0.MA.Elemento Textual - Física Geral e Experimental I (2)

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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I 
Mauro Noriaki Takeda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 CINEMÁTICA ........................................................................................ 3 
2 DINÂMICA ......................................................................................... 28 
3 ENERGIA ............................................................................................ 45 
4 ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS ........................................................ 62 
5 ÓPTICA GEOMÉTRICA ........................................................................ 86 
6 ÓTICA FÍSICA.................................................................................... 113 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 CINEMÁTICA 
Olá aluno! 
Cinemática é a parte da Física que estuda o movimento de um corpo sem se preocupar 
com as causas desse movimento, ou seja, descreve os movimentos através da 
velocidade, tempo, deslocamento, aceleração, posição. Veremos o que é movimento 
retilíneo uniforme, ou simplesmente movimento uniforme, o que caracteriza um 
movimento retilíneo uniformemente variado e as grandezas envolvidas em um 
movimento circular uniforme. 
1.1 Contexto histórico do movimento 
O homem desde o início da civilização tenta encontrar explicações para os fenômenos 
que ocorrem ao seu redor. Os gregos através da Filosofia foram os primeiros a explicar 
de maneira sistemática esses fenômenos. 
Muitos filósofos gregos como Demócrito, Arquimedes, Aristarco, primeiro a expor a 
ideia de que a Terra gira ao redor do Sol, Aristóteles que desenvolveu a teoria do 
geocentrismo e aperfeiçoada por Ptolomeu. 
O Renascimento foi um período de muita atividade científica e muitos conceitos 
básicos foram alterados. Foi nesse período que através de Copérnico a teoria do 
Geocentrismo foi substituída pelo Heliocentrismo. Ideia essa adotada e aperfeiçoada 
por Giordano Bruno, Johannes Kepler e Galileu. Galileu realizou estudos no ramo da 
Mecânica, como a do movimento uniformemente acelerado e da queda livre. 
No movimento cultural denominado Iluminismo destacassem René Descartes e Isaac 
Newton, considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos. Isaac Newton 
sintetizou o trabalho, principalmente de Galileu e Kepler, criando leis básicas que 
regem os fenômenos da Mecânica publicado no livro Princípios Matemáticos da 
Filosofia Natural, destacando-se as três leis de Newton. 
 
, 
 
 
4 
 
1.2 Conceitos básicos da cinemática 
Para entendermos os movimentos estudados na cinemática são necessários 
conhecermos os conceitos básicos da cinemática. 
1.2.1 Ponto Material e Corpo Extenso 
Ponto material ou partícula é todo corpo cujas dimensões podem ser desprezadas 
durante o estudo do movimento, ou seja, a sua dimensão é insignificante em relação 
as dimensões envolvidas. Por exemplo um carro efetuando uma viagem através de 
uma rodovia. Observe que a dimensão do carro é insignificante em relação ao 
comprimento da rodovia. Quando o ponto material ou partícula está em movimento é 
chamado de móvel. 
 
Corpo extenso é todo corpo cuja dimensão não pode ser desprezada em relação as 
dimensões envolvidas. Por exemplo um carro manobrando em uma garagem. Nesse 
caso a diferença entre os tamanhos de ambos é pequena. 
, 
 
 
5 
 
 
1.2.2 Referencial ou Sistema de Referência 
É qualquer objeto ou sistema de coordenadas em relação ao qual se considera a 
situação de um ponto material estar em movimento ou em repouso. 
1.2.3 Trajetória 
Quando um móvel (partícula em movimento) vai de um ponto a outro, ele passa por 
infinitos pontos. 
 
 
 
A linha geométrica formada pela união desses infinitos pontos ocupados pela partícula 
em movimento (móvel) em relação a um dado referencial é chamada de trajetória, e 
representa o caminho descrito pela partícula em movimento. 
 
 
 
A 
B 
A 
B 
trajetória 
, 
 
 
6 
 
A trajetória é um conceito relativo pois depende de um referencial, desse modo, pode 
ser retilínea, curvilínea, parabólica, circular, helicoidal, etc. 
1.2.4 Posição 
Considere a trajetória retilínea representada através do eixo x marcado com unidades 
de comprimento (cm, m, km), com origem no ponto 0 (zero). O sentido positivo é o 
sentido em que os valores aumentam e o sentido negativo é o sentido em que os 
valores diminuem. 
 
Localizar um móvel significa identificar a posição do móvel sobre o eixo x. No instante 
inicial t1 o móvel se encontra na posição x1 = −5 m e no instante t2 o móvel se encontra 
na posição x2 = 20 m. 
 
Isso significa que a posição (1) se encontra a 5 m da origem no sentido negativo e a 
posição (2) encontra-se a 20 m da origem no sentido positivo. 
1.2.5 Movimento e Repouso 
O conceito de movimento e repouso é relativo, ou seja, depende do referencial que é 
escolhido. Vamos considerar um passageiro sentado em um banco de um ônibus que 
se encontra em movimento em relação a rodovia. Nessa situação o passageiro 
encontra-se em movimento juntamente com o ônibus. Agora, se considerarmos o 
mesmo passageiro em relação ao motorista do ônibus por exemplo, o passagei ro 
encontra-se em repouso. Desse modo a mesma partícula pode se encontrar em 
repouso ou em movimento de acordo com o referencial adotado. 
, 
 
 
7 
 
Podemos dizer que um corpo se encontra em movimento quando a sua posição varia 
(aproxima ou afasta) no decorrer do tempo em relação ao referencial e se encontra em 
repouso quando o corpo mantém a mesma posição no decorrer do tempo em relação 
ao referencial. 
1.2.6 Deslocamento 
Considere um móvel se deslocando da posição (x1) até a posição (x2) da trajetória 
indicada na figura. 
 
A uma mudança de posição de um móvel sobre uma trajetória da posição x1 para a 
posição x2 é associado um deslocamento ∆x dado por: 
∆𝐱 = 𝐱𝟐 − 𝐱𝟏 
No exemplo o deslocamento corresponde a: 
∆𝐱 = 𝟐𝟎 − (−𝟓) 
∆𝐱 = 𝟐𝟎 + 𝟓 
∆𝐱 = 𝟐𝟓 𝐦 
Agora considere um móvel que se desloca da posição (x1) até a posição (x2) e em 
seguida até a posição (x3) sobre uma trajetória. 
 
A distância percorrida para ir da posição (x1) até a posição (x3) é igual a distância 
percorrida para ir de (x1) até (x2) que é de 25 m, mais a distância para ir de (x2) até (x3) 
que é de 10 m, ou seja: 
 
, 
 
 
8 
 
𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐩𝐞𝐫𝐜𝐨𝐫𝐫𝐢𝐝𝐚 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟎 
𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐩𝐞𝐫𝐜𝐨𝐫𝐫𝐢𝐝𝐚 = 𝟑𝟓 𝐦 
O deslocamento nesse caso corresponde a: 
∆𝐱 = 𝟏𝟎 − (−𝟓) 
∆𝐱 = 𝟏𝟎 + 𝟓 
∆𝐱 = 𝟏𝟓 𝐦 
Observe que o deslocamento envolve apenas as posições inicial e final, sendo a 
distância percorrida irrelevante, sendo nesse caso diferentes. O deslocamento e a 
distância percorrida somente serão iguais quando o móvel estiver se deslocando e um 
único sentido em uma trajetória retilínea. 
O deslocamento é uma grandeza vetorial, portanto, possui um módulo, que é a 
distância entre a posição inicial e final, e uma orientação, que é a direção e o sentido 
de uma reta que liga a posição inicial à posição final. É importante saber a diferença 
entre deslocamento e distância percorrida. 
1.2.7 Velocidade média 
A velocidade vetorial média ou simplesmente velocidade média de um móvel é 
definida como a razão entre o deslocamento ∆x de um móvel e o intervalo de tempo 
∆t durante o qual ocorre o deslocamento. 
𝐯𝐦 =
∆𝐱
∆𝐭
 
ou 
𝐯𝐦 =
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
 
 
 
 
, 
 
 
9 
 
na qual: 
vm é a velocidade vetorial média 
x2 é a posição final 
x1 é a posição inicial 
t2 é o tempo final 
t1 é o tempo inicial 
Quando queremos determinar com que rapidez um móvel se movimentou, associamos 
outra grandeza que é a velocidade escalar média que é definida como a distância total 
percorrida d dividida pelo intervalo de tempo necessário para percorrer a distância. 
 
𝝂𝐦é𝐝 =
𝐝
∆𝐭
 
na qual 
𝝂𝐦 é a velocidade escalar média 
d é a distância total percorrida 
∆t é o intervalo de tempo 
Exemplo: 
Encontre o deslocamento, a velocidademédia, a distância total percorrida e a 
velocidade escalar média de um carro que vai da cidade A até a cidade C em 2 h 
passando pela cidade B. 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Deslocamento: 
Observe que a posição inicial é em A e a posição final é em C, portanto o deslocamento 
Δx corresponde a distância de A a C conforme representado na figura . 
Podemos observar pela figura que o deslocamento corresponde a hipotenusa no 
triângulo retângulo de cateto 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ medindo 30 km e cateto 𝐁𝐂̅̅ ̅̅ medindo 40 km. 
Aplicando o teorema de Pitágoras determinamos o deslocamento. 
(∆𝐱)𝟐 = 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ 𝟐 + 𝐁𝐂̅̅ ̅̅ 𝟐 
(∆𝐱)𝟐 = 𝟑𝟎𝟐 + 𝟒𝟎𝟐 
(∆𝐱)𝟐 = 𝟗𝟎𝟎 + 𝟏𝟔𝟎𝟎 
, 
 
 
11 
 
(∆𝐱)𝟐 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 
∆𝐱 = √𝟐𝟓𝟎𝟎 
∆𝐱 = 𝟓𝟎 𝐤𝐦 
Velocidade média: 
Lembrando que quando falamos velocidade média trata-se da velocidade vetorial 
média vm, portanto: 
𝐯𝐦 =
∆𝐱
∆𝐭
 
𝐯𝐦 =
𝟓𝟎
𝟐
 
𝐯𝐦 = 𝟐𝟓
𝐤𝐦
𝐡
 
Distância total percorrida: 
A distância total percorrida d corresponde a soma das distâncias da cidade A até a 
cidade B e da cidade B até a cidade C, ou seja: 
d = 30 + 40 
d = 70 km 
 
Velocidade escalar média: 
É definida como: 
𝝂𝐦é𝐝 =
𝐝
∆𝐭
 
𝝂𝐦é𝐝 =
𝟕𝟎
𝟐
 
𝛎𝐦é𝐝 = 𝟑𝟓
𝐤𝐦
𝐡
 
, 
 
 
12 
 
1.2.7.1 Velocidade instantânea 
A velocidade instantânea corresponde a velocidade em determinado instante, e é 
obtida a partir da velocidade média diminuindo o intervalo de tempo ∆t, tornando-o 
extremamente pequeno tendendo a zero. Podemos definir a velocidade instantânea 
através do conceito matemático de limite. 
𝐯 = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝐭→𝟎
∆𝐱
∆𝐭
=
𝐝𝐱
𝐝𝐭
 
O velocímetro mede a velocidade instantânea, pois indica a velocidade em cada 
instante. 
A unidade de velocidade no SI é o metro por segundo (m/s). O velocímetro indica a 
velocidade em quilômetros por hora (km/h). 
Para efetuar a conversão de m/s para km/h e vice-versa basta lembrar da seguinte 
relação. 
 
1.3 Movimento Retilíneo uniforme (MRU) 
Como iremos considerar a trajetória retilínea, chamaremos daqui em diante, 
simplesmente de movimento uniforme. 
Chamamos de movimento uniforme o movimento onde a velocidade do móvel é 
constante e diferente de zero, ou seja, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos 
de tempo iguais. É o movimento mais simples que encontramos. 
 
, 
 
 
13 
 
 
No exemplo, um carro com velocidade de 5 m/s percorre uma distância de 5 m a cada 
segundo. 
Quando o móvel se movimenta no mesmo sentido da orientação da trajetória o 
movimento é chamado de progressivo e quando o movimento é no sentido contrário é 
chamado de movimento retrógrado ou regressivo. 
1.3.1 Gráficos do movimento uniforme 
a) posição em função do tempo 
Esse gráfico relaciona a posição que um móvel se encontra na trajetória em função do 
tempo. Pode ser crescente (movimento progressivo) ou decrescente (movimento 
retrógrado). 
Progressivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retrógrado 
, 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) velocidade em função do tempo 
Esse gráfico relaciona a velocidade de um móvel em função do tempo. Como a 
velocidade no movimento uniforme (𝐮𝐦) é constante, o gráfico é uma reta paralela 
ao eixo do tempo, podendo assumir valor positivo se o movimento é progressivo ou 
negativo se o movimento é retrógrado. 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.2 Função horária das posições do movimento uniforme 
No gráfico da posição em função do tempo podemos determinar a declividade da reta, 
ou seja, a tangente do ângulo que a reta do gráfico faz com o eixo horizontal. 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
15 
 
Lembrando que: 
𝐭𝐠 𝛂 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐨𝐬𝐭𝐨
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
 
temos: 
𝐭𝐠 𝛂 =
∆𝐱
∆𝐭
 
mas 
∆𝐱
∆𝐭
 corresponde a velocidade média vm, logo, a 𝐭𝐠 𝛂 numericamente corresponde 
ao valor da velocidade média vm, ou seja: 
𝐭𝐠 𝛂 = 𝐯𝐦 =
∆𝐱
∆𝐭
 
No (um) a velocidade média coincide com a velocidade instantânea, ou seja, 𝐯𝐦 = 𝐯. 
Desse modo podemos escrever: 
𝐯 =
𝐝𝐱
𝐝𝐭
 
𝐝𝐱 = 𝐯 ∙ 𝐝𝐭 
Integrando a igualdade temos: 
∫ 𝐝𝐱 = ∫ 𝐯 ∙ 𝐝𝐭 
Como a velocidade é constante, temos: 
∫ 𝐝𝐱 = 𝐯∫ 𝐝𝐭 
𝐱 = 𝐯 ∙ 𝐭 + 𝐜 
No instante inicial temos t = 0 e o móvel se encontra na posição inicial x0, assim: 
𝐱𝟎 = 𝐯 ∙ 𝟎 + 𝐜 
𝐱𝟎 = 𝐜 
, 
 
 
16 
 
Ou seja, a constante de integração c corresponde a posição inicial x0. Desse modo 
podemos escrever a equação 
𝐱 = 𝐯 ∙ 𝐭 + 𝐜 
como 
𝐱 = 𝐱𝟎 + 𝐯 ∙ 𝐭 
Que é chamada de função horária das posições do movimento uniforme. 
Exemplo: 
A tabela fornece as posições que um automóvel passa ao longo de uma rodovia em 
vários instantes. 
t (h) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 
x (km) 500 430 360 290 220 150 
Determine a função horária desse automóvel. 
Solução: 
Inicialmente devemos determinar a velocidade do automóvel. 
𝐯 =
∆𝐱
∆𝐭
=
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
 
Podemos escolher quaisquer dois valores de x e os respectivos instantes. 
𝐯 =
𝟏𝟓𝟎 − 𝟓𝟎𝟎
𝟓, 𝟎 − 𝟎, 𝟎
 
𝐯 =
−𝟑𝟓𝟎
𝟓, 𝟎
 
𝐯 = −𝟕𝟎
𝐤𝐦
𝐡
 
No instante 0,0 h o automóvel se encontra na posição 500 km, portanto x0 = 500 km, 
desse modo a função horária será: 
, 
 
 
17 
 
𝐱 = 𝐱𝟎 + 𝐯 ∙ 𝐭 
𝐱 = 𝟓𝟎𝟎− 𝟕𝟎 ∙ 𝐭 
1.4 Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) 
Da mesma maneira que tratamos o movimento uniforme aqui também iremos 
considerar a trajetória retilínea, portanto, chamaremos daqui em diante, 
simplesmente de movimento uniformemente variado (MUV). 
Chamamos de movimento uniformemente variado o movimento onde a aceleração do 
móvel é constante e diferente de zero, ou seja, a velocidade do móvel varia de maneira 
uniforme. 
1.4.1 Aceleração 
A aceleração é uma grandeza física que representa a taxa de variação de velocidade 
numa unidade de tempo. 
Considere um móvel que se move ao longo de uma trajetória e que no instante inicial 
t1 apresenta velocidade v1 e no instante final t2 apresenta velocidade v2. Definimos 
aceleração média am como: 
𝐚𝐦 =
𝐯𝟐 − 𝐯𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
=
∆𝐯
∆𝐭
 
