5 - Cinemática vetorial MRUV

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Tópicos de 
cinemática 
escalar: MRUV 
(movimento retilíneo 
uniformemente variado)
Nesta aula será estudado um tipo particular de 
movimento: aquele em que a velocidade do móvel 
varia de quantidades iguais e em iguais intervalos 
de tempo. A ele dá-se o nome de movimento unifor-
memente variado. Se em especial a trajetória é uma 
linha reta, tem-se o movimento retilíneo uniforme-
mente variado (MRUV).
Aceleração 
escalar instantânea
Já foi visto o conceito de aceleração escalar 
média como sendo a = Vt . Quando consideramos 
um intervalo t de tempo muito pequeno, tendendo 
a zero, a aceleração escalar média aproxima-se da 
aceleração escalar instantânea (a), que representa a 
tendência de a velocidade variar com o tempo. Mate-
maticamente, escreve-se: a = t 0lim a = t 0lim 
V
t
; ou 
seja, a aceleração escalar instantânea é o limite da 
aceleração escalar média quando t tende a zero. 
Como a aceleração instantânea é uma acelera-
ção média, embora num intervalo de tempo que tende 
a zero, sua unidade no SI é também m/s2. 
Movimentos acelerados
Um movimento variado é dito acelerado quan-
do a velocidade escalar aumenta com o tempo. Isso 
impõe a existência de uma ação sobre a unidade de 
massa do corpo, tendendo a empurrá-lo no sentido 
de seu deslocamento. 
Progressivo acelerado
V > 0 e a > 0
Retrógrado acelerado
V < 0 e a < 0
Como se observa nas figuras, velocidade e ace-
leração têm os mesmos sinais.
Movimentos retardados
Um movimento variado é dito retardado quan-
do a velocidade escalar diminui com o tempo. Isso 
impõe a existência de uma ação sobre a unidade 
de massa do corpo, em sentido contrário ao de seu 
deslocamento, tendendo a freá-lo.
Retrógrado retardado
V < 0 e a > 0
Progressivo retardado
V > 0 e a < 0
1
Como se observa na figura, velocidade e acele-
ração têm sinais contrários.
MRUV
Pelo exposto, os movimentos uniformemente 
variados (MRUV) podem ser ou movimentos unifor-
memente acelerados (MRUA) ou movimentos unifor-
memente retardados (MRUR).
Equações do MRUV 
(Equação da velocidade)
No MRUV, a velocidade varia de quantidades 
iguais em iguais intervalos de tempo. Daí, o mesmo 
t corresponde sempre ao mesmo v, o que implica 
em a aceleração média ser constante. Considerando 
que a=
t 0
lim a , segue a=a, pois o limite de uma cons-
tante é ela própria. Assim, conclui-se que a= V
t
 =
V – V0
t – t0
Fazendo t0= 0, vem v=v0+at , que é a
conhecida equação da velocidade no MRUV.
Adiantando um pouco o assunto do próximo 
tópico, e considerando que essa equação representa 
v como função do 1.º grau em t, seu gráfico é uma 
reta, como a seguir mostrado:
a > 0 a < 0
Como já se sabe do estudo de MRU, a área sob 
um gráfico v X t representa a variação s de posição, 
como mostrado na figura a seguir:
A área sob o gráfico v x t = s.
ti
Vi
V
A área do retângulo escurecido é vi . ti = si. 
Fazendo t 0, s torna-se infinitamente pequeno 
e podemos considerar infinitos outros retângulos, 
cuja soma das áreas vale stotal e tende para a área 
sob o gráfico v X t.
Equação da posição 
(Equação dos espaços)
Considerando a figura anterior, a área s sob o 
gráfico é aquela de um trapézio retângulo de bases v e 
v0 e altura t=t – t0=t – 0 = t. Daí, podemos escrever: 
s= s – s0=
(v+v0)
2
. t =(v0+at+v0)
2
. t = v0.t + 
1
2
 at2
ou
s = s0 +v0t + 
1
2
 at2
 ,
que é a conhecida equação da posição no MRU 
ou, como preferem alguns autores, “equação dos 
espaços”.
Equação de Torricelli
De v = v0+at, temos t = 
v – v0
a
que, substituído 
na equação da posição, nos dá
s = s0 + v0 . 
v – v0 
a
+ 1
2
 a
v – v0 
a
2
s =
2v0v – 2v0
2 + v2 – 2vv0 +v0
2
2a
 =
v2 – v0
2
 
2a
Ou
v2= v0
2 +2a. s,
que é a conhecida equação de Torricelli.
Gráficos do MRUV
A análise gráfica é de extrema importância no 
estudo de variados fenômenos. Veremos neste tópi-
co os gráficos do MRUV e as informações que deles 
podem ser obtidas.
Gráfico s X t
Comparemos a equação da posição, vista no 
tópico anterior, com a do trinômio do 2.º grau:
s = s0 + v0t + 
1
2
at2 (equação da posição)
y = c + bx + ax2 (trinômio do 2.º grau)
Dessa comparação, vê-se com bastante clareza 
que a equação da posição representa s como um 
trinômio do 2.º grau em t.
