Geometria Analítica Lista de Exercicios 2022

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AULA PRÁTICA 01 – EXERCÍCIOS 
 
1. Quais são as componentes do vetor v

 com origem no ponto A(5, 7, -1) e final 
no ponto B(3, 11, 21)? 
 
2. Obtenha o vetor v

 com origem no ponto A(-3, 2) e final no ponto B(4, -1). 
 
3. Obtenha a distância entre o ponto P(0, 9, 2) e o ponto Q(5, 0, 7). 
 
 
4. O baricentro, encontro das medianas das arestas do triângulo, é um elemento 
bastante importante cujas coordenadas correspondem à média das coordenadas 
dos vértices do triângulo. Sabendo que T é o triângulo com vértices nos pontos 
A(5, 5), B(10, 7) e C(12, 11), calcule o baricentro G do triângulo T. 
 
5. Qual é o módulo do vetor )8 ,9( v

 indicado na figura a seguir? 
 
 
6. Qual é a inclinação do vetor )8 ,9( v

 indicado na figura a seguir? 
 
 
 
7. Considere o vetor v

 que tem módulo igual a 10 e inclinação igual a 35°. Quais 
são as componentes xv e yv deste vetor? 
 
8. Um muro está escorado por uma viga inclinada conforme a figura a seguir. 
 
Qual é a inclinação da viga? 
 
9. Qual é a inclinação  do telhado, em relação à horizontal, cuja vista frontal é 
representada na figura a seguir? 
 
 
 
10. Em um determinado jogo 3D, a posição de um jogador está associada ao 
ponto J1 de coordenadas (180, 210, 315). O jogador adversário está no ponto J2 
de coordenadas (92, 200, 301). 
 
Sabendo que as unidades estão em metros, qual é a distância entre estes dois 
jogadores? 
 
11. Um ponto pertencente a um espaço bidimensional pode ser localizado por 
meio de coordenadas cartesianas. Também pode ser determinado pela distância 
d do ponto até a origem do sistema de eixos coordenados e pelo ângulo  que o 
segmento que vai da origem ao ponto forma com o eixo x. A este sistema é dado 
o nome de sistema de coordenadas polares. Considere o ponto A de 
coordenadas cartesianas (8, 5). Obtenha as coordenadas polares (d, ) de A. 
AULA PRÁTICA 02 – EXERCÍCIOS 
 
1. O quilômetro por hora (km/h) é uma medida de velocidade pertencente ao 
Sistema Internacional de Unidades. No entanto, não é a única unidade de 
medida de velocidade. Em diversos países de língua inglesa, a unidade utilizada 
para este fim é a milha por hora (mi/h). A milha é uma unidade de comprimento 
definida pelo sistema imperial de medidas e equivale a 1,609344 quilômetros. 
Para convertermos quilômetros por hora em milhas por hora, basta dividirmos a 
velocidade em questão por 1,609344 ou, de forma equivalente, multiplicarmos 
esta velocidade por 0,621371. Observe que 1/1,609344 corresponde a 
0,621371. Para convertermos um conjunto de velocidades, podemos armazená-
las em um vetor e efetuarmos as multiplicações necessárias. O vetor 
)101 ,08 ,06 ,04 ,30(v

 contém as velocidades máximas em km/h de algumas 
vias. Obtenha o vetor w

 que contém as respectivas velocidades em mi/h com 
uma casa decimal cada. 
 
2. Considere o vetor )3 ,1(v

 e o ponto A(4, 2). 
 
Obtenha as coordenadas do ponto B de modo que o vetor AB seja equipolente 
ao vetor v

. 
3. Sabendo que )3 ,1 ,3(u

 e )1 ,9 ,4(v

, calcule vu

 . 
 
4. Dados os vetores )5 ,2(u

 e )1 ,8(v

, calcule vu

53  . 
 
5. Uma aeronave está sobrevoando o Oceano Atlântico com a velocidade 
indicada pelo vetor )30 ,600(v

 onde as componentes estão em km/h. 
 
Esta velocidade tem a influência de uma corrente de ar descrita pelo vetor 
)2 ,15(Cv

. Determine o vetor Av

 que representa a velocidade da aeronave sem 
a influência desta corrente. 
 
6. Um objeto que estava no solo foi içado por duas cordas, cada uma delas 
representadas pelos vetores )41 ,30(u

 e )14 ,32(v

. 
 
Considerando ainda que o vetor relacionado ao peso do objeto corresponde a 
)20 ,0( p

, qual é o respectivo vetor resultante r

? 
7. Sabendo que )4 ,20 ,2(2  wvu

 onde )1 ,3 ,3( u

 e )1 ,3 ,2(v

, determine 
w

. 
 
