TEORIA DE ERROS UFBA Parte 1 e 2

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Prof. Alexandre Araripe Cavalcante
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
Depto. de Física da Terra e do Meio Ambiente
FISD42 - Física Geral Experimental I
TEORIA DE ERROS
PARTE 1 (CONCEITOS BÁSICOS)
Grandezas, dimensão e unidades
• Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo,
ou particularidade de um fenômeno, susceptível de ser
medida, ou seja, à qual se pode atribuir um valor
numérico. As grandezas podem ser vetoriais ou
escalares, conforme será mostrado na parte teórica do
curso.
• Cada grandeza está associada a uma única dimensão, e
esta dimensão pode ser expressa em diferentes
unidades.
• As grandezas estudadas neste curso (geométricas,
cinemáticas e dinâmicas), são expressas em função
de três grandezas fundamentais: comprimento [L],
massa [M] e tempo [T].
• Por exemplo, a equação dimensional da aceleração 
g devida à gravidade é escrita como
[g] = [L][T]-2
• Podemos escrever a unidade de “g” de diferentes
maneiras, desde que em um mesmo sistema de
unidades.
Tabela 1 - Dimensões e unidades nos sistemas CGS e SI (MKS) das 
principais grandezas de Mecânica
Grandeza Dimensão Sistema CGS Sistema MKS
L M T Unidade Nome Unidade Nome
Comprimento [L] Cm centímetro m metro
Massa [M] G grama kg quilograma
Tempo [T] S segundo s segundo
Área [L]2 cm2 — m2 —
Volume [L]3 cm3 — m3 —
Velocidade [L] [T]-1 cm/s — m/s —
Aceleração [L] [T]-2 cm/s2 — m/s2 —
Força [M] [L] [T]-2 g cm s-2 dina (dyn) kg m s-2 Newton (N)
Energia [M] [L]2 [T]-2 g cm2 s-2 erg kg m2 s-2 Joule (J)
Potência [M] [L]2 [T]-3 g cm2 s-3 erg/s kg m2 s-3 Watt (W)
Pressão [M] [L]-1 [T]-2 g cm-1 s-2 dyn/cm2 kg m-1 s-2 Pascal (P)
Torque [M] [L]2 [T]-2 g cm2 s-2 dyn·cm kg m2 s-2 N·m
MEDIDAS DIRETAS E INDIRETAS
• Medidas diretas: são as obtidas por simples
comparação utilizando-se instrumentos de medida já
calibrados para tal fim.
• Exemplos: medidas de comprimento com uma trena, de
massa dum objeto com uma balança e de um intervalo
de tempo com um cronômetro.
• Medidas indiretas: são as calculadas a partir de outras
grandezas medidas diretamente, através de expressões
matemáticas existentes relacionando essas grandezas.
• Exemplos: Determinação do volume dum cilindro e de
uma esfera a partir da medida de suas dimensões.
Determinação da velocidade média de um carro a partir
do deslocamento e do tempo.
Por que estudar Teoria dos 
Erros?
TODA MEDIDA TEM ERRO
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
• Erros grosseiros são aqueles cometidos devido à falta de atenção
ou de prática do operador. Exemplos: erros cometidos em
operações matemáticas, enganos na leitura ou escrita de dados, ou
engano na leitura duma escala.
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
• Erros grosseiros são aqueles cometidos devido à falta de atenção
ou de prática do operador. Exemplos: erros cometidos em
operações matemáticas, enganos na leitura ou escrita de dados, ou
engano na leitura duma escala.
• Erros sistemáticos: são aqueles decorrentes de causas
constantes e se caracterizam por ocorrerem sempre com o mesmo
valor de sinal. Exemplos: erros devidos a aparelhos descalibrados,
a métodos falhos, ao uso de equações incompletas, a condições
ambientais inadequadas aos instrumentos de medida e a hábitos
errados do operador.
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS
• Erros grosseiros são aqueles cometidos devido à falta de atenção
ou de prática do operador. Exemplos: erros cometidos em
operações matemáticas, enganos na leitura ou escrita de dados, ou
engano na leitura duma escala.
• Erros sistemáticos: são aqueles decorrentes de causas
constantes e se caracterizam por ocorrerem sempre com o mesmo
valor de sinal. Exemplos: erros devidos a aparelhos descalibrados,
a métodos falhos, ao uso de equações incompletas, a condições
ambientais inadequadas aos instrumentos de medida e a hábitos
errados do operador.
• Erros acidentais: Também chamados de erros aleatórios ou
estatísticos, eles resultam do somatório de pequenos erros
independentes e incontroláveis afetando o observador, o
instrumento de medida, o objeto a ser medido e as condições
ambientais. Exemplos: a variação do "milímetro" ao longo duma
régua milimetrada; a flutuação dos instrumentos de medida ligados
na rede elétrica; a estimativa que o observador faz na leitura de
dados, as pequenas variações da grandeza medida quando
comparadas à sensibilidade do arranjo experimental.
O limite do erro instrumental (l.e.i) e o 
desvio avaliado
• O limite do erro instrumental (l.e.i.) dum instrumento
de medição com escala de leitura contínua (réguas,
micrômetro, medidores com ponteiro) é definido como a
menor fração da menor divisão da escala que pode ser
