TCC A. Landezo-1

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UNIVERSIDADE LÚRIO 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
DIRECÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
Verificação da Segurança de Vigas em Betão Armado e Pré-Esforçado 
Estudo de caso: Viga de uma Ponte Rodoviária 
 
 
 
Autor: 
Arsénio Ilídio Landezo 
 
Supervisor: 
Eng. Nelson Traquinho 
 
 
 
 
 
 
 
PEMBA, 2023 
 
 
UNIVERSIDADE LÚRIO 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
DIRECÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
Verificação da Segurança de Vigas em Betão Armado e Pré-Esforçado 
Estudo d e caso: Viga de uma Ponte Rodoviária 
 
Monografia apresentada ao Curso de 
Licenciatura em Engenharia Civil da 
Universidade Lúrio como cumprimento do 
requisito obrigatório para obtenção do título 
de Licenciado em Engenharia Civil. 
 
Autor: 
Arsénio Ilídio Landezo 
 
Supervisor: 
Eng. Nelson Traquinho 
 
 
 
 
PEMBA, 2023
iii 
 
PENSAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Hoje é o único tempo do qual você realmente 
dispõe. É muito tarde para o ontem, e não há como 
depender do amanha” (John C. Maxwell) 
 
 
 
iv 
 
PAGINA DE ACEITAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Presidente do Júri 
 
Secretário 
 
Vogal 
 
 
 
 
 
 
 
Pemba / /2023 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
DECLARAÇÃO DE HONRA 
 
 
Eu, Arsénio Ilídio Landezo, filho de Ilídio Landezo e de Relva Ernesto Carimo, nascido ao 23 de 
Setembro de 1999, Cidade de Quelimane, Província da Zambézia, declaro que sou autor desta 
Monografia e que autorizo a Universidade Lúrio, a fazer uso da mesma com a finalidade que julgue 
conveniente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assinatura: 
 Data: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
 
AGRADECIMENTOS 
 
O meu profundo agradecimento a todos os que me apoiaram, de forma direta ou indireta, na 
realização deste trabalho. Em particular: 
Aos meus pais Ilídio Landezo e Relva Ernesto, aos meus irmãos e amigos pelo apoio incondicional, 
não só durante a elaboração deste trabalho, mas também durante todo o meu percurso académico. 
Gostaria de dar o meu grande agradecimento ao meu supervisor, Engenheiro Nelson Traquinho, 
que contribuiu para a elaboração deste trabalho em mais do que apenas com orientação técnica. 
Aos meus amigos e colegas da faculdade, pelo apoio e compreensão prestados, pelo 
companheirismo e ajuda muitas vezes prestada. Agradeço principalmente o tempo comigo 
partilhado, proporcionando muitos dos melhores momentos por mim vividos. 
Finalmente, um especial agradecimento aos meus irmãos Renalda e Relidio pelo apoio, 
compreensão e encorajamento constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
DEDICATÓRIA 
 
Dedico este trabalho a Deus, autor de meu destino, aos meus Pais Ilídio Landezo e Relva Ernesto 
Carimo e aos meus irmãos que, com muito amor e apoio, não mediram esforços para que eu 
realizasse meus sonhos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
 
LISTAS DE ABREVIATURAS 
 
CFRP Carbon Fiber Reinforced Polymer 
EC2 Euro código 2 
ELS Estado Limite de Serviço 
ELU Estado Limite Último 
EN1 Estrada Nacional Número 1 
FIB Fédération Internationale du Béton 
FIP Fédération Internationale de la Précontrainte, 
PCI Prestressed Concrete Institute 
REBAP Regulamento De Estruturas De Betão Armado e Pré-Esforçado 
RSA Regulamento de Segurança e Acções Para Estruturas de Edifícios e Pontes 
VT Veiculo Tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ix 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
𝐴𝑐 Área da secção 
𝐴𝑃 Área das armaduras de pré-esforço 
𝐴𝑠 Área da secção de armadura 
𝐴𝑠.𝑚𝑎𝑥 Área máxima de armaduras 
𝐴𝑠.𝑚𝑖𝑛 Área mínima de armaduras 
𝐴𝑠𝑤 Área de armadura de esforço transverso existente no comprimento s 
a Largura da superfície de contacto das rodas do veículo-tipo 
b Altura da superfície de contacto das rodas do veículo-tipo 
𝑏𝑤 Largura da alma 
d Altura útil da secção 
e Excentricidade do cabo de pré-esforço ao centro de gravidade da secção 
𝐸𝑐𝑚 Módulo de elasticidade do betão 
𝐸𝑃 Módulo de elasticidade da armadura de pré-esforço 
𝐸𝑠 Módulo de elasticidade da armadura Ordinária 
𝐹𝑐 Força de compressão no betão 
𝐹𝑃 Força de pré-esforço 
𝐹𝑠 Força no tirante no aço 
𝑓𝑐𝑑 Valor de cálculo da tensão resistente do betão à compressão 
𝑓𝑐𝑘 Valor característico da tensão resistente do betão à compressão 
𝑓𝑐𝑚 Valor médio da tensão de rotura do betão à compressão 
𝑓𝑐𝑡𝑚 Valor médio da tensão de rotura do betão à tração simples 
𝑓𝑝𝑢𝑘 Valor característico da resistência do aço das armaduras de pré-esforço 
𝑓𝑝0.1𝑘 Valor característico da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0.1% 
𝑓𝑝𝑦𝑑 Valor de cálculo de cedência das armaduras de pré-esforço 
𝑓𝑠𝑦𝑑 Valor de cálculo da tensão de cedência do aço (REBAP) 
x 
 
𝑓𝑦𝑑 Valor de cálculo da tensão de cedência do aço (EC2) 
𝑓𝑦𝑘 Valor característico da tensão de cedência do aço 
ℎ𝑓 Altura do banzo 
𝐼 Momento de inércia da secção 
𝐿 Comprimento do vão do tabuleiro 
𝑀𝑐,𝑞𝑝 Momento fletor referente à combinação quase permanente das acções 
𝑀𝐸𝑑 Valor de cálculo do momento flector atuante (EC) 
𝑀𝑆𝑑 Valor de cálculo do momento flector atuante (RSA) 
MRd O momento resistente de cálculo 
𝑄 Carga transmitida por cada eixo do veículo-tipo 
𝑃𝑚𝑎𝑥 Valor máximo de pré-esforço 
𝑃∞ Valor de pré-esforço a longo prazo 
𝑅𝑑 Valor de cálculo da resistência do material 
𝑅𝑘 Valor característico da resistência do material 
𝑆𝑑 Valor de cálculo da solicitação atuante 
𝑆𝐺𝑖𝑘 Esforço resultante da acção permanente, tomada com o seu valor característico 
𝑆𝑘 Valor característico da acção 
𝑆𝑄𝑗𝑘 Esforço resultante de uma ação variável distinta da acção base, tomada com o seu 
valor característico 
𝑆𝑄1𝑘 Esforço resultante da acção variável considerada como acção de base da combinação 
tomada com o seu valor característico 
𝑆𝐹𝑎 Esforço resultante de uma acção de acidente, tomada com o seu valor nominal 
𝑠 Espaçamento entre estribos 
𝑉𝐸𝑑 Valor de cálculo do esforço transverso atuante (EC) 
𝑉𝑅𝑑 Força resistente de cálculo 
𝑉𝑆𝑑 Valor de cálculo do esforço transverso atuante (RSA) 
xi 
 
𝑣 Coeficiente de Poisson 
𝑥 Distancia da linha neutra 
𝑧 Braço das forças interiores 
 
𝛼 Ângulo formado pelas armaduras de esforço transverso com o eixo do elemento 
𝛽 Soma dos valores absolutos (em radianos) dos ângulos de desvio do traçado da 
armadura de pré-esforço 
𝑘 Desvio angular parasita por unidade de comprimento 
µ Coeficiente de atrito entre a armadura de pré-esforço e a conduta 
𝑦𝑐 Coeficiente parcial relativo ao betão 
𝑦𝑔𝑖 Coeficiente de segurança relativo às ações permanentes 
𝑦𝑃 Coeficiente de segurança relativo ao pré-esforço 
𝑦𝑞 Coeficiente de segurança relativo às acções variáveis 
𝑦𝑠 Coeficiente parcial relativo ao aço 
𝜀𝑐 Extensão do betão à compressão 
𝜀𝑠 Extensão do aço 
∆𝜀𝑆𝑃 Variação do alongamento no aço de pré-esforço 
𝜎𝑐 Tensão de compressão do betão 
𝜎𝑡 Tensão de tracção do betão 
𝜎𝑃,𝑚𝑎𝑥 Tensão máxima aplicada à armadura de pré-esforço 
∅b Diâmetro da bainha 
𝜓 Coeficiente que quantifica as ações consoante a combinação e o estado limite 
 
 
 