Do estudo do trinômio sabe-se que, sendo positi-
vo o coeficiente do termo de 2.o grau, o gráfico corres-
pondente é uma parábola com concavidade para cima 
(apresenta mínimo); sendo negativo esse coeficiente, 
a representação gráfica é uma parábola com concavi-
dade para baixo (apresenta máximo). O gráfico s X t, 
portanto, apresenta o mesmo comportamento: 2
a>0
t
sF
a<0
s
t t
s
tg = lim 
t
s = vpt 0
Conclusões:
Aceleração é positiva: concavidade para •
cima.
Aceleração é negativa: concavidade para •
baixo.
A declividade da reta tangente à curva •
num ponto P é igual à velocidade do móvel
nesse ponto.
Gráfico v X t
A equação da velocidade no MRUV é uma fun-
ção do 1.º grau em t, conforme já se viu no módulo 
anterior, e seu gráfico é uma reta:
tg = v / t = a
a > 0 a < 0
Conclusões:
A área sob um gráfico v X t representa ∆s. •
A declividade da reta da velocidade repre- •
senta a aceleração do MRUV.
Gráfico a X t
Como já se viu, a aceleração no MRUV é cons-
tante. O gráfico a X t, portanto, representando uma 
função que não varia com o tempo, só pode ser para-
lelo ao eixo t, conforme se mostra a seguir:
a > 0
a < 0
A área S sob o gráfico representa um retângulo 
de altura a e base t. Ademais, a aceleração a é 
igual à aceleração média a–. A área S pode ser então 
escrita:
S = a . t = a– . t= v
t
 . t = v
Correspondência entre os gráficos
Na figura acima, nota-se:
De t=0 a t=t • 1, o movimento é retrógrado (v<0
e s diminuindo) e retardado (v<0 e a>0) nos
gráficos à esquerda; no conjunto de gráficos
à direita, é progressivo (v>0 e s aumentando)
e retardado (v>0 e a<0).
Para t>t • 1, o movimento é progressivo (v>0 e
s aumentando) e acelerado (v>0 e a>0) nos
gráficos à esquerda; nos gráficos à direita, o
movimento é retrógrado (v<0 e s diminuindo)
e acelerado (v<0 e a<0).
(Unesp) Um veículo está rodando à velocidade de1.
36km/h numa estrada reta e horizontal, quando o
motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do
veículo se reduz uniformemente à razão de 4m/s em
cada segundo a partir do momento em que o freio foi
acionado, determine:
o tempo decorrido entre o instante do acionamentoa)
do freio e o instante em que o veículo para.
a distância percorrida pelo veículo nesse intervalob)
de tempo.
3
Solução: `
Em primeiro lugar, há que expressar a velocidadea)
em unidades SI: v0 = 36/3,6 =10m/s.
Agora, basta aplicar a equação da velocidade, le-
vando em conta que a velocidade final v é zero (o
veículo é freado até parar) e que a aceleração de
freagem é a = –4m/s2. Daí:
v = vo + at ou 0 = 10 – 4t, donde t = 10/4 = 2,5s.
Basta aplicar a equação de Torricelli:b)
v 2= v20 +2a s ou 02=102+2(–4).∆s, donde
8∆s = 100 e, portanto, ∆s = 12,5m. Sendo retilínea
a trajetória, a distância percorrida é igual ao deslo-
camento (variação de posição) ∆s.
(UFPE) Um veículo em movimento sofre uma desacele-2.
ração uniforme em uma pista reta, até parar. Sabendo-se
que, durante os últimos 9,0m de seu deslocamento,
a sua velocidade diminui 12m/s, calcule o módulo da
desaceleração imposta ao veículo, em m/s2.
Solução: `
Basta ter atenção ao enunciado da questão. Se nos úl-
timos 9,0m de seu deslocamento a velocidade diminui 
de 12m/s até parar, então v0 = 12m/s e v = 0. Aplicando 
Torricelli com ∆s = 9,0m, tem-se:
02 = 122 – 2a.9 
18a = 144, donde a = 8,0m/s 2.
(Unesp) Um rato, em sua ronda à procura de alimento,3.
está parado em um ponto P, quando vê uma coruja
espreitando-o. Instintivamente, ele corre em direção à
sua toca T, localizada a 42m dali, em movimento retilíneo
uniforme e com velocidade v = 7m/s. Ao ver o rato, a
coruja dá início à sua caçada, em um mergulho típico,
como o mostrado na figura.
Ela passa pelo ponto P, 4s após a partida do rato e a
uma velocidadede 20m/s.
Considerando a hipótese de sucesso do rato, ema)
quanto tempo ele atinge a sua toca?
Qual deve ser a aceleração média da coruja, a partirb)
do ponto P, para que ela consiga capturar o rato no
momento em que ele atinge a entrada de sua toca?
Solução: `
Considerando ser constante a velocidade do rato,a)
trata-se de MRU: s = v. t
t = s/v = 42/7,0 = 6,0s
Nesse caso, a coruja deverá voar em MRUA comb)
v0= 20m/s. Ela terá de percorrer uma distância
s = 42m num tempo de 6,0 – 4 = 2s (o rato con-
seguirá chegar à toca em 6,0s e a coruja chegou ao
ponto P 4s após a partida deste). Tem-se:
s = v0t + at
2/2
42 = 20(2)+4a/2 ou a = 1m/s2
(UERJ)4.
Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre
monociclo.
O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 20cm, e 
o movimento do equilibrista é retilíneo.
O monociclo começa a se mover a partir do repouso 
com aceleração constante de 0,50m/s2.
Calcule a velocidade média do equilibrista no trajeto 
percorrido nos primeiros 6,0s. 
Solução: `
Usando a equação da posição com v0 = 0, a = 0,50m/s
2 
e t = 6,0s, tem-se:
s = 0(6,0)+(0,50) (6,0)2/2 = 9,0m.
A velocidade média vale vm= s/ t = 9,0m/6,0s = 1,5m/s
De acordo com o Código de Trânsito Brasileiro, avançar5.
sinal vermelho de semáforo ou de parada obrigatória é
infração considerada gravíssima, com perda de 7 pontos
na carteira e multa de R$173,00.
O Sr. A. P. Sado conduzia seu automóvel a 144km/h
quando, subitamente, um semáforo, 450m à sua frente,
mudou de verde para amarelo.
Pela especificação do veículo, a velocidade máxima é de
216km/h, a potencialidade de aceleração é de 3,0m/s2 
e a de frenagem vale 4,0m/s2.
4
Considerando que o Sr. A. P. Sado leve 7s para reagir 
à inopinada situação, e que o semáforo permaneça 10s 
em alerta antes de exibir a luz vermelha, analise se esse 
motorista teve chance de evitar o avanço do sinal. 
Solução: `
O primeiro aspecto a considerar é o tempo dispo-a)
nível. Como o semáforo permanece 10s exibindo
alerta amarelo e o motorista leva 7s para reagir, res-
taram apenas 3s para tentar evitar a infração.
Durante o tempo de reação do motorista (7s),b)
o veículo percorreu em MRU uma distância
s0= v. t = (144/3,6).7 = (40).7 = 280m; assim, 
findo esse tempo, a distância do automóvel à faixa 
em que se situa o semáforo era de s = 450 – 280 
= 170m.
Uma das opções do motorista seria a de tentarc)
ultrapassar o sinal antes da luz vermelha, para o
quê deveria percorrer os 170m em MRUA com
v0 = 144km/h = 40m/s e aceleração a = 3,0m/s
2.
Daí: s = v0t + at
2/2
170 = 40t + 1,5t2 ou 1,5t2 + 40t – 170 = 0
t =
– 40 402 – (4)(1,5)(–170)
(2)(1,5)
t – 40 51, 1863 – 30,40; 3,729
Como se vê, se o motorista optou por essa linha de ação, 
avançou o sinal vermelho, pois seriam necessários 3,72s 
para chegar à faixa correspondente.
Outra opção seria a de frear o veículo, para o que sed)
deslocaria em MRUR com v0 =144km/h = 40m/s,
v = 0 e ∆s =170m. Daí, aplicando Torricelli:
v2 = (v0)
2+2a. s
02 =402+2a(170)
340a = –1 600
a = – 4,71m/s2
Vê-se, portanto, que o motorista somente conseguiria não 
avançar o sinal se imprimisse ao veículo uma desacele-
ração de 4,71m/s2, o que ultrapassa a potencialidade de 
frenagem do automóvel.
Pelo exposto, o Sr. A. P. Sado não teve chance de evitar 
o avanço do sinal.
(Unifesp) Em um teste, um automóvel é colocado em6.
MRUV acelerado a partir do repouso até atingir a ve-
locidade máxima. Um técnico constrói o gráfico onde
se registra a posição x do veículo em função de sua
velocidade v. Através desse gráfico, pode-se afirmar que
a aceleração do veículo é, em m/s2, igual a:
v(m/s)
1,5a)
2,0b)
2,5c)
3,0d)
3,5e)
Solução: ` B
Pelo gráfico, vê-se que a velocidade inicial v0 vale zero, 
a velocidade final v vale 6m/s e s = x vale 9m. Em 
virtude de não aparecer o tempo necessário à variação 
de posição s, isto é um indicativo da conveniência de 
empregarmos a equação de Torricelli. Daí:
v2 = v0
2 + 2a . s
62 = 02 + 2a . 9 ou 36 = 18a ou a = 2,0m/s2
(PUC) O gráfico representa a variação da velocidade,7. 
com o tempo, de um móvel em movimento retilíneo uni-
formemente variado.
A velocidade inicial do móvel e o seu deslocamento 
escalar de 0 a 5,0s valem, respectivamente;
–4,0m/s e – 5,0m a) 
–6,0m/s e – 5,0mb) 
4,0m/s e 25mc)
–4,0m/s e 5,0md) 
–6,0m/s e 25me) 
Solução: ` B
Os dois triângulos determinados pela reta de velocidade 
e o eixo dos tempos são semelhantes. Daí:
5,0 — 3,0
4,0 – 0,0
 = 3,0 — 0,0
0,0 – v0
 ou -2v0 = 12 ou v0=-6,0m/s.
5
Daí: s = ((40 +20)/2).20 = 600m.
Sendo t = 40s, vem vm = 600/40 = 15m/s
(Uerj-adap.)9.
