MPL-2-MECANICA -2023_1

Prévia do material em texto

CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL 
 “DARIO GERALDO SALLES” – CEDUP - JOINVILLE 
 
 
 
Curso: Técnico em Mecânica 
 
MÓDULO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: __________________________Turma: ____ 
2023-1 
Prof. Me. Ademilson Teixeira 
 
Matemática Aplicada - MPL 
Sumário 
1 UNIDADES DE MEDIDAS ............................................................................................................................. 3 
1.1 Medidas de Comprimento ......................................................................................................................... 3 
1.2 Medidas de Superfície ............................................................................................................................... 3 
1.3 Medidas de Volume ................................................................................................................................... 4 
1.4 Medidas de Capacidade ............................................................................................................................. 4 
1.5 Relações entre capacidade e volume ......................................................................................................... 4 
2 VOLUME DE SÓLIDOS .................................................................................................................................. 6 
3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA .............................................. 12 
3.1 Reta tangente à circunferência ................................................................................................................. 12 
3.2 Propriedades das retas e circunferências tangentes ................................................................................. 12 
4 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. ........................................................................................................... 13 
5 SISTEMAS DE COORDENADAS ................................................................................................................ 16 
6 SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES (OU CARTESIANAS) .......................................... 17 
7 SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL ................................................................................ 18 
7.1 Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 ........................................................................................... 18 
8 SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL................................................................................ 22 
8.1 Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝ³ ......................................................................................... 22 
9 APLICAÇÕES CÁLCULO COORDENADAS CNC .................................................................................... 25 
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................................ 29 
 
 
1 UNIDADES DE MEDIDAS 
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como 
comprimento, capacidade, massa, tempo e volume. 
As unidades de medida são representações das grandezas físicas utilizadas em diversas áreas do 
conhecimento com o intuito de quantificar uma matéria, uma sensação, o tempo ou o tamanho de algo, 
por exemplo. 
Em todo o mundo as unidades de medida seguem um padrão determinado pelo Sistema Internacional de 
Unidades (SI). 
 
1.1 Medidas de Comprimento 
As medidas de comprimento são mecanismos de medição eficazes, uma vez que utilizam como 
recurso medidas convencionais, tais como milímetro, centímetro, metro, quilômetro. Elas foram criadas 
justamente para mitigar a probabilidade de ocorrência de erros no momento em que era necessário 
mensurar as coisas. 
Medidas de Comprimento 
Múltiplos Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
Km hm dam m dm cm mm 
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 
 
1)Transforme: 
a) 42 km = m b) 0,5156 m = cm 
c) 1,52 m = mm d) 12,20m = dm 
e) 12 mm = cm f) 30,46 cm = m 
g) 1,25 km = cm h) 5400 cm = m 
i) 4,56 m = cm j) 120 m = km 
 
1.2 Medidas de Superfície 
A medida de uma superfície geralmente é determinada pelo metro quadrado (m²). 
Medidas de Superfície 
Múltiplos Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
Km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
1 000 000 m² 10 000 m² 100 m² 1 m² 0,01 m² 0,0001 m² 0,000001 m² 
2) Transforme: 
a) 7 m² = dm² b) 12 km² = dam² 
c) 45,34 dam² = m² d) 127 dm² = m² 
e) 875 dam² = km² f) 4,78 m² = dam² 
g) 4,16 dm² = mm² h) 0,034 dam² = dm² 
i) 3,1416m² = cm² j) 0,071 mm² = cm² 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/sistema-internacional-unidades-si.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/sistema-internacional-unidades-si.htm
1.3 Medidas de Volume 
O volume é uma magnitude definida como o espaço ocupado por um corpo tridimensional. É uma função 
derivada, pois se acha multiplicando as três dimensões. Nas matemáticas o volume é uma medida que se 
define como os demais conceitos métricos a partir duma distância ou tensor métrico 
 
Medidas de Volume 
Múltiplos Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
1 000 000 
000 m³ 
1 000 000 
m³ 
1 000 
 m³ 
1 
m³ 
0,001 
 m³ 
0,000001 
m³ 
0,000000001 
m³ 
 
1.4 Medidas de Capacidade 
As medidas de capacidade são grandezas utilizadas para estimar uma quantidade que está inserida em 
um recipiente, ou seja, são empregadas na medição de líquidos. Ainda pode-se dizer que é o espaço 
ocupado por um corpo ou a capacidade que ele tem de acomodar uma substância 
Medidas de Capacidade 
Múltiplos Submúltiplos 
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro 
kl Hl dal l dl cl ml 
1 000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l 
 