estimada visualmente.
O limite de erro instrumental (l.e.i.) e o 
desvio avaliado
• O Desvio avaliado deve ser usado como desvio da
medida, nos casos de se fazer poucas medidas (até
três); quando as medidas repetidas têm o mesmo valor;
ou quando o desvio padrão calculado para uma série de
medidas for menor que ele. O valor do desvio avaliado é
nunca menor do que o do l.e.i (sa≥l.e.i) do instrumento
de medida, podendo ser igual a este se as condições de
medida forem favoráveis.
O desvio avaliado deverá ser escrito
com um algarismo significativo;
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
• Definição: São ditos significativos em uma medida os
dígitos fornecidos pela escala do aparelho mais um
dígito inferido pelo observador (dígito duvidoso).
• todos os algarismos contados a partir do primeiro não
nulo (diferente de zero), ou seja, o zero a esquerda não
conta como significativo. Exemplos: o número 35 tem
dois algarismos significativos; o número 3,50 tem três; o
número 0,047 tem dois; o número 2,8 x 104 tem dois
(somente os algarismos em frente à potência de 10 são
significativos).
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
• Definição: São ditos significativos em uma medida os
dígitos fornecidos pela escala do aparelho mais um
dígito inferido pelo observador (dígito duvidoso).
• Regras:
1 - Zeros à esquerda NÃO são significativos;
2 – Zeros à direita SÃO significativos;
3 – Potências de 10 NÃO são significativos.
• todos os algarismos contados a partir do primeiro não
nulo (diferente de zero), ou seja, o zero a esquerda não
conta como significativo.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
• Exemplos:
O número 35 tem dois algarismos significativos;
O número 3,50 tem três;
O número 0,047 tem dois;
O número 2,8 x 104 tem dois (somente os algarismos em
frente à potência de 10 são significativos).
Aproximação de algarismos significativos:
• Às vezes é necessário fazer uma aproximação de um
resultado de acordo com o número de significativos
das medidas que lhes deram origem. Deste modo os
dígitos excedentes são arredondados, usando-se os
seguintes critérios:
1-Se o primeiro dígito desprezado for um número variando
entre 0 e 4, o anterior não será alterado;
2-Se for de 5 a 9, o anterior é acrescido de uma unidade.
Exemplos:
0,23468 com três significativos fica 0,235
0,0035893 com quatro significativos fica 0,03589
12.670 com dois significativos fica 1,3x104
Regras de operações com algarismos significativos:
Nas operações com algarismos significativos deve-se preservar a
precisão do resultado final. Valem, então, as seguintes regras:
1- Na multiplicação e/ou divisão o resultado final deve ser escrito com
um número de significativos igual ao do fator com menor número de
significativos.
Exemplos:
3,7 × 4,384 = 16 ; 0,632 0,20 = 3,2 ; 4,40 × 6242 = 2,75 x 104
2- Em operações envolvendo inverso de números e multiplicação por
fatores constantes, o número de significativos deve ser preservado
no resultado.
Exemplo:
3- Na soma e/ou subtração o resultado final terá um número de
decimais igual ao da parcela com menos decimais.
Exemplos:
3,4 + 0,256 – 2,22 = 1,4; 34 + 2,92 – 0,5 = 36; 
0,831 – 6,26x10-3 – 0,79 = 0,03
1
248
0 00403= , 4 135 170  =,
.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE MEDIDAS 
COMO UMA DISTRIBUIÇÃO
• A representação gráfica de medidas também se
relaciona com o conceito de amostra (freqüências) e
população (probabilidade)sendo que, o gráfico de
distribuição de freqüências é o histograma e o de
probabilidade é dado, neste caso, pela distribuição de
Gauss.
• HISTOGRAMAS: São os gráficos mais adequados para
a descrição de dados oriundos de variáveis
quantitativas. Eles mostram as freqüências de
observações para cada valor ou conjunto de valores da
variável que se deseja descrever
• No eixo das abscissas (X), são marcados intervalos de medidas e
no eixo das ordenadas (Y) a freqüência absoluta (podendo ser
expresso também com freqüências relativas) com que as medidas
ocorrem em cada intervalo.
• À proporção que o número de medidas aumenta, o
tamanho do intervalo do intervalo tenderá a diminuir.
Sendo que, quando o número de medidas tende a
infinito o tamanho do intervalo tenderá a ser zero o
gráfico de freqüências (histograma) tenderá, para o
nosso tipo de amostras, a uma curva continua de
probabilidade Gaussiana descrita pela função de Gauss.
→n
A Função de Gauss
• Sua expressão analítica, chamada de função densidade
de probabilidade normal, ou, simplesmente, função de
Gauss é:
• O gráfico de f(x) contra x, onde x=(xi-µ) dá a diferença
entre o valor do dado e o valor verdadeiro. Vemos que a
curva é simétrica em relação a um valor central máximo e
tende assintoticamente a zero.
22
)( xhe
h
xf −=