Tempo (t) em 
segundos
Posição em metros
A B
0 -5 15
1 0 0
2 5 -5
3 10 0
4 15 15
Ao realizar um experimento, um físico anotou as posições 
de dois móveis A e B, elaborando a tabela acima. O móvel 
A estava em MRU; B deslocava-se em MRUV. 
Pede-se:
a distância, em metros, entre os móveis A e B, noa)
instante t = 6s;
a aceleração do móvel B;b)
o valor da velocidade inicial de B.c)
Solução: `
Distância d entre A e B em t = 6 s:
Pela tabela, vê-se que A se movimentava em MRU •
progressivo com velocidade vA = 5,0m/s e que sua
posição em t = 0 era S0 = –5m. Daí, aplicando a
equação das posições no MRU, obtém-se a posição
SA dele no instante t = 6s:
SA= S0+ vA t ou SA = –5 + 5 . 6 = 25m
Sabe-se que o gráfico das posições do móvel B cor- •
responde a uma parábola. Da tabela, vê-se que nos
instantes t = 1s e t = 3s a posição de B valia zero; ou
seja, os zeros da parábola são 1 e 3. Ainda, ela apre-
senta mínimo em (2,–5) e passa pelo ponto (0,15). A
figura abaixo mostra o gráfico dessa parábola:
A equação dessa parábola é: •
y = at2 + bt + c = a(t2 + (b/a) t + c/a).
Como -b/a é a soma S e c/a é o produto P dos zeros da 
parábola, tem-se:
Sabemos que as áreas dos triângulos entre a reta de velo-
cidade e o eixo dos tempos representam o deslocamento 
entre os instantes considerados. Daí:
De t = 0,0 a t = 3,0: s1 = (-6,0).(3,0–0,0)/2 = -9,0m 
De t = 3,0 a t = 5,0: s2 = (4,0).(5,0–3,0)/2 = 4,0m
Assim, o deslocamento s de t=0,0 a t=5,0 é tal que 
s = s1 s2= -9,0+4,0= –5,0m
(Unesp) Um veículo se desloca em trajetória retilínea8.
e sua velocidade em função do tempo é apresentada
na figura.
Identifique o tipo de movimento do veículo nos in-a)
tervalos de tempo de 0 a 10s, de 10 a 30s e de 30
a 40s, respectivamente.
Calcule a velocidade média do veículo no intervalob)
de tempo entre 0 e 40s.
Solução: `
De t = 0 a t = 10s, considerando que o gráfico v x t é 
um segmento de reta não-horizontal, trata-se de MRUV; 
ainda, por serem positivos os valores de v para valores 
de t diferentes de zero, tem-se movimento progressivo 
e, porque a intensidade da velocidade aumenta com o 
aumento do tempo, o movimento é acelerado. Assim, 
tem-se um MRUA progressivo.
De t = 10s a t = 30s, por ser horizontal o gráfico v x t, 
trata-se de MRU; ainda, porque a velocidade é positiva, 
o movimento é progressivo. Tem-se, então, um MRU
progressivo.
De t = 30s a t = 40s, o gráfico v x t é um segmento de 
reta descendente e, portanto, tem-se um MRUV. Ainda, 
porque os valores de v são positivos para t ≠ 40s, o mo-
vimento é progressivo e, finalmente, considerando que 
a intensidade da velocidade diminui com o aumento do 
tempo, o movimento é retardado. No intervalo conside-
rado tem-se, pois, um MRUR e progressivo.
Como já visto, velocidade escalar média é o deslocamen-
to do corpo móvel dividido pelo tempo para isso gasto; 
ou seja, Vm = 
 s
t
 , onde vm é velocidade média, s o 
 deslocamento e t o tempo despendido para realizar 
esse deslocamento.
O deslocamento é a área sob o gráfico v x t (área do 
trapézio: semissoma das bases x altura). 
6
y = a (t2 – St + P) = a (t2 – 4t + 3) = at2 – 4at + 3a.
Pela equação das posições no MRUV, no entanto, sabe-
se que:
s = (a’/2)t2 + v0t + s0 = (a’/2)t
2 + v0t +15, onde a’ é a 
aceleração do corpo móvel.
Comparando as duas equações, tira-se que 
3a = 15 e a = 5, donde a equação da parábola fica 
y = at2 – 4at + 3a= 5t2 — 20t + 15 e a das posições do 
móvel B fica sB = 5t
2 – 20t + 15. Daí, em t = 6 s, a posição 
de B era sB = 5 (6
2) – 20 . 6 + 15 = 75m.
A distância entre A e B em t = 0 era, pois, •
d = sB-sA=75 – 25 = 50m.
Aceleração a’ do móvel B:a)
Comparando ainda as duas equações acima, tem-se
a’/2 = 5, donde a’ = 10m/s2.
Velocidade inicial vb) 0 de B:
Ainda levando em conta as duas equações do item
a, tira-se por comparação que v0 = –20m/s.
(Unificado) Um automóvel partindo do repouso leva1.
