1 -Segmentos e Ângulos

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DE 
GEOMETRIA 
Celso Pessanha Machado
Segmentos e ângulos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir semirreta e segmento de reta.
 � Descrever os diferentes tipos de ângulos.
 � Demonstrar teoremas envolvendo segmentos e ângulos.
Introdução
Neste capítulo, você aprofundará seus conhecimentos sobre as retas, 
um dos elementos fundamentais da geometria. Você descobrirá duas 
subdivisões de reta — as semirretas e os segmentos de reta — e as 
características específicas de cada uma.
Este estudo também estará voltado para os ângulos, cujas medi-
das definem a abertura existente entre duas semirretas com origem no 
mesmo ponto, chamado de vértice. Ângulos são fundamentais para 
determinar diferentes graus de inclinação.
Você verá que retas e ângulos são utilizados para fundamentar alguns 
teoremas, aprendendo a utilizá-los em demonstrações que comprovam 
algumas hipóteses matemáticas.
Semirreta e segmento de reta
Algumas idéias são básicas em geometria, dentre as quais se destacam o 
ponto (adimensional, ou seja, sem dimensão), a reta (com uma dimensão — 
comprimento) e o plano (com duas dimensões — largura e comprimento). 
Há dois princípios fundamentais que estão vinculados à reta, demonstrados 
a seguir. 
1. Por um ponto passam infinitas retas.
2. Por dois pontos distintos, passa uma, e somente uma, reta.
As semirretas são as que têm início em um ponto e um sentido, sem fim. 
Se temos, por exemplo, um ponto P qualquer em uma reta, ele a divide em 
duas semirretas, com origem em P, conforme demonstrado a seguir. 
Agora, vamos marcar dois pontos, A e B, sobre cada uma das semirretas 
a seguir.
Passamos a ter dois pontos pertencentes a duas semirretas distintas:
 � (semirreta com origem em P);
 � (semirreta com origem em P).
Segmentos e ângulos2
O segmento de reta é uma linha delimitada por dois pontos, chamados de 
extremidades. Ele contém todos os pontos que se encontram na reta entre os 
dois pontos finais.
Segmentos consecutivos são dois segmentos de reta que têm uma extremi-
dade em comum, como nos exemplos , a seguir.
Segmentos adjacentes são aqueles em que a extremidade de um é conco-
mitantemente à do outro. Conforme aparece a seguir, os segmentos 
são adjacentes.
Segmentos colineares são aqueles que se encontram sobre uma mesma 
reta, conforme demonstrado a seguir. Os segmentos , por exemplo, 
são colineares. 
3Segmentos e ângulos
Segmentos congruentes são aqueles que têm medidas iguais. Os segmentos 
 são congruentes.
Ponto médio de um segmento é o ponto M que o divide em dois segmentos 
congruentes, conforme a seguir.
A geometria nem sempre aparece sozinha na resolução de questões e problemas, pois 
a álgebra é comum como ferramenta para esse tipo de proposição. Se você quiser 
saber o tamanho de cada segmento apresentado, sabendo que M é o ponto médio 
de , a solução será algébrica. Observe:
2x – 5 x + 4
Acerca dos conceitos de segmentos de retas, sabemos que M divide em dois 
segmentos congruentes. Assim:
2x – 5 = x + 4
2x – x = 4 + 5
∴ x = 9
Substituindo uma das equações do enunciado, temos:
2x – 5 
2 . 9 – 5 = 13
Repare que a substituição na outra equação encontra o mesmo resultado:
x + 4 
 9 + 4 = 13
Segmentos e ângulos4
Tipos de ângulos
Os ângulos são figuras formadas por duas semirretas que têm a mesma origem, 
sendo elas os lados do ângulo, e o ponto de origem seu vértice. Observe o 
exemplo a seguir.
Para medir um ângulo, utilizamos uma ferramenta chamada transferidor 
(Figura 1), que faz coincidir o ponto de origem do ângulo com o ponto de 
origem do instrumento. As medidas de um ângulo são expressas em graus 
(°), minutos (’) e segundos (”), sendo 1 grau igual a 60 minutos, e 1 minuto 
igual a 60 segundos.
1° = 60’
1’ = 60”
Figura 1. Transferidor que mede ângulos de até 180°.
Fonte: Yulia Glam/Shutterstock.com.
5Segmentos e ângulos
É possível fazer algumas operações aritméticas entre ângulos: adição, sub-
tração, multiplicação por um número natural e divisão por um número natural.
