Trabalho de Matemática

Prévia do material em texto

UNIÃO EDUCACIONAL DO NORTE
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNINORTE
GRADUAÇÃO EM CST-RADIOLOGIA
TURMA EXTRA 
MATEMÁTICA APLICADA: FUNÇÃO LINEAR E APLICAÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS 
RIO BRANCO – AC
2020
Adriana Almeida da Costa
MATEMÁTICA APLICADA: FUNÇÃO LINEAR E APLICAÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Trabalho para a complementação da nota da B1 sob a orientação do Professor Paulo Amorim do curso de Radiologia do Centro Universitário Uninorte.
RIO BRANCO, ACRE
2020
INTRODUÇÃO
A gênese de muitas descobertas matemáticas que nos beneficia até os dias atuais ocorreu num passado bastante remoto. Várias pessoas ligadas à matemática, seja pelo profissionalismo ou mesmo pela simples admiração pela ciência das formas e nos números, contribuíram para a sua evolução, dedicando seu tempo, seus esforços e doando ao mundo um pouco da sua capacidade intelectual. O conhecimento matemático evolui pela sua disseminação, pelo compartilhamento, assim como todo conhecimento.
Registros históricos
A partir do século XVII começou a surgir as primeiras ideias sobre o conceito de função, com a necessidade de observação dos fenômenos e das leis que buscavam explica-los. Galileu Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727), por exemplo, utilizaram em seus trabalhos algumas noções de lei e dependência, como hoje sabemos, fortemente ligadas ao conceito de função. No século XVIII, Jean Bernoulli, matemático suíço (1667-1748) utilizou o termo função, assim designando os valores obtidos por operações entre variáveis e constantes. Ainda no século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) fez uso da notação atual, mas foi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quem criou o termo função.
Entre 1811 e 1819 o grande matemático Davies’ Legendre, publicou um tratado em três volumes denominado “Exercices du calcul integral”, rivalizando em pé de igualdade, tanto em qualidade quanto em autoridade com o tratado de Leonhard Euler. Um pouco mais adiante, Legendre expandiu o seu trabalho obtendo outros três importantes volumes e formando o “Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulerianas", algo entre os 1825 e 1832. Foi de Legendre que partiu o termo Equações Eulerianas para as equações Beta e Gama.
O mais importante matemático do século XVIII foi Joseph Louis Lagrange. Dentre várias contribuições de Lagrange estão estudos sobre o cálculo de variações, à época ramo novo da matemática, cujo nome era originado de notações usadas pelo próprio Lagrange por volta de 1760. Em linguagem simples, o cálculo de variações trata de encontrar uma relação funcional (y = f(x)), de maneira que uma integral [Math Processing Error] seja máxima ou mínima.
Quedas mais rápidas e problemas de isoperimetria eram casos especiais do cálculo de variações. No ano de 1755 Lagrange escrevera a Euler mostrando os métodos gerais que ele tinha desenvolvido para resolução de problemas dessa natureza. Euler, por sua vez, humilde e generosamente, adiou a publicação de um trabalho semelhante para que Lagrange recebesse todo o crédito.
Ainda voltando no tempo, já clara as várias contribuições de tantas pessoas ligadas à matemática para o desenvolvimento dos conceitos sobre função, a definição antiga que talvez mais se assemelhe com a que utilizamos hoje é do matemático alemão Peter G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), diferenciando-se da atual apenas pela não criação, à época, da Teoria dos Conjuntos.
FUNÇÃO LINEAR
Uma função linear é definida genericamente como f(x) = a.x. Esse é um caso particular de função afim, também conhecida como função de primeiro grau, contudo não existe valor para o coeficiente b, ou seja, b = 0.
Veja abaixo alguns exemplos de função linear:
• f(x) = 3x
• f(x) = –2x 
• f(x) = 6x/2
Mas antes de conhecer as principais propriedades da função linear é importante relembrar alguns conceitos básicos sobre função, como domínio, imagem e contradomínio. Uma função matemática é caracterizada pela relação entre os elementos de dois conjuntos (A e B). Por regra, cada elemento de A está relacionado apenas com um elemento de B, isso significa que “f: A --> B” (lê-se f de A em B). 
Nesse contexto, "f" é o nome da função, "A" o domínio e "B" o contradomínio. Já "y = f(x)" expressa a lei de correspondência dos elementos x que fazem parte do conjunto A e dos elementos y que pertencem ao conjunto B. O domínio (D) representa o conjunto de partida, isto é, o local “de onde partem as flechas”. De modo consequente, os elementos atingidos pelas flechas de relacionamento equivalem a imagem (Im) da função. 