5,0s para percorrer 25m em MUV. A velocidade final
do automóvel é de:
5,0m/sa)
10m/sb)
15m/sc)
20m/sd)
25m/se)
(Fuvest) Um veículo parte do repouso em movimento2.
retilíneo e acelera a 2m/s2. Pode-se dizer que sua velo-
cidade e a distância percorrida, após 3 segundos, valem,
respectivamente:
6m/s e 9ma)
6m/s e 18mb)
3m/s e 12mc)
12m/s e 36md)
2m/s e 12me)
(UEL) Um móvel efetua um movimento retilíneo uni-3.
formemente variado obedecendo à equação horária
s =10 + 10t – 5,0t2, onde o espaço é medido em metros
e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no
instante t = 4,0s, em m/s, vale:
50a)
20b)
0c)
– 20d)
– 30e)
(Mackenzie) Um trem de 120m de comprimento se deslo-4.
ca com velocidade escalar de 20m/s. Esse trem, ao iniciar a
travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo com-
pletamente da mesma 10s após, com velocidade escalar de
10m/s. O comprimento da ponte é de:
150ma)
120mb)
90mc)
60md)
30me)
(UFSC) Um carro parte do repouso com uma aceleração5.
constante de 4m/s2. Sua velocidade média durante os
três primeiros segundos será de:
12km/ha)
21,6km/hb)
17,6km/hc)
15,2km/hd)
16km/he)
(FOA-RJ) Se a velocidade de um móvel passa uni-6.
formemente de 10m/s para 30m/s em 8,0 segundos,
determine o deslocamento que o móvel realizou.
50,0ma)
120mb)
140mc)
160md)
280me)
(Uerj) Utilize os dados abaixo para responder às questões7.
a seguir.
Durante um experimento, um pesquisador anotou as
posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela
abaixo.
O movimento de A é uniforme e o de B é uniformemente 
variado. 
7
A aceleração do móvel B é, em m/sa) 2, igual a:
2,5a)
5,0b)
10,0c)
12,5d)
b) A distância, em metros, entre os móveis A e B, no
instante t = 6s, é de:
45a)
50b)
55c)
60d)
(UFRJ) Numa competição automobilística, um carro se8.
aproxima de uma curva em grande velocidade. O piloto,
então, pisa no freio durante 4s e consegue reduzir a
velocidade do carro para 30m/s. Durante a freada o
carro percorre 160m.
Supondo que os freios imprimam ao carro uma aceleração
retardadora constante, calcule a velocidade do carro no
instante em que o piloto pisou no freio.
(PUC–Minas) Um foguete partindo do repouso atinge a9.
velocidade de 6 000m/s em 2 minutos. Determinar:
a aceleração média.a)
a velocidade após 0,5 minutos.b)
a distância percorrida nesse tempo.c)
(Unesp) O tempo de reação (intervalo de tempo entre10.
o instante em que uma pessoa recebe uma informação
e o instante em que reage) de certo motorista é 0,70s;
e os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo à
razão máxima de 5m/s em cada segundo.
Supondo que esteja dirigindo à velocidade constante
de 10m/s, determine:
o tempo mínimo decorrido entre o instante em quea)
avista algo inesperado, que o leva a acionar os freios,
até o instante em que o veículo para.
a distância percorrida nesse tempo.b)
(UEL) Nos gráficos abaixo, v representa a velocidade e11.
t o tempo para um movimento.
t
v(I)
t
v(II) tv(III) tv(IV)
A aceleração é positiva apenas nos gráficos: 
I e IIIa)
II e IIIb)
III e IVc)
I, II e IIId)
I, II e IVe)
(UFRJ) Um carro acelerado uniformemente a partir do12.
repouso, atinge uma determinada velocidade, mantida
constante até ser freado uniformemente e parar num
sinal. Considerando os gráficos abaixo, identifique
aquele que melhor representa a posição do carro em
função do tempo.
a)
t
x
b) 
t
x
c) 
t
x
d) 
t
x
e) 
t
x
(Unesp) O gráfico mostra como varia a velocidade de13.
um móvel em função do tempo, durante parte do seu
movimento.
t
v
0
O movimento representado pelo gráfico pode ser o de 
uma:
esfera que desce por um plano inclinado e continuaa)
rolando por um plano horizontal.
criança deslizando num escorregador de um par-b)
que infantil.
fruta que cai de uma árvore.c)
composição de metrô, que se aproxima de uma es-d)
tação e para.
bala no interior do cano de uma arma logo após oe)
disparo.
(PUC-Rio) As posições sucessivas de duas bolas, em14.
intervalos de tempo iguais, estão representadas e nu-
meradas no diagrama abaixo. As bolas se movimentam
para a direita.
8
1
bola A
2 3 4 5 6
1 65432
bola B
Indique a afirmativa correta.
Aceleração da bola A = aceleração da bola B = 0.a)
Aceleração da bola B > aceleração da bola A = 0.b)
Aceleração da bola A > aceleração da bola B > 0.c)
Aceleração da bola A = aceleração da bola B > 0.d)
Aceleração da bola B > aceleração da bola A > 0.e)
(Unificado) A figura abaixo representa o gráfico da15.
velocidade em função do tempo do movimento de uma
partícula. Qual das equações abaixo pode representar
como varia a posição x, em metros, em função do tempo
t em segundos?
t (s)
v (m/s)
2,0
4,0
6,0
8,0
1,0 2,0 3,0
x = 2ta) 2 + t
x = tb) 2 + 2t
x = tc) 2 + t
x = 2t + 2d)
x = t + 2e)
(UFRJ) As ciclistas Paula e Sandra treinavam para uma16.
competição em uma pista plana e retilínea. No instante em
que Paula começou a se mover, Sandra passou por ela.