1.5 Relações entre capacidade e volume 
Como as medidas do litro e do metro cúbico medem capacidade, podemos relacionar o litro (l) a um dos 
submúltiplos do metro cúbico (m³), que é o decímetro cúbico (dm³). A partir disso, temos a seguinte 
relação: 
1 l = 1 dm³ 
Também é possível relacionar o mililitro (ml) com o centímetro cubico (m³) e o quilolitro (kl) com o 
metro cúbico (m³), que é a unidade padrão de volume. As seguintes relações são obtidas: 
1 ml = 1 cm³ 1 kl = 1 m³ 
Sendo assim, em 1 decímetro cúbico cabe 1 litro de água; em 1 centímetro cúbico cabe 1 mililitro de 
água (ou 0,001 litros); em 1 metro cúbico cabe 1 quilolitro (1.000 litros) de água e vice-versa. 
EXERCÍCIOS 
1) Transforme: 
a) 2 km = m b) 1,5 m = mm c) 5,8 km = cm 
d) 0,4 m = mm e) 27 mm = cm f) 126 mm = m 
g) 12 m = km 
 
2) Faça a transformação das medidas de comprimento: 
a) 28 cm em mm b) 3,92 cm em mm c) 0,02 m em cm 
 
d) 0,1 Km em m e) 580 mm em cm f) 762 m em Km 
 
g) 0,02 Km em m h) 0,2 Km em hm i) 333 m em cm 
 
j) 5,698 Km em m k) 0,999 m em cm l) 88,796 dm em mm 
 
m) 555 mm em dam n) 9635 cm em hm o) 0,00003 Km em cm 
 
3) Converta as unidades de área: 
a) 8,37 dm2 em mm2 b) 3,1416 m2 em cm2 c) 2,14 m2 em mm2 
 
d) Calcule 40m x 25m e, depois transforme em km² e) 125,8 m² em km² 
 
f) 12,9 km² em m² g) 15,3 m² em mm² h) 125,365 dam² em m² 
 
i) 0,000046 dm² em mm² j) 895,3 cm² em m² 
 
 
4) Expresse em litros: 
a) 273,65 dam³ em l b) 289,3 m³ em ml 
 
c) 50,25 dl em m³ d) 25 l em ml 
 
 
RESPOSTAS 
1) a) 2000 m b) 1500 mm c) 580000 cm d) 400 mm e) 2,7 cm 
f) 0,126 m g) 0,012 km 
2) a) 280 mm b) 39,2 mm c) 2 cm d) 100 m e) 58 cm 
 f) 0,762 Km g) 20 m h) 2 hm i) 33300 cm j) 5698 m 
 k) 99,9 cm l) 8879,6 mm m) 0,0555 dam n) 0,9635 hm o) 3 cm 
3) a) 83700 mm2 b) 31416 cm2 c) 2140000 mm2 d) 0,001 km² 
 e) 0,0001258 km² f)12900000 m² g) 15300000 mm² h) 12536,5 m² 
 i) 0,46 mm² j) 0,08953 m² 
 
4) a) 273650000 l b) 289300000 ml c)0,005025 m³ d) 25000 ml 
 
 
2 VOLUME DE SÓLIDOS 
 
Em geral, o volume de sólidos refere-se à capacidade desse sólido e é calculado levando-se em consideração 
suas três dimensões. 
Podemos encontrar o volume de todos os sólidos geométricos. O volume corresponde à “capacidade” desse 
sólido. Tente imaginar alguns sólidos geométricos, é possível preenchê-lo com algum material, como a 
água? Se existe essa possibilidade, podemos realizar o cálculo do volume para cada objeto pensado. 
Vejamos então algumas fórmulas para o cálculo de volume de sólidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine o volume em cada figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule o volume das figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Qual o volume de um paralelepípedo de 8 cm de comprimento, 3 cm de altura e 4 cm de largura? 
 
 
 
 
3) As dimensões de um paralelepípedo são 3cm,4cm e 5 cm. Qual é o seu volume? 
 
 
 
 
4) A medida do raio da base de um cone circular reto é igual a 6 cm. Sendo 8 cm a medida da sua altura, 
qual é o seu volume e a área? 
 