 
 
xii 
 
INDICE DE TABELAS 
 
 
Tabela 1 – Diâmetro das Bainhas ................................................................................................. 48 
Tabela 2 – valores de pesos volúmicos dos materiais................................................................... 50 
Tabela 3 – Valores dos coeficientes de segurança das acções ...................................................... 53 
Tabela 4 – Propriedades do betão ................................................................................................. 66 
Tabela 5 – Características mecânicas da armadura Ordinária ..................................................... 67 
Tabela 6
– Características mecânicas do aço de pré-esforço ........................................................ 67 
Tabela 7 – Propriedades e regulamentos de cordoes mais usados ................................................ 89 
Tabela 8 – Catalogo das ancoragens activas do tipo MSA ........................................................... 90 
Tabela 9 – Catalogo para as ancoragens de continuidade do tipo MCB ...................................... 91 
Tabela 10 – Catalogo das ancoragens passivas do tipo MTP ....................................................... 92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xiii 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
Figura 1 – O estado de tensão associado ao pré-esforço contraria o estado de tensão associado ás 
cargas. ........................................................................................................................................... 25 
Figura 2 – Ilustração do principais efeitos do pré-esforço ............................................................ 26 
Figura 3 – Viga pré-fabricada e pré-esforçada de secção I. .......................................................... 31 
Figura 4 – Tipos de secções de vigas pré-fabricadas correntemente utilizados ........................... 32 
Figura 5 – Esquema simplificado para peças pré-esforçadas por pré-tensão .............................. 33 
Figura 6 – Esquema simplificado de fabricação de peça pré-esforçadas com pós-tensão ............ 34 
Figura 7 – Cabos de Pré-esforço externos em secção caixão de ponte ......................................... 36 
Figura 8 – Pré-esforço externo para reforço de viaduto ............................................................... 36 
Figura 9 – Pré-esforço externo para reforço de ponte ................................................................... 36 
Figura 10 – Síntese do pré-esforço ............................................................................................... 37 
Figura 11 – Ancoragem Activa VSL tipo Bondtech ..................................................................... 38 
Figura 12 – Acoplador tipo KC .................................................................................................... 38 
Figura 13 – Ancoragem Passiva VSL tipo H ............................................................................... 38 
Figura 14 – Macacos hidráulicos. a) Tensionamento de cabos; b) tensionamento de um 
cordão/monocordão ...................................................................................................................... 39 
Figura 15 – Módulo de elasticidade Secante e tangente ............................................................... 40 
Figura 16 – Fluência de uma peça de betão …... .................................................. 41 
Figura 17 – Retracção de uma peça de betão. ............................................................................... 41 
Figura 18 – Diagrama tensão-extensão do aço típico de armaduras para betão armado, a) 
laminado a quente; b) aço endurecido a frio. ................................................................................ 44 
Figura 19 – Diagrama tensão-extensões, idealizado e de cálculo do aço das armaduras para betão 
armado........................................................................................................................................... 44 
Figura 20 – Fios, cordões, e barras para pré-esforço .................................................................... 45 
Figura 21 - Diagrama tensões-extensões do aço típico de pré-esforço ........................................ 46 
Figura 22 – Diagrama tensão-extensões, idealizado e de cálculo do aço das armaduras para betão 
armado .......................................................................................................................................... 46 
Figura 23 – Ligação de um respiro num ponto intermediário de uma bainha .............................. 47 
Figura 24 – Bainhas Metálicas e Plásticas. ................................................................................... 48 
xiv 
 
Figura 25 – Montagem das armaduras e fixação das bainhas ....................................................... 50 
Figura 26 – Montagem de Bainhas .............................................................................................. 50 
Figura 27 – Montagem das cofragens e betonagem . .................................................................... 50 
Figura 28 – Tensionamento ......................................................................................................... 50 
Figura 29 – Veículo tipo .............................................................................................................. 51 
Figura 30 – Efeito do pré-esforço na resistência ao esforço transverso da viga ......................... 56 
Figura 31 – Reduções de alongamento na armadura de pré-esforço originam reduções de tensão 
....................................................................................................................................................... 57 
Figura 32 – Contribuição de cada perda de pré-esforço na perda total ....................................... 57 
Figura 33 – Perdas por escorregamento nos dispositivos de amarração ...................................... 60 
Figura 34 – Detalhes da viga A (nos apoios) e B (no vão). .......................................................... 65 
Figura 35 – Esquema estático com todas as cargas permanentes inseridas .................................. 68 
Figura 36 – Diagrama de momento flector devido as cargas Permanentes (kNm) ...................... 69 
Figura 37 – Diagrama de esforço cortante devido as cargas Permanentes (kN) .......................... 69 
Figura 38 – Envoltória de momento flector devido a acção do veiculo tipo (kNm) .................... 70 
Figura 39 – Envoltória de esforço cortante devido a acção do veiculo tipo (kN) ....................... 70 
Figura 40 – Perdas de pré-esforço ............................................................................................... 75 
Figura 41 – Diagrama de tensões ................................................................................................. 76 
Figura 42 – Determinação de ∑∅b................................................................................................ 79 
Figura 43 – Diagrama dos esforços de momento e cortantes referentes ao pré-esforço ............... 80 
Figura 44 – Fluxograma de dimensionamento de peça em betão pré-esforçado ......................... 82 
Figura 45 – Ancoragens activas do tipo MSA ............................................................................. 90 
Figura 46 – Ancoragens de continuidades do tipo MCB .............................................................. 91 
Figura 47 -Ancoragens passivas do tipo MTP .............................................................................. 92 
 
 
 
 
 
 
xv 
 
RESUMO 
 
O pré-esforço, como uma tecnologia em crescimento estabelece uma das mais importantes implementações 
no campo da engenharia estrutural e de construção. O pré-esforço em vigas é uma técnica de pré-
compressão, imposta à secção da viga, nas zonas que venham sofrer elevados esforços de tracção, 
permitindo optimizar: à disposição das armaduras e o peso das vigas. No entanto, a sua aplicação em vigas 
sujeitas simultaneamente aos esforços transversos, de flexão e axiais elevados, ainda é pouco divulgado 
quer no seio acadêmico quer no seio profissional. Este trabalho pretende abordar a descrição geral sobre o 
conceito, vantagens desvantagens do pré-esforço em vigas, apresentando através de um caso prático a 
modelação e a verificação de segurança de uma viga de uma ponte rodoviária. Para tal, pretende-se analisar 
uma viga isostática de uma ponte com consola com secção retangular sujeitas a cargas de natureza estática 
e móvel. Com base nestes dados
foram realizados cálculos dos esforços através de um programa de cálculo 
automático. Este estudo permitiu concluir que, com a aplicação do valor da força do pré-esforço na secção 
da viga obtido garantindo a descompressão para a combinação quase permanente de acções, proporcionou 
a uma melhor distribuição e optimização das armaduras na secção da viga garantindo a economia e bom 
funcionamento da estrutura. 
 
Palavras-chave: Pré-esforço, Pré-esforço em vigas, betão pré-esforçado, viga isostática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xvi 
 
ABSTRACT 
 
Prestressing as a growing technology establishes one of the most important implementations in the field of 
structural and construction engineering. Prestressing in beams is a pre-compression technique, imposed on 
the beam section, in areas that will suffer high tensile stresses, allowing to optimize: the arrangement of the 
reinforcements and the weight of the beams. However, its application in beams simultaneously subjected 
to shear, bending and high axial forces, is still little publicized either in academic or professional circles. 
This work intends to approach the general description of the concept, advantages and disadvantages of 
prestressing in beams, presenting through a practical case the modeling and safety verification of a beam 
of a road bridge. To this end, we intend to analyze an isostatic beam of a cantilever bridge with rectangular 
section subjected to static and moving loads. Based on these data, the efforts were calculated using an 
automatic calculation program This study allowed us to conclude that, with the application of the prestress 
force value in the beam section, obtained guaranteeing the decompression for the almost permanent 
combination of actions, it provided a better distribution and optimization of the reinforcements in the beam 
section, guaranteeing the economy and good functioning of the structure. 
 
Key-words: Prestressing, Prestressing Beams, Prestressed Concrete, Isostatic Beam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xvii 
 
ÍNDICE 
 
PENSAMENTO ........................................................................................................................................... iii 
PAGINA DE ACEITAÇÃO ........................................................................................................................ iv 
DECLARAÇÃO DE HONRA ...................................................................................................................... v 
AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................ vi 
DEDICATÓRIA ......................................................................................................................................... vii 
LISTAS DE ABREVIATURAS ................................................................................................................ viii 
LISTA DE SÍMBOLOS ............................................................................................................................... ix 
INDICE DE TABELAS .............................................................................................................................. xii 
ÍNDICE DE FIGURAS .............................................................................................................................. xiii 
RESUMO .................................................................................................................................................... xv 
ABSTRACT ............................................................................................................................................... xvi 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 21 
1.1. Contextualização ......................................................................................................................... 21 
1.2. Problematização .......................................................................................................................... 22 
1.3. Justificativa ................................................................................................................................. 22 
1.4. Delimitação da pesquisa.............................................................................................................. 23 
1.5. Objectivos ................................................................................................................................... 23 
1.5.1. Objectivo Geral ................................................................................................................... 23 
1.5.2. Objectivos específicos ......................................................................................................... 23 
1.6. Estrutura do trabalho ................................................................................................................... 24 
CAPITULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................... 25 
2.1. Os Fundamentos do Pré-Esforço ................................................................................................. 25 
2.1.1. Pré-esforço em estruturas de betão ..................................................................................... 25 
2.1.2. Desenvolvimento do betão pré-esforçado ........................................................................... 27 
2.1.3. Princípios gerais do pré-esforço. ......................................................................................... 28 
2.1.4. Vantagens e desvantagens do pré-esforço em estruturas de betão ...................................... 29 
2.1.4.1. Vantagens ........................................................................................................................ 29 
2.1.4.2. Desvantagens .................................................................................................................. 30 
2.1.5. Aplicações do pré-esforço ....................................................................................................... 30 
2.1.6. Pré-esforço em elementos de betão pré-fabricado .................................................................. 31 
2.1.6.1. Vantagens do pré-esforço em elementos de betão pré-fabricado .................................... 32 
2.2. Sistemas de pré-esforço .............................................................................................................. 33 
xviii 
 