9. Em uma animação feita por meio da computação gráfica, uma casa na 
montanha está inclinada em relação ao solo. Sabe-se que o assoalho desta casa 
está apoiado nos pontos A(10, 2, 1), B(6, 8, 0) e C(8, 8, 0). 
 
As paredes desta casa formam um ângulo de 90° com o assoalho. Fazendo 
ABu 

 e ACv 

, obtenha um vetor w

 que possa ser utilizado para determinar 
a inclinação destas paredes. 
 
10. considerando os vetores )1 ,21 ,9(u

 e )3 ,4 ,0( v

, calcule o produto 
vetorial vu

 . 
 
11. Dados os vetores )9 ,5 ,7 ,5(u

 e )2 ,2 ,3 ,1(v

, obtenha o produto escalar 
vu

. . 
 
12. Qual é o ângulo formado pelos vetores )9 ,7(u

 e )8 ,1(v

? 
 
AULA PRÁTICA 03 – EXERCÍCIOS 
 
1. Dados os pontos A(3, 12) e B(5, 16), qual é a equação reduzida de reta que 
contém A e B? 
 
2. Um veículo, inicialmente no ponto A de coordenadas (1200, 1000), partiu para 
noroeste formando um ângulo de 45° com a horizontal. 
 
Qual é a equação reduzida da reta que descreve a trajetória do veículo? 
 
3. Dada reta r de equação geral r:5x-4y+9=0, qual é a inclinação de r? 
 
4. Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(-3, 7) e tem vetor 
diretor )2 ,4(v

. 
 
5. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja 
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no 
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados. 
 
Com base nestas informações, obtenha uma equação vetorial da reta que 
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73. 
 
6. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja 
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no 
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados. 
 
Com base nestas informações, obtenha as equações paramétricas da reta que 
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73. 
 
7. Obtenha uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos P(-5, 4, 2) e 
Q(3, -3, 9). 
 
8. Quais são as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(2, 5, 
2) e B(0, 11, 13)? 
 
9. Obtenha a equação simétrica da reta r que contém o ponto A e tem vetor 
diretor v

 conforme a figura a seguir. 
 
 
10. Dada a reta r por meio da equação 
4
9
2
1 



yx
, 
obtenha a respectiva equação reduzida y=ax+b. 
 
11. Duas aeronaves possuem trajetórias dadas pelas retas r e s de equações 
r:(3, 1)+t(4, 2) e s:(1, 1)+t(-3, 5). 
 
Obtenha o menor ângulo formado pelas trajetórias destas aeronaves. 
 
12. Obtenha o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 
















tz
ty
tx
r
tz
ty
tx
r
64
22: e 
51
5
47
: 21 . 
AULA PRÁTICA 04 – EXERCÍCIOS 
 
1. Considere o plano  que tem vetor normal )5 ,1 ,2(n

 e contém o ponto A(3, 
1, 0). 
 
Qual é a equação geral cartesiana deste plano? 
 
2. Uma face do telhado de uma residência contém os pontos A(4, 0, 3), B(4, 10, 
3) e C(1, 10, 6) referentes a um sistema de coordenadas cartesianas onde as 
unidades estão em metros. 
 
Qual é a equação geral do plano associado a esta face do telhado? 
3. Uma face do telhado de uma residência contém os pontos A(4, 0, 3), B(4, 10, 
3) e C(1, 10, 6) referentes a um sistema de coordenadas cartesianas onde as 
unidades estão em metros. 
 
Qual é a equação vetorial do plano associado a esta face do telhado? 
 
4. Obtenha a equação vetorial associada ao plano  que contém o ponto A(-5, 
11, 23) e é paralelo aos vetores )4 ,2 ,9(u

 e )13 ,7 ,13( v

. 
 
5. Escreva as equações paramétricas associadas ao plano  que contém o ponto 
A(-5, 11, 23) e é paralelo aos vetores )4 ,2 ,9(u

 e )13 ,7 ,13( v

. 
 
6. Encontre uma equação vetorial do plano  que passa pelos pontos A(12, 9, 
21), B(12, -15, 76) e C(40, 21, -10). 
 
7. Verifique se a reta r de equações paramétricas 








tz
ty
tx
r
57
31
84
: é paralela ao 
plano  dado por )233,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
 
8. Uma caixa de papelão tem 20 cm de altura. A figura a seguir é uma 
representação desta caixa, feita por computação gráfica, cuja base está apoiada 
no plano xy. 
 
Considerando as unidades em centímetros, obtenha uma equação vetorial do 
plano que contém a face superior da caixa. 
 
 
 
 
 
 
9. Uma caixa de papelão tem 20 cm de altura. A figura a seguir é uma 
representação desta caixa, feita por computação gráfica, cuja base está apoiada 
no plano xy. 
 
Considerando as unidades em centímetros, qual é a equação geral do plano que 
contém a face superior da caixa? 
 