• O valor mais provável ( v.m.p.), , de uma amostra
com n elementos, de acordo, é a média aritmética dos n 
valores, ou seja,
• O erro, de uma medida é a diferença entre este valor e 
o valor verdadeiro da grandeza, ou seja:
• Exceto em alguns casos triviais, o valor verdadeiro é 
desconhecido e, portanto, o módulo do erro é hipotético. 
Contudo, este é um conceito útil na teoria de erros.
• O desvio, di, de uma medida é a diferença entre 
este valor e o valor mais provável, ou seja:
n1,2,...,i 
n
X
X i
i
==

,
−= ii Xe
XXd ii −=
• O desvio assim definido tem duas propriedades
importantes:
1- A soma dos quadrados dos desvios é um mínimo;
2-A soma algébrica dos desvios é zero e isto decorre da
própria definição do valor médio
( )  −=−=i i ii ii XnXXXd
2222
d X n X n X n Xii ii = − = − = 0
Medidas de dispersão
• Raiz do erro quadrático médio. Uma grandeza mais significativa
para a medida da dispersão, devido a sua conexão direta com a
função de Gauss, é a raiz do erro quadrático médio,  (letra grega,
lê-se sigma). O erro quadrático médio, eqm, é definido como a
média aritmética dos quadrados dos erros de todos os elementos
da população. Ele representa, portanto, o dqm de uma medida
individual em torno da media da população, ou seja, do valor
verdadeiro. O quadrado  é também denominado variância.
N
X
N
e
N
X
N
e
h
i ii i
i ii i


−
==
−
==
=
22
2
22
)(
)(
2
1





• Desvio padrão. Tomando uma série finita de medidas e,
usando-a como uma amostra da população, pode-se calcular a
melhor estimativa para . Para uma série de n medidas a melhor
estimativa de  é o desvio padrão , dado pela expressão:
1
1
)(
1
22
22
−
−
=
−
−
=
−
=


n
XnX
s
ou
n
XX
n
d
s
i i
i ii i
Resumo
O valor mais provável ( v.m.p.) de uma grandeza
n1,2,...,i 
n
X
X i
i
==

,
Desvio Padrão
1
)( 2
−
−
=

n
XX
s i
i
Representação da grandeza
xsXX =
Receita da Medida
1. Determinar o l.e.i.
2. Determinar o desvio avaliado (da)
3. Fazer as medidas
4. Calcular o
5. Calcular o sx
6. Representar na forma
1-O desvio padrão deverá ser expresso 
com dois algarismos significativos;
2-O valor da medida deverá sempre 
ter o mesmo número de casas 
decimais que o desvio. Seja ele o 
desvio padrão ou avaliado.
X



=
da
S
XX
x
Lembrar
O desvio avaliado deverá ser
escrito com um algarismo
significativo;
Exemplo
xi (mm) di (mm) di 2̂ (mm 2̂)
1 15,45
2 15,35
3 15,55
4 15,40
5 15,65
n1,2,...,i 
n
X
X i
i
==

,
Paquímetro: Natureza 0,05mm
Exemplo
xi (mm) di (mm) di 2̂ (mm 2̂)
1 15,45
2 15,35
3 15,55
4 15,40
5 15,65
77,40
Média= 15,480
n1,2,...,i 
n
X
X i
i
==

,
Paquímetro: Natureza 0,05mm
Exemplo
xi (mm) di (mm) di 2̂ (mm 2̂)
1 15,45
2 15,35
3 15,55
4 15,40
5 15,65
77,40
Média= 15,480
n1,2,...,i 
n
X
X i
i
==

