Exame Especial Mecanica do Continuo

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Prova A do EE de MC
(1) Considere uma cone homogêneo maciço de raio de base R, altura h e
massa M , então:
(a) (1,0 ponto) Encontre o centro de massa.
(b) (1,0 ponto) Calcule o tensor de inércia em relação ao centro de massa.
(2) Seja
←→
I =
1
4
 25 3√2 73√2 18 −3√2
7 −3
√
2 25

um tensor de inércia de um corpo rígido em um sistema S, então:
(a) (1,0 ponto) Ache os momentos principais e as direções principais de
inércia de
←→
I .
(b) (1,0 ponto) Escreva a matriz de rotação R1(π/3) de π/6 radianos em
torno do eixo x2.
(c) (1,0 ponto) Encontre a matriz de
←→
I em um sistema S′ “rotacionado”
por R2(π/3).
(3) Considere o centro de massa da figura plana homogênea formada pela
elipse com semi-eixos a = 5 e b = 3 no primeiro quadrante do plano cartesiano.
(a) (1,0 ponto) Ache o centro de massa.
(b) (1,0 ponto) Calcule o tensor de inércia em relação ao sistema de referência
definido pelos eixos x e y.
(c) (1,0 ponto) Calcule o tensor de inércia em relação ao centro de massa.
(d) (1,0 ponto) Diagonalize o tensor de inércia e encontre os eixos principais
de inércia.
(e) (1,0 ponto) Encontre o ângulo (em graus) que o sistema de eixos diago-
nalizado está rotacionado em relação ao sistema original.
Prova B do EE de MC
(1) (1,0 ponto) Considere um fluido ideal com pressão p(~x, t), densidade de
massa ρ(~x, t) e campo de velocidades ~v(~x, t). Definimos o tensor densidade de
fluxo de momento
←→
Π como o tensor com as seguintes componentes cartesianas
Πij = pδ
i
j + ρv
ivj
Mostre que, na ausência da gravidade ou de quaisquer outras forças externas,
temos que
~∇.←→Π = −∂
~j
∂t
onde
~j = ρ~v
é a densidade de quantidade de momento.
(2) Dado o campo tensorial
1
←→σ =
 C1 (x2 + y2 − z2) C2
√
3x2 − 2xy + yz σzx
σyx C3xz σ
y
z
C4
√
−x2 + zy + z2 x− y − z + C5 C6
(
x3 − y3 + C7z2
)
×102MPa
(1)
que representa, em dado instante, o estado de tensão em equilíbrio de um
sólido deformável com densidade de massa unitária ρ = 1, então:
(a) (1,0 ponto) Qual a dimensão física das constantes C1, C2,..., C7.
(b) (1,0 ponto) Calcule o campo externo de força por unidade de massa
~b(x, y, z) (body force) sabendo que os valores numéricos das constantes são as
seguintes:(
[C1] [C2] [C3] [C4] [C5] [C6] [C7]
)
=
(
1/3 2 2 −3 −1 1 −1
)
(c) (1,0 ponto) Calcule ~b e ←→σ no ponto
~r0 =
 10
−2

e diagonalize ←→σ nesse mesmo ponto.
(d) (1,0 ponto) Calcule o vetor de tensão normal e de cisalhamento sobre
uma superfície que passa pelo ponto ~r0 e cuja normal n̂ é perpendicular ao plano
dado pela equação abaixo:
−x+ 2y = 5 (2)
(3) Seja um campo de deformação de um sólido deformável e isotrópico dado
por
~u(x, y, z) = �1
[
(x2 + y2)− yz
]
ı̂+ �2(x
3 − z3)̂+ �3e−xyz/C k̂ (3)
onde �1, �2 e �3 são constantes "pequenas" e C é uma constante arbitrária, então:
(a) (1,0 ponto) Calcule as dimensões das constantes �1, �2, �3 e C e calcule
o tensor de deformações ←→e no ponto
~r0 =
 11
−2