Observe os seguintes exemplos.
1) Adição
25º 38’ 25” + 27º 10’ 56”
Note que o máximo que temos é 81 segundos, e a representação dos minutos 
e segundos é de, no máximo, 60. 
Temos 81”, que podem ser expressos por 1’ 21”. Somando 1’ aos 48 da 
primeira soma, temos a seguinte resposta:
52º 49’ 21”
2) Subtração
O problema aqui é que não há minutos no primeiro termo, portanto devemos 
retirar 1 grau dos 100 graus, que ficará 99° 60’:
Segmentos e ângulos6
3) Multiplicação
17° 20’ . 3 = 51° 60’; como 60’ = 1°, temos 51º + 1º = 52º.
4) Divisão
29º : 2 = 14º, sobrando resto 1º; como 1º = 60’, continuamos a operação 
dividindo 60’ por 2 e obtendo como resposta 14º 30’. 
Os ângulos podem ser retos, agudos ou obtusos.
Os retos têm 90º e são formados por retas perpendiculares, conforme a 
seguir.
Os agudos têm menos que 90º. 
7Segmentos e ângulos
Os obtusos têm mais que 90º.
Outro ângulo notável é o raso, que tem 180º, conforme pode ser visto a 
seguir.
Teoremas envolvendo segmentos e ângulos
Existem alguns teoremas muito utilizados, que foram deduzidos a partir de 
algumas relações existentes nos ângulos. Duas dessas relações referem-se a 
ângulos complementares e suplementares. 
Ângulos complementares são aqueles cuja soma é sempre 90º, como pode 
ser visto na ilustração a seguir, cujos ângulos 11º e 79º somam 90º.
Segmentos e ângulos8
Nesse caso, podemos afirmar que um ângulo é complementar ao outro.
Já os ângulos suplementares são aqueles cuja soma é sempre 180º, conforme 
segue.
Ângulos construídos sobre um ângulo raso somam 180º. Nesse exemplo 
anterior, há dois ângulos: um medindo 35º e outro 145º. Assim, podemos dizer 
que um é suplementar ao outro.
Observamos, a seguir, uma consequência da proposição dos ângulos 
suplementares.
Os ângulos a e b foram construídos sobre um ângulo raso. Assim:
a + b = 180°
O mesmo pode-se afirmar sobre b e d:
b + d = 180°
9Segmentos e ângulos
Podemos substituir 180° por b + d na primeira equação e teremos:
a + b = b + d
Assim:
a + b – b = d
∴ a = d
mostrando que ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Veja um exemplo de aplicação: com base na figura a seguir, determine os 
valores de x e y.
Podemos ver que o ângulo 3x + 15º é oposto pelo vértice ao ângulo de 60º. 
Portanto, eles são congruentes. Assim:
3x + 15° = 60°
3x = 60° – 15° 
3x = 45°
x = 45º3
x = 15°
Segmentos e ângulos10
Os ângulos y e 60° são suplementares. Portanto:
y + 60º = 180º
y = 180º – 60° y = 120º
Podemos partir para uma nova proposição sobre ângulos formados por 
três retas — duas paralelas (r e s) e uma transversal (t).
a b
c d
e f
g h
t
r
s
Os ângulos são congruentes:
a, d, e, h
b, c, f, g
Os ângulos são suplementares:
a, b a, g
b, d b, h
c, d d, f
a, c c, e
e, f
f, h
g, h
e, g
11Segmentos e ângulos
Agora, veremos um exemplo da aplicação, determinando os valores de a 
e b, sendo r//s, e t uma reta transversal.
105º e a são suplementares. Assim:
105º + a = 180º 
a = 180º – 105º 
a = 75º
105º e b são congruentes, logo b = 105º. 
Você pode perceber a elegância dos teoremas apresentados, que são muito 
simples e de demonstração fácil, servindo para que você se aproxime das 
provas matemáticas e compreenda a estrutura lógica da disciplina.
Segmentos e ângulos12
BOSTOCK, L. et al. GCSE higher mathematics: a full course. 2nd ed. Cheltenham: Nelson 
Thornes, 1996.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: UNICAMP, 1995
GUIA DO ESTUDANTE. Ângulos: geometria básica. 2017. Disponível em: https://guiado-
estudante.abril.com.br/estudo/angulos-geometria-basica/. Acesso em: 30 maio 2019.
MLODINOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao 
hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2008.
13Segmentos e ângulos