,
Paquímetro: Natureza 0,05mm
1
)( 2
−
−
=

n
XX
s i
i
Exemplo
xi (mm) di (mm) di 2̂ (mm 2̂)
1 15,45 -0,03000
2 15,35 -0,13000
3 15,55 0,07000
4 15,40 -0,08000
5 15,65 0,17000
77,40
Média= 15,480
XXd ii −=n1,2,...,i 
n
X
X i
i
==

,
Paquímetro: Natureza 0,05mm
1
)( 2
−
−
=

n
XX
s i
i
Exemplo
xi (mm) di (mm) di 2̂ (mm 2̂)
1 15,45 -0,03000 0,00090
2 15,35 -0,13000 0,01690
3 15,55 0,07000 0,00490
4 15,40 -0,08000 0,00640
5 15,65 0,17000 0,02890
77,40 0,05800
Média= 15,480
( )  −=−=i i ii ii XnXXXd
2222
XXd ii −=n1,2,...,i n
X
X i
i
==

,
1
)( 2
−
−
=

n
XX
s i
i
Paquímetro: Natureza 0,05mm
𝑠 =
0,05800
4
= 0,120415945𝑚𝑚
Exemplo
xi (mm) di (mm) di 2̂ (mm 2̂)
1 15,45 -0,03000 0,00090
2 15,35 -0,13000 0,01690
3 15,55 0,07000 0,00490
4 15,40 -0,08000 0,00640
5 15,65 0,17000 0,02890
77,40 0,05800
Média= 15,480
mmX 480,15= 𝑠𝑥 = 0,120415945𝑚𝑚
xsXX =
Paquímetro: Natureza 0,05mm
• Regras para representação do valor e do desvio
de uma medida:
• 1-O desvio padrão, tanto da medida direta quanto da
medida indireta, deverá ser expresso com dois
algarismos significativos;
• 2- O desvio avaliado deverá ser escrito com um
algarismo significativo;
• 3-O valor da medida deverá sempre ter o mesmo
número de casas decimais que o desvio. Seja ele o
desvio padrão ou avaliado;
• 4-O desvio tem a mesma unidade que a medida.
xsXX =
Exemplo
xi (mm) di (mm) di 2̂ (mm 2̂)
1 15,45 -0,03000 0,00090
2 15,35 -0,13000 0,01690
3 15,55 0,07000 0,00490
4 15,40 -0,08000 0,00640
5 15,65 0,17000 0,02890
77,40 0,05800
Média= 15,480
mmX 480,15= mmsx 120425945,0=
mmX )12,048,15( =
mmsx 12,0= mmX 48,15=
Exemplos
ሜ𝑋 = 23,4859620 𝑢𝑛
𝑠𝑥 = 0,00357659345 𝑢𝑛
ሜ𝑋 = 1456783,2473 𝑢𝑛
𝑠𝑥 = 3459,4734523 𝑢𝑛
𝑋 = 23,4860 ± 0,0036 𝑢𝑛
𝑋 = 14568 𝑥 10² ± 35 𝑥 10² 𝑢𝑛
Nível de confiança com o desvio padrão
• Definindo um intervalo [X±αsx], onde α é uma constante a ser
definida pela lei de distribuição de tal modo que uma nova
medida X tenha uma dada chance de jazer neste intervalo.
Assim, o nível de confiança representa a probabilidade, neste
caso P(X1, X2), de uma medida jazer no intervalo [X1, X2 ].
Utilizando a lei Gauss:
%73,999973,0)3;3-P(3
%45,959545,0)2;2-P(2
%26,686826,0)1;1-P(1
:Para
2
1
 ),(
2
2
2
1
2
)(
21
=+=
=+=
=+=
=
−
−







dxeXXP
xX
X
Nível de confiança 
 n.c. ( % )  
 
 n Nível de confiança, n.c. ( % ) 
 60% 90% 95% 
 50,00 0,670 2 1,376 6,314 12,706 
 60,00 0,842 3 1,061 2,920 4,306 
 68,26 1,000 4 0,978 2,353 3,182 
 90,00 1,645 5 0,941 2,132 2,776 
 95,00 1,960 6 0,920 2,015 2,571 
 95,45 2,000 7 0,906 1,943 2,447 
 99,73 3,000 8 0,896 1,895 2,365 
 9 0,889 1,860 2,306 
 10 0,883 1,833 2,262 
 15 0,868 1,761 2,145 
 20 0,861 1,729 2,093 
 