Nem todos os elementos do conjunto B precisam ser usados para que a função seja considerada válida. Em razão disso, os elementos do conjunto que podem ser atingidos pelas flechas fazem parte do contradomínio (Cd).
Características da função linear 
Com dito, a função linear é um tipo especial de função de primeiro grau. Esta última é expressa pela lei de formação f(x) = a.x + b, sendo que o x é chamado de variável independente e f(x) ou y é chamado de variável dependente. Veja abaixo alguns exemplos
• f(x) = 4x - 2
• f(x) = x - 5
• f(x) = -3x + 1
O coeficiente b possui valor nulo em uma função linear, contudo o valor de a é chamado de coeficiente angular. Ele determina a direção do gráfico dessa função, ou seja, se será crescente ou decrescente, nas seguintes condições: 
• Quando a < 0, o gráfico da função é decrescente; 
• Quando a > 0, o gráfico da função é crescente.
Se o coeficiente a for igual a zero, a função linear também será chamada de função identidade e será expressa genericamente como f (x) = x, já que, qualquer número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.
Gráfico da função linear
O gráfico da função linear é uma reta que passa obrigatoriamente pela origem do sistema de coordenadas, ou seja, nos pontos (0,0). Vamos analisar abaixo duas retas distintas:
 Na função f(x) = x, o coeficiente angular é igual a - 1, enquanto em g(x) = x, o coeficiente angular é igual 1. Nesse primeiro caso, como a é positivo, a função é crescente, já no segundo, o a é negativo, logo a função é decrescente.
Exemplo de Aplicação
	Euclides de Alexandria, considerado pai da Geometria, desenvolveu alguns postulados acerca da reta, um deles afirma que “na existência de dois pontos distintos do espaço, existe apenas uma reta que os contém”.  Com base nesse postulado, vamos construir a reta do gráfico de uma dada função linear, sabendo que inicialmente é necessário a localização de no mínimo dois pontos. Veja abaixo como fazer isso: 
1 – Escolher dois valores para x;
2 – Substituir esses valores na função;
3 – Encontrar os valores equivalentes de y.
	O valor escolhido para x e o respectivo de y fornece um par ordenado que pode ser marcado no plano cartesiano. Sabendo disso, a partir da função linear f(x) = 2x, vamos desenhar o seu gráfico:
f(0) = 2.0 = 0
f(-1) = 2.1 = -2
f(-2) = 2.4 = 4
	Os respectivos pares ordenados foram (0,0), (1,2) e (2,4). Veja abaixo o gráfico dessa função linear: 
Gráfico função f(x) = 2x.
Geometria e suas aplicações 
Geometria é uma palavra de origem grega que significa: “geo”, terra, e “metria”, que vem da palavra “métron” e significa medir. Sendo assim, a Geometria é uma ciência que se dedica a estudar as medidas das formas de figuras planas ou espaciais, bem como sobre a posição relativa das figuras no espaço e suas propriedades. Os matemáticos que realizam os estudos relacionados com a Geometria são chamados de geômetras. Ao longo da história da Geometria, que se constituiu como ciência organizada na Grécia Antiga, destacaram-se geômetras como Arquimedes, Descartes, Tales de Mileto, Euclides (considerado o pai da Geometria), entre outros.
Como a Geometria é uma área de estudos muito extensa, podemos dividi-la nas seguintes subáreas:
Subáreas da Geometria:
Geometria analítica: relaciona a álgebra e a análise matemática com a geometria;
Geometria plana: também chamada de Geometria Euclidiana, estuda o plano e o espaço baseando-se nos postulados de Euclides;Geometria Espacial: realiza o estudo de figuras tridimensionais. Nessa área de estudo, é possível calcular o volume de um sólido geométrico.
Figuras geométricas
As figuras geométricas são elementos com formas, tamanhos e dimensões no plano ou espaço. Por exemplo, o triângulo, o quadrado, a pirâmide e a esfera são figuras geométricas.
Figuras geométricas planas
São definidas por possuírem duas dimensões: comprimento e largura. Quando temos uma figura geométrica composta por segmentos de retas onde o ponto inicial coincide com o final, chamamos essa figura de polígono. 
Nesse sentido, quando temos uma figura geométrica que se “entrelaça”, nós a chamamos de polígono entrelaçado. Para os polígonos não entrelaçados, podemos dividi-los em côncavos e convexos. 
