença de gravitação. De fato, é uma caracteŕıstica de toda força inercial ser proporcional
à massa inercial das part́ıcula, o que está de acordo com a observação da igualdade das massas
inercial e gravitacional.
Como foi brevemente mencionado anteriormente e desenvolveremos em mais detalhes depois, a
gravidade é, na verdade, bem mais que uma força fict́ıcia ou um efeito inercial, sendo que a raiz
da diferença está na não uniformidade do campo gravitacional na Natureza. No entanto, como
um primeiro passo na compreensão da gravidade, é útil revisitarmos a f́ısica em referenciais não
inerciais. De fato, queremos ampliar o primeiro postulado da Relatividade Restrita, de forma a
incluir todos os referenciais (sistemas de coordenadas) igualitariamente! Einstein propôs:
Prinćıpio geral da relatividade: todos os sistemas de coordenadas devem ser igualmente
válidos para a descrição das leis da Natureza.
Nossa primeira tarefa é, portanto, bastante prática: queremos reescrever as leis da f́ısica (em especial
as leis da Mecânica) de forma que sejam válidas em qualquer sistema de coordenadas, em qualquer
referencial. Referenciais inerciais serão vistos, dáı para frente, simplesmente como sistemas de
coordenadas mais convenientes em certos casos – da mesma forma que coordenadas cartesianas são
mais convenientes para descrevermos uma reta no plano – mas não fundamentalmente distintos dos
demais. Isso nos dará uma perspectiva nova, também, sobre a gravitação, e facilitará os nossos
próximos passos. Mãos à obra!
Aula 2: Geometria do espaço-tempo I 2-2
2.2.1 Métrica I
Aquecimento! No plano euclidiano, a distância entre pontos próximos, com coordenadas (x, y) e
(x+ dx, y + dy), é ds, com
ds2 = dx2 + dy2. (2.1)
Note que existem certas transformações de coordenadas, como rotações ou translações, que mantêm
esse elemento de linha invariante. Por exemplo, uma rotação do sistema de coordenadas é descrita
por (
x′
y′
)
=
(
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)(
x
y
)
,
com θ constante. É fácil verificar que ds2 = (dx′)2 + (dy′)2. Por outro lado, uma transformação
mais geral de coordenadas muda a forma do elemento de linha. Por exemplo, quando passamos
para coordenadas polares, definidas por x = r cos θ, y = r sin θ, o elemento de linha se torna
ds2 = dr2 + r2dθ2. (2.2)
Note que a expressão acima só é válida para pontos infinitesimalmente próximos, ao passo que
(2.1) valeria para pontos separados por uma distância arbitrária. Mesmo assim, ela é suficiente
para qualquer cálculo geométrico, uma vez que podemos obter distâncias finitas por integração.
Note também que, embora a forma do elemento de linha tenha mudado quando passamos de
coordenadas cartesianas para polares, ainda estamos medindo a mesma distância f́ısica entre os
dois pontos.
A expressão (2.1) pode ser reescrita como
ds2 =
(
dx dy
)(1 0
0 1
)(
dx
dy
)
, (2.3)
ao passo que (2.2) pode ser escrita como
ds2 =
(
dr dθ
)(1 0
0 r2
)(
dr
dθ
)
(2.4)
Em coordenadas genéricas {x1, x2}, teremos
ds2 =
(
dx1 dx2
)(g11 g12
g21 g22
)(
dx1
dx2
)
= g11(dx
1)2 + (g12 + g21)dx
1dx2 + g22(dx
2)2 (2.5)
=
2∑
i,j=1
gijdx
idxj . (2.6)
onde gij são funções das coordenadas x
1 e x2. A matriz g é o que chamamos de métrica. Em
coordenadas cartesianas, a métrica euclideana é dada por diag(1, 1); em coordenadas polares, por
diag(1, r2). A métrica é o objeto que nos permite, a partir do conhecimento da diferença entre as
coordenadas entre dois pontos, (dx1, dx2), calcular a distância f́ısica entre eles. Ela nos permite
extrair o significado f́ısico das coordenadas.