2.2.1. Pré-tensão ............................................................................................................................ 33 
2.2.2. Pós-tensão ........................................................................................................................... 34 
2.2.3. Pré-esforço externo ............................................................................................................. 35 
2.3. Níveis de pré-esforço .................................................................................................................. 37 
2.4. Equipamentos de aplicação do pré-esforço ................................................................................. 37 
2.4.1. Ancoragens e acopladores ................................................................................................... 37 
2.4.1.1. Ancoragens activas ......................................................................................................... 38 
2.4.1.2. Ancoragem de continuidade ou acoplamentos ................................................................ 38 
2.4.1.3. Ancoragens passivas ....................................................................................................... 38 
2.4.2. Macaco hidráulico ...............................................................................................................
39 
2.5. Materiais usados em estruturas pré-esforçadas ........................................................................... 39 
2.5.1. Betão ................................................................................................................................... 39 
2.5.1.1. Parâmetros de deformação .............................................................................................. 40 
2.5.1.1.1. Fluência e retracção ........................................................................................................ 41 
2.5.1.2. Factores que justificam resistências elevadas ................................................................ 42 
2.5.2. Tipos de armaduras de pré-esforço ..................................................................................... 43 
2.5.2.1. Armaduras passivas......................................................................................................... 43 
2.5.2.2. Armaduras activas ........................................................................................................... 44 
2.5.3. Bainhas ................................................................................................................................ 46 
2.5.4. Caldas de Injecção .............................................................................................................. 48 
2.6. Execução de pré-esforço em vigas .......................................................................................... 49 
2.7. Critérios de verificação de segurança de vigas de betão armado pré-esforçado ......................... 50 
2.7.1. Definição de acções ................................................................................................................ 50 
2.7.1.1. Acções Permanentes ........................................................................................................... 50 
2.7.1.2. Acção do pré-esforço ...................................................................................................... 51 
2.7.1.3. Acções variáveis ............................................................................................................. 51 
2.7.1.3.1. Acções do trafego rodoviário .......................................................................................... 51 
2.7.2. Critérios de combinação das acções ........................................................................................ 52 
2.7.3. Verificação de segurança em relação aos Estados Limites de Serviço ............................... 53 
2.7.3.1. Estado limite de descompressão ..................................................................................... 54 
2.7.3.2. Estado limite de largura de fendas .................................................................................. 54 
2.7.3.3. Estado Limite de deformação ......................................................................................... 54 
2.7.3.4. Verificação da máxima tensão máxima de compressão .................................................. 55 
2.7.4. Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos ......................................................... 55 
2.7.4.1. Estado limite de flexão .................................................................................................... 55 
xix 
 
2.7.4.2. Estado limite de esforço transverso................................................................................. 56 
2.8. Perdas de pré-esforço em vigas ................................................................................................... 56 
2.8.1.1. Força de pré-esforço inicial ............................................................................................. 58 
2.8.1.2. Força de pré-esforço final ............................................................................................... 58 
2.8.2. Tipos de perda de pré-esforço ............................................................................................. 59 
2.8.2.1. Perdas Instantâneas de Pré-esforço ................................................................................. 59 
2.8.2.1.1. Perdas Instantâneas devidas a atritos ao longo das armaduras ........................................ 59 
2.8.2.1.2. Perdas Instantâneas devidas à deformação do betão ....................................................... 60 
2.8.2.1.3. Perdas instantâneas por reentrada de cabos .................................................................... 60 
2.8.2.2. Perdas Diferidas de Pré-esforço ...................................................................................... 61 
CAPITULO III: METODOLOGIA ............................................................................................................ 63 
3.1. Introdução ................................................................................................................................... 63 
3.2. Classificação da pesquisa ............................................................................................................ 63 
3.3. Aspectos considerados no dimensionamento .............................................................................. 64 
CAPITULO IV: APRESENTAÇÃO DO CASO DE ESTUDO................................................................. 65 
4.1. Introdução ................................................................................................................................... 65 
4.2. Identificação do projeto .............................................................................................................. 65 
4.3. Características da secção transversal .......................................................................................... 65 
4.4. Características dos materiais utilizados ...................................................................................... 66 
4.4.1. Betão ................................................................................................................................... 66 
4.4.2. Armadura ordinária ............................................................................................................. 67 
4.4.3. Armadura de pré-esforço .................................................................................................... 67 
CAPITULO V: ANALISE E DISCUSSÃO DE RESULTADOS .............................................................. 68 
5.1. Modelação numérica ................................................................................................................... 68 
5.2. Determinação dos esforços ......................................................................................................... 68 
5.2.1. Esforços devidos as acções permanentes ............................................................................ 68 
5.2.2. Esforços devidos a acção do veiculo tipo. .......................................................................... 69 
5.3. Analise comparativa e validação dos esforços ............................................................................ 71 
5.4. Verificação de segurança aos ELS .............................................................................................. 71 
5.4.1. Determinação do traçado do pré-esforço ............................................................................ 71 
5.4.2. Pré-dimensionamento da força do pré-esforço ................................................................... 72 
5.5. Verificação de Segurança aos ELU ............................................................................................ 75 
5.5.1. Estado Limite de Flexão ..................................................................................................... 75 
5.5.2. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular ............................... 75 
xx 
 
5.5.3. Estado limite de esforço transverso.....................................................................................
79 
5.6. Fluxograma de verificação de segurança da viga ....................................................................... 82 
CAPITULO VI: CONCLUSÃO ................................................................................................................. 83 
RECOMENDAÇÕES ................................................................................................................................. 83 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................................ 85 
ANEXOS .................................................................................................................................................... 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO 
 
1.1. Contextualização 
O desenvolvimento económico, técnico e científico fez surgir diversos sistemas estruturais e 
construtivos, dentre os quais os sistemas de pré-esforço que continua hoje, muito embora, como 
uma solução pouco usada na actividade da construção civil. 
A escolha da constituição de materiais formados por betão e aço advém da própria evolução de 
processos construtivos e dos materiais em si. Podemos simplificar esta evolução por diversas 
etapas marcantes como a idade do Bronze, que permitiu a construção de pontes em arco compostas 
por alvenaria. 
A invenção do cimento Portland permitiu a obtenção de um novo material denominado betão, 
composto essencialmente por uma mistura de agregados, água e cimento, que na atualidade é muito 
corrente nas construções de pontes e viadutos. Mais tarde o surgimento do pré-esforço veio 
revolucionar ainda mais as estruturas, principalmente as de betão armado, cujo conseguiu-se 
beneficiar de alguns parâmetros tais como, uma maior esbelteza, vencer vãos maiores, melhoria 
do comportamento em serviço, diminuição do peso próprio e uma utilização mais racional dos 
betões e aços de alta resistência. Sendo atualmente uma solução usual de qualquer projeto de 
execução e de reabilitação de pontes de betão armado (Branco, 2014). 
O crescente uso de pré-esforço proporcionou maior liberdade arquitetónica de geometrias e formas 
de estruturas de betão que outrora seriam consideradas dispendiosas ou inexequíveis. 
Consequentemente, geometrias curvilíneas, vãos elevados associados a esbeltezas reduzidas, têm 
vindo cada vez mais a fazer parte do vocabulário de arquitetos, promotores e construtores. 
O uso de pré-esforço também se apresentou como um método de obter superfícies planas 
impermeáveis, sem a aplicação de impermeabilizações betuminosas correntes, uma vez que o 
betão é mantido em compressão não permitindo a fendilharão que poderia levar á penetração de 
água a longo prazo (Oliveira, 2012). 
Hoje em dia, o betão armado pré-esforçado apresenta crescentes e numerosas aplicações em 
pontes, edifícios, coberturas, reservatórios e silos, ancoragens (no solo e em rocha), estacas, 
condutas, barragens e túneis. 
22 
 
Neste trabalho incide-se um maior interesse nas pontes de betão armado com especial ênfase para 
as pontes de tabuleiros vigados com recurso aos sistemas de pré-esforço. 
Pretende-se garantir a segurança estrutural de pontes vigadas, bem como o estudo de uma 
tecnologia que nos proporciona a possibilidade de promover a economia, comportamento 
estrutural e aparência estética em soluções de betão. 
O presente estudo será realizado mediante a revisão bibliográfica de todos conteúdos relacionados 
ao dimensionamento do pré-esforço para as vigas de uma ponte tabular vigada, a interação dos 
diferentes materiais, características dos materiais envolvidos, propriedades dentre outros aspectos 
relevantes para o estudo. Serão realizados cálculos e analises de verificação de segurança, com 
base nas normas reconhecidas localmente e mundialmente. 
1.2. Problematização 
Que vantagens e desvantagens tem o pré-esforço em vigas de Pontes rodoviárias? Que 
regulamentação, actualizada existe para a verificação de segurança deste tipo de elementos 
estruturais? Que critérios devem ser cumpridos durante o traçado dos cabos de pré-esforço em 
vigas? 
 
