ESFERAS FRACTAIS

Prévia do material em texto

ESFERAS FRACTAIS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
No espaço euclidiano, os objetos têm dimensões inteiras 0D, 1D, 2D e 3D 
(Figura 1). Já na natureza, os objetos podem ter medidas fragmentadas. Medidas 
como comprimento, áreas e volumes de estruturas fragmentadas, como fronteiras 
entre países, dependem da escala utilizada. Esta constatação levou o 
desenvolvimento de trabalhos mostrando que a geometria euclidiana não pode ser 
aplicada em determinados casos. Nasce aí a Geometria Fractal [1] desenvolvida por 
Benoit Mandelbrot e outros matemáticos a partir da metade do século XVII. 
 
 
Figura 1: Dimensão inteira de objetos, euclidiana [REF] 
 
O termo fractal vem do latim "fractus" cujo verbo correspondente é "frangere" 
que significa quebrar, criar irregularidades. A característica mais notável dessas 
formas "fractais" é que seus padrões característicos são repetidamente encontrados 
em escala, de modo que uma pequena parte de um fractal repete a mesma 
estrutura do todo. Existem fractais naturais como nuvens, couve-flores ou 
samambaias, e fractais por repetição matemática. Veja na Figura 2, exemplos de 
fractais. 
 
 
Figura 2: Exemplo de um fractal [REF] 
 
 
Essa "auto-similaridade" foi ilustrada por Mandelbrot por meio de um pedaço de 
couve-flor, mas pode ser gerada matematicamente. Um exemplo são os "flocos de 
neve de Koch", proposto em 1904 a partir de infinitas adições de triângulos ao 
perímetro de um triângulo inicial (Figura 3). 
 
Figura 3: Geração dos Flocos de Koch 
 
Caracterizamos os fractais por meio de sua dimensão, apresentando valores não 
inteiros entre os valores das dimensões euclidiana. Um volume fechado (3D), caso a 
ser estudado aqui, deve ter dimensão fractal entre 2 e 3. 
A massa (M) de um fractal e seu comprimento característico (L) apresentam 
uma relação de escala associada à dimensão fractal (DF), como abaixo: 
LM = k DF 
em que k é uma constante de proporcionalidade. 
Podemos apresentar também apenas uma relação de escala, como abaixo: 
 
M ~ LDF 
As características fractais de uma esfera de papel amassado dependem dos 
materiais presentes na fabricação do papel e como suas fibras estão distribuídas. 
Note que a densidade não é uniforme na bolinha amassada e a massa varia com o 
comprimento, então a massa de uma esfera fractal varia com o diâmetro (D) da 
esfera. 
 
M ~ DDF 
2. OBJETIVOS 
 
- Verificar a geometria fractal; 
- determinar as dimensões fractais de bolinhas de papel amassado. 
 
3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL 
 
3.1 Materiais 
● Folha A3 de papel alumínio (2 unidades) 
● Folha A3 de papel sulfite (2 unidades) 
● Papel milimetrado (2 unidades) 
● Paquímetro e régua milimetrada 
● Tesoura 
● Balança 
 
A depender das disponibilidades de materiais do grupo, seguem algumas ideias de 
adaptações 
 
● Substituir a folha A3 de papel sulfite por ao menos 4 de A4; 
● Substituir o papel alumínio por outro papel que tenha características 
diferentes do papel sulfite.; 
● Substituir o paquímetro por uma régua milimetrada; 
● Para substituir a balança, estime a massa de cada esfera utilizando a 
gramatura e dimensões do papel a ser amassado. 
 
 
3.2 Procedimentos 
 
1. Corte as folhas de sulfite e de alumínio (ou outros dois materiais que tenha 
selecionado) em oito partes, conforme Figura 4. Os 9 pedaços de papel 
decrescem de fatores 2 e devem ser amassados em bolas com menor 
diâmetro e tão esféricas quanto possível; 
2. Para facilitar a posterior análise, considere a maior esfera como esfera 1, a 
primeira metade como esfera 2 e assim sucessivamente; 
 
Figura 4: Corte para as folhas 
 
3. Em seu relatório, crie um tabela de dados com o número da esfera, a massa 
e, ao menos, cinco medidas para o diâmetro das esferas com suas 
respectivas incertezas. 
 
TABELA 1: Exemplo de tabela 
 
4. Meça o diâmetro das esferas utilizando um paquímetro (ou uma régua 
milimetrada) pelo menos cinco vezes (sentidos diferentes). 
Número da bolinha Medidas de diâmetro 
com incerteza 
instrumental (cm ou 
mm) 
Massa(g) 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
5. Determine a massa de cada esfera ou estime utilizando a gramatura do papel 
utilizado. 
 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
- Calcule a média e o desvio padrão da média para cada diâmetro de esfera; 
- Discuta o significado do valor médio e desvio padrão; 
- Em um gráfico linear, coloque os valores da massa das esferas em função do 
diâmetro média delas. Não se esqueça de incluir as barras de erro; 
- Em um outro gráfico linear, coloque os valores do log das massas em função 
do log dos valores dos diâmetros; 
- Compare a distribuição dos pontos nos dois gráficos; 
- Mostre como você poderia obter a dimensão fractal utilizando um dos 
gráficos; 
- Utilizando o gráfico escolhido, obtenha o valor da dimensão fractal das suas 
esferas; 
- Faça uma pesquisa em sites e artigos em busca de valores de esferas 
fractais de papel amassados; 
- Seus resultados são o que você esperava? Por quê? 
 
 
Instruções para relatório: 
 
Seu relatório deverá conter as seções: 
- Introdução com uma curta explicação sobre Fractais; 
- Metodologia apresentando as fotos de seus procedimentos experimentais tais 
como papel cortado e bolinhas amassadas; 
- Análise de dados, resultados e discussão seguindo o pedido neste roteiro; 
- Conclusão com a última questão relacionada se seus resultados são o que 
você esperava. 
 
Importante destacar que todos os gráficos devem ser feitos a mão, não 
cabendo neste momento utilização de softwares automatizados. As contas 
relacionadas às médias e desvio padrão da média devem estar explicitadas em 
todas as fases de seu cálculo. 
 
Referências 
Essa proposta foi elaborada com essa base 
[1] Junior, F.C., Kleinke, M.U. “Estudo da Dimensão Fractal de Esferas de Papel 
Amassado e Arruelas”, disponível “​Rel_Final_Francisco_981212 (unicamp.br)​” 
(Acessado em 15 de fevereiro de 2021). 
[2] Teodorov, E., Schoenmaker, J. “Base Experimental das Ciências Naturais”, 
disponível em “ ​Ciências Naturais e Cognição - Ciências Naturais e Cognição - Base 
https://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2002/981212-Rel_Final_Francisco.pdf
http://editora.ufabc.edu.br/ciencias-naturais-e-cognicao/30-base-experimental-das-ciencias-naturais
Experimental das Ciências Naturais (ufabc.edu.br)​” (Acessado em 15 de fevereiro 
de 2021). 
http://editora.ufabc.edu.br/ciencias-naturais-e-cognicao/30-base-experimental-das-ciencias-naturais