A unidade de aceleração no SI é o metro por segundo por segundo, m/s2, podendo ter 
outras unidades que não pertencem ao SI como km/s2, km/h2, m/h2. 
A aceleração instantânea é definida como o limite da aceleração média quando Δt 
tende a zero, ou seja: 
𝐚 = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝐭→𝟎
∆𝐯
∆𝐭
=
𝐝𝐯
𝐝𝐭
 
Como a velocidade é 𝐯 =
𝐝𝐱
𝐝𝐭
, podemos escrever a aceleração como: 
𝐚 =
𝐝
𝐝𝐭
(
𝐝𝐱
𝐝𝐭
) =
𝐝𝟐𝐱
𝐝𝐭𝟐
 
, 
 
 
18 
 
A equação mostra que a aceleração é igual a derivada segunda da posição em relação 
ao tempo. 
1.4.2 Equações do movimento com aceleração constante 
a) Velocidade em função do tempo 
No movimento com aceleração constante a aceleração média é igual a aceleração 
instantânea, ou seja: 
𝐚 =
𝐯𝟐 − 𝐯𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
 
Considerando que no instante inicial o tempo seja igual a zero e chamando a 
velocidade final simplesmente de v, a velocidade inicial de v0 e o instante final de t, 
temos: 
𝐚 =
𝐯 − 𝐯𝟎
𝐭 − 𝟎
 
𝐚 =
𝐯 − 𝐯𝟎
𝐭
 
𝐯 − 𝐯𝟎 = 𝐚 ∙ 𝐭 
𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝐚 ∙ 𝐭 
 
b) Posição em função do tempo 
A equação que permite determinar a posição do móvel em MUV em um determinado 
instante é: 
𝐱 = 𝐱𝟎 + 𝐯𝟎 ∙ 𝐭 +
𝟏
𝟐
∙ 𝐚 ∙ 𝐭𝟐 
c) Velocidade como função da posição 
, 
 
 
19 
 
Na equação da velocidade e na equação da posição, ambas dependem do tempo para 
poderem ser determinadas. Para contornar esse problema temos uma equação que 
relaciona a velocidade com a posição sem depender do tempo. 
𝐯𝟐 = 𝐯𝟎
𝟐 + 𝟐 ∙ 𝐚 ∙ ∆𝐱 
1.4.3 Gráficos do movimento uniformemente variado 
a) posição em função do tempo 
Esse gráfico relaciona a posição que um móvel se encontra na trajetória em função do 
tempo. Como a equação da posição é de grau 2, o gráfico é uma parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
b) velocidade em função do tempo 
Esse gráfico relaciona a velocidade de um móvel em função do tempo. A equação da 
velocidadeé de grau 1, portanto, o gráfico é uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) aceleração em função do tempo 
, 
 
 
20 
 
Como a aceleração é constante, o gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo, 
podendo assumir valor positivo ou negativo. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
O gráfico representa a variação da velocidade em função do tempo de um corpo em 
movimento retilíneo uniformemente variado. 
Determine a posição do corpo no instante 6 s considerando que a posição inicial do 
movimento é igual a 36 m. 
Solução: 
𝐚 =
𝐯𝟐 − 𝐯𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
 
𝐚 =
𝟎 − 𝟏𝟎
𝟓 − 𝟎
 
𝐚 =
−𝟏𝟎
𝟓
 
𝐚 = −𝟐
𝐦
𝐬𝟐
 
, 
 
 
21 
 
Escrevendo a função horária para esse corpo temos: 
𝐱 = 𝐱𝟎 + 𝐯𝟎 ∙ 𝐭 +
𝟏
𝟐
∙ 𝐚 ∙ 𝐭𝟐 
𝐱 = 𝟑𝟔 + 𝟏𝟎 ∙ 𝐭 +
𝟏
𝟐
∙ (−𝟐) ∙ 𝐭𝟐 
𝐱 = 𝟑𝟔 + 𝟏𝟎 ∙ 𝐭 − 𝟏 ∙ 𝐭𝟐 
𝐱 = 𝟑𝟔 + 𝟏𝟎 ∙ 𝐭 − 𝐭𝟐 
Substituindo o valor de t = 6 s na equação, temos: 
𝐱 = 𝟑𝟔 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟔 − 𝟔𝟐 
𝐱 = 𝟑𝟔 + 𝟔𝟎 − 𝟑𝟔 
𝐱 = 𝟔𝟎 𝐦 
1.5 Movimento circular uniforme (MCU) 
Um móvel quando se move em uma trajetória circular descreve um movimento 
circular. Quando o móvel se movimenta em uma trajetória circular com velocidade 
constante v o movimento é denominado movimento circular uniforme. 
 
 
, 
 
 
22 
 
1.5.1 Aceleração centrípeta 
O módulo da velocidade vetorial é constante, porém a direção é variada, pois o vetor 
velocidade é sempre tangente à trajetória do móvel e perpendicular ao raio da 
trajetória, portanto, há uma aceleração que produz a variação do vetor velocidade. 
Essa aceleração é chamada de aceleração centrípeta (a cp), e é perpendicular à 
trajetória e aponta para o centro do círculo. 
 
A aceleração centrípeta pode ser determinada pelas equações: 
𝐚𝐜𝐩 =
𝐯𝟐
𝐑
 
ou 
𝐚𝐜𝐩 =
𝟒𝛑𝟐𝐑
𝐓𝟐
 
ou 
𝐚𝐜𝐩 = 𝛚
𝟐𝐑 
 
 
 
 
, 
 
 
23 
 
Em que: 
acp é a aceleração centrípeta 
v é a velocidade tangencial 
R é o raio da circunferência 
T é o período 
𝛚 é a velocidade angular 
1.5.2 Período e frequência 
Período (T) é o tempo necessário para que uma partícula complete uma revolução 
completa. 
Frequência (f) é o número de revoluções efetuadas na unidade de tempo. 
A relação entre o período e a frequência é: 
𝐓 =
𝟏
𝐟
 e 𝐟 =
𝟏
𝐓
 
1.5.3 Velocidade angular 
Em uma trajetória circular podemos determinar as posições através do ângulo central 
∅ no lugar do arco que descreve a trajetória. 
 
Considere um móvel que passa pela posição ∅𝟏 no instante t1 e pela posição ∅𝟐 no 
instante t2. 
, 
 
 
24 
 
 
A velocidade angular média 𝛚𝐦 no intervalo de tempo ∆𝐭 é: 
𝛚𝐦 =
∆∅
∆𝐭
=
∅𝟐 − ∅𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
 
Fazendo ∆𝐭 tendendo a zero temos a velocidade angular instantânea 𝛚. 
𝛚 = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝐭→𝟎
∆∅
∆𝐭
=
𝐝∅
𝐝𝐭
 
A unidade de velocidade angular no SI é o radiano por segundo (rad/s). 
A relação entre a velocidade tangencial e a velocidade angular é: 
𝐯 = 𝛚𝐑 
Para uma volta completa temos ∆𝐱 = 𝟐𝛑𝐑 e o tempo para executar uma revolução 
corresponde ao período T, desse modo: 
𝐯 =
∆𝐱
∆𝐭
 
𝐯 =
𝟐𝛑𝐑
𝐓
 
1.5.4 Função horária angular do MCU 
Como a velocidade angular instantânea é 𝛚 =
𝐝∅
𝐝𝐭
, temos: 
 
 
, 
 
 
25 
 
𝐝∅ = 𝛚𝐝𝐭 
∫ 𝐝∅ = ∫ 𝛚𝐝𝐭 
∅ = 𝛚𝐭 + 𝐜 
A constante de integração corresponde ao ângulo inicial ∅𝟎, logo, temos: 
∅ = ∅𝟎 + 𝛚𝐭 
Que é a função horária angular do MCU. 
Considerando ∅𝟎 = 𝟎, quando o móvel completa uma volta temos ∅ = 𝟐𝛑 𝐫𝐚𝐝 e o 
tempo corresponde ao período T. Desse modo a velocidade angular pode ser 
determinado por: 
𝛚 =
𝟐𝛑
𝐓
 
e sendo 𝐟 =
𝟏
𝐓
, temos: 
𝛚 = 𝟐𝛑𝐟 
Exemplo: 
Determine a aceleração centrípeta da Terra no seu movimento ao redor do Sol. 
Considere a órbita circular e que o raio é de 𝟏, 𝟒𝟗𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟖 𝐤𝐦. 
Solução: 
Como o movimento é de translação o tempo para efetuar uma volta é de um ano, ou 
seja, o período corresponde a T = 365 dias. 
Convertendo para segundos temos: 
𝐓 = 𝟑𝟔𝟓 ∙ 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟔𝟎𝟎 
𝐓 = 𝟑𝟔𝟓 ∙ 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟔𝟎𝟎 
𝐓 = 𝟑𝟏 𝟓𝟑𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝐬 
 
 
 
, 
 
 
26 
 
Convertendo o raio de km para m, temos: 
𝐑 = 𝟏, 𝟒𝟗𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟑 
𝐑 = 𝟏, 𝟒𝟗𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝐦 
A aceleração centrípeta será: 
𝐚𝐜𝐩 =
𝟒𝛑𝟐𝐑
𝐓𝟐
 
𝐚𝐜𝐩 =
𝟒𝛑𝟐 ∙ 𝟏, 𝟒𝟗𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟏
𝟑𝟏 𝟓𝟑𝟔 𝟎𝟎𝟎𝟐
 
𝐚𝐜𝐩 =
𝟓𝟗, 𝟎𝟓𝟗𝟕𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟏
𝟗𝟗𝟒 𝟓𝟏𝟗 𝟐𝟗𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟔
 
𝐚𝐜𝐩 =
𝟓, 𝟗𝟑𝟖𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟏
𝟏𝟎𝟔
 
𝐚𝐜𝐩 = 𝟓, 𝟗𝟑𝟖𝟓 ∙ 𝟏𝟎
−𝟑 𝐦/𝐬𝟐 
Conclusão 
Neste bloco vimos os conceitos envolvidos no movimento como ponto material, 
trajetória, posição, deslocamento, movimento e repouso que são conceitos relativos. 
Vimos também o que é velocidade média e velocidade instantânea. 
Estudamos o movimento uniforme que é caracterizado pela velocidade constante e 
diferente de zero, vimos os gráficos da posição em função do tempo, da velocidade em 
função do tempo e as suas propriedades, chegando na função horária das posições do 
movimento uniforme. 
Vimos o movimento uniformemente variado cuja característica é a aceleração 
constante. Estuamos o que é aceleração média e aceleração instantânea e as funções 
que regem esse movimento, ou seja, da posição em função do tempo, da velocidade 
em função do tempo e a equação de Torricelli que independe do fator tempo. Vimos 
também os gráficos relacionados com esse movimento e suas propriedades. 
, 
 
 
27 
 
Estudamos o movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta, a velocidade 
tangencial, período e frequência, e a relação entre a aceleração centrípeta e a 
velocidade. Vimos o conceito de velocidade angular, a função horária do movimento 
circular e a relação entre velocidade angular e velocidade tangencial. 
REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Mecânica. 10. ed. São 
Paulo: LTC, 2016. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Princípios de Física: Mecânica clássica e Relatividade. 
5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Física para cientistas e engenheiros: mecânica. 9 ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
28 
 
 
2 DINÂMICA 
No estudo da cinemática foi estudado o movimento dos corpos com base nos 
conceitos de posição, velocidade, aceleração, instante, sem se preocupar com as 
causas do movimento ou quais fatores influenciam na forma como o corpo se 
movimenta. 
Agora iremos estudar as causas da mudança no movimento dos corpos utilizando os 
conceitos de força, massa e as três leis do movimento formuladas por Newton. 
2.1 Conceito de força 
Todos nós temos uma noção básica do conceito de força com base nas situações do 
nosso dia-a-dia. Quando empurramos ou puxamos um objeto exercemos força sobre o 
mesmo, porém a força nem sempre provoca um movimento. 
 
Podemos definir força como um agente físico que produz uma aceleração no objeto 
que está atuando ou causa uma deformação nele. 
A força é uma grandeza vetorial, pois apresenta um módulo, direção e sentido. Isso 
significa que para calcular a força resultante (total) quando duas ou mais forças atuam 
sobre um corpo deve-se efetuar a soma vetorial das forças. A força resultante é uma 
única força que tem módulo e orientação e que tem o mesmo efeito sobre o corpo que 
todas as forças agindo simultaneamente. 
, 
 
 
29 
 
No SI a unidade de força é o newton (N). 
A força de 1 N corresponde a força que aplicada a um corpo de massa 1 kg produz uma 
aceleração de 1 m/s2 no corpo. 
 
Ou seja, 
 1 N = 1 kg.m/s2 
Outra unidade de força muito utilizada é o quilograma-força (kgf), que é a força que a 
Terra atrai a massa de 1 kg ao nível do mar e a 45O de latitude. 
A relação entre o newton e o quilograma-força é: 
1 kgf = 9,8 N 
O aparelho utilizado para medir a força é o dinamômetro., 
 
 
30 
 
2.2 Primeira Lei de Newton 
Isaac Newton descobriu a relação que existe entre a força e a aceleração produzida 
pela força. Essa relação foi apresentada no livro Principia Mathematica e é chamada 
de mecânica newtoniana. 
Essa mecânica não pode ser aplicada em todas as situações como no caso da 
velocidade do corpo envolvido for comparável a velocidade da luz ou se a dimensão do 
corpo envolvido for atômica ou subatômica. 
Antes de falarmos da primeira lei de Newton vamos começar analisando uma situação 
cotidiana. Nós observamos que quando lançamos um corpo sobre uma superfície e 
para manter esse corpo com velocidade constante é necessário a influência de uma 
força agindo sobre o corpo, e se não houver essa força o corpo para naturalmente, ou 
seja, o estado natural do corpo é o repouso. 
Se lançarmos o corpo sobre uma superfície mais polida (escorregadia) observamos que 
ele percorre uma distância maior até parar e se a superfície for extremamente 
escorregadia, ou seja, sem atrito, o corpo não irá diminuir a velocidade. 
A observação desse fenômeno nos leva a primeira lei de Newton que diz: 
“Na ausência de forças externas e quando visualizado a partir de um referencial 
inercial, um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento 
continua em movimento retilíneo com uma velocidade constante”. 
, 
 
 
31 
 
 
 
A primeira lei de Newton não se aplica a todos os referenciais, somente a referenciais 
chamados de referenciais inerciais, que são referenciais no qual as leis de Newton são 
válidas. Em todas as situações podemos encontrar referenciais inerciais onde toda a 
mecânica newtoniana é verdadeira. 
2.2.1 Massa 
Massa é uma propriedade intrínseca de um corpo e pode ser entendida como a 
quantidade de matéria que constitui um corpo. 
Pode ser entendida também como propriedade de um corpo que relaciona uma força 
atuando sobre o corpo com a sua aceleração, ou seja, quanto um corpo resiste a 
mudança na sua velocidade que é a inércia. 
Nós temos noção intuitiva de massa quando ela é usada no cotidiano, por exemplo 
sabemos que a mesma força produz aceleração maior em um corpo de massa menor e 
aceleração menor quando a massa é maior. Isso significa que a aceleração é 
inversamente proporcional à massa. Desse modo podemos considerar que uma força 
que age sobre um corpo de massa m1 produz aceleração a1 no corpo, e a mesma força 
quando atua sobre um corpo de massa m2 produz aceleração a2. A relação entre essas 
massas é: 
, 
 
 
32 
 
𝐦𝟏
𝐦𝟐
=
𝐚𝟐
𝐚𝟏
 
A massa é uma grandeza escalar e sua unidade no SI é o quilograma (kg). 
Não confundir massa com peso, são quantidades diferentes. A massa é invariável 
enquanto o peso é igual ao módulo da força gravitacional exercida sobre o corpo, 
portanto, varia de acordo com a localização. 
2.3 Segunda Lei de Newton 
Essa lei permite identificar a força como a causadora nas mudanças no movimento e 
mostra o que acontece com um corpo quando uma ou mais forças agem sobre ele. 
A segundas lei de Newton diz que: “A força resultante que age sobre um corpo é igual 
ao produto da massa do corpo pela aceleração”. 
Matematicamente temos: 
𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ = 𝐦 ∙ �⃗� 
A força resultante 𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ é a soma vetorial de todas as forças que estão agindo sobre o 
corpo de massa m que corresponde a: 
𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ = ∑𝐅 
Portanto 
∑ 𝐅 = 𝐦 ∙ �⃗� 
Podemos ter as forças em várias direções (sistema de coordenadas xyz), desse modo, 
as vezes é mais fácil resolver em cada direção de forma independente. 
Direção x 
∑ 𝐅𝐱 = 𝐦 ∙ 𝐚𝐱 
 