Aula 2: Geometria do espaço-tempo I 2-3
Agora, quão gerais são as funções gij? Digamos que x
1 = x1(x, y) e x2 = x2(x, y) e, assumindo
uma transformação de coordenadas inverśıvel, que x = x(x1, x2), y = y(x1, x2). É posśıvel mostrar
(você consegue fazer isso! tente!) que(
g11 g12
g21 g22
)
=
( ∂x
∂x1
∂x
∂x2
∂y
∂x1
∂y
∂x2
)T (
1 0
0 1
)( ∂x
∂x1
∂x
∂x2
∂y
∂x1
∂y
∂x2
)
(2.7)
ou, chamando de Λ a matriz Jacobiana presente na expressão acima, ou seja,(
Λ11 Λ
1
2
Λ21 Λ
2
2
)
=
( ∂x
∂x1
∂x
∂x2
∂y
∂x1
∂y
∂x2
)
,
temos g = ΛT IΛ ou:
gij =
2∑
k,l=1
δklΛ
k
i Λ
l
j .
Mais tarde discutiremos que as matrizes g geradas pelo procedimento (2.7) acima não são as mais
gerais posśıveis, ou seja, não são funções arbitrárias das coordenadas x1 e x2. Isso é muito natural!
Sabemos que a distância entre dois pontos próximos numa esfera de raio unitário pode ser escrita
como ds2 = dθ2 + sin2 θdφ2, ou seja, a métrica da esfera é diag(1, sin2 θ). De fato, não existe
nenhuma transformação x(θ, φ), y(θ, φ) que nos leve da métrica do plano, diag(1, 1) à métrica da
esfera. A geometria do plano e da esfera são intrinsecamente distintas, devido à curvatura da esfera.
Voltaremos a isso mais tarde!
Pra valer! Vamos refazer a discussão acima no caso da Relatividade Restrita. Sabemos que o
intervalo espaço-temporal é o elemento geométrico mais importante da Relatividade Restrita. O
intervalo entre dois eventos próximos, num sistema de coordenadas (ct, x, y, z) inercial, é dado por
ds2 = −cdt2 + dx2 + dy2 + dz2. (2.8)
Da mesma forma que rotações preservam a forma do elemento de linha do plano, transformações
de Lorentz são um tipo especial de transformações de coordenadas que deixa o elemento de linha
da Relatividade Restrita invariante.
Escrevendo x0 = ct, x1 = x, x2 = y e x3 = z, temos
ds2 =
(
dx0 dx1 dx2 dx3
)
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


dx0
dx1
dx2
dx2
 , (2.9)
e vemos que é posśıvel identificar a matriz η ≡ diag(−1, 1, 1, 1) como a métrica da Relatividade
Restrita: ela nos permite, a partir do conhecimento da diferença entre as coordenadas de dois
eventos, determinar o intervalo espaço-temporal entre eles. Muitas vezes essa matriz é chamada de
métrica de Minkowski.
Aula 2: Geometria do espaço-tempo I 2-4
Agora, ao permitirmos transformações de coordenadas arbitrárias, a forma da métrica de Min-
kowski será alterada. De forma inteiramente análoga ao que fizemos acima, ao realizarmos uma
transformação xα = xα(x′0, x′1, x′2, x′3), o intervalo espaço-temporal será dado por
ds2 =
(
dx′0 dx′1 x′2 x′3
)
g00 g01 g02 g03
g10 g11 g12 g13
g20 g21 g22 g23
g30 g31 g32 g33


dx′0
dx′1
dx′2
dx′3
 = 3∑
α,β=0
gαβdx
′αdx′β. (2.10)
A métrica g nos permite calcular o intervalo espaço-temporal entre dois eventos, sabendo a diferença
entre suas coordenadas num referencial arbitrário! De forma semelhante ao que fizemos acima, ela
é obtida a partir da métrica de Minkowski pela transformação g = ΛT ηΛ, ou
gαβ =
3∑
γ,ρ=0
ηγρΛ
γ
αΛ
ρ
β, (2.11)
onde Λ é novamente a matriz Jacobiana, com elementos Λαβ = ∂x
α/∂xβ′.