 
 
 
5) Determine o volume das peças: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) a) 10648 b) 60112 c) 112000 d) 8000 e) 96000 f) 40000 g) 25120 
2) 96 cm³ 3) 60 cm³ 4) 301,44 cm³ 
5) a) V = 31051,46 mm³ b) V = 27768 mm³ c) V = 23670 mm³ d) V = 34397 mm³ 
 e) V =18016 mm³ f) V = 21226,4 mm³ g) V = 14282π mm³ h) V = 279211,2 mm³ 
 
 
3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA 
A posição relativa entre uma reta e uma circunferência está relacionada ao número de pontos que essas 
duas figuras podem compartilhar entre si. 
3.1 Reta tangente à circunferência 
Quando a reta e a circunferência possuem apenas um ponto em comum, dizemos que a reta é tangente à 
circunferência. 
 
3.2 Propriedades das retas e circunferências tangentes 
1ª Propriedade - Toda reta tangente a uma circunferência é 
perpendicular ao raio no ponto da tangência. Nesse caso, a distância 
do centro da circunferência à reta é igual ao raio. A reta e a 
circunferência têm um único ponto comum. 
 
 
2ª Propriedade - Se de um ponto P, exterior a uma 
circunferência, traçamos os segmentos PT1 e PT2, tangentes 
à circunferência nos pontos T1 e T2, então os segmentos PT1 
e PT2 são congruentes. 
 
 
3ª Propriedade - Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, 
traçamos os segmentos PT1 e PT2, tangentes à circunferência nos pontos 
T1, T2 e o segmento OP, sendo este a bissetriz do ângulo 𝑇1�̂�𝑇2. 
 
Exemplos: Determine o valor de x em cada figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 
O ponto de tangência e os centros das circunferências pertencem a uma mesma reta (estão alinhados) 
 
Tangente internas - Neste caso, há um único ponto em comum entre elas e a distância entre seus centros 
é igual à diferença entre os raios: 
 
Tangentes externas - Elas têm um único ponto em comum e a distância entre os centros é igual à soma 
dos raios: 
 
 
Exemplo: Determine a distância O1O2 do item abaixo 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Em cada item, determine o valor de x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Em cada item, determine o valor do ângulo x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule x nas figuras. 
a) As circunferências são tangentes. Os raios das mesmas medem 70mm e 30mm e que são tangentes nos 
pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Dados PA = 200mm e r = 60mm 
 
 
 
 
4) Calcule o valor de x nas figuras e o raio da circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule x nas figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) a) 4 b) 5 c) 6,24 d) 7,94 e) 23,32 f) 12 
2) a) 15° b) 44° 
3) a) 91,65 mm b) 126,49 mm 
4) a) x = 10,39, raio = 10,386 b) x = 23,10, raio = 23,08 
5) a) 26,45 mm b) 43,24 mm c) 6,69 d) 18,54 
 
 
5 SISTEMAS DE COORDENADAS 
 
Um sistema de coordenadas pode ser considerado como um dispositivo organizado para posicionar e 
localizar com relativa precisão, pontos, objetos, partículas, pessoas, equipamentos, como um avião numa 
viagem intercontinental, por exemplo, entre outros. 
 
Um simples mapa cartográfico ou um sofisticado GPS (Sistema de Posicionamento Global) são exemplos, 
entre outros, de aplicações de sistemas de coordenadas. 
 
Nosso estudo estará concentrado no sistema de coordenadas cartesianas (retangulares) de duas e três 
dimensões, por ser o sistema mais difundido. Entretanto, em alguns casos, torna-se melhor a utilização de 
outros modelos de sistema. 
 
Podemos classificar os principais sistemas de coordenadas em: 
 
Unidimensional: 1R Real Reta ou Eixo →• 
 
Bidimensional: 



•
→•
Polar
RCartesiano ou Retangular
2
 
 
Tridimensional: 





•
•
→•
Esférico
Cilíndrico
RCartesiano ou Retangular
3
 
6 SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES (OU CARTESIANAS) 
Como nosso estudo estará baseado principalmente no sistema de coordenadas retangulares, vamos 
considerar algumas situações para melhor exemplificar a utilização dos sistemas de coordenadas, quanto 
às dimensões necessárias para cada caso. Vejamos a seguir: 
 
1) Posição de um pistão no cilindro de um motor 
O desenho abaixo representa de forma bastante simplificada, um pistão 
num cilindro de um motor de combustão interna. Considere que seja de 
interesse a posição deste cilindro durante o funcionamento do motor. 
 
Observe que o sistema trabalha com uma dimensão, ou seja, para 
determinarmos a posição exata do pistão, necessitamos de apenas uma 
coordenada, considerando um referencial dado. 
 