 
, 
 
 
33 
 
Direção y 
∑ 𝐅𝐲 = 𝐦 ∙ 𝐚𝐲 
Direção z 
∑ 𝐅𝐳 = 𝐦 ∙ 𝐚𝐳 
A segunda lei de Newton também é chamada de Princípio Fundamental da Dinâmica 
(PFD). 
2.3.1 Peso 
Nós sabemos que todos os corpos são atraídos para a Terra. A força com que a Terra 
atraí esses corpos é a força gravitacional que é dirigida para o centro da Terra. O 
módulo dessa força é chamado peso. 
Um corpo em queda livre está sob a ação da força peso e a sua aceleração é a 
aceleração da gravidade g e de acordo com a segunda lei de Newton temos: 
𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ = 𝐦 ∙ �⃗� 
�⃗⃗� = 𝐦 ∙ �⃗� 
Como o peso depende da gravidade, ele varia de acordo com a localização. 
Exemplo: 
Um corpo apresenta massa de 100 kg na Terra. Determine o seu peso na Terra onde a 
aceleração da gravidade é de 9,8 m/s2; e a sua massa e o peso quando levado para a 
Lua onde g = 1,6 m/s2. 
Solução: 
O peso na Terra será de: 
𝐏 = 𝐦 ∙ 𝐠 
𝐏 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟗, 𝟖 
𝐏 = 𝟗𝟖𝟎 𝐍 
, 
 
 
34 
 
Como a massa é invariável, a massa na Lua continua 100 kg, e o seu peso será de: 
𝐏 = 𝐦 ∙ 𝐠 
𝐏 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟏, 𝟔 
𝐏 = 𝟏𝟔𝟎 𝐍 
2.4 Terceira Lei de Newton 
A terceira lei de Newton dá a ideia de que as forças são interações entre dois corpos, 
ou seja, os corpos sempre interagem aos pares, com a criação de duas forças. 
O enunciado da terceira lei de Newton diz que: “A toda ação corresponde a uma 
reação de mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos”. 
Na interação entre dois corpos, a força 𝐅 𝟏𝟐 que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 é 
igual em módulo e oposto em sentido à força 𝐅 𝟐𝟏 que o corpo 2 exerce sobre o corpo 
1. 
𝐅 𝟏𝟐 = −𝐅 𝟐𝟏 
Uma das forças é chamada de ação e a outra de reação. As forças de ação e de reação 
sempre ocorrem aos pares e atuam em corpos diferentes. 
A Terra exerce sobre um corpo próximo à superfície da Terra, a força peso P
→
. Pela 
terceira lei de Newton, o corpo reage exercendo uma força sobre a Terra, de mesma 
intensidade, mesma direção e sentido contrário, − P
→
, aplicada no centro da Terra. 
 
, 
 
 
35 
 
Para um corpo em repouso apoiado numa superfície horizontal, além da ação da força 
de atração da Terra, o corpo aplica sobre a superfície uma força − N
→
 de contato, cuja 
intensidade é igual à do seu peso P
→
. Pelo princípio da ação e reação, a superfície exerce 
sobre o corpo uma força N
→
 de reação de mesma intensidade, porém de sentido 
contrário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desse modo, no corpo atuam duas forças, que não formam entre si um par ação e 
reação, pois a reação do peso P
→
 está na Terra e a reação da força N está no apoio. 
 
Não havendo outras forças aplicadas e estando o corpo em repouso temos N = P. 
A força de contato N
→
 é perpendicular à superfície de contato; por isso, é chamada força 
normal ou reação normal do apoio. 
2.4.1 Aplicações das leis de Newton 
Aqui é importante saber representar a situação em um diagrama de corpo livre (DCL) 
permitindo aplicar as leis de Newton de maneira adequada. 
 
− 
, 
 
 
36 
 
Exemplo 1 
Sobre um corpo de massa 2 kg, apoiado sobre uma superfície horizontal perfeitamente 
lisa, agem simultaneamente duas forças, 𝐅 𝟏 e 𝐅 𝟐, de intensidades 10 N e 4 N 
respectivamente conforme figura. Determine a aceleração adquirida pelo bloco. 
 
 
 
Solução: 
Inicialmente vamos desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) com todas as forças que 
atuam sobre o corpo. 
 
 
 
 
 
Nesse caso a força peso e a normal elas se anulam pois têm a mesma intensidade e 
sentidos opostos, desse modo, as únicas forças que influenciam na aceleração serão as 
forças 𝐅 𝟏 e 𝐅 𝟐. 
 
 
 
 
De acordo com a segunda lei de Newton, temos: 
 
 
 
, 
 
 
37 
 
𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ = 𝐦 ∙ �⃗� 
𝐅 𝟏 − 𝐅 𝟐 = 𝐦 ∙ �⃗� 
𝟏𝟎 − 𝟒 = 𝟐 ∙ 𝐚 
𝟔 = 𝟐 ∙ 𝐚 
𝐚 = 𝟑 𝐦/𝐬𝟐 
Exemplo 2 
Dois corpos A e B de massas iguais a 1 kg e 2 kg respectivamente, estão apoiados em 
uma superfície horizontal perfeitamente lisa. O fio que liga os corpos A e B é ideal 
(massa desprezível e inextensível). A força horizontal 𝐅 , constante, tem intensidade 
igual a 12 N. Determine: 
a) a aceleração do sistema; 
b) a intensidade da força de tração no fio. 
 
 
 
 
Solução: 
a) a aceleração do sistema; 
Inicialmente vamos desenhar o DCL com todas as forças que atuam sobre os corpos A 
e B e no sistema. 
 
 
 
 
 
,38 
 
 
Nesse caso a força peso de A e a normal de A elas se anulam pois têm a mesma 
intensidade e sentidos opostos, o mesmo ocorrendo com o corpo B, desse modo, as 
únicas forças a serem consideradas serão as forças 𝐅 e �⃗⃗� . 
 
 
 
 
Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica (PFD) ao corpo A, temos: 
𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ = 𝐦 ∙ �⃗� 
𝐅 − 𝐓 = 𝐦𝐀 ∙ 𝐚 
Aplicando o PFD ao corpo B, temos: 
𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ = 𝐦 ∙ �⃗� 
𝐓 = 𝐦𝐁 ∙ 𝐚 
Somando as duas equações membro a membro, temos: 
𝐅 − 𝐓 = 𝐦𝐀 ∙ 𝐚
 𝐓 = 𝐦𝐁 ∙ 𝐚
𝐅 = 𝐦𝐀 ∙ 𝐚 + 𝐦𝐁 ∙ 𝐚
 
Ou 
𝐅 = (𝐦𝐀 + 𝐦𝐁) ∙ 𝐚 
Essa equação mostra que a aceleração do sistema é equivalente a força 𝐅 estar 
atuando em um único corpo cuja massa é igual a soma das massas de A e B. 
 
 
, 
 
 
39 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores na equação, temos: 
𝐅 = (𝐦𝐀 + 𝐦𝐁) ∙ 𝐚 
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝐚 
𝟏𝟐 = 𝟑 ∙ 𝐚 
𝐚 = 𝟒 𝐦/𝐬𝟐 
 
b) a intensidade da força de tração no fio. 
Para o corpo A, temos: 
𝐅 − 𝐓 = 𝐦𝐀 ∙ 𝐚 
𝟏𝟐− 𝐓 = 𝟏 ∙ 𝟒 
𝐓 = 𝟏𝟐 − 𝟒 
𝐓 = 𝟖 𝐍 
E para o corpo B, temos: 
𝐓 = 𝐦𝐁 ∙ 𝐚 
𝐓 = 𝟐 ∙ 𝟒 
𝐓 = 𝟖 𝐍 
Observe que a força de tração em A e B são iguais pois constituem um par ação e 
reação. 
 
 
, 
 
 
40 
 
2.5 Plano Inclinado 
Chamamos de plano inclinado uma superfície plana com uma inclinação em relação ao 
plano horizontal formando um ângulo  com o mesmo. Como exemplo de plano 
inclinado temos uma rampa ou uma esteira rolante de um prédio. 
Considere um corpo apoiado sobre um plano inclinado onde não há atrito. 
As forças que agem sobre um corpo apoiado em um plano inclinado, que forma um 
ângulo 𝛼 com a horizontal, são a força peso direcionada para o centro da Terra em 
virtude da sua atração e a reação normal exercida pelo plano inclinado que atua 
perpendicular à superfície de contato. 
Adotando um sistema de coordenadas x, y, de maneira que o eixo x fique paralelo ao 
plano inclinado, temos: 
A decomposição das forças acompanhando o sistema de coordenadas será: 
P

 
N

 
 
P

 
N

 
 
x 
y 
, 
 
 
41 
 
A componente do peso na direção de x (P⃗⃗ x) é determinada por: 
𝐬𝐞𝐧 𝛂 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐚𝐨 â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝛂
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐬𝐞𝐧 𝛂 =
𝐏𝐱
𝐏
 
𝐏𝐱 = 𝐏 ⋅ 𝐬𝐞𝐧 𝛂 
𝐏𝐱 = 𝐦 ⋅ 𝐠 ⋅ 𝐬𝐞𝐧 𝛂 
A componente do peso na direção de y (P⃗⃗ y) é determinada por: 
𝐜𝐨𝐬  𝛂 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐚𝐨 â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝛂
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐜𝐨𝐬  𝛂 =
𝐏𝐲
𝐏
 
𝐏𝐲 = 𝐏 ⋅ 𝐜𝐨𝐬   𝛂 
𝐏𝐲 = 𝐦 ⋅ 𝐠 ⋅ 𝐜𝐨𝐬   𝛂 
Na direção y, 
𝐍 = 𝐏𝐲 = 𝐦 ⋅ 𝐠 ⋅ 𝐜𝐨𝐬   𝛂. 
Na direção x, paralela ao plano inclinado, as forças que agem sobre o bloco será: 
 
 
P

 
N

 
 x 
y 
 
xP

 
yP

 
, 
 
 
42 
 
𝐅
→
𝐑 = 𝐦 ⋅ 𝐚
→
 
�⃗⃗� 𝐱 = 𝐦 ⋅ 𝐚
→
 
𝐦 ⋅ 𝐠 ⋅ 𝐬𝐞𝐧 𝛂 = 𝐦 ⋅ 𝐚 
𝐚 = 𝐠 ⋅ 𝐬𝐞𝐧 𝛂 
Essa é a aceleração que o bloco adquire quando somente o peso do bloco está 
atuando e desliza sem atrito sobre um plano inclinado. 
Exemplo: 
Um corpo de massa 6 kg é abandonado sobre um plano inclinado, com ângulo de 
elevação de 30º. O atrito entre o corpo e o plano é desprezível. Considere g = 9,8 m/s2. 
Determine: 
a) A aceleração do corpo. 
b) A intensidade da reação normal de apoio. 
Solução: 
a) O peso do corpo é de: 
𝐏 = 𝐦 ∙ 𝐠 
𝐏 = 𝟔 ∙ 𝟗, 𝟖 
𝐏 = 𝟓𝟖, 𝟖 𝐍 
Pela segunda lei de Newton: 
 
 
 
 
 
, 
 
 
43 
 
𝐅𝐑 = 𝐦 ⋅ 𝐚 
𝐏𝐱 = 𝐦 ⋅ 𝐚 
𝐏 ⋅ 𝐬𝐞𝐧 𝛂 = 𝐦 ⋅ 𝐚 
𝟓𝟖, 𝟖 ⋅ 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎 = 𝟔 ⋅ 𝐚 
𝟓𝟖,𝟖 ⋅ 𝟎, 𝟓 = 𝟔 ⋅ 𝐚 
𝟐𝟗,𝟒 = 𝟔 ⋅ 𝐚 
𝐚 =
𝟐𝟗, 𝟒
𝟔
 
𝐚 = 𝟒,𝟗 𝐦/𝐬𝟐 
b) 
𝐍 = 𝐏𝐲 = 𝐏 ⋅ 𝐜𝐨𝐬   𝛂 
𝐍 = 𝟓𝟖,𝟖 ⋅ 𝐜𝐨𝐬   𝟑𝟎 
𝐍 = 𝟓𝟖, 𝟖 ⋅ 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 
𝐍 = 𝟓𝟎,𝟗𝟐 𝐍 
Conclusão 
Neste bloco vimos que a dinâmica estuda as causas da mudança no movimento dos 
corpos. 
Vimos que a força é um agente físico que produz uma aceleração no objeto que está 
atuando ou causa uma deformação no mesmo e que a força é uma grandeza vetorial, 
que apresenta um módulo, direção e sentido. 
Estudamos também a primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia, e que a massa é 
uma propriedade intrínseca de um corpo ou a relação de uma força que atua em um 
corpo com a aceleração adquirida. 
Vimos a segunda lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica que diz 𝐅𝐑⃗⃗⃗⃗ =
𝐦 ∙ �⃗� e a definição de peso enfatizando a diferença entre massa e peso. 
Estudamos a terceira lei de Newton ou Princípio da Ação e Reação que trata da 
interação entre dois corpos. 
, 
 
 
44 
 
Estudamos o plano inclinado e as componentes do peso segundo o sistema cartesiano 
x,y, posicionado de maneira que o eixo x esteja paralelo ao plano inclinado. 
REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, D. RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Mecânica. 10. ed. São 
Paulo: LTC, 2016. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Princípios de Física: Mecânica clássica e Relatividade. 
5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Física para cientistas e engenheiros: mecânica. 9 ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2018. 
 
, 
 
 
45 
 
 
3 ENERGIA 
No nosso dia a dia podemos sentir a maior fonte de energia que é o Sol, e 
relacionamos o conceito de energia com combustível, eletricidade, alimentos, porém 
sabemos que estão associados com a capacidade de produção de ação e ou 
movimento com a realização de trabalho. 
A energia é um dos tópicos mais importantes na Ciência e na Engenharia e se 
manifesta de várias maneiras. Todo processo físico que ocorre na natureza envolve 
energia que pode mudar de forma ou ser transferida de um objeto para o outro, mas a 
quantidade total permanece constante, ou seja, a energia é conservada. 
3.1 Trabalho 
No nosso cotidiano é muito comum a utilização da palavra trabalho com signi ficado de 
ocupação física ou intelectual, ou ainda atividade profissional, ou tarefas que devem 
ser desempenhadas. 
No entanto, na Física, o trabalho é definido como a transferência de energia através de 
uma ou mais forças que agem sobre um corpo e causam o deslocamento dele. 
Se a energia é transferida para o corpo, ou seja, a projeção da força na direção do 
deslocamento e o sentido do deslocamento forem iguais, o trabalho é positivo. E se a 
energia é transferida do corpo, quando a projeção da força na direção do 
deslocamento e o sentido do deslocamento forem opostos, o trabalho é negativo. 
O caso mais simples é quando as forças aplicadas sobre o corpo são constantes, e no 
caso mais complexo a força é variável. 
3.1.1 Trabalho realizado por uma força constante 
Quando a força tem a mesma direção do deslocamento como o apresentado na figura. 
, 
 
 
46 
 
 
𝛕 = 𝐅 ∙ 𝐝 
em que: 
 (letra grega táu) representa o trabalho 
F é a força aplicada no corpo 
d é o deslocamento sofrido pelo corpo 
No caso mais geral quando a força aplicada no corpo forma um ângulo  em relação a 
direção do deslocamento, temos: 
 
𝛕 = 𝐅 ∙ 𝐝 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝛂 
em que: 
 é o ângulo entre a força e a direção do deslocamento 
cos  é o cosseno do ângulo  
3.1.2 Trabalho realizado por uma força variável 
Considere uma partícula que se desloca de xi para xf ao longo do eixo x sob a ação de 
uma força que varia de acordo com a posição e que sofre um deslocamento 
extremamente pequeno Δx conforme figura. 
, 
 
 
47 
 
 
O trabalho total realizado pela força FX no intervalo de xi até xf é igual a área abaixo da 
curva e acima do eixo horizontal. Se o deslocamento Δx for infinitesimal, ou seja, Δx 
tendendo a zero, o somatório das áreas corresponde ao trabalho total. 
𝛕 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝐱→𝟎
∑𝐅𝐱∆𝐱
𝐱 𝐟
𝐱 𝐢
 
Este limite é a integral definida da função F(x) entre os limites xi e xf. 
𝛕 = ∫ 𝐅𝐱𝐝𝐱
𝐱 𝐟
𝐱 𝐢
 
A unidade de trabalho no SI é o N.m que recebe o nome de joule (J). 
𝟏 𝐉 = 𝟏 𝐍 ∙ 𝐦 = 𝟏 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐/𝐬𝟐3.1.3 Potência 
Quando estudamos uma força realizando trabalho não consideramos o tempo gasto 
para realizar esse trabalho. Uma mesma quantidade de trabalho pode ser realizada em 
tempos diferentes. Essa taxa de variação do trabalho realizado por uma força em 
função do tempo é chamada de potência. 
Potência média 
A potência média é definida como a razão entre o trabalho realizado por uma força 
sobre o corpo e o intervalo de tempo gasto para realizar esse trabalho. 
, 
 
 
48 
 
𝐏𝐦𝐞𝐝 =
𝛕
∆𝐭
 
Potência instantânea 
A potência instantânea é o limite da potência média quando Δt tende a zero. 
𝐏 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝐭→𝟎
𝛕
∆𝐭
=
𝐝𝛕
𝐝𝐭
 
 
Para o caso de uma força 𝐅 que forma um ângulo ∅ com a velocidade instantânea �⃗� de 
um objeto, a potência instantânea será: 
𝐏 = 𝐅𝐯𝐜𝐨𝐬∅ = 𝐅 ∙ �⃗� 
 
 
A unidade de potência no SI é o joule por segundo (J/s) que recebe o nome de watt 
(W). 
Outras unidades de potência são o horse-power (hp) e o cavalo vapor (CV). 
1 hp = 746 W 
1 CV = 735,5 W 
3.2 Energia cinética 
É a energia que está associada ao estado de movimento do corpo. Para um corpo de 
massa m e com velocidade v, sendo v muito menor que a velocidade da luz, a energia 
cinética é dado pela equação: 
𝐄𝐜 =
𝟏
𝟐
𝐦 ∙ 𝐯𝟐 
sendo 
m a massa em kg 
v a velocidade em m/s 
Exemplo: 
Um carro de massa 1000 kg movimenta-se com velocidade constante de 72 km/h. Qual 
a energia cinética do carro? 
 
