02 Dimensões Inteiras e Fracionarias

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE ENSINO
Dimensões inteiras e fracionárias
Roteiro de Física Experimental 1
Experimento 2
Maceió
2016
Sumário
 1 Introdução.........................................................................................................................................2
 2 Objetivo............................................................................................................................................3
 3 Material.............................................................................................................................................3
 4 Procedimento....................................................................................................................................3
 5 Discussão..........................................................................................................................................4
Referência.............................................................................................................................................5
1
 1 Introdução
Da geometria euclidiana, sabemos que a dimensão d de um objeto representa a
dimensionalidade do espaço em que está inserido. Para formas geométricas elementares
d tem um valor inteiro, assim se trabalharmos com esferas de aço maciças de densidade
uniforme, teremos
M=ρV=ρ
4
3
π( D2 )
3
=ρ π
6
D3 (1)
Onde M é a massa, ρ a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o
diâmetro.
A equação (1) pode ser escrita da seguinte forma:
D=KM
1
d (2-a)
Onde,
K=( 6πρ )
1
d e d=3 (2-b)
A versão bidimensional das equações (1) e (2) será:
M=σ A=σπ(D2 )
2
 (2-c)
D=KM
1
d
Onde,
K=( 4πρ )
1
d e d=2
Já na forma unidimensional temos: 
D=KM
1
d (2-d)
K=( 1πρ )
1
d e d=1
Por sua vez um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes,
cada uma das quais semelhantes ao objeto original, entretanto, das características que
definem um fractal, a mais importante é a dimensão. Esta dimensão representa o nível de
irregularidade de um fractal por isso, tal dimensão pode assumir valores fracionários
como, por exemplo: 1,6 ou 2,5. Assim diferentemente da dimensão Euclidiana, a
dimensão fractal representa o nível de ocupação do espaço pelo objeto e não o espaço
onde o objeto está inserido. Neste experimento entraremos em contato com esta
dimensão. Para isso analisaremos a dimensão de uma folha de papel amassada em bolas
compactas com diâmetros variados.
2
 2 Objetivo
Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares.
 3 Material
Descrição Quantidade
Régua milimetrada de 30 cm 1
Paquímetro 1
Folhas de papel 2
 4 Procedimento
1 Construa sete bolas de papel amassado, dividindo cada folha como indicado na figura
1. Atribua à menor fração da folha massa 1 e as seguintes, massas 2, 4, 8, 16, ….
Assim a enésima fração, em ordem crescente de tamanho, terá massa relativa 2n.
Organize os pedaços de papel amassado de forma a não confundir as massas.
2 Para cada uma das bolas de papel faça sete ou mais medidas do diâmetro em pontos
diferentes, determinado o diâmetro médio para cada uma delas. Preencha a tabela 1
calculando a incerteza estimada ΔD associada ao tamanho de cada bola e a média
<D>.
3
Figura 1: Diagrama de divisão de uma folha para experimento de fractais.
M 1 2 4 8 16 32 64
D
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
<D>
∆D
Tabela 1: Medidas de diâmetro
3 Utilizando a tabela 1, construa o gráfico loglog do diâmetro versus a massa (M).
Assumindo que D=KM
1
d , encontre as constantes K e d estimando a incerteza ΔD.
Questões:
1) Que valor você esperaria de d para uma esfera tridimensional de densidade uniforme?
E para uma “esfera” bidimensional – um objeto circular, como uma moeda, de
densidade uniforme? E para uma esfera unidimensional?
2) Qual a expressão de K para os três tipos de objetos a que se refere à pergunta (a)?
3) Baseando-se nos valores de d e Δd encontrados e na resposta do item (a), como você
interpreta o valor de d obtido?
 5 Discussão
Dos resultados obtidos neste experimento somos forçados ou tentados a tratar de
um d não inteiro como uma espécie de dimensão fracionária. Você pode se convencer
que o d fracionário encontrado nesta experiência não é produto de erro! Observe bem seu
gráfico loglog de D versus M. Os pontos “caem” regularmente sobre uma mesma reta?
Pensando um pouco, você pode sentir que existem certos expedientes para gerar
bolas de papel onde d aproxima-se de três, como na situação descrita pelas equações (1)
e (2). Comparando os resultados de d obtidos por seus colegas, você notará uma forte
tendência desta constante ficar entre 2 e 3. É natural que seja assim, pois três é a
dimensão do espaço que vivemos e, evidentemente, da mesma forma como não
podemos colocar uma esfera dentro de um plano (o termo técnico é “embeber”) cuja
4
dimensão é dois, não podemos embeber um objeto de dimensão maior que três em nosso
espaço euclidiano tridimensional habitual.
Por outro lado é razoável que d seja maior que dois, que é a dimensão de partida de
nossas bolas de papel – lembre-se que a matéria prima das bolas em nossa experiência
foi folha de papel que é um objeto bidimensional. Essa dimensão dois da folha de papel é
o que os matemáticos chamam de dimensão topológica. Abaixo daremos uma definição
operacional deste conceito formulado pelo matemático francês Henri Poincaré no início do
século 20.
Veja que essa dimensão dT=2 é uma característica bem marcante desse sistema
na medida que podemos desdobrar com o devido cuidado as bolas de papel de forma a
obtermos a superfície bidimensional de origem. Matematicamente você pode afirmar que
a dimensão topológica ( dT=2 , no caso) é invariante sob operação de amassamento.
Desde que encontramos experimentalmente que os valores de d obtidos por vocês e
seus colegas satisfazem 2 < d ≤ 3, como identificamos o “2” com a dimensão do espaço
onde a bola de papel está imersa ou embebida, não seria mal sermos arrojados e lançar a
seguinte hipótese: “Em certas estruturas de geometria complexa onde aparece uma
quantidade d fracionária, como uma espécie de extensão natural do conceito de
dimensão devemos ter: dT < d < dE, onde dT é a dimensão topológica do objeto e dE a
dimensão do espaço euclidiano onde o sistema está embebido: dT e dE são,
evidentemente, inteiros.”
Vamos aproveitar a ocasião para batizar esse d fracionário de “dimensão fractal” e
aos objetos possuindo d fracionário de “fractais”.
Referência
Backes, André Ricardo, Martinez, Odemir Bruno, Técnicas de Estimativa da Dimensão
fractal: Um Estudo Comparativo. Disponivel em:
<http://www.dcc.ufla.br/infocomp/artigos/v4.3/art07.pdf>. Acessado em: 15/07/2009.
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	1 Introdução
	2 Objetivo
	3 Material
	4 Procedimento
	5 Discussão
	Referência