LIMITES E DERIVADAS

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LIMITES E DERIVADAS 
Limites e derivadas são conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral, que permitem estudar o comportamento e a variação das funções. Neste texto, vamos explicar de forma simples e clara o que são limites e derivadas, como calcular e aplicar esses conceitos em problemas práticos. Além disso, vamos apresentar 10 exercícios resolvidos e 3 referências bibliográficas para aprofundar o seu conhecimento.
Um limite é uma forma de avaliar como uma função se aproxima de um determinado valor, sem necessariamente atingi-lo. Por exemplo, se quisermos saber como a função f(x) = 1/x se comporta quando x se aproxima de zero, podemos usar o conceito de limite. O limite de f(x) quando x tende a zero é infinito, pois quanto menor for o valor de x, maior será o valor de f(x). Podemos escrever isso da seguinte forma:
lim f(x) = ∞
x→0
Uma derivada é uma forma de medir a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Por exemplo, se quisermos saber qual é a velocidade de um carro em um determinado instante, podemos usar o conceito de derivada. A derivada de uma função f(x) em relação a x é uma nova função f'(x) que indica o coeficiente angular da reta tangente à curva de f(x) em cada ponto. Podemos calcular a derivada usando a definição formal com limites ou usando regras básicas de derivação. A definição formal é:
f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h
h→0
As regras básicas de derivação são:
- Derivada de uma constante: f(x) = c ⇒ f'(x) = 0
- Derivada da potência: f(x) = x^n ⇒ f'(x) = n x^(n-1)
- Derivada da soma: f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x)
- Derivada do produto: f(x) = g(x) h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x)
- Derivada do quociente: f(x) = g(x) / h(x) ⇒ f'(x) = [g'(x) h(x) - g(x) h'(x)] / [h(x)]^2
- Derivada da função composta: f(x) = g(h(x)) ⇒ f'(x) = g'(h(x)) h'(x)
Exercícios resolvidos:
1) Calcule o limite de f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) quando x tende a 2.
Resolução:
lim f(x) = lim (x^2 - 4)/(x - 2)
x→2 x→2
lim f(x) = lim [(x - 2)(x + 2)]/(x - 2)
x→2 x→2
lim f(x) = lim (x + 2)
x→2
lim f(x) = 2 + 2
lim f(x) = 4
2) Calcule o limite de f(x) = sen (x)/x quando x tende a zero.
Resolução:
lim f(x) = lim sen (x)/x
x→0 x→0
Esse limite não pode ser calculado diretamente, pois temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver esse problema, podemos usar o teorema de L'Hôpital, que diz que se temos um limite do tipo 0/0 ou ∞/∞, podemos calcular a derivada do numerador e do denominador e aplicar o limite novamente. Assim:
lim f(x) = lim [f'(x)]/[g'(x)]
x→0 x→0
Onde f'(x) é a derivada de sen (x), que é cos (x), e g'(x) é a derivada de x, que é 1. Então:
lim f(x) = lim cos (x)/1
x→0 x→0
lim f(x) = cos (0)/1
lim f(x) = 1/1
lim f(x) = 1
3) Calcule a derivada da função f(x) = x^3 - 5 x + 2.
Resolução:
Usando a regra da potência e da soma, temos:
f'(x) = [d/dx (x^3)] - [d/dx (5 x)] + [d/dx (2)]
f'(x) = [3 x^(3-1)] - [5 d/dx (x)] + [d/dx (2)]
f'(x) = [3 x^2] - [5] + [0]
f'(x) = 3 x^2 - 5
4) Calcule a derivada da função f(x) = (3 x - 1)^4.
Resolução:
Usando a regra da função composta e da potência, temos:
f'(x) = [d/d(3 x - 1)][(3 x - 1)^4] [d/dx (3 x - 1)]
f'(x) = [4 (3 x - 1)^3] [d/dx (3 x - 1)]
f'(x) = [4 (3 x - 1)^3] [3]
f'(x)=12(3 x-1)^3
5)
Calcule a derivada da função f(x)=sen(2 x).
Resolução:
Usando a regra da função composta e da derivada do seno, temos:
f′(𝑥)=𝑑/𝑑(𝑠𝑒𝑛(2 𝑥))[𝑠𝑒𝑛(2 𝑥)] 𝑑/𝑑𝑥(2 𝑥)
f′(𝑥)=cos(2 𝑥)[𝑑/𝑑𝑥(2 𝑥)]
f′(𝑥)=cos(2 𝑥)[2]
f′(𝑥)=2 cos(2 𝑥)
6)
Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥)=ln(𝑥^2+1).
Resolução:
Usando a regra da função composta e da derivada do logaritmo natural, temos:
f′(𝑥)=𝑑/𝑑(ln(𝑥^2+1))[ln(𝑥^2+1)] 𝑑/𝑑𝑥(𝑥^2+1)
f′(𝑥)=1/(𝑥^2+1)[𝑑/𝑑𝑥(𝑥^2+1)]
f′(𝑥)=1/(𝑥^2+1)[2 𝑥]
f′(𝑥)=2 𝑥/(𝑥^2+1)
7)
Calcule a derivada da função 𝑓(𝑐)=√c/(c−4).
Resolução:
Usando a regra do quociente e da raiz quadrada, temos:
f′(c)=(c−4)[d/dc (√c)]−√c[d/dc(c−4)]/(c−4)^2
f′(c)=(c−4)[12√c]−√c[1]/(c−4)^2
f′(c)=(c−42√c−√c)/(c−4)^212√c
f′(c)=(c−6√c)/(c−4)^212√c