AP1-CIII-2019-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Cálculo III – Gabarito –2019-2
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Questão 1 (3,0 pontos)
Calcule os seguintes limites:
(a) (1,5 ponto) lim
(x,y)→(2,−2)
x2 − y2
x + y ;
(b) (1,5 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x
x + y ;
Solução:
(a) Como
x2 − y2 = (x + y)(x − y),
temos
lim
(x,y)→(2,−2)
x2 − y2
x + y = lim(x,y)→(2,−2)
(x + y)(x − y)
x + y = lim(x,y)→(2,−2)(x − y) = 4
(b) Ponhamos
h(x, y) = x
x + y ,
para cada (x, y) ∈ R2 tal que x �= −y. Como
lim
t→0
h(t, 0) = lim
t→0
t
t + 0 = limt→0 1 = 1
e
lim
t→0
h(0, t) = lim
t→0
0
0 + t = limt→0 0 = 0
deduzimos que lim
(x,y)→(0,0)
x
x + y não existe.
Questão 2 (3,0 pontos)
Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = x2 + y2 − 10x − 10y + 25.
Cálculo III AP1 2
(a) (1,5 ponto) Parametrize a curva de ńıvel C = 0 da função f ;
(b) (1,5 ponto) Sendo E a curva mencionada no item (a), determine a equação vetorial da
reta tangente à E , no ponto Q =
�
10+5
√
3
2 ,
15
2
�
.
Solução:
(a) Completando quadrados, obtemos
f(x, y) = (x − 5)2 + (y − 5)2 − 25
para cada (x, y) ∈ R2. Portanto, a curva de ńıvel C = 0 da função f é dada por
E = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) = 0} =
�
(x, y) ∈ R2; (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
�
,
isto é, E é o ćırculo de raio r = 5, centrado no ponto P0 = (5, 5). Dáı, a função vetorial
α : t ∈ [0, 2π] �−→ (5 + 5 cos t, 5 + 5sen t) ∈ R2
é uma parametrização de E .
(b) Seja α a parametrização de E considerada no item (a), e tomemos t0 ∈ [0, 2π] tal que
(5 + 5 cos t0, 5 + 5sen t0) = α(t0) = Q =
�
10 + 5
√
3
2 ,
15
2
�
.
Nesse caso, cos t0 =
√
3
2 e sen t0 =
1
2 , donde t0 =
π
6 . Uma vez que
α�(t) = (−5sent, 5 cos t),
para todo t ∈ [0, 2π], segue que α�
�
π
6
�
=
�
−5
2 ,
5
√
3
2
�
é o vetor diretor da reta tangente à
curva E , no ponto Q. Consequentemente, a equação vetorial de tal reta é
r(λ) = α(t0)+λα�(t0) =
�
10 + 5
√
3
2 ,
15
2
�
+λ
�
−5
2 ,
5
√
3
2
�
=
�
10 + 5
√
3 − 5λ
2 ,
15 + 5λ
√
3
2
�
,
com λ ∈ R.
Questão 3 (4,0 pontos)
Considere a função g : R2 −→ R, definida por
g(x, y) = 5x + 5y,
para cada (x, y) ∈ R2.
(a) (1,0 ponto) Calcule as derivadas parciais de g, em cada (x, y) ∈ R2;
(b) (2,0 ponto) Utilizando a Definição de Diferenciabilidade, prove que g é diferenciável em
(5, 5);
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Cálculo III AP1 3
(c) (1,0 ponto) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g, no ponto P =
(5, 5, g(5, 5)).
Solução:
(a) Claramente, para cada (x, y) ∈ R2, temos
gx(x, y) = 5 e gy(x, y) = 5.
(b) Para cada (h, k) ∈ R2, definamos
r(h, k) := g(5 + h, 5 + k) − g(5, 5) − gx(5, 5)h − gy(5, 5)k,
isto é,
r(h, k) = [5(5 + h) + 5(5 + k)] − 50 − 5h − 5k = 0.
Portanto,
lim
(h,k)→(0,0)
r(h, k)√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
0√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
0 = 0.
Portanto, g é diferenciável em (1, 1).
(c) Sendo g uma função diferenciável em (5, 5), a equação do plano tangente ao gráfico de
g, no ponto P = (5, 5, g(5, 5)), é dada por
z − g(5, 5) = gx(5, 5)(x − 5) + gy(5, 5)(y − 5),
ou seja, z = 5x + 5y é a equação do plano tangente ao gráfico de g, no ponto P . Isto
significa que o gráfico de g e o plano tangente procurado coincidem.
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RASCUNHO
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