Tabela 2 (Gauss)
Valores de α para n > 20 
Tabela 3 (Student)
Valores de α para n ≤ 20 
Discrepância e Discrepância relativa
• A discrepância é a diferença entre dois valores
medidos de uma grandeza, tal como a diferença entre
os valores obtidos por dois estudantes ou a diferença
entre o valor encontrado por um estudante e um
recomendado ou tabelado.
• A discrepância relativa, Δ , (letra grega, lê-se delta)
entre duas medidas de uma grandeza é definida pela
relação (em %)
• X' e X" podem ser os valores obtidos por dois
observadores (neste caso o menor valor deve ficar no
denominador), ou X' pode ser um valor obtido por um
observador eX" um valor tabelado ou recomendado da
grandeza (o valor tabelado deve ficar no denominador).
100
''
'''
(%) 
−
=
X
XX
Exatidão e precisão
• Exatidão é uma medida de quão próximo o valor
experimental está do valor verdadeiro. A exatidão tem a
ver com os erros sistemáticos e uma medida é dita ser
tão mais exata quanto menores forem estes erros. A
exatidão de uma medida X' pode ser avaliada pela
discrepância relativa, onde X" é o valor verdadeiro da
grandeza (alguns poucos casos em que ele é
conhecido) ou um valor recomendado.
100
''
'''

−
=
X
XX
Er
Quanto MENOR o Er, MAIOR a
EXATIDÃO.
Exatidão e precisão
• Precisão é uma medida de quão concentradas estão as
medidas experimentais em torno do valor mais provável.
A precisão tem a ver com os erros aleatórios e uma
medida é dita ser tão mais precisa quanto menor forem
estes erros.
• Uma distinção entre exatidão e precisão está ilustrada abaixo, onde
são mostrados alvos com marcas de balas de dois rifles fixados
rigidamente e mirando o centro de cada alvo. Em ambos os casos,
o centro de fogo (valor mais provável) está deslocado do centro do
alvo (valor verdadeiro). Diz-se, então, que a exatidão em (b) é
maior do que em (a). Já a dispersão dos tiros (valores individuais
distribuídos aleatoriamente) é menor em (a) do que em (b). Diz-se,
então, que a precisão é maior em (a) do que em (b).
(a) (b)
Rejeição de dados: 
• O critério comumente usado é rejeitar-se as medidas
cujos desvios em relação ao v.m.p. sejam maiores que
três vezes o desvio padrão. A justificativa para esse
critério é que, para cinco ou mais medidas, todas elas
praticamente jazem no intervalo [X3s], sendo
praticamente zero a probabilidade de uma medida jazer
fora deste intervalo. Uma vez eliminada a medida
anômala, novo v.m.p. e novo desvio padrão devem ser
calculados com as medidas restantes.
• O Desvio relativo S, da medida de uma grandeza é
definido como a relação entre a dispersão s utilizada
para a medida (desvio avaliado, desvio padrão, etc.,
vistos anteriormente) e o valor X no caso de apenas
uma determinação (ou o v.m.p no caso de uma série de
medidas), expresso em %. Sua expressão é
• A precisão (dispersão) da medida pode ser avaliada
pelo desvio relativo, podendo ser também utilizado para
comparar a precisão entre medidas diferentes. Quanto
menor o desvio relativo, maior é a precisão.
100(%) =
X
s
S
Acima, são dadas três curvas de Gauss, com a mesma área, com
diferentes índices de precisão h. A forma mais estreita da curva indica
que as medidas estão mais próximas do valor verdadeiro da grandeza
medida, ou menos dispersos, indicando uma alta precisão e um valor
maior de h. Inversamente, um h pequeno indica medidas de baixa
precisão e a curva é achatada.

h
f =)0(
Resumo
O valor mais provável ( v.m.p.) de uma grandeza n1,2,...,i 
n
X
X i
i
==

,
Desvio Padrão 1
)( 2
−
−
=

n
XX
s i
i Representação da grandeza
xsXX =
100
''
'''
(%) 
−
=
X
XX
Discrepância Relativa
100(%) =
X
s
SDesvio Relativo
1-O desvio padrão deverá ser expresso 
com dois algarismos significativos
2-O valor da medida deverá sempre 
ter o mesmo número de casas 
decimais que o desvio. Seja ele o 
desvio padrão ou avaliado
Precisão → Desvio Relativo
Exatidão → Discrepância Relativa Quanto menor a discrepância relativa, 
maior é a exatidão.
Quanto menor o desvio relativo, maior é a 
precisão.