2.2.1.1Exemplo: referencial estático num campo gravitacional
Vamos voltar à situação que analisamos na aula passada, em que um observador A, estático num
campo gravitacional uniforme, envia pulsos de luz a intervalos regulares para B, também estático,
mas abaixo de A por uma altura h. Vimos como a situação pode ser descrita, com as leis da
Relatividade Restrita, por um observador C em queda livre. Gostaŕıamos agora de revisitar a
situação, do ponto de vista de A e B.
Sejam ct, x, y e z as coordenadas no referencial em queda livre. Uma vez que nele valem as leis da
Relatividade Restrita, isso significa, em particular, que o intervalo espaço-temporal entre eventos
próximos é dado por
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2.
Como fica esse intervalo espaço-temporal num sistema de coordenadas estático no campo gravi-
tacional? Orientando os eixos de forma que o campo gravitacional esteja ao longo da direção z,
podemos considerar a transformação de coordenadas t = t′, x = x′, y = y′, z = z′ − g(t′)2/2. Nas
novas coordenadas, A e B têm linhas de mundo com z′ = cte. A matriz Jacobiana é dada por
Λ =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
−gt′ 0 0 1
 .
Calculando a métrica nas novas coordenadas a partir de g = ΛT ηΛ, conclúımos que o elemento de
linha fica:
ds2 = −
(
1− g
2t′2
c2
)
c2dt′2 + 2gt′dt′dz′ + dz′2 + dx′2 + dy′2. (2.12)
Como a luz se propaga nesse sistema de coordenadas? Não é mais verdade que a “velocidade da
luz”, dz′/dt′, será c. O fato de a luz se propagar com velocidade c no referencial em queda livre
Aula 2: Geometria do espaço-tempo I 2-5
encontra sua expressão geométrica na afirmação de que, ao longo da trajetória da luz, ds2 = 0.
Nas novas coordenadas, isso significa que
−
(
1− g
2t′2
c2
)
c2dt′2 + 2gt′dt′dz + dz′2 = 0,
onde assumimos que dx′ = dy′ = 0, ou seja, que o raio de luz se propaga ao longo da direção z′.
Escrevendo z′ = z′(t′) e dz′ = (dz′/dt′)dt′, temos, da expressão acima,(
dz′
dt′
)2
+ 2gt′
dz′
dt′
− (c2 − g2t′2) = 0 →
(
dz′
dt′
+ gt′ + c
)(
dz′
dt′
+ gt′ − c
)
= 0.
A solução é
z′ = z′0 ± ct′ −
gt′2
2
.
Podemos então comparar dois raios de luz, um emitido em t′ = 0 de z′ = h e recebido em t′ = tr em
z′ = 0, e o outro emitido em t′ = ∆tA de z
′ = h e recebido em t′ = tr + ∆tB em z
′ = 0. A situação
está mostrada na figura abaixo e o resultado é o mesmo que obtivemos antes: ∆tB = (1−gh/c2)∆tA
(confira!).
AB
�tA
�tB
z'
ct'
Obs.: Note que ∆t′ não é, rigorosamente, o tempo próprio medido por A e por B entre dois eventos
em sua linha de mundo. De fato, t′ = t, o tempo de acordo com o referencial em queda livre. O
tempo próprio é dado, geometricamente, pela relação dτ2 = −ds2/c2. Uma vez que as linhas de
mundo de A e B têm z′ = cte, temos que dτ2 = (1− g2t′2/c2)dt′2. Embora conceitualmente muito
importante, a diferença entre tempo próprio e tempo coordenado só introduz correções de ordem
superior na expressão ∆τB = (1− gh/c2)∆τA.