 
 
 
Matematicamente, podemos escrever a posição “P” do pistão com a medida “x” → P (x). 
A medida “x” é dita coordenada do ponto P, ou ainda, abscissa do ponto P. 
 
2) Posição de uma bola de sinuca numa mesa 
O desenho abaixo apresenta uma visão superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a 
posição da bola branca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfície de 
jogo da mesa). 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o sistema trabalha com duas dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, 
necessitamos de duas coordenadas, considerando um referencial dado. 
Referencial (origem) 
y
 
x 
Sistema de 
Coordenadas 
Unidimensional 
Sistema de Coordenadas 
Bidimensional 
 
Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x” e “y” → P (x , y). 
As medidas “x” e “y” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P e “y” é a 
ordenada do ponto P. 
 
3) Posição de uma bola de basquete numa quadra (em jogo) 
Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja 
de interesse a posição da bola em qualquer momento do jogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o sistema trabalha com três dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, 
necessitamos de três coordenadas, considerando um referencial dado. 
Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas 
 “x”, “y” e “z” → P (x, y, z). 
As medidas “x”, “y” e “z” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P, “y” é a 
ordenada do ponto P e “z” é a cota do ponto P. 
 
7 SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL 
 
7.1 Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 
O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano é formado por dois eixos reais, 
perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadasquadrantes. O eixo “x” também 
é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas. 
A intersecção dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado origem → (0, 0). Cada ponto 
neste plano é determinado por um par ordenado na forma (x, y), sendo que “x” e “y” formam as 
coordenadas de um ponto. 
z 
Referencial (origem) 
y 
x 
• 
 
Sistema de Coordenadas 
Tridimensional 
Façamos então a marcação dos pontos: 
A(7, 5) 
B(–7, 5) 
C(–3, –5) 
D(6, –2) 
 
  E(8, 0) 
 F(–5, 0) 
 
 G(0, 8) 
 H(0, –3) 
 
O(0, 0) → origem do sistema 
 
 
Observações: 
 Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0). 
 Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y). 
 
Exemplo: Determine as coordenadas dos pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 x 
1º Q. 2º Q. 
3º Q. 4º Q. 
 origem 
 
EXERCÍCIOS 
1) Em quais quadrantes estão localizados os pontos: 
A (-2, -4) B (3, 1) C (-1, 6) 
D (8, -7) E (9, -3) F (7, 2) 
G ( -3, 3) H (5, -2) I (-2, 4) 
 
2) Localizar e rotular no plano cartesiano os pontos: 
A (0 , -3) , B (3 , -4) , C (5 , 5) , D (-2 , -5) , E (-3 , 5) , F (2, 0) e G (0, 3). 
 
 
3) Determinar o ponto D no paralelogramo abaixo: 
 
 
4) Observando a peça plana ao lado, determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D,..., M e N, 
considerando: 
a) a origem no ponto A; 
b) a origem no centro da 
peça ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) A - 3° quad. B - 1° quad. C - 2° quad. D - 4° quad. E - 4° quad. 
 F - 1° quad. G - 2° quad. H - 4° quad. I - 2° quad. 
 
2) 
 
 3) (3, - 4) 
4) 
 A B C D E F G H I J L M N 
a (0,0) (0,20) (20,40) (20,55) (40,80) (80,80) (80,60) (120,60) (120,20) (100,0) (60,0) (60,10) (25,0) 
b (-60,-40) (-60,-20) (-40,0) (-40,15) (-20,40) (20,40) (20,20) (60,20) (60,-20) (40,-40) (0,-40) (0,-30) (-35,-40) 
 
 
 
 
8 SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL 
8.1 Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝ³ 
Consideramos como sendo o espaço cartesiano ℝ³, o conjunto dado por três eixos reais perpendiculares 
dois a dois, denotados por “x”, “y” e “z”, que se interceptam em uma origem (ponto O), com orientação 
conforme abaixo: 
 
Os três planos do ℝ3: yOz, xOy e xOz, geram oitos regiões (sub-espaços) chamadas de octantes (ou oitantes) que podem ser 
observados na figura acima e a direita (os números identificam cada octante). 
Os valores reais contidos nos três eixos estão ordenados de forma crescente conforme indicação das setas dos respectivos eixos. 
No espaço tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de números reais (x, y, z), associamos um único ponto; assim: 
 
 
Máquinas operatrizes, sistemas automatizados e sistemas de 
robótica utilizam, na sua grande maioria, um sistema de 3 eixos 
cartesianos, como no exemplo da fresadora ao lado: 
 
Por questões técnicas, as posições dos eixos coordenados podem 
diferir das usadas no estudo científico (na geometria analítica e 
outras áreas de aplicabilidade da matemática). 
 