1.3. Justificativa 
O pré-esforço em vigas é uma técnica de pré-compressão, imposta à secção da viga, nas zonas que 
venham sofrer elevados esforços de tracção, permitindo optimizar: à disposição das armaduras e o 
peso das vigas. No entanto, a sua aplicação em vigas sujeitas simultaneamente aos esforços 
transversos, de flexão e axiais elevados, ainda é pouco divulgado quer no seio acadêmico quer no 
seio profissional. Isso, justifica o presente estudo, que poderá servir de base, como material 
adicional de consulta no seio académico e não só. Também, actualmente a engenharia civil busca 
vencer grandes desafios com projetos ousados de pontes, superando vãos cada vez maiores e ao 
mesmo tempo a procura de materiais e tecnologias que possibilitem avanços a baixos custos. Logo, 
faz-se evidente a importância da compreensão dos materiais utilizados nesses empreendimentos, 
dentre eles o pré-esforço. 
 
23 
 
1.4. Delimitação da pesquisa 
Este trabalho delimitou-se em fazer-se em levantamento bibliográficos sobre o estudo de 
comportamento e funcionamento do pré-esforço em vigas, sua evolução histórica, suas 
características, vantagens e desvantagens, importância, utilização, métodos de dimensionamento e 
posterior apresentação dos resultados obtidos e optimizacao das armaduras na secção. 
Não serão, discutidos, os aspectos relacionados, com a verificação de segurança nas zonas de 
ancoragem. Não serão consideradas as acções de multidão (do trafego), não serão consideradas as 
acções nos passeios, apenas serão consideradas as cargas permanentes e as cargas do veiculo tipo 
na verificação de segurança. 
 
1.5. Objectivos 
1.5.1. Objectivo Geral 
 O presente trabalho tem como objectivo efectuar uma descrição geral sobre o conceito, 
vantagens desvantagens do pré-esforço em vigas, apresentando através de um caso 
prático a modelação e a verificação de segurança de uma viga de uma ponte rodoviária. 
 
1.5.2. Objectivos específicos 
O presente trabalho tem como objectivos específicos os seguintes: 
 Descrever o conceito de pré-esforço em vigas, suas vantagens e desvantagens; 
 Descrever os critérios regulamentares, para a verificação de segurança de vigas de 
pontes em betão armado pré-esforçado; 
 Modelar e verificar a segurança de uma viga existente de uma ponte pré-esforçada, 
ilustrando os detalhes de armaduras, incluindo um fluxograma de verificação, que 
poderá servir de base de um programa automático; 
 
 
 
24 
 
1.6. Estrutura do trabalho 
O presente trabalho é constituído por 6 capítulos cujo conteúdo se encontra aqui descrito 
resumidamente: 
 No capítulo 1, consta a introdução (enquadramento), problematização, justificativa 
e delimitação do trabalho, evidenciando os seus objectivos, estrutura e organização 
do mesmo. 
 No capítulo 2 apresenta-se uma fundamentação teórica, onde descrevem-se de uma forma 
geral o objecto de estudo com o apoio das componentes das diferentes áreas de 
conhecimento específico; 
 No capítulo 3 são apresentados o conjunto de métodos utilizados e o caminho percorrido 
desde o início até a conclusão da pesquisa. Porém aqui são discutidas, as ferramentas e 
estratégias utilizadas para obtenção dos dados bem como a caracterização da pesquisa e 
sua tipologia em função da sua natureza, dos seus objectivos e dos procedimentos técnicos. 
 No capítulo 4 descreve-se a estrutura utilizada na análise e os detalhes da sua modelação, 
também são apresentados todos os dados relativos à geometria da estrutura e às acções a 
que esta está sujeita. 
 No capítulo 5 são apresentados os resultados tendo como base os objectivos preconizados 
para o trabalho, como os resultados da verificação de segurança ao ELS e Estado Limite 
Último de flexão simples e
de esforço transverso. 
 No capítulo 6 discutem-se as principais conclusões retiradas deste estudo e tecem-se 
algumas considerações sobre a tecnologia de pré-esforço, sugerindo-se ideias para futuros 
desenvolvimentos relacionados com os temas abordados. 
 
 
 
 
 
25 
 
CAPITULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
2.1. Os Fundamentos do Pré-Esforço 
Segundo o EC2, o processo de pré-esforço consiste na aplicação de forças a estrutura de betão 
traccionando as armaduras relativamente ao elemento de betão. O termo “pré-esforço” é utilizado 
globalmente para designar o conjunto dos efeitos permanentes do processo de pré-esforço, que 
incluem esforços nas secções e deformações na estrutura. A imposição deste sistema de forças é 
conseguida através do pré ou pós-tensionamento, contra este, de um material de alta resistência, 
aço ou carbon fiber reinforced polymer (CFRP). 
2.1.1. Pré-esforço em estruturas de betão 
O pré-esforço do betão é uma forma de neutralizar o efeito de cargas externas em uma estrutura, 
impondo um estado de tensões contrário aos efeitos de carga. A maneira mais comum de conseguir 
isso é por meio de cabos, que são tensionados antes do carregamento final da estrutura (FIB, 2005). 
O pré-esforço consiste na introdução de um sistema de forças a uma estrutura recorrendo a cabos 
previamente esticados, com o objectivo de criar um estado de tensão interno de sinal contrário ao 
estado de tensão provocado pelas cargas exteriores (Jacinto, 2007). De tal forma, o aço pré-
esforçado torna-se um material que actua activamente no betão, independentemente das acções 
exteriores da peça. 
Conforme se observa na figura 1, a carga exterior gera tracções na fibra inferior da secção S e o 
pré-esforço gera compressões, contrariando assim as primeiras. A força de pré-esforço, P, pode 
ser calculada de forma a anular as tracções provocadas pela carga exterior. 
 
Figura 1 – O estado de tensão associado ao pré-esforço contraria o estado de tensão associado ás cargas (Jacinto, 
2007). 
26 
 
O pré-esforço não está limitado a estruturas de betão armado, mas, no caso destas, tem o 
objectivo adicional de melhorar o seu comportamento em serviço (redução de fissuração e 
deformações). 
O pré-esforço com cabos tem dois efeitos principais, axial e transversal conforme se pode 
observar na figura 2. O efeito axial dá compressão no betão, causada por forças de ancoragem nas 
extremidades do cabo, como se observa na figura 2 (a, b e c). No caso b), a excentricidade do cabo 
recto causa flexão para além do efeito axial. Por fim, o uso de cabos curvos (caso c) introduz um 
efeito que pode ser projetado para neutralizar mais ou menos as cargas externas, tanto e efeitos de 
cisalhamento (FIB, 2005). 
 
Figura 2 – Ilustração do principais efeitos do pré-esforço (FIB, 2005). 
O efeito transversal do pré-esforço levará certa parte da carga externa diretamente para os apoios. 
Para a carga restante, a estrutura terá uma maior resistência ao cisalhamento, punção e torção 
devido a tensões de compressão do efeito axial. O pré-esforço também reduzirá deflexões em 
condições de serviço, devido tanto ao efeito reduzido da carga externa quanto à rigidez aumentada 
causada por rachaduras atrasadas ou eliminadas. 
 
27 
 
2.1.2. Desenvolvimento do betão pré-esforçado 
A técnica do pré-esforço surge com o desenrolar das necessidades que foram aparecendo ao longo 
dos tempos. Os vãos a vencer cada vez maiores e o rigor imposto continuamente mais severo, 
obrigaram a um desenvolvimento das características do aço. 
O desenvolvimento da tecnologia de pré-esforço certamente constituiu uma das mais importantes 
melhorias nas áreas de engenharia estrutural e construção. Referência particularmente para 
aplicações de pós-tensionamento, é geralmente reconhecido como abre a possibilidade melhorar a 
economia, o comportamento estrutural e os aspectos estéticos das soluções de betão (FIB, 2005). 
No final do século XIX, depois de se ter conseguido melhorar a capacidade de resistência do betão 
e de verificar a aderência entre o betão e as armaduras, P. Jackson, um engenheiro da Califórnia, 
teve a primeira intenção de pré-tensionar o betão e patenteou, em 1886, um sistema de pavimentos 
pré- comprimidos. Seguiram-se, entretanto, várias tentativas para pré-esforçar o betão, mas sem 
êxito pois a retração e fluência, fenómenos desconhecidos na época, faziam com que o betão se 
perde o pré-esforço instalado. 
Em 1919, K. Wettstein, fabricou na Alemanha, painéis de betão pré-esforçado com cordas de aço 
e tal facto despertou para o desenvolvimento dos aços de alta resistência. 
Foi necessário aguardar mais alguns anos para que a tecnologia do Pré-esforço se desenvolvesse e 
se tornasse aplicável nas construções. 
Nas décadas 20 e 30 do século XX e graças à contribuição do engenheiro francês, Eugene 
Freyssinet, o pré-esforço teve a sua grande evolução. Freyssinet dedicou-se aos estudos 
experimentais e teóricos sobre a fluência e retracção do betão. Foi ainda na década de 30 que o 
pré-esforço começou a ser uma realidade, construindo-se as primeiras pontes em betão pré-
esforçado. 
Graças ao trabalho de engenheiros como Gustave Magnel, Ulrich Finsterwalder, entre outros, o 
betão pré-esforçado deve o seu grande progresso entre a década de 30 e de 50. A Europa havia 
sido devastada pela 2ª Guerra Mundial e era imperativo adoptar novas tecnologias na construção 
que possibilitassem construções de grande porte. Nos anos 50 construíram-se pontes de betão 
armado pré-esforçado com vãos superiores a 100 metros. 
28 
 