Definimos que um polígono é côncavo quando é possível traçar um segmento de reta tal que ele comece e termine dentro do polígono, mas parte dele passa por fora da figura. Caso isso não seja possível, o polígono é convexo. Além disso, um polígono convexo pode ser classificado como regular. Um polígono é regular quando ele for equilátero (possuir os lados iguais) e equiângulo (possuir os ângulos iguais).
Exemplo de um hexágono (polígono de 6 lados) regular.
Aplicações das figuras geométricas (exercícios)
1. Calcule o volume de um cilindro cuja altura mede 10 cm e o diâmetro da base mede 6,2 cm. Utilize o valor de 3,14 para π. Primeiramente, vamos encontrar o valor do raio dessa figura. Lembre-se que o raio é duas vezes o diâmetro. Para tanto, dividimos o valor do diâmetro por 2:
6,2 : 2 = 3,1
Logo,
r: 3,1 cm
h: 10 cm
V = π.r2.h
V = π . (3,1)2 . 10
V = π . 9,61 . 10
V = π. 96,1
V = 3,14 . 96,1
V = 301,7 cm3
2. Uma mesa retangular mede 1,2 m por 0,8 m. Se numa das quinas desta mesa eu fixar um barbante com um prego, qual deve ser o tamanho aproximado do barbante de sorte que eu consiga percorrer um setor circular com um terço da área da mesa?
A área da mesa é igual a:
Como temos uma mesa retangular, os ângulos formados nas suas quinas são de 90°. Com estes dados podemos calcular o comprimento que teve ter o barbante para cobrirmos 1/3 da área da mesa, se o utilizarmos como um compasso para traçarmos um setor circular na mesma:
Logo: O comprimento do barbante deve ser de aproximadamente 0,6383 m.
3. Uma pizza circular tem área de 706,86 cm2. Qual é a área interna da menor caixa quadrada para transportá-la?
Para calcularmos a área interna da caixa precisamos saber a medida interna do seu lado. Esta medida é a mesma medida do diâmetro da pizza, que equivale ao dobro do raio da mesma. Como sabemos a sua área, podemos calcular o seu raio assim:
Como o raio da pizza é igual a 15 cm, temos que o seu diâmetro e consequentemente a medida das laterais internas da caixa será o dobro disto, ou seja, 30 cm, logo a área interna da caixa será:
Logo: A área interna da menor caixa quadrada capaz de transportar esta pizza é de 900 cm2.
4. (PM ES – Exatus 2013). Um caneco em formato de hemisfério cujo raio interno mede 20 cm é utilizado para transferir água de outro recipiente maior para copos em formato de cilindro circular reto, com raio da base medindo 4 cm e altura 15 cm. Considerando que esse caneco esteja com água equivalente a 4/5 do seu volume máximo, a água contida nele é suficiente para encher quantos copos?
a) 13
b) 14
c) 10
d) 16
e) 17
Resolução:
Volume do copo em formato de hemisfério: Como ele tem formato de hemisfério, basta calcular o volume de uma esfera e dividir por 2:
Volume da esfera: V = π.r³.4/3 = π.20³.4/3 = 32000π/3
Volume do copo = 32000π/3 / 2 = 16000π/3
 A questão informa que o copo estava com 4/5 da capacidade:
16000π/3 x 4/5 = 12800.π/3
Volume dos copos em formato de cilindro: 
Volume do cilindro = altura x π.r² = 15.π.4² = 240π
Dividindo os dois volumes, o π é cancelado e temos 17,7777 copos
 
Resposta: E
5. (PM ES – Exatus 2013). Um estoquista, ao conferir a quantidade de determinado produto embalado em caixas cúbicas de arestas medindo 40 cm, verificou que o estoque do produto estava empilhado de acordo com a figura que segue:
Ao realizar corretamente os cálculos do volume dessa pilha de caixas, o resultado obtido foi:
a) 0,64 m³
b) 1,6 m³
c) 6,4 m³
d) 16 m³
e) 64 m³
Resolução:
Temos 10 caixas cúbicas de 40 cm de aresta.
Sabe-se que 40cm = 0,4m
Cada caixa possui volume de 0,4×0,4×0,4 = 0,064 m³
Como temos 10 caixas: 10 x 0,064 = 0,64 m³
Resposta: A
BIBLIOGRÁFIA
https://sabermatematica.com.br/volumes-exercicios-resolvidos.html
https://www.infoescola.com/matematica/aspectos-historicos-sobre-funcao-matematica/
https://sabermatematica.com.br/volumes-exercicios-resolvidos.html