Aula 2: Geometria do espaço-tempo I 2-6
2.2.2 Part́ıculas livres e a equação da geodésica
O intervalo espaço-temporal é a principal entidade geométrica da Relatividade Restrita. Na última
seção, vimos como escrevê-lo em termos de um sistema de coordenadas arbitrário. Vimos também
como podemos determinar a trajetória de raios de luz (tal que ds2 = 0) e o tempo próprio medido
por algum observador (dτ2 = −ds2/c2) em termos dessas coordenadas arbitrárias. O nosso próximo
passo consiste em descrever o movimento de uma part́ıcula sujeita apenas à força da gravidade, em
coordenadas arbitrárias.
Vamos chamar de ξµ as coordenadas de um referencial em queda livre (ou seja, ξ0 = ct, ξ1 = x,
ξ2 = y, ξ3 = z). A trajetória de uma part́ıcula pode ser descrita especificando as coordenadas
em função do tempo próprio da part́ıcula, ξµ(τ). Se essa part́ıcula está sujeita apenas à ação da
gravidade, então, num referencial em queda livre, ela descreve uma reta no espaço-tempo, ou seja,
obedece:
d2ξα
dτ2
= 0. (2.13)
Nosso objetivo é expressar a equação de movimento acima em coordenadas arbitrárias. Para isso,
vamos considerar um sistema de coordenadas genéricas, xµ, em que a trajetória da part́ıcula é dada
por xµ(τ). Escrevendo ξα = ξα(x0, x1, x2, x3) e usando a regra da cadeia, a Eq. (2.13) pode ser
reescrita como:
0 =
d
dτ
 3∑
µ=0
∂ξα
∂xµ
dxµ
dτ
 = 3∑
µ=0
∂ξα
∂xµ
d2xµ
dτ2
+
3∑
µ=0
3∑
ν=0
∂2ξα
∂xµ∂xν
dxµ
dτ
dxν
dτ
=
3∑
µ=0
∂ξα
∂xµ
d2xµ
dτ2
+
3∑
ν=0
3∑
β=0
3∑
ρ=0
∂xµ
∂ξβ
∂2ξβ
∂xρ∂xν
dxρ
dτ
dxν
dτ
 (2.14)
No último passo, mudamos o rótulo de alguns ı́ndices mudos e usamos a relação
3∑
µ=0
∂ξα
∂xµ
∂xµ
∂ξβ
=
∂ξα
∂ξβ
= δαβ . (2.15)
A expressão (2.14) pode ser vista, matricialmente, como a multiplicação da matriz Jacobiana, com
elementos ∂ξα/∂xµ por um vetor (tudo aquilo entre parênteses). Uma vez que a matriz Jacobiana
é inverśıvel, a Eq. (2.14) implica que o vetor deve ser nulo, ou seja,
d2xµ
dτ2
+
3∑
ρ=0
3∑
ν=0
Γµρν
dxρ
dτ
dxν
dτ
= 0, (2.16)
onde
Γµρν =
3∑
β=0
∂xµ
∂ξβ
∂2ξβ
∂xρ∂xν
(2.17)
é a chamada conexão. A equação (4.25) é a chamada equação da geodésica, e representa a genera-
lização que buscávamos de (2.13) para um sistema de coordenadas arbitrário.
Aula 2: Geometria do espaço-tempo I 2-7
É posśıvel mostrar que a conexão pode ser obtida a partir das componentes da métrica nas novas
coordenadas xµ, como:
Γµρν =
3∑
σ=0
1
2
(g−1)σµ
(
∂gνσ
∂xρ
+
∂gρσ
∂xν
− ∂gρν
∂xσ
)
, (2.18)
onde (g−1)σµ denotam componentes da métrica inversa. O caminho para mostrar essa expressão é
indicado no apêndice ao fim desta aula!