O gráfico descreve o movimento das ciclistas.
5
10
15
5 10 15 20 25 30
tempo (s)
ve
lo
ci
da
de
 (
m
/s
)
Sandra
Paula
0
Considerando as informações fornecidas, assinale a 
opção que indica a distância percorrida por Paula até 
alcançar Sandra e em quanto tempo isso ocorreu.
25m; 10sa)
50m; 10sb)
50m; 20sc)
1,0 . 10d) 2 m; 10s
1,0 . 10e) 2 m; 20s
(UFJF-MG) Na figura abaixo, representamos a velocidade,17.
em cada instante de tempo t , de um carro de Fórmula 1.
Assinale o item que melhor representa o gráfico da
aceleração em função do tempo.
t
v
a) 
t
a
b) 
t
a
c) t
a
d) 
t
a
e) 
t
a
(Cefet–RJ) No túnel Rebouças, primeira galeria, sentido18.
Sul-Norte, a velocidade limite é de 90km/h. Um veículo
entra nessa galeria com velocidade escalar de 36km/h e,
durante 10s, mantém uma aceleração escalar constante,
atingindo a velocidade escalar de 90km/h, que perma-
nece a mesma por mais 75s, até a saída da galeria.
Qual das opções a seguir representa o gráfico v x t para o
veículo e o comprimento da galeria, calculado pelo
motorista?
a)
t (s)
v (km/h)
10 85
36
90
0
b) 
t (s)
v (km/h)
10 85
36
90
0
c) 
t (s)
v (km/h)
10 85
36
90
0
9
d) 
t (s)
v (km/h)
10 85
36
90
0
e) 
t (s)
v (km/h)
10 85
36
90
0
(Unesp) A figura representa o gráfico velocidade x 19. 
tempo do movimento retilíneo de um móvel.
t (s)
v (m/s)
90
0 10 20 30 40 50
Qual o deslocamento total desse móvel?a)
Esboce o gráfico posição x tempo correspondente,b)
supondo que o móvel partiu da origem.
(Unicamp) O gráfico (v X t) de um atleta inexperiente20.
numa corrida de São Silvestre é mostrado na figura:
t (h)
v (km/h)
24,0
0 0,3 0,8
I II
Calcule a aceleração do atleta nos trechos I e II.a)
Calcule o espaço percorrido pelo atleta desde queb)
começou a correr até parar.
(AFA) Um corpo movimenta-se sobre uma reta, e sua1.
posição, em metros, é dada em função do tempo, em
segundos, pela equação s = 7 + 6 t – 2t2. O instante
em que o corpo inverte o sentido do movimento e a sua
velocidade no instante t = 4s são, respectivamente:
0 e 7.a)
– 4 e 1.b)
1,5 e – 10.c)
0,6 e – 20.d)
(UFF) A tabela abaixo registra as posições X, em diferen-2.
tes instantes de tempo t de uma partícula que descreve
um movimento retilíneo uniformemente acelerado:
t(s)
X(m)
0,0
10,0
3,0
-11,0
6,0
-14,0
9,0
1,0
A aceleração da partícula, em m/s2, é:
1,0a)
1,5b)
2,0c)
3,5d)
7,0e)
(USS) Observe a foto estroboscópica do movimento de3.
uma esfera de aço num plano horizontal.
0 5,0cm 20cm 45cm x
movimento
Considerando que o movimentoé uniformemente 
acelerado, o valor correto da posição x é:
60cma)
70cmb)
80cmc)
90cmd)
95cme)
(Unificado) A figura representa a trajetória circular4.
percorrida por uma partícula em movimento uniforme-
mente acelerado no sentido da seta. A partícula sai do
ponto 1, no instante zero, com velocidade inicial nula.
No instante t ela passa pelo ponto 2, pela primeira vez
desde o início do movimento. No instante 3t, a partícula
estará no ponto:
4 3
25
1
1a)
2b)
3c)
4d)
5e)
(Uerj) O movimento uniformemente acelerado de5.
um objeto pode ser representado pela seguinte pro-
gressão aritmética:
7, 11, 15, 19, 23, 27...
Esses números representam os deslocamentos, em 
metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Portanto, 
a função que descreve a posição desse objeto é: 
3t + 4ta) 2
10
5t + 2tb) 2
1 + 2t + 4tc) 2
2 + 3t + 2td) 2
(ITA) Um passageiro atrasado está correndo a 8,0m/s,6.
30m atrás do último vagão de um trem no instante em
que este começa a se movimentar com uma aceleração
escalar de 1,0m/s2. Pode-se afirmar que:
a velocidade do passageiro é insuficiente para alcan-a)
çar o trem.
o passageiro alcança o trem após 4,3s.b)
o passageiro alcança o trem após 6,0s.c)
o passageiro alcança o trem após 4,0s.d)
o passageiro alcança o trem após 5,0s.e)
(Fuvest) Um ciclista A inicia uma corrida a partir do7.
repouso, acelerado a 0,50m/s2. Nesse instante passa
por ele outro ciclista B, com velocidade constante de
5,0m/s e no mesmo sentido que o ciclista A.
