4 - Trigonometria do triangulo retangulo

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MATEMÁTICA PARA 
AGRONOMIA
Mariana Sacrini Ayres Ferraz 
Trigonometria
do triângulo retângulo
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triân-
gulo retângulo.
  Identificar propriedades da trigonometria no triângulo retângulo.
  Resolver problemas envolvendo trigonometria com o uso da calcu-
ladora científica.
Introdução
O triângulo retângulo é muito importante na trigonometria, pois é a 
partir dele que se pode definir diversas propriedades e identidades trigo-
nométricas. Essas propriedades podem ser aplicadas em diversas áreas, 
como na agronomia e na agrimensura. Assim, para medir terrenos, áreas, 
alturas, medidas de topologia, entre outros, conhecer as características 
do triângulo retângulo é essencial.
Neste capítulo, você vai estudar as razões e as propriedades trigo-
nométricas, verificando os seus conceitos e aplicações. Por fim, você 
vai conferir alguns exemplos envolvendo a trigonometria na área de 
agronomia.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
O triângulo retângulo é uma fi gura geométrica muito utilizada na mate-
mática. A partir dele, conseguimos descrever diversas razões e propriedades 
trigonométricas, como você vai ver neste capítulo. Para iniciar o estudo dessa 
forma geométrica, é importante conhecer os elementos que a compõem. A 
Figura 1 mostra um triângulo retângulo ABC, retângulo em A.
Figura 1. Elementos de um triângulo retângulo.
Fonte: Reis (2014, p. 124).
Os elementos desse triângulo são descritos a seguir.
  A hipotenusa é o lado oposto do ângulo reto, dada por .
  Os catetos são os outros dois lados do triângulo, dados por 
e .
  A altura do triângulo em relação à sua hipotenusa é o segmento que 
parte do vértice do ângulo reto e é perpendicular à hipotenusa, dada 
por .
  As projeções dos catetos na hipotenusa são dadas por e 
, que são as projeções do cateto b e do cateto c, respectivamente.
Os triângulos retângulos também possuem algumas relações métricas. A 
partir do triângulo ABC, você pode identificar mais dois triângulos retângulos, 
DAC e DBA, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2. Relações de um triângulo retângulo.
Fonte: Reis (2014, p. 124).
Trigonometria do triângulo retângulo2
Os triângulos ABC e DAC são semelhantes pelo caso ângulo ângulo (A.A). 
Os ângulos do primeiro triângulo e do segundo triângulo são retos, e o 
ângulo é comum aos dois. Assim, podemos escrever que:
Pelo mesmo tipo de semelhança, podemos analisar os triângulos ABC e 
DBA, de onde concluímos que:
Observando o triângulo DCA, verifica-se que os ângulos e são comple-
mentares — ou seja, a sua soma é 90°. E, como no triângulo ABC, os ângulos 
 e também são complementares. Podemos concluir que os ângulos e 
são congruentes. Assim, os triângulos DBA e DCA são semelhantes pelo caso 
A.A. Portanto, podemos escrever que:
Agora, somando b2 = am e c2 = an, ficamos com:
b2 + c2 = am + an
b2 + c2 = a(m + n)
b2 + c2 = aa
b2 + c2 = a2.
Ou seja:
a2 = b2 + c2 → Teorema de Pitágoras.
Agora, vamos ver algumas razões trigonométricas do triângulo retân-
gulo. Considere o triângulo retângulo mostrado na Figura 3 à esquerda. Nele, 
verificam-se os seguintes elementos:
3Trigonometria do triângulo retângulo
  ;
  a hipotenusa ;
  o cateto oposto a α, ; 
  o cateto adjacente a α, .
Agora, vamos traçar paralelas a c, como mostrado na Figura 3 à direita. 
Então, por semelhança de triângulos, temos que:
ou
ou
Figura 3. Triângulo retângulo e triângulos semelhantes.
Fonte: Reis (2014, p. 129).
Assim, como os triângulos são semelhantes, as relações referentes ao 
ângulo α serão as mesmas para todos eles. Portanto, pode-se definir as se-
guintes relações:
  Seno de α:
Trigonometria do triângulo retângulo4
  Cosseno de α:
 
  Tangente de α:
E, se quisermos encontrar o ângulo α com base nos lados do triângulo, 
usamos as relações trigonométricas inversas. Assim:
  Arco seno:
  Arco cosseno:
  Arco tangente:
Veja, a seguir, alguns exemplos.
Dado o triângulo retângulo abaixo, encontre o valor de x.
Fonte: Reis (2014, p. 130).
No triângulo dado, temos o ângulo de , com cateto oposto x e hipotenusa de 25 m. 
Assim, para encontrarmos o valor de x, podemos usar o seno do ângulo dado. Portanto:
.
Ou seja:
x = 25 sen 33° ~ 13,62.
Assim, o valor de x é 13,62 m.
5Trigonometria do triângulo retângulo
Dado o triângulo retângulo abaixo, encontre o ângulo x.
Fonte: Reis (2014, p. 131).