, 
 
 
49 
 
Solução: 
v = 72 km/h = 20 m/s 
𝐄𝐜 =
𝟏
𝟐
𝐦 ∙ 𝐯𝟐 
𝐄𝐜 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟐 
𝐄𝐜 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟎𝟎 
𝐄𝐜 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟎 
𝐄𝐜 = 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝐉 
𝐄𝐜 = 𝟐 ∙ 𝟏𝟎
𝟓 𝐉 
3.2.1 Teorema do Trabalho e Energia cinética 
Vimos que o trabalho realizado pela força variável FX no intervalo de xi até xf é igual a 
𝛕 = ∫ 𝐅𝐱𝐝𝐱
𝐱𝐟
𝐱𝐢
 
Se Fx for a força resultante, então, pela segunda lei de Newton: 
𝐅𝐱 = 𝐦 ∙ 𝐚 
Assim podemos escrever: 
𝛕 = ∫ 𝐦 ∙ 𝐚 𝐝𝐱
𝐱𝐟
𝐱𝐢
 
Nesse caso a aceleração a não é constante, mas a aceleração instantânea é dada por: 
𝐚 =
𝐝𝐯
𝐝𝐭
 
Substituindo na integral, temos: 
𝛕 = ∫ 𝐦 ∙
𝐝𝐯
𝐝𝐭
 𝐝𝐱
𝐱 𝐟
𝐱 𝐢
 
Aplicando a regra da cadeia que é uma regra para derivar uma função composta, 
temos: 
, 
 
 
50 
 
𝐝𝐯
𝐝𝐭
=
𝐝𝐯
𝐝𝐱
∙
𝐝𝐱
𝐝𝐭
 
Portanto: 
𝛕 = ∫ 𝐦 ∙
𝐝𝐯
𝐝𝐱
∙
𝐝𝐱
𝐝𝐭
 𝐝𝐱
𝐱 𝐟
𝐱 𝐢
 
Mas 
𝐯 =
𝐝𝐱
𝐝𝐭
 
Logo 
𝛕 = ∫ 𝐦 ∙ 𝐯 ∙
𝐝𝐯
𝐝𝐱
 𝐝𝐱
𝐱 𝐟
𝐱 𝐢
 
Agora ao invés de integrar na variável x podemos integrar na variável v, e trocando os 
limites de integração, temos: 
τ = ∫ m ∙ v dv
vf
vi
 
Cuja integral é: 
𝛕 = [
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝟐]
𝐯𝐢
𝐯𝐟
 
𝛕 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐟
𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐢
𝟐 
Essa equação mostra que o trabalho realizado pela força resultante sobre um corpo de 
massa m é igual à diferença entre a energia cinética final e a inicial. 
Exemplo: 
Um bloco de 6.0 kg inicialmente em repouso é puxado para a direita ao longo de uma 
superfície horizontal sem atrito por uma força horizontal constante de 12 N. Encontre 
a velocidade escalar do bloco após ele ter se movido 3,0 m. 
Solução: 
Como o bloco está inicialmente em repouso temos vi = 0 m/s. 
, 
 
 
51 
 
𝛕 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐟
𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐢
𝟐 
𝐅 ∙ 𝐝 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐟
𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐢
𝟐 
𝟏𝟐 ∙ 𝟑 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟔 ∙ 𝐯𝐟
𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝟔 ∙ 𝟎𝟐 
𝟑𝟔 = 𝟑 ∙ 𝐯𝐟
𝟐 − 𝟎 
𝐯𝐟
𝟐 = 𝟏𝟐 
𝐯𝐟 = √𝟏𝟐 
𝐯𝐟 = 𝟑, 𝟒𝟔 𝐦/𝐬 
3.3 Energia potencial 
A energia potencial é uma forma de energia que pode ser armazenada nos corpos e 
precisa estar associada a um sistema físico e depende do tipo de interação e da 
posição apresentado pelo corpo. Ela pode se manifestar sob a forma de movimento 
em qualquer momento, e ter a capacidade de realizar trabalho. 
3.3.1 Energia potencial gravitacional 
A energia potencial gravitacional é a energia de um corpo que sofre a influência de um 
campo gravitacional, como em um sistema formado pela Terra e um corpo próximo a 
superfície. 
Vamos considerar um corpo de massa m sendo levantado com velocidade constante, 
ou seja, aceleração nula e a força aplicada igual em módulo ao seu peso, conforme 
figura. 
 
 
 
, 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o nível de referência como zero, o trabalho realizado pela força 𝐅 é: 
𝛕 = 𝐅 ∙ 𝐡 
Como a força é a força peso podemos escrever o trabalho como: 
𝛕 = 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐡 
O trabalho representa a transferência de energia para o sistema, e essa energia é 
chamada de energia potencial gravitacional, portanto: 
𝐄𝐩𝐠 = 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐡 
na qual: 
𝐄𝐩𝐠 é a energia potencial gravitacional 
m é a massa 
g é a aceleração da gravidade 
h é a altura em relação ao nível de referência 
Exemplo: 
Um corpo de massa igual a 500 g encontra-se numa local onde a gravidade tem 
módulo igual a 9,8 m/s². Sendo a altura que se encontra o corpo em relação ao nível 
de referência igual a 60 m, determine a energia potencial gravitacional armazenada. 
, 
 
 
53 
 
Solução: 
m = 500 g = 0,500 kg 
g = 9,8 m/s² 
h = 60 m 
𝐄𝐩𝐠 = 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐡 
𝐄𝐩𝐠 = 𝟎,𝟓 ∙ 𝟗, 𝟖 ∙ 𝟔𝟎 
𝐄𝐩𝐠 = 𝟐𝟗𝟒,𝟎 𝐉 
3.3.2 Energia potencial elástica 
Considere um sistema massa-mola conforme figura com o bloco se movendo na 
extremidade da mola de constante elástica k. 
 
Enquanto o bloco se desloca em torno da posição de equilíbrio x = 0, provocando 
elongação ou compressão da mola, a força elástica, F = −kx, realiza trabalho sobre o 
bloco e a energia potencial elástica é a energia armazenada devido a deformação da 
mola ou elástico. 
A energia potencial elástica é determinada por: 
 
, 
 
 
54 
 
𝐄𝐩𝐞 =
𝟏
𝟐
𝐤𝐱𝟐 
em que: 
𝐄𝐩𝐞 é a energia potencial elástica 
k é a constante elástica 
x é a deformação sofrida pelo corpo elástico 
Exemplo: 
Uma mola de constante elástica igual a 100 N/m é distendida de 10,0 cm. Qual a 
energia potencial elástica armazenada pela mola? 
Solução: 
k = 100 N/m 
x = 10,0 cm = 0,1 m 
𝐄𝐩𝐞 =
𝟏
𝟐
𝐤𝐱𝟐 
𝐄𝐩𝐞 =
𝟏
𝟐
𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟏𝟐 
𝐄𝐩𝐞 = 𝟓𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟏 
𝐄𝐩𝐞 = 𝟎,𝟓𝟎 𝐉 
3.4 Energia mecânica 
A capacidade de um corpo realizar trabalho é chamada de energia mecânica e 
corresponde a movimentar-se pela ação de uma força sobre o corpo, ou a interação 
com a gravidade ou através de uma mola. 
Ela corresponde a soma da energia cinética, associada ao movimento do corpo com a 
energia potencial, 
, 
 
 
55 
 
𝐄𝐌 = 𝐄𝐜 + 𝐄𝐩 
Podendo está ser gravitacional decorrente da interação com o campo terrestre 
𝐄𝐌 = 𝐄𝐜 + 𝐄𝐩𝐠 
 Ou elástica devido a deformação da mola. 
𝐄𝐌 = 𝐄𝐜 + 𝐄𝐩𝐞 
3.4.1 Conservação da energia mecânica 
Vamos começar pensando no que acontece com a energia mecânica quando advém de 
um sistema isolado em função das forças conservativas. 
Sistema isolado e força conservativa significa que qualquer força externa ao sistema 
causa variações de energia dentro do sistema, ou seja, não há presença de energia 
dissipativa, como acontece quando um corpo está sujeito a força de atrito. 
Em um sistema conservativo a energia mecânica se mantém constante, a mudança de 
energia ocorre somente na modalidade de energia cinética e potencial, por exemplo, 
um corpo em queda livre perde energia potencial gravitacional e tem aumento da 
velocidade com consequente aumento da energia cinética. A perda de energia 
potencial gravitacional é igual ao ganho da energia cinética de maneira que: 
𝐄𝐌𝐀 = 𝐄𝐌𝐁 
𝐄𝐜𝐀 + 𝐄𝐩𝐀 = 𝐄𝐜𝐁 + 𝐄𝐩𝐁 
ou 
𝐄𝐌 = 𝐄𝐜 + 𝐄𝐩 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 
 
Exemplos 1 
Um objeto é abandonado de uma altura de 2,5 m em relação ao solo. Com que 
velocidade ele chegará ao solo? Considere g = 9,8 m/s2. 
, 
 
 
56 
 
Solução: 
𝐄𝐜𝐀 + 𝐄𝐩𝐀 = 𝐄𝐜𝐁 + 𝐄𝐩𝐁 
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐀
𝟐 + 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐡𝐀 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐁
𝟐 + 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐡𝐁 
Como o corpo está sendo abandonado na posição A, a velocidade vA = 0 e quando 
chegaao solo hB = 0. 
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝟎𝟐 + 𝐦 ∙ 𝟗, 𝟖 ∙ 𝟐, 𝟓 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐁
𝟐 + 𝐦 ∙ 𝟗, 𝟖 ∙ 𝟎 
𝐦 ∙ 𝟗, 𝟖 ∙ 𝟐, 𝟓 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐁
𝟐 
Simplificando a massa, temos: 
𝟗,𝟖 ∙ 𝟐,𝟓 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐯𝐁
𝟐 
𝟐𝟒,𝟓 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐯𝐁
𝟐 
𝐯𝐁
𝟐 = 𝟒𝟗 
𝐯𝐁 = √𝟒𝟗 
𝐯𝐁 = 𝟕 𝐦/𝐬 
 
Exemplos 2 
Um bloco de massa 2 kg desloca-se ao encontro de uma mola de constante elástica 
20000 N/m com velocidade de 6 m/s. O bloco comprime a mola até parar. Qual é a 
compressão sofrida pela mola? 
Solução: 
𝐄𝐜𝐀 + 𝐄𝐩𝐀 = 𝐄𝐜𝐁 + 𝐄𝐩𝐁 
, 
 
 
57 
 
Em B temos o encontro do bloco com uma mola, portanto em B temos energia 
potencial elástica. 
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐀
𝟐 + 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐡𝐀 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐁
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝐤 ∙ 𝐱𝟐 
O bloco desloca-se no plano horizontal no nível de referência, portanto em A não há 
energia potencial gravitacional. Em B o corpo para após comprimir a mola, portanto 
não há energia cinética. 
𝟏
𝟐
∙ 𝐦 ∙ 𝐯𝐀
𝟐 =
𝟏
𝟐
∙ 𝐤 ∙ 𝐱𝟐 
 
Simplificando 1/2 na expressão, resulta em: 
𝐦 ∙ 𝐯𝐀
𝟐 = 𝐤 ∙ 𝐱𝟐 
 
Substituindo os valores na equação, temos: 
𝟐 ∙ 𝟔𝟐 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝐱𝟐 
𝟕𝟐 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝐱𝟐 
𝐱𝟐 =
𝟕𝟐
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
 
𝐱𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟔 
𝐱 = √𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟔 
𝐱 = 𝟎,𝟎𝟔 𝐦 
 
 
 
 
 
, 
 
 
58 
 
3.5 Outras manifestações de energia: Maremotriz, Térmica, Eólica, Solar, Elétrica, 
Química, Nuclear 
3.5.1 Conceitos sobre Energia Maremotriz 
A Energia Maremotriz, ou energia das marés, é um conceito novo dentro do estudo da 
Física em relação aos conceitos gerais e universais de energia. Os oceanos e mares 
realizam o movimento físico constante de suas águas por meio das ondas. As ondas 
marítimas possuem energia cinética devido a seu movimento constante, e possuem 
energia potencial devido às alturas que alcançam. 
Com essas características, as ondas podem gerar energia elétrica por meio de seus 
movimentos oscilatórios. 
3.5.2 Energia Térmica 
A energia térmica é um tipo de energia diretamente associado à temperatura interna 
de um sistema. Ela é o resultado da soma entre energia cinética e potencial associados 
aos elementos microscópios constituintes da matéria. 
Os átomos e moléculas que formam os corpos que compõem o sistema realizam 
movimentos aleatórios de translação, rotação e vibração, denominados “agitação 
térmica”. 
Dois ou mais corpos com temperaturas diferentes quando colocados próximos uns dos 
outros ou em contato desencadeiam transferência de energia entre eles até 
estabelecer o equilíbrio térmico entre os corpos. 
3.5.3 Energia Eólica 
A energia eólica consiste na transformação da energia dos ventos em energia 
mecânica que aciona aerogeradores para a geração de energia elétrica. Na energia 
eólica, são utilizados os mesmos princípios de conservação e transformação de 
energia. 
, 
 
 
59 
 
As principais características da energia eólica são: estar permanentemente disponível, 
não produz gases do efeito estufa, é uma opção aos combustíveis fósseis e seu 
impacto ambiental origina menos problemas que outras fontes de energia. 
3.5.4 Energia Solar 
A energia solar está intimamente ligada à energia térmica, é aproveitada de forma 
prática por meio de sua transformação em energia térmica. Um exemplo simples é a 
obtenção de energia térmica gerada por coletores solares que captam a energia vinda 
do sol aquecendo a água substituindo chuveiros elétricos. 
Outra energia importante obtida pela energia solar é a energia fotovoltaica. Esse tipo 
de energia é coletado por meio de lâminas ou painéis fotovoltaicos capazes de reter a 
radiação liberada pelo sol gerando energia elétrica. Uma propriedade muito 
importante da energia fotovoltaica é sua capacidade de ser utilizada imediatamente 
ou ser armazenada em baterias para uso futuro. 
3.5.5 Energia Elétrica 
A energia elétrica é a principal energia utilizada pela sociedade moderna, é 
amplamente difundida e utilizada em todo o mundo, a maior parte dos equipamentos 
pessoais e industriais utilizados no mundo é movido pela energia elétrica. Sem a 
energia elétrica, o mundo simplesmente deixaria de funcionar. Utilizamos a energia 
elétrica para mover as indústrias, ligar os computadores, manter o funcionamento dos 
sistemas de comunicação, hospitais, escolas, residências etc. 
3.5.6 Energia Química 
A energia química é mais comum no dia a dia do que pensamos. Ela é classificada 
como energia potencial, pois está armazenada nas ligações químicas entre os átomos 
da matéria. A energia química é liberada com a “quebra” das ligações químicas. Em um 
exemplo, podemos verificar a energia química na combustão de um palito de fósforo 
onde a energia contida nas interligações intramoleculares no elemento fósforo é 
liberada após a quebra de suas ligações. 
, 
 