Depois de quanto tempo após a largada o ciclistaa)
A alcança o B?
Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ci-b)
clista B?
(Unicamp) Um automóvel trafega com velocidade8.
constante de 12m/s por uma avenida e se aproxima de
um cruzamento onde há um semáforo com fiscalização
eletrônica. Quando o automóvel se encontra a uma
distância de 30m do cruzamento, o sinal muda de ver-
de para amarelo. O motorista deve decidir entre parar
o carro antes de chegar ao cruzamento ou acelerar o
carro e passar pelo cruzamento antes do sinal mudar
para vermelho. Esse sinal permanece amarelo por 2,2s.
O tempo de reação do motorista (tempo decorrido entre
o momento em que o motorista vê a mudança de sinal e
o momento em que realiza alguma ação) é 0,5s.
Determine a mínima aceleração constante que oa)
carro deve ter para parar antes de atingir o cruza-
mento e não ser multado.
Calcule a menor aceleração constante que o carrob)
deve ter para passar pelo cruzamento sem ser mul-
tado. Aproxime 1,7 3,0.
(Unicamp) Um automóvel e um caminhão, admitidos9.
como pontos materiais, partem do repouso no mesmo
instante e no mesmo sentido. Inicialmente, o automóvel
está a uma certa distância atrás do caminhão. As acelera-
ções escalares são, em módulo, 1,0m/s2 para o caminhão
e 1,8m/s2 para o automóvel. O automóvel alcança o cami-
nhão após este haver percorrido 50m. Pedem-se:
O tempo que o automóvel leva para alcançar o ca-a)
minhão.
A distância a que estava o automóvel atrás do ca-b)
minhão, no instante da partida.
As velocidades do automóvel e do caminhão quan-c)
do emparelhados.
(UFRJ-Biotec) Um carro está se movendo a 72km/h10.
(20m/s). No instante em que ele se encontra a 38m de
um cruzamento, acende o sinal amarelo, cuja duração
é 2,0s. Nessa velocidade, o carro tem uma capacidade
máxima de aceleração de 2,0m/s2 e pode frear, no
máximo, à razão de 3,0m/s2. O cruzamento tem 10m de
largura, como mostra a figura.
10m38m
20m/s
Considere o carro como uma partícula e a reação do 
motorista instantânea. 
Verifique se, acelerando ou freando, o motorista consegue 
evitar que o carro se encontre no cruzamento com o sinal 
fechado. Justifique sua resposta.
(FEI) Um móvel parte de um certo ponto com um movi-11.
mento que obedece à seguinte lei horária: s = 4t2, válida
no SI; s é a abscissa do móvel e t o tempo. Um segundo
depois, parte um outro móvel do mesmo ponto do pri-
meiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma
trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse
segundo móvel a fim de encontrar o primeiro?
(PUC-Rio) Uma pessoa inicialmente no ponto P, no12.
desenho abaixo, fica parada por algum tempo e então
se move ao longo do eixo para o ponto Q, onde fica
por um momento. Ela, então, corre rapidamente para R,
onde fica por um momento e depois volta lentamente
para o ponto P.
0 1 2 3 4
RQ P
(m)
Qual dos gráficos abaixo melhor representa a posição 
da pessoa em função do tempo?
a) 
b)
11
c) 
d) 
e) 
(UFRJ) O gráfico posição 13. versus tempo do movimento
de uma partícula é representado por arcos de parábola
consecutivos, conforme a figura:
0
S
t
A opção que melhor representa o correspondente 
gráfico velocidade-tempo é:
a) 
t
v
0
b) 
t
v
0
c) 
t
v
0
d) 
t
v
0
e) 
t
v
0
(UFJF) A figura abaixo é o gráfico da posição x, em14.
função do tempo, para um corpo de massa m cons-
tante, movendo-se sobre uma linha reta e partindo do
repouso.
0
x (m)
t1 t2
segmento de 
parábola
t (s)
O par de gráficos que pode representar, respectivamente, 
a velocidade e a aceleração atuante no corpo, entre 0 e 
t2, de maneira inquestionável é:
a) 
t (s)
v (m/s)
t1 t20
t (s)
a (m/s2)
t1 t20
b) 
t (s)
v (m/s)
t1 t20
t (s)
a (m/s2)
t1 t20
c) 
t (s)
v (m/s)
t1 t20
t (s)
a (m/s2)
t1 t20
d) 
t (s)
v (m/s)
t1 t20
t (s)
a (m/s2)
t1 t20
e) 
t (s)
v (m/s)
t1 t20
t (s)
a (m/s2)
t1 t20
(UFRS) No gráfico está representada a posição de um15.
móvel que se desloca ao longo de uma reta, em função
do tempo. A velocidade inicial e a aceleração do móvel
valem, respectivamente:
0
s (m)
4 8
t (s)
10
5m/s e –1,25m/sa) 2
2,5m/s e 1,25m/sb) 2
5m/s e 0,75m/sc) 2
5m/s e –1,5m/sd) 2
2,5m/s e 2m/se) 2
(UFRJ) O gráfico abaixo mostra como variam as velocida-16.
des de dois carrinhos que se movem sobre trilhos paralelos.