A primeira obra realizada em Portugal com betão armado pré-esforçado foi a Ponte da Vala Nova, 
na estrada nacional 118 entre Benavente e Salvaterra de Magos, em 1953/54. Esta ponte é uma 
estrutura formada por três tramos, simplesmente apoiados, de aproximadamente 12 m cada tendo 
um comprimento total de 38 m. 
A tecnologia do Betão Armado Pré-esforçado tornou-se credível, proporcionando ganhos 
económicos e possibilitando o faseamento de construções impares. Neste domínio surgiram várias 
associações onde se destacam a FIP - Fédération Internationale de la Précontrainte, de origem 
Suíça e a PCI - Prestressed Concrete Institute, nos EUA. 
2.1.3. Princípios gerais do pré-esforço. 
Segundo Santos & Martins, (2006) a que destacar três diferentes conceitos que podem ser 
utilizados para explicar e analisar o comportamento básico do betão pré-esforçado. 
 Pré-esforçar para transformar o betão num material elástico 
O betão, que é fraco em tracção e forte em compressão, é comprimido (por varões de alta 
resistência) para que o betão frágil possa ser submetido a tensões de tracção. Se não houver tensões 
de tracção no betão, não existirão fendas e toda a secção de betão é activa comportando-se como 
um material elástico. Sob este ponto de vista o betão está sujeito a dois sistemas de forças: 
a. Pré-esforço interno; 
b. Acções exteriores. 
Em que as tensões de tracção devidas às acções exteriores são contrabalançadas pelas tensões de 
compressão devidas ao pré-esforço. 
 Pré-esforçar para combinar aço de alta resistência com o betão 
O betão pré-esforçado é encarado, de forma idêntica ao betão armado, como uma combinação de 
dois materiais: aço e betão. Também aqui o aço a receber as tracções e o betão a receber as 
compressões, em geral. Para tirar partido do aço de alta resistência é necessário submetê-lo a 
grandes deformações. Por isso, se simplesmente este aço fosse colocado no betão como armadura 
passiva, o betão envolvente sofreria enorme fendilhação antes que se desenvolvesse as tensões a 
que a armadura resiste. Assim sendo, é necessário esticar previamente o aço de alta resistência e 
29 
 
ancorá-lo contra o betão de forma a desenvolver um efeito favorável nos dois materiais 
(compressão no betão e tracção no aço) antes de aplicar as cargas exteriores. 
 Pré-esforçar para alcançar a carga equivalente
Segundo este conceito o pré-esforço é, basicamente, interpretado como uma tentativa para 
equilibrar as cargas actuantes sobre o elemento. No projecto de uma estrutura pré-esforçada o 
efeito do pré-esforço é visto como uma carga equivalente às acções permanentes, de tal forma que 
os elementos sujeitos à flexão (lajes, vigas) não ficarão sujeitos ao momento-flector para um dado 
carregamento (acções permanentes e/ou acções quase-permanentes). 
2.1.4. Vantagens e desvantagens do pré-esforço em estruturas de betão 
2.1.4.1.Vantagens 
O pré-esforço em peças de betão, especialmente aquelas sob flexão, traz várias vantagens à 
estrutura, decorrentes do uso de aços de alta resistência e do facto de a carga externa ter que vencer 
antes as tensões de compressão prévias para iniciar a fissuração do betão (Mendes, 2018). Dentre 
as principais vantagens, podem-se mencionar as seguintes: 
 Maior esbeltez (l/h = vão / altura da secção) ou maiores vãos para a mesma altura da seção, 
por causa da participação da zona pré-comprimida na rigidez à flexão. 
 Limitação ou eliminação de fissuras durante a vida útil da estrutura, estanqueidade das 
estruturas de reservatórios e menor porosidade a gases. 
 Impedimento ou minoração da corrosão de armaduras. 
 Maior resistência à fadiga do aço decorrente da oscilação proporcionalmente pequena de 
sua tensão, em face da inexistência ou de pouca fissuração do betão, mesmo para grandes 
oscilações da carga. 
 Melhor disposição da armadura na secção transversal, pois o aço de alta resistência exige 
menor área de armadura. 
 Estruturas mais leves, custo menor dos pilares e das fundações, desforma mais rápida. 
 Possibilidade de eliminação praticamente completa da variação da curvatura ao longo do 
tempo, proveniente da fluência do betão sob acção das cargas permanentes. 
 Maior resistência às tensões tangenciais originadas por força cortante e por torção. 
30 
 
 Uso de técnicas construtivas com vantagens estruturais e econômicas, em vários 
campos, por exemplo: pré-fabricação de peças estruturais; pontes de grandes vãos 
construídas em balanços sucessivos (eliminação de cimbramento); lajes lisas em edifícios, 
com consequente eliminação das vigas; fundações em lajes de edifícios. 
De forma geral, as vantagens fundamentais e conhecidas do pré-esforço podem ser resumidas 
como a possibilidade de limitar fissuras e deformações em elementos estruturais com grandes vãos, 
para reduzir dimensões da seção transversal para um determinado vão e carga e, finalmente, para 
aumentar a capacidade de carga para determinado vão e dimensões (FIB, 2005). 
2.1.4.2.Desvantagens 
Em contrapartida, podem ser relacionadas algumas desvantagens do pré-esforço em pecas de betão 
(Veríssimo & César Júnior, 1998): 
 O betão de maior resistência exige melhor controle de execução. 
 Os aços de ata resistência exigem cuidados especiais de protecção conta a corrosão. 
 A colocação de cabos de pré-esforço deve ser feita com maior precisão de modo a garantir 
as posições admitidas nos cálculos. Como a força de pré-esforço possui em geral um valor 
muito alto, um pequeno desvio do cabo a posição do projecto pode produzir esforços não 
previstos, levando ao comportamento inadequado da peca e ate mesmo ao colapso. 
 As operações de pré-esforço exigem equipamento e pessoal especializado, com controle 
permanente dos esforços aplicados e dos alongamentos dos cabos. 
 De um modo geral, as construções em pré-esforço exigem uma atenção e controle 
praticamente superiores aos necessários para o betão armado comum. 
Porem, em edifícios altos, com lajes e, ou, vigas pré-esforçadas, a maior esbelteza da estrutura 
horizontal pode prejudicar a estabilidade global da edificação. Nestes casos, devem ser feitos os 
estudos pertinentes, que frequentemente conduzem a um aumento de rigidez da estrutura vertical. 
2.1.5. Aplicações do pré-esforço 
Actualmente, o pré-esforço é geralmente usado em diversos tipos de estruturas. As principais 
utilizações do pré-esforço são em: 
 Em vigas de Pontes e viadutos 
31 
 
 Edifícios com grandes vãos 
 Coberturas com grandes vãos 
 Grandes reservatórios ou silos 
 Ancoragens 
 Barragens 
 Túneis, entre outros. 
 
2.1.6. Pré-esforço em elementos de betão pré-fabricado 
A principal diferença das estruturas pré-fabricadas em betão das restantes estruturas de betão a 
penas o diferente faseamento construtivo. Este faseamento construtivo consiste essencialmente na 
subdivisão da estrutura em elementos de menor dimensão, na fabricação destes elementos num 
local diferente daquele em que vão estar em serviço, no transporte e montagem dos elementos na 
sua localização definitiva e na ligação entre os vários elementos de forma a garantir o 
comportamento estrutural global exigido à estrutura.(Graça, 2016) 
De acordo com o autor citado a cima, as vigas pré-fabricadas são geralmente construídas com um 
comprimento igual ao do vão, sendo cada vão constituído por várias vigas ligadas entre si por uma 
laje betonada “in situ” e por carlingas. As secções transversais mais comuns são em forma de “I” 
ou em forma de “U”, pré-esforçadas por pré- tensão, podendo ser dada continuidade longitudinal 
ao tabuleiro com recurso a cabos pós-tensionados de ligação de vãos adjacentes. 
 
Figura 3 – Viga pré-fabricada e pré-esforçada de secção I.(Chen & Duan, 2014) 
Os tipos mais comuns de secção transversal de vigas pré-fabricadas são (Figura 2.12): 
 Secções retangulares (Figura 2.12 a)); 
32 
 
 Secções em “I” Figura 2.12 b) e c)); 
 Secções em “T” Figura 2.12 d)); 
 Secções em “T” invertido Figura 2.12 e)); 
 Secções em “U” Figura 2.12 f) e g)). 
 