 
60 
 
3.5.7 Energia Nuclear 
É obtida por meio de reações nucleares que são os processos de transformação de 
núcleos atômicos. As reações nucleares são a forma pela qual os isótopos de um 
determinado elemento têm a capacidade de se transformar em outros isótopos 
emitindo energia durante esse processo. 
A energia nuclear em si é pouco utilizada. A sua transformação em energia elétrica é a 
mais utilizada na Europa e nos Estados Unidos. 
Conclusão 
Nesse bloco vimos que o trabalho é a energia transferida para um objeto ou de um 
objeto por uma força que age sobre o objeto e o trabalho realizado sobre uma 
partícula por uma força constante durante um deslocamento é igual ao produto da 
força pelo deslocamento. Vimos também que a rapidez com que é realizado um 
trabalho corresponde a grandeza chamada de potência. 
Estudamos a energia cinética que é a energia que está associada ao movimento dos 
corpos e o trabalho realizado sobre a partícula é igual a variação da energia cinética. 
Vimos que a energia potencial gravitacional é a energia que está associada a um corpo 
em um determinado local próximo da superfície terrestre, e a energia potencial 
elástica é a energia que está associada a um sistema elástico, como em uma mola. 
Estudamos a energia mecânica que é a soma da energia cinética e a potencial e em um 
sistema conservativo a energia mecânica ela se conserva, ou seja, uma diminuição na 
energia cinética corresponde a um aumento da energia potencial e vice-versa. 
Vimos outras manifestações de energia como a Térmica, Solar, Eólica, Elétrica, 
Química, Nuclear, Maremotriz. 
REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Mecânica. 10. ed. São 
Paulo: LTC, 2016. 
, 
 
 
61 
 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Princípios de Física: Mecânica clássica e Relatividade. 
5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Física para cientistas e engenheiros: mecânica. 9 ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
62 
 
 
4 ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS 
Nos capítulos anteriores estudamos os movimentos de translação, nos quais os objetos 
se movem ao longo de linhas retas ou curvas. Nesse capítulo iremos estudar o 
movimento de rotação dos corpos como por exemplo quando você empurra ou puxa 
uma porta, ela gira ao redor de um eixo que passa pela dobradiça. Para tratar desse 
assunto vamos iniciar falando de sistema de forças e a resultante dessas forças. Em 
seguida falaremos do equilíbrio de um ponto material e veremos que nesse caso é 
necessário que a soma das forças atuantes no sistema seja igual a zero. Também 
estudaremos o momento de uma força ou torque que está estreitamento relacionado 
com a rotação dos corpos. Na sequência estudaremos o equilíbrio dos corpos 
extensos. E por fim falaremos das alavancas. 
4.1 Resultante de um sistema de forças 
Considere um sistema de forças onde F1 é aplicado no ponto P1, a força F2 aplicado noponto P2 e a n-ésima força Fn aplicada ao ponto Pn. A resultante do sistema de forças é 
a soma vetorial de F1, F2, ..., Fn. 
 
Quando o sistema de forças estiver aplicado a um ponto material, a força que reproduz 
o mesmo efeito que o sistema de forças é chamada de resultante. 
, 
 
 
63 
 
 
A resultante é obtida através da soma vetorial das forças. 
𝐅 𝐑 = 𝐅 𝟏 + 𝐅 𝟐 + ⋯ + 𝐅 𝐧 
Forças colineares 
a) Se as forças tiverem a mesma direção e o mesmo sentido, a força resultante terá a 
mesma direção e sentido das forças e intensidade igual a soma das intensidades 
 
 
 
 
 
𝐅 𝐑 = 𝐅 𝟏 + 𝐅 𝟐 
𝐅𝐑 = 𝐅𝟏 + 𝐅𝟐 
b) Se as forças tiverem a mesma direção e sentidos opostos, a força resultante terá a 
mesma direção e sentido da força de maior intensidade e a sua intensidade será igual a 
diferença entre as intensidades. 
 
 
 
𝐅 𝐑 = 𝐅 𝟏 + 𝐅 𝟐 
𝐅𝐑 = 𝐅𝟏 − 𝐅𝟐 (𝐅𝟏 > 𝐅𝟐) 
, 
 
 
64 
 
Forças não-colineares 
Na figura, o ponto P está sob a ação de duas forças 𝐅 𝟏 e 𝐅 𝟐 não-colineares. A 
intensidade da força resultante 𝐅 𝐑 pode ser obtido aplicando a lei dos cossenos. 
 
 
 
 
 
𝐅𝐑
𝟐 = 𝐅𝟏
𝟐 + 𝐅𝟐
𝟐 + 𝟐𝐅𝟏𝐅𝟐𝐜𝐨𝐬𝛂 
Exemplo: 
Atuam sobre um ponto material duas forças 𝐅𝟏 = 𝟓 𝐍 e 𝐅𝟐 = 𝟑 𝐍, formando um 
ângulo de 60o entre si. Qual a intensidade da força resultante? 
Solução: 
As forças estão representadas na figura. 
 
 
 
 
 
 
A força resultante é obtida pela equação: 
𝐅𝐑
𝟐 = 𝐅𝟏
𝟐 + 𝐅𝟐
𝟐 + 𝟐𝐅𝟏𝐅𝟐𝐜𝐨𝐬𝛂 
𝐅𝐑
𝟐 = 𝟓𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟓 ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎 
𝐅𝐑
𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟗 + 𝟑𝟎 ∙ 𝟎, 𝟓 
 
, 
 
 
65 
 
𝐅𝐑
𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟗 + 𝟏𝟓 
𝐅𝐑
𝟐 = 𝟒𝟗 
𝐅𝐑 = √𝟒𝟗 
𝐅𝐑 = 𝟕 𝐍 
4.2 Equilíbrio de um ponto material 
No estudo da primeira lei de Newton vimos que “Na ausência de forças externas e 
quando visualizado a partir de um referencial inercial, um corpo em repouso 
permanece em repouso e um corpo em movimento continua em movimento retilíneo 
com uma velocidade constante”. Nesse caso dizemos que o corpo está em equilíbrio 
estático, quando o corpo se encontra em repouso e equilíbrio dinâmico quando o 
corpo está em movimento. 
Para que um ponto material se encontre em equilíbrio é necessário determinar as 
forças que atuam sobre ele de maneira que a resultante sobre ele seja nula. Uma das 
maneiras de resolver essas situações é através do método das projeções ortogonais 
dos vetores. 
Para descrever esse método vamos considerar um ponto material sujeito as forças 
coplanares 𝐅 𝟏, 𝐅 𝟐, ⋯, 𝐅 𝐧. A condição necessária para que o ponto material se encontre 
em equilíbrio é que a resultante seja nula, ou seja, 𝐅 𝐑 = 𝟎. Como essas forças 
encontram-se no plano temos a projeção delas na direção x e na direção y, e como 
consequência temos 𝐅𝐑𝐱 = 𝟎, ou 𝐅𝟏𝐱 + 𝐅𝟐𝐱 + ⋯ + 𝐅𝐧𝐱 = 𝟎 , e 𝐅𝐑𝐧 = 𝟎, ou 𝐅𝟏𝐲 + 𝐅𝟐𝐲 +
⋯+ 𝐅𝐧𝐲 = 𝟎. 
Exemplo: 
Um peso de 100 N está pendurado em dois 
fios ideais, conforme figura. Determine as 
intensidades das trações nos fios ideais AB e 
AC. 
, 
 
 
66 
 
Solução: 
Colocando um sistema de coordenadas e representando os vetores das forças atuantes 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a decomposição das forças TAB e TAC segundo as direções x e y, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A componente 𝐓𝐀𝐁𝐱 na direção x será: 
𝐜𝐨𝐬𝛂 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐜𝐨𝐬𝛂 =
𝐓𝐀𝐁𝐱
𝐓𝐀𝐁
 
𝐓𝐀𝐁𝐱 = 𝐓𝐀𝐁 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛂 
𝐓𝐀𝐁𝐱 = 𝐓𝐀𝐁 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎 
𝐓𝐀𝐁𝐱 = 𝟎,𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐁 
, 
 
 
67 
 
A componente 𝐓𝐀𝐁𝐲 na direção y será: 
𝐬𝐞𝐧𝛂 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐨𝐬𝐭𝐨
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐬𝐞𝐧𝛂 =
𝐓𝐀𝐁𝐲
𝐓𝐀𝐁
 
𝐓𝐀𝐁𝐲 = 𝐓𝐀𝐁 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛂 
𝐓𝐀𝐁𝐲 = 𝐓𝐀𝐁 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎 
𝐓𝐀𝐁𝐲 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐁 
A componente 𝐓𝐀𝐂𝐱 na direção x será: 
𝐜𝐨𝐬𝛃 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐜𝐨𝐬𝛃 =
𝐓𝐀𝐂𝐱
𝐓𝐀𝐂
 
𝐓𝐀𝐂𝐱 = 𝐓𝐀𝐂 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛃 
𝐓𝐀𝐂𝐱 = 𝐓𝐀𝐂 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎 
𝐓𝐀𝐂𝐱 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐂 
A componente 𝐓𝐀𝐂𝐲 na direção y será: 
𝐬𝐞𝐧𝛃 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐨𝐬𝐭𝐨
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐬𝐞𝐧𝛃 =
𝐓𝐀𝐂𝐲
𝐓𝐀𝐂
 
𝐓𝐀𝐂𝐲 = 𝐓𝐀𝐂 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛃 
𝐓𝐀𝐂𝐲 = 𝐓𝐀𝐂 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎 
𝐓𝐀𝐂𝐲 = 𝟎,𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐂 
, 
 
 
68 
 
Considerando que o vetor com sentido para direita é positivo e sentido para esquerda 
negativo, devemos ter na direção x, 𝐅𝐑𝐱 = 𝟎, ou seja: 
𝐓𝐀𝐁𝐱 − 𝐓𝐀𝐂𝐱 = 𝟎 
𝟎, 𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐁 − 𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟎 
Considerando que o vetor com sentido para cima é positivo e sentido para baixo 
negativo, devemos ter na direção y, 𝐅𝐑𝐲 = 𝟎, ou seja: 
𝐓𝐀𝐁𝐲 + 𝐓𝐀𝐂𝐲 − 𝐏 = 𝟎 
𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐁 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐂 − 𝐏 = 𝟎 
𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐁 + 𝟎,𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐂 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎 
𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐁 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟏𝟎𝟎 
Com a equação da resultante na direção x, 𝐅𝐑𝐱 = 𝟎, e a equação da resultante na 
direção y, 𝐅𝐑𝐲 = 𝟎, podemos montar um sistema de equações: 
{
𝟎, 𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐁 − 𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟎
𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐁 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟏𝟎𝟎
 
Resolvendo o sistema de equações pelo método da adição, multiplicando a primeira 
equação por 0,5 e a segunda equação por 0,866, temos: 
{
𝟎, 𝟐𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐁 − 𝟎,𝟒𝟑𝟑 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟎 
𝟎, 𝟕𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐁 + 𝟎, 𝟒𝟑𝟑 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟖𝟔,𝟔
 
Somando as duas equações, temos: 
𝐓𝐀𝐁 = 𝟖𝟔,𝟔 𝐍 
Substituindo o valor de TAB na equação: 
𝟎, 𝟓 ∙ 𝐓𝐀𝐁 − 𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟎 
 
 
, 
 
 
69 
 
Temos: 
𝟎,𝟓 ∙ 𝟖𝟔,𝟔 − 𝟎,𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟎 
𝟒𝟑,𝟑 − 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟎 
𝟎, 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝐓𝐀𝐂 = 𝟒𝟑,𝟑 
𝐓𝐀𝐂 =
𝟒𝟑,𝟑
𝟎, 𝟖𝟔𝟔
 
𝐓𝐀𝐂 = 𝟓𝟎 𝐍 
 
 
4.3 Momento de uma força 
Se observarmos o posicionamento de uma maçaneta em uma porta, podemos ver que 
ela se encontra o mais longe possível da dobradiça. Quanto mais perto da dobradiça 
for aplicado uma força perpendicular ao plano da porta, maior será a força necessária 
para abrir ou fechar a porta em relação a força aplicada na maçaneta. Outro fator que 
influencia na força necessária é o ângulo que essa força é aplicada, ou seja, diferente 
de 90o em relação ao plano da porta. 
 
A grandeza vetorial que mede a tendência de uma força provocar a rotação de um 
corpo é chamada de torque ou momento de uma força. 
, 
 
 
70 
 
 
 
O torque ou momento de uma força é o produto da intensidade da força F aplicada 
num ponto P, em relação a um ponto O (polo), pelo braço do momento (distância do 
polo a linha de ação da força). 
𝐌𝐨 = 𝐅 ∙ 𝐝 
 
Dependendo do sentido da rotação que o corpo tende a sofrer sob a ação da força o 
momento pode ser positivo ou negativo. Usaremos a convenção de que o momento 
será positivo se a tendência de rotação for em sentido anti-horário em relação ao polo 
e negativo se a tendência de rotação for no sentido horário. 
A unidade de medida do momento no SI é o newton x metro (N.m). 
Binário 
Binário é um sistema constituído de duas forças de mesma intensidade, mesma 
direção e sentidos opostos, cujas linhas de ação da força mantém entre si uma 
distância d não nula. 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
71 
 
 
Para determinar o momento de um binário vamos considerar o ponto O (polo) na 
metade da distância entre as linhas de ação das forças. A escolha do ponto O é 
arbitrária, ou seja, poderia ser em qualquer outro lugar. 
 
 
 
 
 
 
 
O momento do binário é a soma dos momentos das forças que o constituem, em 
relação ao ponto O. Para as duas forças a tendência de rotação é no sentido anti -
horário, portanto será positivo. 
Mo = F ∙
d
2
+ F ∙
d
2
 
Mo = F ∙ d 
 
O momento de um binário não depende do ponto O escolhido e é igual ao produto de 
uma das forças que o constituem pela distância entre as linhas de ação dessas forças. 
Um exemplo de binário está presente quando abrimos uma torneira, onde os nossos 
dedos exercem as forças que o compõem. 
, 
 
 
72 
 
 
Exemplo: 
Uma barra rígida está sob a ação de quatro forças,F⃗ 1, F⃗ 2, F⃗ 3 e F⃗ 4. Determine: 
a) O momento de cada força em relação ao ponto O; 
b) O momento resultante dessas forças, em relação a O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) 
Momento da força F1 
𝐌𝐨 = 𝐅 ∙ 𝐝 
𝐌𝐅𝟏𝒐 = −𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟏𝟓 
𝐌𝐅𝟏𝒐 = −𝟏𝟓 𝐍 ∙ 𝐦 
Momento da força F2 
, 
 
 
73 
 
𝐌𝐅𝟐𝒐 = 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟓 
𝐌𝐅𝟐𝒐 = 𝟏𝟎 𝐍∙ 𝐦 
Momento da força F3 
Como a linha de ação da força passa pelo polo: 
MF3𝑜 = 0 N ∙ m 
Momento da força F4 
Como a linha de ação da força passa pelo polo: 
𝐌𝐅𝟒𝒐 = 𝟎 𝐍 ∙ 𝐦 
 
b) 
𝐌𝐨 = 𝐌𝐅𝟏𝒐 + 𝐌𝐅𝟐𝒐 + 𝐌𝐅𝟑𝒐 + 𝐌𝐅𝟒𝒐 
𝐌𝐑 = −𝟏𝟓+ 𝟏𝟎 + 𝟎 + 𝟎 
𝐌𝐑 = −𝟓 𝐍 ∙ 𝐦 
 
4.4 Equilíbrio do corpo extenso 
Considere um corpo rígido sob a ação de um sistema de forças coplanares com 
momentos das forças em equilíbrio. 
O corpo da figura encontra-se sob a ação de duas forças de mesma intensidade e 
sentidos opostos. 
 