10. Qual é a equação segmentária do plano definido pelos pontos A(9, 0, 0), B(0, 
5, 0) e C(0, 0, 3)? 
 
11. Qual é a equação segmentária do plano  cuja equação geral é dada por 
x+6y-18z-18=0? 
 
12. A equação geral do plano associado a um painel destinado à captação de 
energia solar corresponde a :5x+2y+9z-12=0. O painel está localizado sobre 
uma construção cuja cobertura está associada ao plano de equação :2z-35=0. 
Qual é o ângulo deste painel em relação à cobertura? 
AULA PRÁTICA 05 – EXERCÍCIOS 
 
1. Em um ambiente 3D, uma personagem está no ponto A de coordenadas (722, 
135, 21) e uma cabana está no ponto B de coordenadas (478, 201, 2). 
Considerando que a unidade de medida utilizada é o metro, qual é a distância 
entre a personagem e a cabana? 
 
2. Dados os pontos A(-23, 31) e B(17, -9), calcule d(A, B). 
 
3. Em uma parede, um cano está associado à reta de equação y=0,06x+3. Um 
registro está no ponto A(2, 1). As unidades de medida estão em metros. 
 
Qual é a distância do cano ao registro? 
 
4. Qual é a distância entre o ponto P(4, 3, 3) e a reta r:(3+3t, -2t, 1+2t)? 
 
5. Uma rampa plana está associada à equação :x+3z-3=0. Acima dela, existe 
uma lâmpada localizada no ponto P(2, 2, 3). Qual é a distância entre a rampa e 
a lâmpada? Considere as unidades em metros. 
 
6. Uma circunferência tem centro no ponto C(4, 3) e raio igual a 3. Qual é a 
equação reduzida desta circunferência? 
 
 
7. Uma circunferência tem centro no ponto C(4, 3) e raio igual a 3. Qual é a 
equação geral desta circunferência? 
 
 
8. A elipse representada na imagem a seguir tem centro no ponto C(10, 8), semi-
eixo horizontal igual a 5 e semi-eixo vertical igual a 2. 
 
Obtenha a equação reduzida desta elipse. 
 
9. A elipse representada na imagem a seguir tem centro no ponto C(10, 8), semi-
eixo horizontal igual a 5 e semi-eixo vertical igual a 2. 
 
Obtenha a equação geral desta elipse. 
10. Qual é a equação reduzida da hipérbole apresentada na figura a seguir? 
 
 
11. O jato de água de um chafariz contém os pontos A(0, 30), B(50, 110) e C(130, 
0) onde as unidades estão em centímetros. 
Pixabay 
Qual é a equação da parábola que está associada a este jato de água? 
AULA PRÁTICA 06 – EXERCÍCIOS 
 
1. Qual é a equação reduzida de uma esfera que tem raio r=7 e cujo centro está 
no ponto C(-2, 5, 11)? 
 
2. Qual é a equação geral de uma esfera que tem raio r=7 e cujo centro está no 
ponto C(-2, 5, 11)? 
 
3. Obtenha a equação reduzida de um elipsoide onde o centro está em C(0, 3, 
6) e que possui semi-eixos a=5, b=4 e c=3. 
 
4. Obtenha a equação geral de um elipsoide onde o centro está em C(0, 3, 6) e 
que possui semi-eixos a=5, b=4 e c=3. 
 
5. Considere o elipsoide que possui equação canônica dada por 
     
1
36
5
9
6
9
1
222





 zyx
. Quais são as coordenadas do centro deste 
elipsoide? 
 
6. Uma torre de resfriamento tem por objetivo eliminar resíduos ou fluidos de 
calor em um determinado processo. Para a otimização do resfriamento, utiliza-
se um modelo de torre cuja estrutura está baseada em um hiperboloide na 
direção do eixo z. 
 
Obtenha a equação reduzida de uma torre que tem centro C na origem de um 
sistema de eixos coordenados, com a=10, b=10 e c=30. 
 
7. Obtenha a equação reduzida de um hiperboloide no sentido do eixo x com 
centro na origem do sistema de coordenadas e que tem semi-eixos a=11, b=4 e 
c=3. 
 
8. Obtenha a equação canônica do paraboloide elíptico que está posicionado no 
sentido do eixo z cujo vértice está no ponto (1, 2, 0) e tem semi-eixo a igual a 5 
e semi-eixo b igual a 3. 
 
9. Sabendo que a equação canônica de um paraboloide hiperbólico posicionado 
ao longo do eixo y é 
   
121
3
81
5
22




zx
y , 
quais são os respectivos semi-eixos a e c? 
 
10. Obtenha a equação canônica de um paraboloide hiperbólico posicionado ao 
longo do eixo x onde C(0, 4, 2), b=9 e c=8.