com as constantes dadas numericamente por �1 = �2 = �3 = 10−3 e C = 2/ ln 2.
(b) (1,0 ponto) Dado que esse material possui módulo de Young E = 450GPa
e módulo de cisalhamento µ = 200 GPa, então determine a razão de Poisson ν,
o parâmetro de Lamé λ, o módulo de compressão κ e a razão entre as velocidades
de propagação primária e secundária vp/vs.
(c) (1,0 ponto) Calcule o tensor de tensões ←→σ para esse sólido no ponto ~r0.
(d) (1,0 ponto) Calcule a energia elástica por unidade de volume U no ponto
~r0.
(4) (1,0 ponto) Deduza o Teorema de Arquimedes para corpos flutuantes.
2
Prova C do EE de MC
(1) Considere os seguintes 3 sistemas de coordenadas:
(i) Coordenadas cilíndricas parabólicas (ξ, η) no plano dado por:
~x (ξ, η) = ξηê1 +
1
2
(
ξ2 − η2
)
ê2 (η ≥ 0) (−∞ < ξ <∞)
(ii) Coordenadas parabólicas (ξ, η, ϕ) no espaço definido por
~x (ξ, η, ϕ) = ξηρ̂ (ϕ) +
1
2
(
ξ2 − η2
)
ê3 (η ≥ 0) (ξ ≥ 0)
(iii) Coordenadas helicoidais (ρ, ϕ, z) no espaço definido por
~x (ρ, ϕ, z) = ρρ̂ (ϕ) + (αϕ+ z) ê3 (α = cte)
onde
ρ̂ (ϕ) = cosϕê1 + sinϕê2 (0 < ϕ < 2π)
(a) (1,0 ponto) Calcule os operador gradiente e divergente para o sistema de
coordenadas (i).
(b) (1,0 ponto) Calcule os operadores os coeficientes de Christoffel para o
sistema de coordenadas (ii).
(c) (1,0 ponto) Escreva o operador rotacional para o sistema de coordenadas
(iii).
(2) (1,0 ponto) Considere um elemento infinitesimal de superfície de um
tubo cilíndrico de base circular de raio R e pressão interna P muito maior do
que a pressão externa. Calcule o tensor de tensões da "casca cilíndrica" em
coordenadas cilíndricas (ϕ, z) (com ρ = R).
(3) Considere um duto cilíndrico longo constituído de um material sólido
elástico e isotrópico de raios internos R1 < R2 com pressão interna P e pressão
externa desprezível, então:
(a) (1,0 ponto) Mostre que o rotacional em coordenadas cilíndricas pode ser
escrita como:
~∇×~u =
(
1
ρ
∂uz
∂ϕ
− ∂u
ϕ
∂z
)
ρ̂+
(
∂uρ
∂z
− ∂u
z
∂ρ
)
ϕ̂+ ê3
(
1
ρ
uϕ +
∂uϕ
∂ρ
− 1
ρ
∂uρ
∂ϕ
)
(4)
(b) (1,0 ponto) Utilizando o resultado acima, mostre que a equação de Navier
em uma situação de equilíbrio e na ausência de forças externas (body force)
implica em
~∇(~∇ · ~u) = 0
para o campo de deformação ~u do cilindro.
Dica: Utilize a identidade
~∇×
(
~∇× ~u
)
= ~∇
(
~∇ · ~u
)
−∇2~u (5)
3
(c) (1,0 ponto) Escreva o divergente em coordenadas cilíndricas e utilize a
equação acima para determinar o campo de deformação ~u a menos de constantes
de integração.
(d) (1,0 ponto) Calcule os coeficientes de Christoffel em coordenadas cilín-
dricas e mostre que as componentes contravariantes do tensor de deformação
neste sistema de coordenadas é dada por:
eρρ =
∂uρ
∂ρ
eϕϕ =
1
ρ
(
∂uϕ
∂ϕ
+ uρ
)
ezz =
∂uz
∂z
(6)
eρϕ =
1
2
(
1
ρ
∂uρ
∂ϕ
+
∂uϕ
∂ρ
− 1
ρ
uϕ
)
eρz =
1
2
(
∂uρ
∂z
+
∂uz
∂ρ
)
eϕz =
1
2
(
∂uϕ
∂z
+
1
ρ
∂uz
∂ϕ
)
(e) (1,0 ponto) Levando em conta a Lei de Hooke para sólidos isotrópicos
e condições de contorno adequadas para o problema, calcule as constantes de
integração C e C ′.
(f) (1,0 ponto) Escreva explicitamente o tensor de tensões e calcule o limite
da "casca cilíndrica" para d = R2 −R1 e d� R2 ≈ R1 = R.
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