 
 
 
 
Nessa situação a força resultante é igual a zero e o momento resultante em relação ao 
polo O também é zero. 
O corpo da figura encontra-se sob a ação de duas forças de sentidos opostos. 
, 
 
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resultante das forças é igual a F, diferente de zero, e a resultante dos momentos em 
relação ao polo O é igual a zero. 
Um corpo extenso encontra-se em equilíbrio quando não há movimento de translação 
e apresenta ausência de rotação. Desse modo, para que o corpo extenso se encontre 
em equilíbrio duas condições devem ser satisfeitas. 
a) o somatório das forças deve ser igual a zero 
∑𝐅 = 𝟎 
No plano temos: 
∑𝐅𝐱 = 𝟎 
𝐅𝟏𝐱 + 𝐅𝟐𝐱 + ⋯+ 𝐅𝐧𝐱 = 𝟎 
E 
∑𝐅𝐲 = 𝟎 
𝐅𝟏𝐲 + 𝐅𝟐𝐲 + ⋯+ 𝐅𝐧𝐲 = 𝟎 
 
b) o somatório dos momentos em relação a um polo O deve ser igual a zero. 
∑𝐌𝐨 = 𝟎 
𝐌𝐅𝟏 + 𝐌𝐅𝟐 + ⋯ + 𝐌𝐅𝐧 = 𝟎 
 
Exemplos: 
, 
 
 
75 
 
1) Uma barra homogênea de peso 30 N está apoiada nos extremos A e B distanciadas 
de 2,0 m. Um corpo de peso 20 N é colocada sobre a barra a 0,5 m da extremidade B. 
Determine as intensidades das reações dos apoios sobre a barra. 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Representando as forças de reações, o peso da barra e a carga, temos: 
 
 
 
 
 
Observe que RA e RB representam as forças de reações dos apoios, P é o peso da barra 
e está aplicada no centro de gravidade da barra, como a barra é homogênea está no 
meio da barra, e PC é o peso do corpo. 
Essa representação das forças atuantes no sistema é chamada de diagrama de corpo 
livre (DCL). Essa representação é importante pois ela mostra quais são as forças que 
estão atuando no sistema, e de forma estão atuando. 
Pela figura podemos ver que não há forças atuando na direção x, portanto, a soma das 
forças em x é igual a zero. 
Como temos forças agindo na direção y, temos: 
∑𝐅𝐲 = 𝟎 
Convencionando que o sentido da força para cima é positivo e para baixo negativo, 
𝐑𝐀 + 𝐑𝐁 − 𝐏 − 𝐏𝐂 = 𝟎 
, 
 
 
76 
 
Substituindo os valores fornecidos, 
𝐑𝐀 + 𝐑𝐁 − 𝟑𝟎 − 𝟐𝟎 = 𝟎 
𝐑𝐀 + 𝐑𝐁 − 𝟓𝟎 = 𝟎 
𝐑𝐀 + 𝐑𝐁 = 𝟓𝟎 
Devemos ter a soma dos momentos igual a zero. 
∑𝐌𝐨 = 𝟎 
Devemos escolher um ponto como polo. A escolha é arbitrária. Vamos escolher o 
ponto A, desse modo teremos: 
Momento da reação RA igual a zero, pois a linha de ação da força passa pelo polo. 
𝐌𝐑𝐀 = 𝟎 𝐍∙ 𝐦 
A força P tende a fazer a barra girar no sentido horário, portanto o momento do peso P 
será negativo: 
𝐌𝐏 = −𝐏 ∙ 𝐝 
𝐌𝐏 = −𝟑𝟎 ∙ 𝟏 
𝐌𝐏 = −𝟑𝟎 𝐍∙ 𝐦 
 
O peso do corpo PC tende a fazer a barra girar no sentido horário, portanto o momento 
do peso do corpo PC será: 
𝐌𝐏𝐂 = −𝐏𝐂 ∙ 𝐝 
Observe que o braço do momento (distância) do polo até o peso PC é de 1,5 m. 
𝐌𝐏𝐂 = −𝟐𝟎 ∙ 𝟏, 𝟓 
𝐌𝐏𝐂 = −𝟑𝟎 𝐍∙ 𝐦 
 
, 
 
 
77 
 
A reação RB tende a fazer a barra girar no sentido anti-horário, portanto será positivo. 
𝐌𝐑𝐁 = 𝐑𝐁 ∙ 𝐝 
𝐌𝐑𝐁 = 𝐑𝐁 ∙ 𝟐 
Fazendo a soma dos momentos e igualando a zero, temos: 
𝟎 − 𝟑𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟐 ∙ 𝐑𝐁 = 𝟎 
−𝟔𝟎 + 𝟐 ∙ 𝐑𝐁 = 𝟎 
𝟐 ∙ 𝐑𝐁 = 𝟔𝟎 
𝐑𝐁 = 𝟑𝟎 𝐍 
Substituindo o valor de RB na equação 
𝐑𝐀 + 𝐑𝐁 = 𝟓𝟎 
Podemos determinar RA. 
𝐑𝐀 + 𝟑𝟎 = 𝟓𝟎 
𝐑𝐀 = 𝟐𝟎 𝐍 
2) Uma viga horizontal homogênea de comprimento 8 m e peso 100 N é articulada em 
A e é mantida em equilíbrio por meio do fio ideal BC que forma um ângulo  de 60º 
com a viga. O corpo D pesa 250 N. Determine a intensidade da força que traciona o fio 
BC e as componentes vertical e horizontal da reação da articulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
78 
 
Solução: 
Representando as forças que estão agindo no sistema, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tração T tem duas componentes, uma na direção x e a outra na direção y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O somatório das forças em x deve ser igual a zero. 
∑𝐅𝐱 = 𝟎 
𝐑𝐀𝐱 − 𝐓𝐱 = 𝟎 
O somatório das forças em y deve ser igual a zero. 
∑𝐅𝐲 = 𝟎 
𝐑𝐀𝐲 + 𝐓𝐲 − 𝟏𝟎𝟎− 𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 
 
, 
 
 
79 
 
O somatório dos momentos em relação ao polo deve ser igual a zero. 
∑𝐌𝐨 = 𝟎 
Escolhendo o polo em B, temos: 
Momento das forças Ty, Tx, 𝐑𝐀𝐱 e da força de 250 N é igual a zero, pois a linha de ação 
delas passa pelo polo. 
𝐌𝐓𝐲 = 𝟎 𝐍 ∙ 𝐦 
𝐌𝐓𝐱 = 𝟎 𝐍 ∙ 𝐦 
𝐌𝐑𝐀𝐱 = 𝟎 𝐍∙ 𝐦 
𝐌𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 𝐍 ∙ 𝐦 
A força 𝐑𝐀𝐲 tende a fazer a barra girar no sentido horário, portanto o momento será 
negativo: 
𝐌𝐑𝐀𝐲 = −𝐑𝐀𝐲 ∙ 𝐝 
𝐌𝐑𝐀𝐲 = −𝐑𝐀𝐲 ∙ 𝟖 
𝐌𝐑𝐀𝐲
= −𝟖 ∙ 𝐑𝐀𝐲 
A força de 100 N tende a fazer a barra girar no sentido anti-horário, portanto será 
positivo. 
𝐌𝟏𝟎𝟎 = 𝐅 ∙ 𝐝 
𝐌𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟒 
𝐌𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟎 𝐍 ∙ 𝐦 
 
 
, 
 
 
80 
 
Fazendo a soma dos momentos e igualando a zero, temos: 
𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 − 𝟖 ∙ 𝐑𝐀𝐲 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎 
−𝟖 ∙ 𝐑𝐀𝐲 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎 
𝟖 ∙ 𝐑𝐀𝐲 = 𝟒𝟎𝟎 
𝐑𝐀𝐲 = 𝟓𝟎 𝐍 
Substituindo o valor de 𝐑𝐀𝐲 na equação 
𝐑𝐀𝐲 + 𝐓𝐲 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 
Podemos determinar Ty. 
𝟓𝟎 + 𝐓𝐲 − 𝟏𝟎𝟎− 𝟐𝟓𝟎 = 𝟎 
𝐓𝐲 = 𝟑𝟎𝟎 𝐍 
Para calcular força que traciona o fio BC (T) temos: 
𝐬𝐞𝐧𝛉 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐫𝐨 𝐨𝐩𝐨𝐬𝐭𝐨
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎 =
𝐓𝐲
𝐓
 
𝟎,𝟖𝟔𝟔 =
𝟑𝟎𝟎
𝐓
 
𝐓 =
𝟑𝟎𝟎
𝟎, 𝟖𝟔𝟔
 
𝐓 = 𝟑𝟒𝟔,𝟒 𝐍 
 
 
 
, 
 
 
81 
 
Para determinar o valor de Tx temos: 
𝐜𝐨𝐬𝛉 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐫𝐨 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 
𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎 =
𝐓𝐱
𝐓
 
𝟎, 𝟓 =
𝐓𝐱
𝟑𝟒𝟔,𝟒
 
𝐓𝐱 = 𝟎,𝟓 ∙ 𝟑𝟒𝟔,𝟒 
𝐓𝐱 = 𝟏𝟕𝟑,𝟐 𝐍 
Substituindo o valor de Tx na equação 
𝐑𝐀𝐱 − 𝐓𝐱 = 𝟎 
Podemos determinar 𝐑𝐀𝐱 . 
𝐑𝐀𝐱 − 𝟏𝟕𝟑,𝟐 = 𝟎 
𝐑𝐀𝐱 = 𝟏𝟕𝟑,𝟐 𝐍 
Portanto as componentes vertical e horizontal da reação da articulação são: 
𝐑𝐀𝐲 = 𝟓𝟎 𝐍 
𝐑𝐀𝐱 = 𝟏𝟕𝟑,𝟐 𝐍 
E a força que traciona o fio BC é: 
𝐓 = 𝟑𝟒𝟔,𝟒 𝐍 
4.5 Alavancas 
Quando falamos de alavancas não podemos deixar de mencionar a famosa frase dita 
por Arquimedes no século III a.C. para descrever a função de uma alavanca, “Deem-me 
um ponto de apoio e uma alavanca e moverei a Terra.” 
, 
 
 
82 
 
A alavanca é constituída de uma barra rígida que pode girar em torno de um ponto de 
apoio ou fulcro. É utilizada para facilitar a execução de um trabalho pois tem a 
capacidade de multiplicar a força aplicada sobre o objeto. 
A alavanca é constituída de três elementos: 
• Ponto de apoio ou fulcro – ponto ao redor do qual a alavanca pode girar; 
• Forço resistente – peso do objeto que se pretende movimentar; 
• Força potente – força exercida com o objetivo de mover o objeto. 
 
A classificação das alavancas é feita em três tipos: 
• Alavanca interfixa – quando o ponto de apoio está situado entre o ponto de 
aplicação da força potente e a força resistente. Exemplos: alicate, tesoura e 
gangorra. 
• Alavanca inter-resistente – o objeto a ser movimentado está entre o ponto de 
apoio e a força potente. Exemplos: quebra-nozes, abridor de garrafa e carrinho 
de mão. 
, 
 
 
83 
 
• Alavanca interpotente – o ponto de aplicação da força encontra-se entre o 
pontode apoio e a força resistente. Exemplos: pinça, grampeador de papel e 
pegador de gelo. 
 
4.5.1 Equação Fundamental das alavancas 
A força aplicada em um ponto de uma alavanca multiplicado pelo braço de alavanca, 
ou seja, distância entre o ponto de aplicação da força e o fulcro, é igual a força 
aplicada na outra extremidade da alavanca multiplicada pela baraço de alavanca, 
portanto: 
𝐅𝟏 ∙ 𝐝𝟏 = 𝐅𝟐 ∙ 𝐝𝟐 
, 
 
 
84 
 
 
Exemplo: 
É preciso erguer uma massa de 1000 kg que se encontra a 0,30 m do fulcro de uma 
alavanca. Qual deve ser a força potente FP utilizada para conseguir erguer essa massa 
sendo que a força é aplicada a 1,50 m do fulcro? Considere g = 9,8 m/s 2. 
Solução: 
m = 1000 kg 
A força resistente é igual ao peso do corpo. 
𝐅𝐑 = 𝐦 ∙ 𝐠 
𝐅𝐑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟗, 𝟖 
𝐅𝐑 = 𝟗𝟖𝟎𝟎 𝐍 
Aplicando a equação 
𝐅𝟏 ∙ 𝐝𝟏 = 𝐅𝟐 ∙ 𝐝𝟐 
𝟗𝟖𝟎𝟎 ∙ 𝟎,𝟑𝟎 = 𝐅𝐏 ∙ 𝟏,𝟓𝟎 
𝟐𝟗𝟒𝟎 = 𝐅𝐏 ∙ 𝟏, 𝟓𝟎 
𝐅𝐏 =
𝟐𝟗𝟒𝟎
𝟏, 𝟓𝟎
 
𝐅𝐏 = 𝟏𝟗𝟔𝟎 𝐍 
, 
 
 
85 
 
Conclusão 
Nesse bloco vimos a resultante de um sistema de forças e que para uma partícula 
manter se em equilíbrio é necessário que a soma das forças atuantes seja igual a zero. 
Vimos também que o momento de uma força representa a eficiência dessa força 
provocar uma rotação no corpo. Estudamos o equilíbrio de um corpo extenso e que a 
condição para que isso ocorra é que a soma das forças seja igual a zero e que a soma 
dos momentos também deve ser igual a zero, evitando assim os movimentos de 
translação e de rotação. Estudamos as alavancas, os tipos de alavancas e suas 
aplicações. 
Referências 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Mecânica. 10. ed. São 
Paulo: LTC, 2016. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Princípios de Física: Mecânica clássica e Relatividade. 
5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Física para cientistas e engenheiros: mecânica. 9 ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
86 
 
 
5 ÓPTICA GEOMÉTRICA 
Nesse capítulo iremos estudar a óptica geométrica que estuda alguns fenômenos que 
estão relacionados com a luz como a imagem que é uma reprodução de um objeto por 
meio da luz. Veremos como se formam imagens em espelhos planos e espelhos 
esféricos e que essas imagens podem ser reais ou virtuais. Estudaremos também o 
fenômeno da refração da luz e os diferentes tipos de lentes e como funcionam essas 
lentes e alguns dos equipamentos ópticos. 
5.1 Introdução 
Para o estudo da óptica geométrica são necessários a noção de raio de luz, princípios 
fundamentais e considerações de geometria. 
Para representar a luz se propagando graficamente, utilizamos o raio de luz, que são 
linhas orientadas que representam a direção e o sentido que a luz se propaga. 
 
 
 
 
Um conjunto regular de raios de luz constitui um feixe de luz, conforme a direção de 
propagação desses raios o feixe pode ser paralelo, convergente ou divergente. 
 
 
 
 
 
, 
 
 
87 
 
São denominadas fontes de luz todos os corpos que emitem luz. As fontes de luz 
podem ser classificadas em: 
• Fonte primária ou corpos luminosos – são corpos que emitem a luz que 
produzem, ou seja, emitem luz própria. Como exemplo temos o Sol, as estrelas, 
a chama de uma vela. 
• Fonte secundária ou corpos iluminados – são corpos que enviam para o espaço 
a luz que recebem de outros corpos, mas não a produzem. Como exemplo 
temos a Lua, a mesa, a caneta. 
5.1.1 Meios transparentes, translúcidos e opacos 
Para que seja possível ver um objeto é preciso que o meio permita a passagem da luz, 
ou seja, não basta que o corpo seja uma fonte de luz. Dependendo de como a luz se 
comporta o meio pode ser transparente, translúcido ou opaco. 
• Meio transparente – permite ver com nitidez a forma dos objetos através dele. 
Como exemplo temos o ar, o vidro comum, água pura em pequena camada. 
• Meio translúcido – nesse meio a propagação da luz é irregular não permitindo a 
visão nítida dos objetos. Como exemplo temos vidro fosco, o vidro “jateado”, 
papel vegetal. 
• Meio opaco – não permite a propagação da luz, ou seja, não permite a 
visualização dos objetos. Como exemplo temos a madeira, chapa metálica, 
concreto. 
5.1.2 Fenômenos ópticos 
Quando a luz incide sobre uma superfície S que separa dois meios quaisquer, ocorrem 
os seguintes fenômenos: reflexão regular, reflexão difusa, refração da luz e absorção 
da luz. 
• Reflexão regular – quando um feixe de raios paralelos que se propaga no ar 
atinge uma superfície plana e retorna ao meio no qual se propagava mantendo 
o paralelismo. O que acontece em uma superfície plana a polida de um metal. 
, 
 
 
88 
 
 
 
 
 
 
• Reflexão difusa – quando um feixe de raios paralelos que se propaga no ar 
atinge uma superfície rugosa e retorna ao meio propagando-se em todas as 
direções. Por exemplo quando atinge a superfície de uma folha de papel branco 
ou uma parede. 
 
 
 
 
 
 
 
• Refração da luz – quando um feixe de raios paralelos que se propaga no meio 
(1) atinge uma superfície e passa a propagar-se na superfície (2). O que 
acontece quando a luz se propaga no ar e incide sobre a superfície da água de 
uma piscina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
89 
 
• Absorção da luz – quando um feixe de raios paralelos que se propaga no ar 
atinge uma superfície e não sofre reflexão nem refração; a luz é absorvida pela 
superfície. Como a luz é uma forma de energia, a absorção provoca um 
aquecimento do corpo. 
 
 
 
 
 
5.1.3 Princípio da propagação retilínea da luz 
Nos meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta. 
Podemos observar essa lei através da formação da sombra. Se colocarmos uma fonte 
pontual, um objeto opaco e um anteparo podemos observar a formação de sombra. 
 