Figura 4 – Tipos de secções de vigas pré-fabricadas correntemente utilizados (Graça, 2016) 
 
2.1.6.1.Vantagens do pré-esforço em elementos de betão pré-fabricado 
A utilização do pré-esforço em elementos pré-fabricados, associados com betões de ata resistência, 
traz uma serie de benefícios dos quais pode se citar o seguinte(Veríssimo e César Júnior, 1998): 
 O pré-esforço permite que no caso de peças flectidas, toda a secção da peca trabalhe sob 
compressão, de forme que o aproveitamento da capacidade resistente da secção é muito 
maior do que nas pecas de betão armado, esse facto associado ao 𝑓𝑐𝑘 alto permite produzir 
peças mais esbeltas, consequentemente mais leves, o que possibilita também grandes 
comprimentos para vencer grandes vãos; 
 O betão com 𝑓𝑐𝑘 alto atinge resistência suficiente para suportar o pré-esforço logo nas 
primeiras idades, com pouco tempo de cura, acelerando deste modo o processo de produção 
na fabrica; 
 Betões com 𝑓𝑐𝑘 alto sofrem menos retracção, menos deformação, e como consequência 
apresentam menos fissuras que os betões comuns; 
 A força do pré-esforço mantem as eventuais fissuras fechadas, garantindo uma melhor 
protecção das armaduras contra a corrosão, no caso de uma solicitação incidental maior 
33 
 
que a prevista no projecto, cessada a carga as fissuras formadas se fecham sob acção do 
pré-esforço. 
2.2.Sistemas de pré-esforço 
Existem basicamente dois principais sistemas de aplicação do pré-esforço aos elementos de betão 
são eles (Bhatt, 2011): 
 Pré-tensionamento ou pré-tensão: este método é usado para fabricar um grande número 
de peças de semelhantes de betão pré-esforçado e pré-fabricado como vigas simplesmente 
apoiadas, lajes transversais unidirecionais e travessas de ferrovias. É uma operação baseada 
em fabrica. 
 Pós-tensionamento ou pós-tensão: este método é realizado in-situ e é geralmente usado 
para pré-esforçar vigas simplesmente apoiadas e continuas, lajes bidirecionais, estruturas 
estaticamente indeterminadas, como estruturas de pórticos e pontes. 
2.2.1. Pré-tensão 
Com o pré-tensionamento o reforço é pré-esforçado no molde, antes de vazar o betão. São 
necessárias ancoragens fixas para os tendões fora dos moldes; portanto o método é adequado
principalmente para a produção em fábrica de elementos pré-fabricados, onde várias unidades 
podem ser protendidas com os mesmos cabos em uma longa linha. Após o endurecimento 
suficiente do betão, o pré-esforço é libera do das ancoragens e, em vez disso, é transferido para os 
elementos por aderência (FIB, 2005). A figura 5 abaixo ilustra o esquema simplificado para pecas 
pré-esforçadas por pré-tensão. 
 
Figura 5 – Esquema simplificado para peças pré-esforçadas por pré-tensão (Bastos, 2021). 
34 
 
2.2.2. Pós-tensão 
Na pós-tensão a aplicação do pré-esforço é feita depois da betonagem da peça e quando o betão 
possuir a resistência necessária para suportar as forças de tensionamento. A transmissão da força 
de pré-esforço é realizada através de dispositivos colocados nas extremidades dos cabos, 
designados por ancoragens ativas. Este processo exige o uso de bainhas onde, no seu interior, se 
encontra o aço de alta resistência. (Barbosa, 2014) 
Ancoragens especiais nas extremidades transferem as forças de protensão para o betão. Isso 
permite tendões maiores do que no pré-tensionamento, uma vez que a ancoragem não depende 
mais da aderência. Os tendões geralmente consistem em vários fios ou cordões com uma 
ancoragem comum, ou de barras de grande diâmetro. O pós-tensionamento oferece grande 
liberdade na disposição dos tendões para um ótimo efeito transversal. (FIB, 2005) 
Para serem tensionados após o endurecimento do betão, os cabos devem ser livremente móveis no 
betão. A maneira mais comum de conseguir isso é envolvê-los em dutos de metal ou plástico. Após 
o tensionamento, os dutos são preenchidos com calda de cimento por injeção de pressão. A figura 
6 ilustra o esquema simplificado de fabricação de peça pré-esforçadas com pós-tensão. 
 
Figura 6 – Esquema simplificado de fabricação de peça pré-esforçadas com pós-tensão (Bastos, 2021) 
 
 
35 
 
A sequência da pós-tensão, essencialmente, é a seguinte(Santos & Martins, 2006): 
 Execução da estrutura com as armaduras passivas, betonagem e cura (incluindo a colocação 
das bainhas dos cabos); 
 Inserção dos cabos e seu traccionamento (aplicação do pré-esforço); 
 Montagem dos aparelhos de ancoragem com transmissão do pré-esforço por fixação 
dos cabos nas cunhas. 
Segundo Barbosa (2014) é possível classificar o pré-esforço, quanto à sua aderência, como 
aderente ou não aderente. 
Pode-se dizer que na pré-tensão a transmissão do pré-esforço é sempre aderente, ou seja, o aço 
está aderente à secção de betão, tal como as armaduras passivas, o que provoca variações de 
extensão iguais no betão e no aço. 
Em pós-tensão, a transmissão pode ser feita por aderência, no caso das bainhas, onde é injetada 
calda de cimento, após terem sido tensionados os cabos, ficando os cordões aderentes. Em pós-
tensão, a transmissão pode ser também sem aderência, como é o caso da utilização de monocordão, 
as armaduras mantêm-se desligadas, deslizando no interior da bainha. Regularmente utiliza-se um 
tipo de graxa que reduz o atrito, melhorando a proteção destas armaduras. Este sistema é 
característico da aplicação in situ em lajes de médios e grandes vãos. 
2.2.3. Pré-esforço externo 
O pré-esforço com a armadura de pré-esforço interno à secção transversal da peça (inserida dentro 
do betão), representa a grande maioria dos casos de aplicação nas estruturas, mas o pré-esforço 
externo vem sendo muito aplicado em alguns casos específicos, como em secção celular ou caixão 
de estruturas de grandes pontes, como se ilustra na figura 7, onde a armadura de pré-esforço, 
embora na parte interna da secção caixão, fica posicionada externamente ao betão da secção, ou 
seja, a bainha do cabo de protensão não tem aderência com o betão. Sendo externa, a armadura de 
protensão, pode ser removida ou substituída quando necessário, em qualquer tempo (Bastos, 
2021). 
36 
 
 
Figura 7 – Cabos de Pré-esforço externos em secção caixão de ponte, (Bastos, 2021) 
A armadura do pré-esforço externo configura uma parcela da armadura total, composta também 
por armaduras inseridas no betão, que pode ser passiva, activa ou ambas. Além das pontes, as 
aplicações mais comuns são em reabilitação e reforço de estruturas já existentes, em estruturas 
circulares (silos, reservatórios), grandes tubos e tanques de água.(Naaman, 2004 Citado por Bastos, 
2021) 
Como reforço de estruturas de pontes já existentes (de betão, aço ou madeira), aumenta a 
capacidade de carga, com a armadura de pré-esforço sendo colocada externamente aos elementos, 
tensionada e ancorada nas extremidades da estrutura, configurando uma solução simples e 
eficiente, isto pode se observar nas figuras 8 e 9 abaixo. 
 
 
Figura 8 – Pré-esforço externo para reforço de viaduto 
(Bastos, 2021) 
 
 
Figura 9 – Pré-esforço externo para reforço de ponte (Bastos, 
2021) 
Neste âmbito e, pelo que já foi referido anteriormente, pode-se sintetizar o pré-esforço através 
da figura 10 abaixo. 
37 
 
 
Figura 10 – Síntese do pré-esforço (Branco, 2018). 
2.3.Níveis de pré-esforço 
A intensidade da força de pré-esforço (e da quantidade de armadura) pode assumir diferentes 
valores, sendo dependente de vários fatores, principalmente do vão, do carregamento, da 
agressividade do ambiente e das condições em serviço (flecha, abertura de fissura, nível de 
vibração)(Bastos, 2021). 
Em condições de ambientes agressivos, a intensidade do pré-esforço é escolhida de forma a 
eliminar as tensões de tracção sob o carregamento de serviço, para evitar abertura de fissuras, neste 
caso escolhe-se pré-esforço completo, que significa peça livre de fissuras de flexão. 
Em muitos casos, como estruturas em ambientes não agressivos, não há a necessidade de evitar o 
surgimento de fissuras, de modo que a intensidade da força de pré-esforço pode ser menor, e 
consequentemente o projecto pode ser mais econômico. A peça pode, por exemplo, ser projectada 
de forma a permanecer sem fissuras sob a actuação dos carregamentos permanentes, e com 
fissuras, que se abrem e se fecham, conforme o carregamento variável é aplicado e retirado. É a 
chamada pré-esforço parcial, quando a peça trabalha fissurada sob o carregamento total (Bastos, 
2021) 
2.4.Equipamentos de aplicação do pré-esforço 
2.4.1. Ancoragens e acopladores 
Os cabos são ancorados através de ancoragens mecânicas individuais. As ancoragens consistem, 
geralmente, em placas metálicas, cunhas e elementos de proteção em relação à corrosão. São 
elementos através dos quais se transmite ao betão a força de pré-esforço concentrada na 
extremidade do cabo (zona de amarração). Os acopladores são utilizados para ligar armaduras 
individuais por forma a obter armaduras contínuas.(Paulino, 2016).As ancoragens são peças 
metálicas onde os cordões ou cabos ficam amarrados por meio de cunhas, e são de 3 tipos: 
ancoragem activa, de continuidade e passivas. 
38 
 
2.4.1.1.Ancoragens activas 
As ancoragens ativas estão situadas nas extremidades dos cabos, no lado por onde se realiza o 
tensionamento. Têm que ser capazes de permitir o esticamento dos cabos, mas devem impedir o 
deslizamento em sentido contrário. 
2.4.1.2.Ancoragem de continuidade ou acoplamentos 
Estas permitem a continuidade entre dois cabos esticados em fases consecutivas. 
2.4.1.3.Ancoragens passivas 
As ancoragens passivas são as que se situam na extremidade dos cabos no lado oposto àquele por 
onde se realiza o tensionamento. Devem evitar o deslizamento dos cabos para o interior da peça 
durante e após a aplicação da força de pré-esforço (Paulino, 2016). 
Nas figuras 11, 12 e 13 abaixo ilustram-se exemplos de ancoragens activas, de continuidade e 
passivas respectivamente. 
 