A figura apresenta os “eixos de deslocamento” de uma fresadora. 
 
Para melhor exemplificação, tomemos o paralelepípedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3). 
 
Com base na figura ao lado, e levando em consideração que 
um ponto qualquer (x , y , z) está no: 
→ eixo “x” quando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0); 
→ eixo “y” quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0); 
→ eixo “z” quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3); 
→ plano “xy” quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0); 
→ plano “xz” quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3); 
→ plano “yz” quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3). 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Observando a figura ao lado, determine as 
coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P. 
A( , , ) 
B( , , ) E( , , ) 
C( , , ) F( , , ) 
D( , , ) P( , , ) 
 
 
2) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 
 
 
 
 
 
 
E D 
P 
F 
A B 
C O 
4 2 
3 
y 
z 
x 
C D 
P 
B 
A F 
E O 
7 3 
5 
y 
z 
x 
 
3) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 
 
 
4) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 
 
RESPOSTAS 
1) A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5) 
 
2) A(40, 0, 0), B(40, 25, 0), C(0, 25, 0), D(0, 25, 25), E(10, 25, 25), F(0, 0, 25), G(30, 0, 25), H(40, 0, 25), I(30, 10, 25) e 
J(40, 25, 10) 
 
3) A(0, 0, 30), B(20, 0, 15), C(50, 0, 10), D(50, 0, 0), E(50, –20, 0), F(50, –20, 20), G(50, –20, 30), H(20, –20, 30) e 
I(0, –20, 30) 
 
4) A(0, 30, 0), B(0, 30, 10), C(–5, 30, 10), D(–25, 30, 0), E(–30, 30, 10), F(–30, 10, 10), G(0, 10, 10), H(–15, 10, 25) e 
I(–15, 0, 40) 
 
 
 
 
 
 
9 APLICAÇÕES CÁLCULO COORDENADAS CNC 
Os movimentos das máquinas operatrizes CNC que dão origem a geometria da peça, são comandados e 
controlados pelo comando da máquina. Para que isso seja possível, o comando deve receber a informação 
que permite a ele reconhecer qual dos carros, mesas, cabeçotes ou árvores de rotação ele deve comandar e 
controlar num dado instante. 
O programa CNC é quem fornece essas informações, através de designações normalizadas das direções e 
sentido dos movimentos dos componentes da máquina. As direções e sentidos dos movimentos são 
designados conforme norma DIN 66217. 
Exemplo: Nas figuras, calcule as coordenadas dos pontos indicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
a) 
COORD. 
PONTOS 
A B C D E F 
X 0 -50 -60 -60 -10 0 
Y 0 0 -10 -30 -30 -20 
 
b) 
COORD. 
PONTOS 
A B C D E 
X 0 -69 -69 -39 0 
Y 0 0 -53 -38 -22 
 
c) 
COORD. 
PONTOS 
A B C D E F 
X 0 52 65 65 10 0 
Y 0 0 -13 -40 -40 -30 
 
 
d) 
COORD. 
PONTOS 
A B C D E F 
X 0 60 60 52 10 0 
Y 0 0 32 40 40 30 
 
e) 
COORD. 
PONTOS 
A B C D E F G 
X 0 0 10 70 78,66 63,85 51,8 
Y 0 40 50 50 45 8,17 0 
 
f) 
COORD. 
PONTOS 
A B C D E F 
X 0 51,2 63,26 80 9 0 
Y 0 0 8,17 50 50 41 
 
 
 
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BONJORNO, Jose Roberto - Matemática 2ª Grau Editora FTD 
GIOVANNI José Ruy - Matemática 2ª Grau Editora FTD 
DOLCE, Osvaldo Matemática 2ª Grau Editora Atual 
IEZZI, Nelson Matemática 2ª Grau Editora Atual. 
Apostila Matemática Aplicada do CEDUP 
Apostila Telecurso 2ª Grau – Cálculo Técnico 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica, acesso em 02/08/2021. 
https://brasilescola.uol.com.br, acesso em 03/08/2021. 
TOMIO, Júlio César – Apostila Vetores e Álgebra Vetorial (IFSC). 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica
https://brasilescola.uol.com.br/