2.2.2.1 Exemplo: força gravitacional
Vamos voltar ao exemplo considerado na Sec. 2.2.1.1. Considere uma part́ıcula em queda livre:
gostaŕıamos de descrever o seu comportamento a partir da Eq. (4.25), com as coordenadas x0 = ct′,
x1 = x′, x2 = y′ e x3 = z′ introduzidas anteriormente. Note que dxµ/dτ = dt/dτ(c, v1, v2, v3), com
vi = dx
i/dt. No regime de velocidades baixas, a componente µ = 0 do vetor dxµ/dτ é, portanto,
muito superior às demais. Portanto, nesse regime de velocidades não relativ́ısticas, a Eq. (4.25) se
torna, mantendo apenas o termo dominante na somatória,
d2xµ
dτ2
+ Γµ00c
2
(
dt′
dτ
)2
= 0.
Como vimos, é posśıvel desconsiderar, no regime que estamos analisando, a distinção entre o tempo
próprio e o tempo coordenado da part́ıcula. Nesse caso, a equação acima torna-se ainda mais
simples. Temos, em particular,
d2z′
dt′2
+ Γ300c
2 = 0.
Da Eq. (2.18), podemos calcular a componente da conexão que nos interessa. Temos:
Γ300 =
3∑
σ=0
1
2
(g−1)σ3
(
∂g0σ
∂x0
+
∂g0σ
∂x0
− ∂g00
∂xσ
)
=
1
2
(g−1)33
(
∂g03
∂x0
+
∂g03
∂x0
− ∂g00
∂x3
)
+
1
2
(g−1)03
(
∂g00
∂x0
+
∂g00
∂x0
− ∂g00
∂x0
)
=
1
2
(
1− g
2t′2
2
)
2
g
c2
+
1
2
gt′
c
(
g2t′
c
)
=
g
c2
Aqui, usamos que a métrica inversa é dada por
g−1 =

−1 0 0 gt′/c
0 1 0 0
0 0 1 0
gt′/c 0 0 1− g2t′2/2
 .
Inserindo na equação de movimento, obtemos (é claro!!)
d2z′
dt′2
= −g.
Certamente a sensação é de que acabamos de matar uma mosca com um canhão! Mas esse exemplo
deixa claro o significado f́ısico da conexão, que está justamente relacionada com forças fict́ıcias que
surgem em referenciais não inerciais. O formalismo que desenvolvemos até aqui se aplica, por exem-
plo, para referenciais em rotação, ou para qualquer sistema de coordenadas, com ou sem significado
f́ısico expĺıcito. Além disso, a utilidade da (4.25) ficará clara quando considerarmos, em seguida,
espaços com curvatura!
Apêndice: Conexão em termos da métrica
Aqui, vamos indicar o caminho para a demonstração da Eq. (2.18). Nas novas coordenadas xµ, as
componentes da métrica de Minkowski não são mais η = diag(−1, 1, 1, 1), mas são dadas, de acordo
com a Eq. (2.11), por:
gµν =
3∑
α,β=0
ηαβ
∂ξα
∂xµ
∂ξβ
∂xν
. (2.19)
Derivando essa equação com relação a xλ, obtemos:
∂gµν
∂xλ
=
3∑
α,β=0
(
∂2ξα
∂xλxµ
∂ξβ
∂xν
ηαβ +
∂2ξβ
∂xλxν∂ξα
∂xµ
ηαβ
)
.
Usando agora, as relações (2.15), (2.17), e (2.19), obtemos:
∂gµν
∂xλ
=
3∑
ρ=0
(
Γρλµgρν + Γ
ρ
λνgρµ
)
. (2.20)
Aplicando a relação acima na Eq. (2.18), podemos verificar a validade da última.
2-8
	Princípio geral da relatividade
	Métrica I
	Exemplo: referencial estático num campo gravitacional
	Partículas livres e a equação da geodésica
	Exemplo: força gravitacional