Figura 11 – Ancoragem Activa VSL tipo Bondtech 
(Catalogo VSL, 2006) 
 
Figura 12 – Acoplador tipo KC (Catalogo VSL, 2006) 
 
Figura 13 – Ancoragem Passiva VSL tipo H (Catalogo VSL, 2006) 
39 
 
2.4.2. Macaco hidráulico 
A força de pré-esforço
é aplicada aos cabos de pré-esforço ou blocos de betão através de macacos 
hidráulicos. Como os cabos de pré-esforço devem ser tensionados ate ser atingida uma tensão 
elevada na armadura, são necessárias forcas de pré-esforço muito grandes. O modo fácil e simples 
de obter essas forças é através de macacos hidráulicos.(Veríssimo & César Júnior, 1998) 
De acordo com o mesmo autor, a força de pré-esforço aplicada pelo macaco é determinada a partir 
da pressão hidráulica lida num manómetro. Ao mesmo tempo o alongamento obtido no cabo pode 
ser lido em uma escala milimétrica fixada ao macaco. Em alguns sistemas, os macacos são dotados 
de dispositivos especiais que permitem a aplicação da força de pré-esforço e logo em seguida a 
cravação das cunhas de ancoragem. 
Na figura 14 abaixo, ilustra-se diferentes tipos de macacos hidráulicos, para tensionamento de 
canos (a) e para tensionamento de um cordão ou monocordão (a). 
 
Figura 14 – Macacos hidráulicos. a) Tensionamento de cabos; b) tensionamento de um cordão/monocordão 
(Barbosa, 2014). 
 
2.5.Materiais usados em estruturas pré-esforçadas 
2.5.1. Betão 
A construção de estruturas pré-esforçadas requer um controle de qualidade do betão muito 
rigoroso. Deve-se exigir a realização de ensaios prévios, o controle contínuo do cimento e dos 
inertes utilizados, bem como a fiscalização constante durante a elaboração do betão. 
Os betões utilizados em peças pré-esforçadas possuem normalmente resistência superior a aqueles 
das peças de betão armado, isto deve-se ao facto de que o betão pré-esforçado fica sujeito, desde 
muito cedo a tensões de compressão elevadas (Jacinto, 2007). 
40 
 
Segundo Bhatt (s.d), o betão de alta resistência é um dos principais constituintes de todas as 
estruturas de betão pré-esforçado. Os dois aspectos principais de importância são: 
 Resistências à compressão e tração; 
 Parâmetros de deformação como módulo de elasticidade, variação de fluência e 
deformações de retração com o tempo. 
Os parâmetros de deformação são particularmente importantes, pois têm um efeito importante na 
quantidade de pré-esforço retido a longo prazo. 
2.5.1.1. Parâmetros de deformação 
Os parâmetros de deformação que nos interessam são o módulo de elasticidade e o coeficiente 
de Poisson. Relativamente ao módulo de elasticidade usa-se em geral o módulo secante, 
definido conforme figura 15, e referido aos 28 dias (tal como a resistência). O módulo 
de elasticidade secante aos 28 dias, ou simplesmente módulo de elasticidade. é denotado no 
EC2 por 𝐸𝑐𝑚. 
 
Figura 15 – Módulo de elasticidade Secante e tangente (EC2). 
O módulo de elasticidade de um betão depende dos módulos de elasticidade dos seus 
componentes. No anexo A, são indicados valores aproximados para o modulo de elasticidade 𝐸𝑐𝑚 
modulo secante entre 𝜎𝑐 = 0 e 0.4𝑓𝑐𝑚 para betão com agregados de quartzito de acordo com o 
EC2. Para agregados de calcário e de grés, o valor deverá ser reduzido de 10% e de 30%, 
respectivamente. Para agregados de basalto, o valor deverá ser aumentado de 20%. 
De acordo com o EC2, valor do coeficiente de poisson, v, está compreendido entre 0.2 e 0; na 
qual o primeiro valor refere-se as deformações em fase não fendilhada e o segundo é de admitir 
quando se considere que o betão tracionado está fendilhado. Nas aplicações correntes pode, em 
geral, tomar-se v = 0.2. 
41 
 
2.5.1.1.1. Fluência e retracção 
A fluência é um fenómeno que consiste no aumento progressivo no tempo da deformação 
instantânea de uma peça de betão quando sujeita a uma tensão com carácter de permanência. Este 
fenómeno ocorre devido à variação de volume de pasta de cimento que envolve os agregados 
(Appleton, 2002). 
O efeito da fluência pode ser explicado de uma forma simplificada através da figura 16. 
 
 Figura 16 – Fluência de uma peça de betão (Appleton, 2002). . 
A retracção consiste na diminuição da dimensão de uma peça de betão na ausência de variações 
de temperatura e de tensões aplicadas. Este fenómeno é originado pela variação de volume da pasta 
de cimento devida essencialmente à evaporação da água de amassadura do betão e às reacções de 
hidratação das partículas de cimento. A carbonatação do betão origina também fenómenos de 
retracção (Appleton, 2002). 
O efeito da retracção pode ser explicado de forma simplificada através da figura 17. 
 
Figura 17 – Retracção de uma peça de betão (Appleton, 2002). 
42 
 
A fluência e retracção originam o que normalmente se designa por efeitos diferidos e efeitos 
devidos à deformação do betão ao longo do tempo. 
2.5.1.2. Factores que justificam resistências elevadas 
A maior resistência é necessária no betão pré-esforçado por várias razões (Lin e Burns, 1981). 
 Em primeiro lugar, a fim de minimizar seu custo, as ancoragens comerciais para o aço de 
protensão são sempre projetadas com base no betão de alta resistência. Portanto, o betão 
mais fraco exigirá ancoragens especiais ou poderá falhar sob a aplicação de pré-esforço. 
Tais falhas podem ocorrer no rolamento ou na aderência entre aço e concreto, ou em 
tracção próxima às ancoragens. 
 Em seguida, o betão de alta resistência à compressão oferece alta resistência à tração e 
cisalhamento, bem como à aderência e ao rolamento, e é desejável para estruturas de betão 
pré-esforçado cujas várias porções estão sob maior tensão do que o betão armado comum. 
 Outro fator é que o betão de alta resistência é menos suscetível às fissuras de retração que 
às vezes ocorrem em betões de baixa resistência antes da aplicação do pré-esforço. 
Também possui módulos de elasticidade mais altos e menor tensão de fluência, resultando 
em menor perda de pré-esforço. 
 O emprego de betão e de aços de alta resistência permite a redução das dimensões das 
peças, diminuindo o seu peso próprio e, por conseguinte, viabilizando técnica e 
economicamente a execução de estruturas de grande vão. 
 Os betões de alta resistência possuem, em geral, módulo de elasticidade mais elevado, o 
que diminui tanto as deformações imediatas como as que ocorrem ao longo do tempo. Isso 
reduz os efeitos da perda de pré-esforço oriundos da retracção e fluência do betão. 
 Na construção pós-tensionada, altas tensões de rolamento resultam nas extremidades das 
vigas, onde a força de pré-esforço é transferida dos cabos para os acessórios de ancoragem, 
que se apoiam diretamente no betão. Este problema pode ser resolvido aumentando o 
tamanho do encaixe de ancoragem ou aumentando a capacidade de carga do betão 
aumentando sua resistência à compressão. Este último geralmente é mais econômico. 
43 
 
 Na construção pré-tensionada, onde é habitual a transferência por aderência, a utilização 
de betão de alta resistência permitirá o desenvolvimento de tensões de aderência mais 
elevadas. 
Segundo Veríssimo e César Júnior (1998), além de boa resistência, é importante que o betão tenha 
boas características de compacidade e baixa permeabilidade, para que se tenha uma protecção 
suficientemente contra a corrosão das armaduras. Tem se comprovado experimentalmente que o 
aço da armadura activa, quando solicitado por tensões elevada, torna-se mais susceptível à 
corrosão. 
2.5.2. Tipos de armaduras de pré-esforço 
Diferenciam-se dois tipos de armaduras no betão armado pré-esforçado: 
 Armaduras passivas: armaduras ordinárias habituais no betão armado, associadas às 
anteriores. 
 Armaduras activas: armaduras de aço de alta resistência, através das quais se introduz a 
força de pré-esforço; 
Esta distinção semântica estabelece-se pela seguinte razão: as armaduras passivas só começam a 
trabalhar quando a peça entra em carga, iniciando-se a sua deformação; pelo contrário, as 
armaduras ativas estão a trabalhar continuamente, independentemente do estado de carga da peça 
(Paulino, 2016). 
2.5.2.1.Armaduras passivas 
Segundo o REBAP artigo 21, as armaduras ordinárias devem ser caracterizadas pelo seu
processo 
de fabrico e pelas suas características geométricas, mecânicas e de aderência. Quando se preveja 
a realização de soldaduras, há que caracterizar também a soldabilidade do aço em face do processo 
de soldadura a empregar. 
Tendo em conta as características mecânicas das armaduras, estas devem apresentar uma 
ductilidade adequada, definida pela relação entre a resistência à tração e a tensão de cedência 
(ft/fyk), e pela extensão de carga máxima (𝜀uk), e distinguem-se 2 tipos de aços, os laminados a 
quente e os endurecidos a frio. Os diagramas apresentados a seguir são obtidos através de ensaios 
uniaxiais de tracção. 
44 
 
As armaduras ordinárias são caracterizadas pelo tipo de superfície que apresentam, existindo 
varões nervurados que conferem alta aderência ao betão, desde que satisfaçam os requisitos da 
norma EN10080, e os varões lisos que concedem uma aderência normal ao betão. 
 
