AP1-CIII-2017-1-gabarito

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AP1 - Cálculo III - Gabarito - 2017-1
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais
(1) Você está recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questões e as Folhas de Res-
postas personalizadas para o registro das suas respostas.
(2) Confira se a Folha de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova e se nas
Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e número de matŕıcula. Caso contrário,
verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
(3) Você receberá o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
(4) Após a conferência e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local indicado
para este fim.
(5) É expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicação de prova.
(6) Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente assinadas
e a Folha de Questões.
Orientações para o preenchimento das Folhas de Respostas
(1) Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
(2) Apresente a resolução de cada questão no espaço previsto para ela nas Folhas de Respostas.
(3) As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Portanto,
quaisquer anotações feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
(4) As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
(5) É proibido o uso de corretivo nas respostas.
(6) NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a
digitalização e a correção.
Orientações espećıficas para esta disciplina:
(1) É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo assim como de
qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Cálculo III – Gabarito – 2017-1
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando nome e matŕıcula. • Sua prova será corrigida online. Siga as
• Resoluções feitas nesta folha ou no rascunho não serão corrigidas. instruções na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questão 1
Caso existam, calcule os seguintes limites:
(a) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
4
√
xy√
x2 + y2
;
(b) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
cos
(
1
x2 + y2
)
tg (sen x).
Solução:
(a) Observando que
lim
t→0
4
√
0 · t√
02 + t2
= 0
e
lim
t→0+
4
√
t · t√
t2 + t2
= lim
t→0+
t
1
2
√
2t
= lim
t→0+
1√
2t
= +∞,
conclúımos que não existe lim
(x,y)→(0,0)
4
√
xy√
x2 + y2
.
(b) Como a função
(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7−→ cos
(
1
x2 + y2
)
∈ R
é limitada (lembre que cos t ∈ [−1, 1] para todo t ∈ R!) e lim
(x,y)→(0,0)
tg (sen x) = 0 (já que a
função tangente é cont́ınua), o Teorema do Sandúıche garante que
lim
(x,y)→(0,0)
cos
(
1
x2 + y2
)
tg (sen x) = 0
Questão 2
Considere a função f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = 4√xy.
(a) (1,0 ponto) Caso existam, calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 0);
Cálculo III AP1 3
(b) (1,0 ponto) Utilizando a definição de diferenciabilidade, mostre que f não é diferenciável em
(0, 0).
Solução:
(a) Como
lim
h→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0
e
lim
h→0
f(0, 0 + h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0,
conclúımos que fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0.
(b) Considere a função r : R2 −→ R, definida por
r(h, k) = f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− fx(0, 0)h− fy(0, 0)k.
Mais precisamente, pelo item (a), sabemos que r(h, k) = f(h, k) para todo (h, k) ∈ R2.
Assim, para demonstrar que f não é diferenciável em (0,0), devemos verificar que o limite
lim
(h,k)→(0,0)
r(h, k)√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
4
√
hk√
h2 + k2
não é igual a zero. De fato, este limite não existe, o que pode ser constatado no Gabarito da
Questão 1(a).
Questão 3
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Caso uma afirmação seja verdadeira,
apresente uma justicativa baseada em algum teorema visto no decorrer da matéria. Caso uma
afirmação seja falsa, apresente um exemplo concreto que a invalida.
(a) (1,0 ponto) Se f : R2 −→ R e g : R2 −→ R são duas funções e
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0,
então lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)g(x, y) = 0.
(b) (1,0 ponto) Toda função cont́ınua f : R2 −→ R é diferenciável;
(c) (1,0 ponto) Se f : R2 −→ R é uma função que tem todas as derivadas parciais em um
ponto P0 = (x0, y0), então f é diferenciável neste ponto;
(d) (1,0 ponto) A função vetorial
α : t ∈ R 7−→ (et − e−t, et + e−t) ∈ R2
é uma parametrização da hipérbole H, dada pela equação y2 − x2 = 4.
Solução:
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Cálculo III AP1 4
(a) Esta afirmação é FALSA. De fato, consideremos a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = x2 + y2, para todo (x, y) ∈ R2. Sendo g : R2 −→ R, a função definida por
g(x, y) = 1
f(x, y) ,
se (x, y) 6= (0, 0), e f(0, 0) = 0, temos
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0,
mas
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)g(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2)
(
1
x2 + y2
)
= 1.
(b) Esta afirmação é FALSA. De fato, seja f : R2 −→ R a função definida na Questão 2.
Como as funções
t ∈ R 7−→ 4
√
t ∈ R
e
(x, y) ∈ R2 7−→ xy ∈ R
são cont́ınuas, resulta que f é cont́ınua, uma vez que se exprimi como uma composição
de funções cont́ınuas. No entanto, pela Questão 2(b), f não é diferenciável em (0, 0).
(c) Esta afirmação é FALSA. Realmente, consideremos novamente a função f : R2 −→ R
definida na Questão 2. Pelo item (a) da Questão 2, sabemos que f possui as duas
derivadas parciais no ponto (0, 0), sendo ambas iguais a zero. No entanto, pelo item (b)
da Questão (2), f não é diferenciável em (0, 0).
(d) Esta afirmação é VERDADEIRA. Realmente, para cada t ∈ R, temos
(et + e−t)2 − (et − e−t)2 = (e2t + 2 + e−2t)− (e2t − 2 + e−2t) = 4.
Questão 4 (2,0 pontos)
Considere a função vetorial
r : λ ∈ R 7−→ (1 + 2λ,−2 + λ) ∈ R2,
e seja C o ćırculo centrado na origem, que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta
parametrizada por r. Encontre uma parametrização de C.
Solução:
Consideremos a > 0 e seja C : x2 +y2 = a2 o ćırculo procurado. Ponhamos x = x(λ) = 1+2λ
e y = y(λ) = −2 + λ para cada λ ∈ R. Dáı, (x0, y0) ∈ R2 pertence à reta parametrizada por
r se, e somente se, existir λ0 ∈ R tal que
x0 − 1
2 = λ0 = y0 + 2,
isto é,
x0 = 5 + 2y0.
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Cálculo III AP1 5
Em particular, supondo que (x0, y0) ∈ C, temos
(5 + 2y0)2 + y20 = a2,
que equivale a
5y20 + 20y0 + (25− a2) = 0.
Dáı, para que a reta parametrizada por r seja tangente à C no ponto (x0, y0), é necessário e
suficiente que o discriminante da equação de segundo grau acima, dado por
∆ = 202 − 4 · 5(25− a2) = 20(a2 − 5),
seja igual a zero. Como
∆ = 0⇐⇒ a2 = 5
e a > 0, resulta que a =
√
5, ou seja, C é o ćırculo centrado na origem que tem raio igual a√
5. Finalmente,
γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ (
√
5 cos t,
√
5sen t) ∈ R2
é uma parametrização de C.
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RASCUNHO
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