No triângulo dado, temos o ângulo x, um cateto adjacente de 36 m e uma hipotenusa 
de 42 m. Assim, podemos encontrar o ângulo x usando arco tangente. Assim:
.
Ou seja:
x = cos–1 (0,8571) ~ 31°.
Propriedades trigonométricas
Usando o triângulo retângulo, podemos encontrar diversas propriedades 
trigonométricas. Para começar, vamos encontrar os ângulos de 30°, 45° e 60° 
do triângulo retângulo, conforme mostra a Figura 4.
Figura 4. Esquemas para a dedução das razões trigonométricas dos 
ângulos de 30°, 45° e 60° de um triângulo retângulo.
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015, p. 139).
Trigonometria do triângulo retângulo6
Ângulo de 45°
Observando a Figura 4 à esquerda e utilizando o teorema de Pitágoras, temos 
que:
Assim, podemos escrever as razões trigonométricas como mostradas na 
Figura 5.
Figura 5. Razões trigonométricas do ângulo de 45°. 
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015, p. 139).
Ângulo de 60°
O triângulo mostrado na Figura 4 à direita é um triângulo equilátero, com 
altura h e lados a. Pelo teorema de Pitágoras, temos que: 
7Trigonometria do triângulo retângulo
Assim, podemos escrever as razões trigonométricas como mostradas na 
Figura 6.
Figura 6. Razões trigonométricas do ângulo de 60°. 
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015, p. 140).
Ângulo de 30°
Usando o mesmo triângulo da Figura 4 à direita e a mesma relação encontrada 
para o ângulo de 60°, podemos escrever as razões trigonométricas como 
mostradas na Figura 7.
Figura 7. Razões trigonométricas do ângulo de 30°. 
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015, p. 140).
Trigonometria do triângulo retângulo8
A tabela apresentada na Figura 8 resume as relações encontradas 
anteriormente.
Figura 8. Relações trigonométricas para os 
ângulos de 30°, 45° e 60°.
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015, p. 140).
A Figura 9 traz algumas identidades trigonométricas bastante utilizadas. 
Além delas, há também a cotangente, a secante e a cossecante, que são dadas 
por: , e .
Figura 9. Identidades trigonométricas.
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015, p. 141).
9Trigonometria do triângulo retângulo
A identidade (1) é conhecida como identidade fundamental da trigono-
metria. As identidades (4), (5) e (6) são as identidades de soma dos ângulos 
para seno, cosseno e tangente. Já as identidades (7) e (8) são identidades dos 
ângulos duplos para seno e cosseno.
Usando as identidades mostradas na Figura 9, simplifique a seguinte expressão:
Primeiramente, deve-se substituir a cotangente e a cossecante. Assim:
Utilizando a identidade (1), temos que:
Assim, substituindo, ficamos com:
Problemas envolvendo trigonometria
Nesta seção, você verá alguns problemas envolvendo as relações e identidades 
trigonométricas estudadas neste capítulo.
Exemplo 1 
Suponha uma escada com comprimento de 10 m, que está apoiada em uma 
parede; a distância entre o pé da escada e a parede é de 5 m. Determine, então, 
o ângulo formado entre a escada e a parede.
Trigonometria do triângulo retângulo10
Pensando a situação dada como um triângulo retângulo, temos uma hipo-
tenusa de 10 m e o cateto oposto do ângulo de interesse α com 5 m. Assim, 
utilizando a fórmula do cosseno, temos que:
Assim, α = 30°.
Exemplo 2
Suponha um avião que levante voo em um ângulo de 60° (Figura 10). Após 
percorrer 12 km, qual é a altura do avião?
Figura 10. Avião levantando voo.
Fonte: Reis (2014, p. 132).
Usando o senodo ângulo indicado na Figura 9, temos que:
.
11Trigonometria do triângulo retângulo
Ou seja:
Exemplo 3
Um agrônomo, querendo aproveitar bem seu terreno usando como meio de 
irrigação um rio que passa por ele, pretende plantar milho na região que beira 
o rio. As características da planta que ele desenhou para tal feito são mostradas 
na Figura 11. Qual é a área da plantação?
Figura 11. Esquema da plantação de milho.
Para encontrar a área da plantação, parte-se de:
Trigonometria do triângulo retângulo12
onde b é a base dada pelo cateto oposto do ângulo e h é a altura dada pelo 
cateto adjacente. 
Pelo esquema, pode-se entender que:
Assim, a área será:
Exemplo 4
Um agrônomo comprou um terreno onde havia um silo de grãos. A fi m de 
determinar a sua capacidade, ele precisa calcular sua altura. Assim, usando 
um medidor, encontrou a angulação mostrada na Figura 12. Com os dados 
do esquema, determine a altura do silo.
Figura 12. Esquema para a determinação da altura de um silo de grãos.
13Trigonometria do triângulo retângulo
Segundo o esquema, podemos usar a tangente do ângulo. Assim:
Para encontrar a altura H do silo, temos que somar a altura do equipamento. 
Assim:
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
Trigonometria do triângulo retângulo14