Figura 18 – Diagrama tensão-extensão do aço típico de armaduras para betão armado (EC2), a) laminado a quente; 
b) aço endurecido a frio. 
 
Para efeitos de análise global e dimensionamento de secção pode utilizar-se o diagrama bilinear 
indicado no gráfico da figura 19. O diagrama de cálculo obtém-se a partir do diagrama idealizado, 
dividindo os valores das tensões pelo coeficiente γs = 1,15. 
 
Figura 19 – Diagrama tensão-extensões, idealizado e de cálculo do aço das armaduras para betão armado (EC2). 
2.5.2.2.Armaduras activas 
Os aços usados no betão pré-esforçado caracterizam-se por elevada resistência e pela ausência de 
patamar de cedência. Tornam-se, proporcionalmente, sensivelmente mais económicos que os aços 
normalmente empregados na construção com betão armado, já que a sua resistência pode ser, 
45 
 
aproximadamente, até três vezes maior. Na construção com betão armado, estado de tensão inicial 
nulo no aço, o emprego dos aços de alta resistência é desaconselhado, pois os alongamentos 
excessivos provocariam fendas muito abertas. Já no betão pré-esforçado este problema é evitado 
através do alongamento prévio da armadura.(Veríssimo e César Júnior, 1998). 
De acordo com o EC2, os aços de pré-esforço são encontrados nas seguintes formas: 
 Fios (Wire) 
 Cordões (Stand) 
 Barras (Bar) 
A aplicação dos fios está sobretudo virada para a indústria da pré-fabricação, que recorre ao 
método da pré-tensão. Já os cordões, aplicam-se sobretudo na pós-tensão, embora também o 
sejam na pré-tensão (Jacinto, 2007). 
Os cordões são formados por 2, 3 ou 7 fios, sendo este último o mais utilizado. Podem ser 
fornecidos com uma bainha de polietileno de alta densidade, designando-se neste caso cordão auto-
embainhado. Os cordões auto-embainhados utilizam-se em pré-esforço exterior e também no pré-
esforço de lajes (sistema monocordão). As barras são varões em aço de elevada resistência e podem 
ser parcial ou totalmente roscadas (Jacinto, 2007). 
A figura 20 abaixo ilustra as principais formas dos aços de pré-esforço encontrados. 
 
Figura 20 – Fios, cordões, e barras para pré-esforço, (Jacinto, 2007) 
O diagrama σ-ε típico de um cordão de pré-esforço é o indicado na figura 21 apresentada abaixo. 
46 
 
 
Figura 21 - Diagrama tensões-extensões do aço típico de pré-esforço [EC2] 
Para o calculo das secções, poderá se admitir uma das seguintes hipóteses apresentadas no gráfico 
da figura 22 abaixo. 
 
Figura 22 – Diagrama tensão-extensões, idealizado e de cálculo do aço das armaduras para betão armado (EC2). 
2.5.3. Bainhas 
São normalmente denominados bainhas os tubos dentro dos quais armadura de pré-esforço, por 
pós-tensão, deve ser colocada, de forma a deslizar sem atrito e a ficar protegida. Obviamente que 
estas bainhas também são indispensáveis para a criação dos ductos a salvaguardar durante a 
betonagem, por onde, após o betão endurecido, possam ser inseridos os cabos com a trajectória de 
projecto (Santos & Martins, 2006). 
As bainhas são utilizadas no caso do pré-esforço com aderência posterior. Via de regra, são 
fabricadas de chapas de aço laminadas a frio, com espessura de 0,1 a 0,35 mm, com costura 
helicoidal e ondulações transversais em hélice. Essas ondulações apresentam algumas vantagens, 
tais como (Veríssimo & César Júnior, 1998): 
47 
 
 Conferem rigidez à secção da bainha sem prejudicar a flexibilidade longitudinal, 
permitindo curvaturas com raios relativamente pequenos, o que possibilita enrolar cabos 
de grande comprimento, que podem ser transportados em rolos. 
 Facilitam a utilização de luvas rosqueadas nas emendas. 
 Melhoram a aderência entre o betão e a calda de injecção, devido as saliências e 
reentrâncias. 
 O objectivo das bainhas é impedir que, aquando da betonagem, o betão entre em contacto 
com o aço o que, se acontecesse, inviabilizaria o esticamento posterior do aço. O diâmetro 
das bainhas é estabelecido normalmente de forma a que a sua área seja cerca do dobro da 
área dos cabos. Um diâmetro mais pequeno, além de criar dificuldades de injecção, 
aumentaria o coeficiente de atrito cabo-bainha (Jacinto, 2007). 
Para o pré-esforço sem aderência utilizam-se também as bainhas plásticas lisas. Para que a injecção 
da calda de cimento seja bem-sucedida são instalados, em pontos estratégicos, tubos de ar, 
chamados de respiradouros como se pode observar na figura 23. Normalmente são utilizados para 
esse fim tubos de plástico de polivinil. (Veríssimo & César Júnior, 1998) 
 
Figura 23 – Ligação de um respiro num ponto intermediário de uma bainha (Veríssimo & César Júnior, 1998) 
 
Para a injecção das bainhas, com calda de cimento, devem ser estabelecidos os locais de injecção 
e os respectivos respiradouros. Deve-se dispor os pontos de injecção nos locais mais baixos e os 
respiradouros nos pontos mais altos do cabo. 
A tabela 1 abaixo, apresenta os diâmetros usuais das bainhas. 
48 
 
Tabela 1 – Diâmetro das Bainhas 
Cordón 
Tipo de 
tendón 
Vaina del tendón 
 
 
Ø interior 
mm 
Ø exterior 
mm 
 
 
 
 
0.5'' 
(13mm) 
4 
51 56 
7 
12 62 67 
15 72 77 
19 85 90 
22 90 96 
27 100 105 
31 
110 115 
35 
0.6'' 
(15mm) 
4 
51 56 
5 
7 62 67 
9 72 77 
12 85 90 
15 90 96 
19 100 105 
24 110 115 
27 
120 125 
31 
37 130 137 
Fonte: (MK4 Innovative Solutions) 
Contudo, as bainhas a usar nos sistemas pós-tensionados poderão ser metálicas ou de plástico (ver 
figura 24), sendo as primeiras as mais utilizadas. 
 
Figura 24 – Bainhas Metálicas e Plásticas (Catalogo VSL, 2006). 
2.5.4. Caldas de Injecção 
Após o esticamento do aço, o espaço vazio entre os cordões e a bainha é preenchido com calda de 
cimento, a fim de proteger o aço da corrosão e possibilitar a aderência. As caldas de injecção são, 
49 
 
basicamente, constituídas por cimento, água e plastificante, podendo, em alguns casos, adicionar-
se um expansivo. O objectivo do plastificante é assegurar uma boa trabalhabilidade com uma 
relação A/C baixa. 
A injecção das bainhas, a realizar após o esticamento dos cabos, tem um objectivo duplo: 
 Protecção dos aços contra a corrosão; 
 Assegurar a aderência entre o cabo e a secção de betão. 
De acordo com a norma alemã DIN 4227, citado por Veríssimo e César Júnior (1998) para betão 
pré-esforçado, as caldas de injecção de cimento devem satisfazer as seguintes exigências: 
 Dentro do possível, a sedimentação e a retracção devem ser pequenas, devendo ser a 
contracção volumétrica no máximo de 2%; 
 Deve ter boa fluidez, até a conclusão da injecção; 
 Resistência a compressão da ordem de 20 MPa, aos 7 dias, e 30 MPa, aos 28 dias, 
determinada a partir de provetes cilíndricos com Ø = 10cm e h = 12cm; 
 Não devem ter aumento de volume devido a temperaturas negativas. Podem-se usar 
aditivos para garantir fluidez, desde que obedecidas as normas dos produtos químicos, mas 
em caso algum usar o cloro, devido à corrosão sob tensão, nem no cimento nem no aditivo; 
 A quantidade de água deve