No instante de tempo t = 0s, os dois estavam empare-
lhados. A alternativa que indica o instante em que os
carrinhos voltam a ficar lado a lado é:
0
v (m/s)
2 4
t (s)
1
1 3
3
12
1sa)
2sb)
3sc)
4sd)
5se)
(Fuvest) O gráfico indica a velocidade escalar de um17.
animal de corrida desde o instante de partida (t = 0)
até a chegada final (t = 100s). As acelerações escalares
nos trechos I e III são iguais. A velocidade escalar no
trecho II é constante (6,0m/s).
0
v (m/s)
20
t (s)
60 80 100
6,0
40
I
II
III
Qual é a velocidade escalar no instante de chegada?a)
Qual é a distância total percorrida?b)
(Unesp) No diagrama está representada a posição18.
em função do tempo (parábola), de um móvel que se
desloca ao longo do eixo x.
0
x (m)
2,0
t (s)
10
4,0 8,06,0
Determine:
A velocidade escalar inicial e a aceleração escalar.a)
A velocidade escalar no instante t = 6,0s.b)
A função x = f(t).c)
A distância percorrida entre os instantes 0 e 8,0s.d)
(Fuvest) Um metrô parte de uma estação com acele-19.
ração uniforme, até atingir, após 10s, a velocidade de
90km/h, que é mantida durante 30s. Então, desacelera
uniformemente durante 10s, até parar na estação se-
guinte.
Represente graficamente a velocidade em funçãoa)
do tempo.
Calcule a distância entre as duas estações.b)
(Uerj) A distância entre duas estações de metrô é igual a20.
2,52km. Partindo do repouso na primeira estação, um
trem deve chegar à segunda estação em um intervalo
de tempo de três minutos. O trem acelera com uma taxa
constante até atingir sua velocidade máxima no trajeto,
igual a 16m/s. Permanece com essa velocidade por um
certo tempo. Em seguida, desacelera com a mesma taxa
anterior até parar na segunda estação.
Calcule a velocidade média do trem, em m/s.a)
Esboce o gráfico da velocidade X tempo e calculeb)
o tempo gasto para alcançar a velocidade máxima,
em segundos.
(UFRJ-Biotec) Duas partículas se deslocam ao longo21.
de uma mesma trajetória. A figura abaixo representa,
em gráfico cartesiano, como suas velocidades variam
em função do tempo.
0
v (m/s)
2
t (s)
4
Suponha que no instante em que se iniciaram as 
observações (t = 0) elas se encontravam na mesma 
posição.
Determineo instante em que elas voltam a se en-a)
contrar.
Calcule a maior distância entre elas, desde o instan-b)
te em que se iniciaram as observações até o instan-
te em que voltam a se encontrar.
(Enem) Um sistema de radar é programado para registrar22.
automaticamente a velocidade de todos os veículos tra-
fegando por uma avenida, onde passam em média 300
veículos por hora, sendo 55km/h a máxima velocidade
permitida. Um levantamento estatístico dos registros do
radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de
veículos de acordo com sua velocidade aproximada.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Velocidade (km/h)
5
15
40
30
6
3 1
Ve
íc
ul
os
 (
%
)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
A média das velocidades dos veículos que trafegam 
nessa avenida é de:
35km/ha)
44km/hb)
55km/hc)
76km/hd)
85km/he)
Um veículo parte do repouso e acelera uniformemente23.
até percorrer 120m, levando o tempo de 2t nesse trecho.
A seguir segue durante 4t com velocidade constante e
finalmente freia com aceleração escalar constante du-
rante 3t, até parar. Determine a distância total percorrida
pelo veículo.
13
B1.
A2.
E3.
E4.
B5.
D6.
7.
Ca)
Bb)
v8. 0=50m/s
9.
50m/sa) 2
1 500m/sb)
∆c) s = 22 500m
10. 
2,7sa)
17mb)
A11.
C12.
D13.
B14.
B15.
E16.
C17.
2 050m18.
19.
2 250ma)
b)
2 250
1 350
s
14
20. 
aa) I = 80km/h
2; aII = –48km/h
2
9,6kmb)
C1.
C2.
C3.
B4.
B5.
C6.
7.
t = 20sa)
10m/sb)
8. 
– 3,0m/sa) 2
2,4m/sb) 2
9. 
t = 10sa)
db) A = 40m
Vc) A = 18m/s; VB = m/s
O motorista não consegue evitar passar com o sinal10.
fechado; nem acelerando, nem freando.
v = 16m/s11.
B12.
A13.
B14.
A15.
D16.
17.
12m/sa)
600mb)
18. 
Va) 0 = 5m/s a = –1,25m/s
2
–2,5m/sb)
x = 5t –c)
2
t25,1 2
20md)
19. 
a)
b) 1 000m ou 1km
20. 
14m/sa)
b) t1 = 22,5s
21. 
t = 4sa)
4mb)
B22.
780m23.
15
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