 
 
 
 
 
 
A ocorrência de eclipses é outro fenômeno que comprova o princípio da propagação 
retilínea da luz. 
5.1.3 Princípio da reversibilidade dos raios de luz 
A trajetória seguida pelos raios de luz independe do sentido de propagação. 
Um raio de luz AB incide sobre uma superfície e reflete segundo a direção BC. Se o raio 
de luz incidir seguindo a direção CB o raio refletido seguirá a direção BA. 
 
 
, 
 
 
90 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.4 Princípio da independência dos raios de luz 
Os raios de luz ao se interceptarem, cada um deles segue seu trajeto, como se os 
outros não existissem, ou seja, os raios de luz são independentes. 
Duas fontes de luz emitem raios de luz. Os raios de luz A e B emitidos pelas fontes se 
cruzam e continuam a se propagar como se nada tivesse acontecido. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Uma câmara escura de orifício apresenta comprimento de 40 cm. De uma árvore de 
altura 5 m observa-se, no anteparo fosco, uma imagem de altura 25 cm. Determine a 
distância da árvore até a câmara. 
Solução: 
A situação do problema está esquematizada na figura. 
 
 
 
 
 
 
Da semelhança de triângulos, podemos escrever: 
, 
 
 
91 
 
𝟓
𝟐𝟓
=
𝐝
𝟒𝟎
 
𝐝 =
𝟐𝟎𝟎
𝟐𝟓
 
𝐝 = 𝟖 𝐦 
5.2 Espelho plano 
Nós vimos que a luz quando se propaga no ar e atinge uma superfície polida ela sofre 
reflexão regular. 
A superfície opaca e polida na qual a luz incide e sofre reflexão regular é chamada de 
superfície refletora ou espelho. 
De acordo com a forma da superfície os espelhos podem ser planos ou curvos. No caso 
dos espelhos curvos, podem ser esféricos, parabólicos etc. 
5.2.1 Leis da reflexão 
A partir da reflexão de um raio de luz que incide sobre um espelho podemos descrever 
os elementos mais importantes associados ao fenômeno. 
 
 
 
 
 
em que: 
a é o raio de luz incidente; 
b é o raio de luz refletido; 
I é ponto onde o raio de luz incide na superfície; 
N é a reta normal; 
i é o ângulode incidência do raio de luz; 
, 
 
 
92 
 
1ª lei 
O raio incidente, o raio refletido e a normal estão situados no mesmo plano. 
2ª lei 
O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão ( i = r ). 
5.2.2 Imagem de um ponto no espelho plano 
Podemos determinar a imagem de um ponto P em um espelho através dos raios de luz 
refletidos pelo espelho que são provenientes de P. 
Vamos considerar dois raios de luz provenientes de P incidindo no espelho. Um raio PA 
normal ao espelho (i = 0o). O raio refletido será sobre ele mesmo (r = 0o). E o outro um 
raio qualquer PI com raio refletido IB de modo que i = r. 
 
 
 
 
 
 
Fazendo o prolongamento dos raios refletidos AP e IB encontramos a interseção que é 
o ponto P’ e que corresponde a imagem de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
93 
 
Pela igualdade dos triângulos PAI e P’AI resulta que P e P’ estão equidistantes do 
espelho, ou seja, o ponto objeto e o ponto imagem são simétricos em relação ao plano 
do espelho. Os prolongamentos de todos os raios refletidos no espelho que são 
provenientes de P passam por P’. 
O ponto P emite luz que irá incidir no espelho e é chamado de ponto objeto. É definido 
pela interseção dos raios incidentes sobre o espelho, portanto, é um ponto objeto real. 
O ponto P’ é definido pela interseção dos raios refletidos no espelho e é chamado de 
ponto imagem virtual. 
5.2.3 Imagem de um objeto extenso 
Para obter a imagem de um objeto extenso formado pelos pontos A, B, C, ..., basta 
construir os pontos conjugados A’, B’, C’, ..., que constituem a imagem do objeto. 
 
 
 
 
 
 
As dimensões da imagem são as mesmas do objeto, porém há uma inversão, ou seja, o 
que está à direita no objeto fica à esquerda na imagem e vice-versa. 
Exemplo: 
Você coloca diante de um espelho plano uma placa onde está escrito UNISA. Como 
você vê a imagem desta palavra conjugada no espelho? 
Solução 
 
 
 
 
 
, 
 
 
94 
 
5.2.4 Associação de dois espelhos planos 
É comum encontrarmos dois espelhos planos associados formando um ângulo  entre 
eles para obter várias imagens de objetos colocados entre esses espelhos. 
 
 
 
 
 
 
O objeto P produz uma imagem I1 no espelho 1 e uma imagem I2 no espelho 2. A 
imagem I1 irá produzir uma imagem no espelho 2, e a imagem I2 irá produzir uma 
imagem no espelho 1 que será coincidente com a imagem produzida por I1. 
O número de imagens N formadas na associação pode ser calculada pela equação: 
𝐍 =
𝟑𝟔𝟎𝐨
𝛂
− 𝟏 
Se a relação 
𝟑𝟔𝟎𝐨
𝛂
 for um número par, qualquer posição que o objeto se encontrar 
entre os dois espelhos haverá sobreposição de imagens, e se a relação for ímpar só 
haverá sobreposição de imagens se o objeto P estiver no plano bissetor do ângulo . 
5.3 Espelho esférico 
Quando cortamos uma superfície esfera com um plano, dividimos em duas partes 
denominadas calotas esféricas. 
 
 
 
 
 
, 
 
 
95 
 
Chamamos de espelho esférico quando uma das faces de uma calota esférica é 
refletora. Se a superfície refletora é a interna, o espelho é denominado espelho 
côncavo, e quando a superfície refletora é a externa, é chamado de espelho convexo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos destacar alguns elementos geométricos que caracterizam um espelho 
esférico. 
• Centro de curvatura (C): é o centro da esfera que contém a calota esférica. 
• Raio de curvatura (R): é o raio da esfera que contém a calota esférica. 
• Vértice do espelho (V): é o polo da calota esférica. 
• Eixo principal: é a reta que passa pelo centro de curvatura e pelo vértice do 
espelho. 
• Ângulo de abertura do espelho (): é o ângulo formado por duas retas que 
passam pelo centro de curvatura e cada uma delas passa pelos pontos 
extremos do contorno da calota. 
• Foco principal (F): é o ponto situado sobre o eixo principal onde todos os raios 
refletidos ou os seus prolongamentos passam por ele. Está situado na metade 
do raio. 
• Distância focal (f): é a distância entre o foco e o vértice e mede a metade do 
raio. 
, 
 
 
96 
 
 
O foco de um espelho côncavo é real, e o foco de um espelho convexo é virtual. 
Gauss observou experimentalmente que a nitidez das imagens em espelhos esféricos 
depende das condições dos raios que incidem sobre o espelho, ou seja, os raios 
incidentes sobre o espelho devem ser paralelos em relação ao eixo principal e 
próximos dele, portanto, devem apresentar pequeno ângulo de abertura ( < 10o) e 
que será o objeto de nosso estudo. 
5.3.1 Propriedades dos espelhos esféricos de Gauss 
• Todo raio de luz que incide num espelho esférico paralelamente ao eixo 
principal reflete passando pelo foco principal. 
 
 
 
 
 
 
• Todo raio de luz que incide passando pelo foco principal reflete paralelamente 
ao eixo principal. 
, 
 
 
97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Todo raio de luz que incide passando pelo centro de curvatura reflete sobre si 
mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
• Todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete simetricamente em 
relação ao eixo principal. 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.2 Construção geométrica de imagens 
Para a construção geométrica de imagens em espelhos esféricos basta utilizar duas das 
propriedades dos espelhos esféricos de Gauss. 
, 
 
 
98 
 
No espelho côncavo da figura o objeto (o) encontra-se além do centro de curvatura. O 
primeiro raio utilizado para a construção da imagem é o que incide paralelo ao eixo 
principal e reflete passando pelo foco, e o segundo é o raio que incide passando pelo 
foco e reflete paralelo ao eixo principal. A imagem (i) irá se formar no cruzamento dos 
raios refletidos. Como a imagem se forma na frente do espelho é chamada de imagem 
real, menor que o objeto e invertida em relação ao objeto, pois estão em sentidos 
contrários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ver outras situações e configurações veja os vídeos apresentados nos links. 
https://youtu.be/W1vPMgJJ6tg 
https://youtu.be/OXq4pzqngV4 
5.3.3 Equação dos pontos conjugados (Equação de Gauss) 
Vamos considerar um sistema de coordenadas onde o eixo das abscissas (eixo x) 
coincide com o eixo principal do espelho e orientada no sentido contrário ao da luz 
incidente, ou seja, o lado positivo estará sempre a frente do espelho e a negativa atrás 
do espelho. O eixo das ordenadas (eixo y) tem sentido de baixo para cima e os valores 
positivos estarão acima do eixo principal do espelho e os negativos abaixo. esse 
sistema constitui o referencial de Gauss. 
Vamos adotar a seguinte nomenclatura para o referencial de Gauss. 
 
 
https://youtu.be/W1vPMgJJ6tg
https://youtu.be/OXq4pzqngV4
, 
 
 
99 
 
• p é a abscissa do objeto (distância do objeto até o vértice do espelho). 
• p’ é a abscissa da imagem (distância da imagem até o vértice do espelho). 
• f é a distância focal. 
• o é a altura do objeto (medido no eixo y). 
• i é a altura da imagem (medido no eixo y). 
Podemos estabelecer uma relação entre a abscissa do objeto (p), a abscissa da imagem 
(p’) e a distância focal do espelho utilizando o referencial de Gauss. 
𝟏
𝐟
=
𝟏
𝐩
+
𝟏
𝐩′
 
Essa equação é conhecida como equação dos pontos conjugados. 
O aumento linear transversal (A) é a relação entre o tamanho da imagem (i) e o 
tamanho do objeto (o), ou seja, ela indica quantas vezes a imagem é maior ou menor 
que o objeto. 
𝐀 =
𝐢
𝐨
 
O aumento linear transversal relaciona-se com a distância do objeto e da imagem ao 
espelho através da expressão: 
𝐀 =
𝐢
𝐨
= −
𝐩′
𝐩
 
Se A for positivo significa que a imagem é direita e se A for negativo significa que a a 
imagem é invertida. 
Exemplo: 
Um objeto luminoso de 4 cm de altura encontra-se a 60 cm diante de um espelho 
esférico côncavo de raio de curvatura 40 cm. Determine as características da imagem 
conjugada e o aumento linear transversal. 
 
 
, 
 
 
100 
 
Solução 
Como p = 60 cm, o objeto é real. 
𝐟 =
𝐑
𝟐
 
𝐟 =
𝟒𝟎
𝟐
 
𝐟 = 𝟐𝟎 𝐜𝐦 
Aplicando a equação dos pontosconjugados, temos: 
𝟏
𝐟
=
𝟏
𝐩
+
𝟏
𝐩′
 
𝟏
𝟐𝟎
=
𝟏
𝟔𝟎
+
𝟏
𝐩′
 
𝟏
𝐩′
=
𝟏
𝟐𝟎
−
𝟏
𝟔𝟎
 
𝟏
𝐩′
=
𝟑 − 𝟏
𝟔𝟎
 
𝟏
𝐩′
=
𝟐
𝟔𝟎
 
𝟐𝐩′ = 𝟔𝟎 
𝐩′ = 𝟑𝟎 𝐜𝐦 
Como p’ é positivo a imagem é real e encontra-se a 30 cm do espelho. 
 
 
 
 
, 
 
 
101 
 
O tamanho da imagem pode ser determinado por: 
𝐢
𝐨
= −
𝐩′
𝐩
 
𝐢
𝟒
= −
𝟑𝟎
𝟔𝟎
 
𝐢 = −𝟐 𝐜𝐦 
O sinal negativo indica que a imagem está abaixo do eixo principal e mede 2 cm, e 
encontra-se do lado oposto do objeto, portanto, é invertida em relação ao objeto. 
O aumento linear transversal vale: 
𝐀 =
𝐢
𝐨
 
𝐀 =
−𝟐
𝟒
 
𝐀 = −
𝟏
𝟐
 
O sinal negativo indica que a imagem é invertida e o resultado mostra que o tamanho 
da imagem é a metade do tamanho do objeto. 
5.4 Refração da luz 
Você já deve ter observado que quando colocamos uma colher dentro de um copo 
com água, parece estar quebrada. 
Esse fenômeno e muitos outros são explicados pela refração da luz, que é um 
fenômeno que ocorre quando a luz passa de um meio transparente para outro meio 
transparente diferente. 
Quando a luz incide obliquamente sobre a superfície que separa dois meios, a luz sofre 
um desvio ao passar de um meio para o outro ocorrendo uma mudança de direção de 
propagação. Essa mudança de direção está associada a mudança de velocidade de 
propagação. 
, 
 
 
102 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.1 Índice de refração 
A grandeza física que relação a velocidade da luz no vácuo (c) com a velocidade da luz 
em outro meio (v) é denominado índice de refração absoluto (n) e é adimensional. 
n =
c
v
 
A velocidade da luz no vácuo é c = 3 x 108 m/s. 
O meio que possui maior índice de refração apresenta maior refringência (mais 
refringente). 
5.4.2 Lei da refração 
São duas as leis da refração. 
1ª lei 
O raio incidente i, o raio refratado R e a normal N à superfície de separação pertencem 
ao mesmo plano. 
2ª lei (Lei de Snell) 
Quando uma radiação monocromática passa de um meio para outro, é constante o 
produto do seno do ângulo formado pelo raio de luz com a normal e o correspondente 
índice de refração do meio, ou seja, para dois meios (1) e (2), temos: 
sen i ∙ n1 = sen r ∙ n2 
, 
 
 
103 
 
ou 
𝐬𝐞𝐧 𝐢
𝐬𝐞𝐧 𝐫
=
𝐧𝟐
𝐧𝟏
 
com 
𝐧𝟐
𝐧𝟏
=
𝐯𝟏
𝐯𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Um raio de luz propagando no vácuo (n = 1) atinge a superfície de um líquido com um 
ângulo de incidência de 45o e o raio refratado forma um ângulo de 30o com a normal. 
Determine o índice de refração absoluto do líquido e a velocidade com que a luz se 
propaga nele. 
Solução 
𝐬𝐞𝐧 𝐢
𝐬𝐞𝐧 𝐫
=
𝐧𝟐
𝐧𝟏
 
𝐬𝐞𝐧 𝟒𝟓
𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎
=
𝐧𝟐
𝟏
 
𝟎,𝟕𝟎𝟕
𝟎, 𝟓
=
𝐧𝟐
𝟏
 
𝐧𝟐 =
𝟎, 𝟕𝟎𝟕
𝟎, 𝟓
 
, 
 
 
104 
 
𝐧𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒 
𝐧𝟐
𝐧𝟏
=
𝐯𝟏
𝐯𝟐
 
𝟏, 𝟒𝟏𝟒
𝟏
=
𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟖
𝐯𝟐
 
𝟏, 𝟒𝟏𝟒
𝟏
=
𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟖
𝐯𝟐
 
𝐯𝟐 =
𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟖
𝟏, 𝟒𝟏𝟒
 
𝐯𝟐 = 𝟐, 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟎
𝟖 𝐦/𝐬 
5.5 Lentes Delgadas 
Lente esférica é um sistema óptico constituído por um objeto transparente como um 
pedaço de plástico ou vidro, limitada por duas superfícies que são segmentos de 
esferas ou uma esférica e outra plana com um eixo central em comum. 
As lentes esféricas são classificadas em dois tipos de acordo com a geometria: Lentes 
de bordos finos, são mais grossas no centro do que na borda, e lentes de bordos 
grossos que são mais finas no centro do que na borda. 
As lentes de bordos finos são convergentes, os raios luminosos inicialmente paralelos 
ao eixo central se aproximem do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
105 
 
As lentes de bordos grossos são divergentes, faz com que os raios se afastem do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Elementos de uma lente esférica 
 
 
 
 
 
 
 
C1 e C2 são os centros de curvatura das faces esféricas. 
R1 e R2 são os raios de curvatura das faces esféricas. 
Eixo principal reta comum aos centros de curvatura C1 e C2. 
V1 e V2 são os vértices, interseção do eixo principal com as faces . 
e é a espessura da lente, distância entre os vértices. 
n1 índice de refração do meio externo. 
n2 índice de refração da lente. 
5.5.1 Equação dos pontos conjugados (equação de Gauss) 
É a equação que relaciona a abscissa do objeto (p), a abscissa da imagem (p’) e a 
distância focal da lente (f). 
, 
 
 
106 
 
𝟏
𝐟
=
𝟏
𝐩
+
𝟏
𝐩′
 
 
Esta equação é chamada equação da lente fina e pode ser usada com qualquer lente 
convergente ou divergente se forem adotadas algumas convenções de sinais. 
Aumento linear transversal 
𝐀 =
𝐢
𝐨
 
𝐀 =
𝐢
𝐨
= −
𝐩′
𝐩
 
Exemplo: 
Utilizando uma lente delgada projeta-se numa tela situada a 200 cm da lente, a 
imagem real de um objeto luminoso com 5 cm de altura e colocada a 20 cm da lente. 
Determine: 
a) o tipo de lente e sua distância focal; 
b) o aumento linear transversal da imagem; 
c) o tamanho da imagem. 
Solução 
a) 
A imagem e o objeto são reais, portanto, a lente é convergente. 
Aplicando a equação dos pontos conjugados, temos: 
 
 
 
 
, 
 
 
107 
 
𝟏
𝐟
=
𝟏
𝐩
+
𝟏
𝐩′
 
𝟏
𝐟
=
𝟏
𝟐𝟎
+
𝟏
𝟐𝟎𝟎
 
𝟏
𝐟
=
𝟏𝟎+ 𝟏
𝟐𝟎𝟎
 
𝐟 =
𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟏
 
𝐟 = 𝟏𝟖, 𝟐 𝐜𝐦 
 
b) 
𝐀 = −
𝐩′
𝐩
 
𝐀 = −
𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎
 
𝐀 = −𝟐𝟎 
O sinal negativo indica que a imagem é invertida e 20 vezes maior que o objeto. 
c) 
A =
i
o
 
−20 =
i
5
 
i = −100 cm 
5.5.2 Vergência de uma lente 
Analisando as lentes convergentes podemos observar que quanto menor a distância 
focal mais convergente ela será e quanto maior a distância focal ela será menos 
convergente. Essa convergência também é chamada de vergência. 
A vergência (D) de uma lente é definida como o inverso de sua distância focal. 
, 
 
 
108 
 
D =
1
f
 
A unidade de medida da vergência é chamada de dioptria (di) que corresponde ao 
inverso da unidade metro (m). 
1 di =
1
m
= m−1 
O que chamamos de grau de uma lente corresponde ao valor de sua vergência em 
dioptria. 
5.5.3 Equação do fabricante de lentes 
A distância focal de uma lente (f) e sua vergência depende do material de que é 
fabricado a lente e do meio no qual ela está imersa. Essa distância focal pode ser 
determinada a partir da denominada equação dos fabricantes de lentes que relaciona 
os índices de refração dos meios e os raios de curvatura de suas faces. 
1
f
= (
n2
n1
− 1) (
1
R1
+
1
R2
) 
Na qual: 
n2 é o índice de refração da lente; 
n1 é i índice de refração do meio que a envolve. 
Deve-se usar as seguintes convenções de sinais para os raios de curvatura R1 e R2. 
Face convexa usar raio positivo; 
Face côncava usar raio negativo. 
Se o meio que a lente se encontra imersa for o ar podemos escrever a equação como: 
1
f
= (n − 1)(
1
R1
+
1
R2
) 
Na qual n é o índice de refração da lente. 
, 
 
 
109 
 
Exemplo: 
Uma lente delgada de vidro, cujo índice de refração é 1,5, é biconvexa, possuindo raios 
de curvatura iguais a 20 cm. Determine a distância focal da lente. quando ela estiver 
no ar e quando ela estiver imersa num líquido de índice de refração igual a 2. 
Solução 
Quando a lente é biconvexa a face é convexa, portanto, o raio é positivo. 
No ar 
1
f
= (n − 1)(
1
R1
+
1
R2
) 
1
f
= (1,5 − 1) (
1
20
+
1
20
) 
1
f
= (0,5) (
2
20
) 
1
f
=
1
20
 
f = 20 cm 
D =
1
f
 
D =
1
0,2
 
D = 5 di 
No líquido 
1
f
= (
n2
n1
− 1) (
1
R1
+
1
R2
) 
1
f
= (
1,5
2
− 1) (
1
20
+
1
20
) 
, 
 
 
110 
 
1
f
= (
1,5 − 2
2
)(
2
20
) 
1
f
= (−
0,5
2
) (
2
20
) 
1
f
= −
1
40
 
f = −40 cm 
 
D =
1
f
 
D =
1
−0,4
 
D = −2,5 di 
5.5.4 Instrumentos ópticos 
• Lupa ou lente de aumento 
Chamamos lupa ou lente de aumento a uma simples lente convergente que fornece de 
um objeto real uma imagem virtual, direita e maior. 
 
 
 
, 
 
 
111 
 
• Microscópio composto 
O microscópio composto é um instrumento óptico utilizado para observar pequenos 
objetos. São constituídospor duas lentes convergentes associadas coaxialmente. A que 
se encontra próxima do objeto é chamada de objetiva e a outra é a que observamos a 
imagem e é chamada de ocular. 
 
 
• Lunetas 
São instrumentos destinados a observação de objetos distantes como os astros. É 
constituído de duas lentes convergentes, a objetiva e a ocular. 
 
 
, 
 
 
112 
 
Conclusão 
Estudamos fenômenos que estão relacionados com a luz como a imagem que é uma 
reprodução de um objeto por meio da luz. Estudamos também as fontes de luz 
primária e secundária e os meios transparente, translúcido e opaco. A reflexão regular 
em superfície polidas permite vermos a imagem dos objetos e a reflexão difusa 
permite a observação de objetos em geral. Vimos a formação de imagens em espelhos 
planos e que estas são virtuais e que há uma inversão, ou seja, o que está à direita no 
objeto fica à esquerda na imagem e vice-versa. Estudamos os espelhos esféricos, e 
estes podem ser côncavo ou convexo e a análise das imagens através da equação dos 
pontos conjugados e do aumento linear transversal. Falamos sobre o fenômeno da 
refração e a lei de Snell. Estudamos as lentes convergentes e divergentes e vimos a 
equação dos fabricantes de lentes e finalizamos com instrumentos ópticos que fazem 
uso das lentes. 
REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Óptica e Física 
Moderna. 10. ed. São Paulo: LTC, 2016. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Princípios de Física: Óptica e Física Moderna. 5 ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Física para cientistas e engenheiros: luz, óptica e física 
moderna. 9 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
113 
 
 
6 ÓTICA FÍSICA 
Nesse capítulo iremos estudar a teoria ondulatória de Huygens que supôs que a luz 
consiste de ondas, em vez de um feixe de partículas. Com base no princípio de 
Huygens uma construção geométrica permite prever onde estará uma dada frente de 
onda em qualquer instante futuro se conhecermos a posição atual. Estudaremos 
também que o índice de refração de um meio é dado por n = c/v, e que o 
comprimento de onda λn da luz em um meio está relacionado ao índice de refração do 
meio. Saber que, quando a luz passa de um meio para outro, a frequência permanece 
a mesma, mas o comprimento de onda e a velocidade da luz podem mudar. Conhecer 
a relação entre o comprimento da luz no vácuo, o comprimento da luz em um meio e o 
índice de refração do meio. 
6.1 A luz como onda 
O físico holandês Christian Huygens foi o primeiro a apresentar uma teoria ondulatória 
convincente para a luz. O princípio de Huygens permite determinar a posição de uma 
frente de onda a partir do conhecimento de uma frente de onda anterior utilizando um 
modelo geométrico. 
O princípio de Huygens diz que: 
“Todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais de 
ondas secundárias. Depois de um intervalo de tempo t, a nova posição da frente de 
onda é dada por uma superfície tangente a essas ondas secundárias”. 
O plano ab mostra a localização atual da frente de onda de uma onda plana viajando 
da esquerda para a direita no vácuo. A questão é depois de transcorrido um intervalo 
de tempo Δt onde estará a frente de onda? Os vários pontos no plano ab comportam-
se como fontes pontuais de ondas secundárias, emitidas no instante t = 0. Decorrido 
um intervalo de tempo Δt, o raio dessas ondas esféricas é cΔt, em que c é a velocidade 
da luz no vácuo. O plano de corresponde à frente de onda da onda plana no instante 
Δt, e está a uma distância perpendicular cΔt sendo paralelo ao plano ab. 
, 
 
 
114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.1 Lei da refração 
Agora vamos deduzir a lei da refração usando o princípio de Huygens. A figura mostra 
o instante que o raio 1 atinge a superfície e o intervalo de tempo subsequente até́ que 
o raio 2 atingir a superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a onda 1 atinge a superfície, uma onda secundária de Huygens com a origem 
no ponto B se expande até chegar a superfície no ponto C, a uma distância λ1 do ponto 
B. O tempo necessário para a expansão é: 
, 
 
 
115 
 
∆𝐭𝟏 =
𝛌𝟏
𝐯𝟏
 
No mesmo instante a onda refratada expande de A a D com distância λ2. Nesse meio 
ele expande com velocidade v2, e o tempo necessário para a expansão é: 
∆𝐭𝟐 =
𝛌𝟐
𝐯𝟐
 
Como esses intervalos de tempo devem ser iguais, temos: 
𝛌𝟏
𝐯𝟏
=
𝛌𝟐
𝐯𝟐
 
𝛌𝟏
𝛌𝟐
=
𝐯𝟏
𝐯𝟐
 
A partir dos triângulos ABC e ADC temos: 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏 =
𝐁𝐂
𝐀𝐂
 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏 =
𝛌𝟏
𝐀𝐂
 
e 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐 =
𝐀𝐃
𝐀𝐂
 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐 =
𝛌𝟐
𝐀𝐂
 
Dividindo a primeira equação pela primeira, temos: 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐
=
𝛌𝟏
𝐀𝐂
𝛌𝟐
𝐀𝐂
 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐
=
𝛌𝟏
𝛌𝟐
 
 
, 
 
 
116 
 
Como 
𝛌𝟏
𝛌𝟐
=
𝐯𝟏
𝐯𝟐
, temos: 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐
=
𝛌𝟏
𝛌𝟐
=
𝐯𝟏
𝐯𝟐
 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐
=
𝐯𝟏
𝐯𝟐
 
Os índices de refração para os meios 1 e 2 são: 
𝐧𝟏 =
𝐜
𝐯𝟏
 
𝐯𝟏 =
𝐜
𝐧𝟏
 
e 
𝐯𝟐 =
𝐜
𝐧𝟐
 
Desse modo podemos escrever 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐
=
𝐜
𝐧𝟏
𝐜
𝐧𝟐
 
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏
𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐
=
𝐧𝟐
𝐧𝟏
 
𝐧𝟏𝐬𝐞𝐧𝚯𝟏 = 𝐧𝟐𝐬𝐞𝐧𝚯𝟐 
que é a Lei de Snell para Refração. 
6.2 O experimento de Young 
Muitos cientistas pensavam que a luz não era uma onda, até que Thomas Young 
provou experimentalmente que a luz é uma onda, demonstrando que a luz sofre 
interferência como todos os outros tipos de ondas. 
 
, 
 
 
117 
 
O experimento de Young baseia se na luz de uma fonte monocromática atingir uma 
fenda em um anteparo. A luz passando através da fenda estreita difrata e é usada para 
iluminar outras duas fendas presentes em outro anteparo. A luz atravessando essas 
fendas sofre nova difração e duas ondas esféricas se propagam simultaneamente no 
espaço após o anteparo, interferindo uma com a outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando duas ondas deixam as duas fendas em fase e elas chegam na fase em O ocorre 
uma interferência construtiva nesta localização e pode se observar uma franja 
brilhante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
118 
 
Quando duas ondas de luz começam em fase, mas uma delas tem que percorrer um 
comprimento de onda maior para atingir o ponto P na tela e se estiverem exatamente 
a um comprimento de onda, elas chegam na fase em P. Desse modo uma franja 
brilhante aparece nesta localização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando uma das ondas se encontra meio comprimento de onda atrás da outra quando 
chegam à tela, o vale da primeira onda se sobrepõe à crista da outra onda, gerando 
uma interferência destrutiva em R. Portanto você̂ observa uma franja escura nesta 
localização. 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 A posição das franjas 
Vamos considerar uma fonte monocromática e as ondas emergindo de S1 e S2 têm o 
mesmo comprimento de onda e amplitude e estão em fase. Outra consideração que é 
necessária é que L >> d para que os raios r1 e r2 sejam considerados aproximadamente 
paralelos. 
, 
 
 
119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A onda da fenda inferior viaja mais que a onda da fenda superior numa quantidade ∆L 
chamada de diferença de percurso. 
ΔL = r2 − r1 = d senΘ 
Essa diferença de percurso determina se as duas ondas estão em fase ou fora de fase 
quando chegam a P. Se a diferença de percurso for zero ou um múltiplo inteiro do 
comprimento de onda, as duas ondas estarão em fase no ponto P, que resulta em 
interferência construtiva. Desse modo poder escrever a expressão de ∆L como: 
ΔL = d senΘ = mλ 
Para m = 0, 1, 2, ... 
No caso de franja escura, interferência destrutiva, a diferença de percurso é de meio 
comprimento de onda e chegam em P defasada de 180º, portanto, ∆L será: 
ΔL = d senΘ= (m +
1
2
) λ 
Para m = 0, 1, 2, ... 
6.3.1 Ângulo 
A equação da diferença de percurso ∆L que acabamos de estudar proporciona a 
posição angular das franjas. 
 
∆L 
, 
 
 
120Para 
ΔL = d senΘ = mλ 
senΘ =
mλ
d
 
Θ = sen−1 (
mλ
d
) 
E para 
ΔL = d senΘ= (m +
1
2
) λ 
senΘ =
(m +
1
2)λ
d
 
Θ = sen−1 (
(m+
1
2)λ
d
) 
Sendo 
tgΘ =
𝑦
L
 
temos 
y = L tgΘ 
Como temos L >> d, vale a aproximação tg θ = sen θ = θ. 
Para franjas claras temos: 
tgΘ = senΘ 
𝑦
L
=
mλ
d
 
𝑦 = L
mλ
d
 
E para franjas escuras: 
, 
 
 
121 
 
tgΘ = senΘ 
𝒚
𝐋
=
(𝐦 +
𝟏
𝟐)𝛌
𝐝
 
𝒚 = 𝐋
(𝐦 +
𝟏
𝟐)𝛌
𝐝
 
Exemplo: 
Qual é a distância no anteparo da figura entre dois máximos vizinhos perto do centro 
da figura de interferência? O comprimento de onda λ da luz é 546 nm, a distância 
entre as fendas d é 0,15 mm e a distância L entre as fendas e a tela é 60 cm. Suponha 
que o ângulo θ é suficientemente pequeno para que sejam válidas as aproximações 
sen θ ≈ tg θ ≈ θ, em que θ está expresso em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
O ângulo θ para o máximo de ordem m é dado por: 
𝐲𝐦 = 𝐋
𝐦𝛌
𝐝
 
E o máximo de ordem m + 1 é: 
𝐲𝐦+𝟏 = 𝐋
(𝐦 + 𝟏)𝛌
𝐝
 
 
∆L 
, 
 
 
122 
 
A distância entre os dois máximos será: 
𝚫𝐲 = 𝐲𝐦+𝟏 − 𝐲𝐦 
𝚫𝐲 = 𝐋
(𝐦 + 𝟏)𝛌
𝐝
− 𝐋
𝐦𝛌
𝐝
 
𝚫𝐲 = 𝐋
𝐦𝛌
𝐝
+ 𝐋
𝛌
𝐝
− 𝐋
𝐦𝛌
𝐝
 
𝚫𝐲 = 𝐋
𝛌
𝐝
 
Substituindo os valores fornecidos, temos: 
Δy = 0,6
546 ∙ 10−9
15 ∙ 10−5
 
Δy = 0,6 ∙ 36,4 ∙ 10−4 
Δy = 2,184 ∙ 10−3 m 
Δy = 2,184 mm 
Conclusão 
Estudamos a teoria ondulatória de Huygens que supôs que a luz consiste de ondas, em 
vez de um feixe de partículas. Estudamos também que o comprimento de onda λn da 
luz em um meio está relacionado ao índice de refração do meio. a relação entre o 
comprimento da luz no vácuo, o comprimento da luz em um meio e o índice de 
refração do meio. Vimos a ocorrência de interferência construtiva e destrutiva através 
de um anteparo quando a luz atravessa uma fenda. Estudamos como determinar a 
posição de uma franja e a relação com o ângulo de incidência no anteparo. 
REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: Óptica e Física 
Moderna. 10. ed. São Paulo: LTC, 2016. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Princípios de Física: Óptica e Física Moderna. 5 ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
SERWAY, R. A.; JEWETT JR, J. W. Física para cientistas e engenheiros: luz, óptica e física 
moderna. 9 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2018.