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Exercícios resolvidos (exemplos) 
 
Exemplo 2: Obter o diagrama de momento fletor e as reações de apoio 
do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 1. 
Dados: 
E J = 1 
 
Figura 1 – Pórtico hiperestático. 
 
1º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
 
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di 
+ de) para a estrutura hiperestática. Colocar os nomes nas barras, nos apoios e 
numerar as placas e os apoios adicionais. 
 
 
Figura 2 – Sistema principal com as placas e o apoio adicional, nomes nas barras e 
apoios. 
 
Nó A  não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Não há deslocamento linear em A; 
Nó B não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Não há deslocamento linear em B; 
Nó C  precisa de placa, para saber a rotação em C, e precisa de apoio adicional, 
pois há deslocamento horizontal nessa barra (CD); 
Nó D  precisa de placa, para saber a rotação em D, e precisa de apoio adicional, 
pois há deslocamento horizontal nessa barra (CD). Basta colocar o apoio adicional 
em um dos pontos (C ou D). 
 
Colocar placa e apoio adicional: 
de = 1 (apoio adicional) 
di = 2 (placas) 
d = de + di = 3 
 
Logo o sistema será: 
10 +11 Δ1 +12 Δ2 +13 Δ3 = 0 
20 +21 Δ1 +22 Δ2 +23 Δ3 = 0 
30 +31 Δ1 +32 Δ2 +33 Δ3 = 0 
 
 
2º Passo: Estado 0 (só carga): 
Barra 1 = 0 (não há carga na barra 1) 
 
Barra 2: engaste e engaste 
 
 
Calculando o momento fletor em C e D, da barra 2. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Carga pontual de 4kN 
𝑀𝐶 = +
𝑃𝑎𝑏2
𝑙2
= +
4𝑥3𝑥42
72
= 3,92𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐷 = −
𝑃𝑎2𝑏
𝑙2
= −
4𝑥32𝑥4
72
= −2,94𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 3 = 0 (não há carga na barra 3. A carga 9kN não faz momento) 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2 e calculando o apoio 
adicional: 
  10 = 0 + 3,92 = 3,92kNm 
  20 = -2,94 + 0 = -2,94kNm 
  30 = 9kN 
 
 
 
 
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1): 
Calculando a rigidez da placa 1. 
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 2. 
 
 
Barra 1: apoio e engaste 
 
 
 
Trabalhando com a rigidez relativa no nó: 
𝐾𝐷 = 
45
𝑙
=
45
3
= 15𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 2: engaste e engaste 
 
Trabalhando com a rigidez relativa no nó: 
 
𝐾𝐶 = 
60
𝑙
=
60
7
= 8,57𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐷 = 
30
𝑙
=
30
7
= 4,29𝑘𝑁𝑚 
 
Somar os momentos fletores das placas 1 e 2, calculando o apoio 
adicional: 
  11 = 15 + 8,57 = 23,57kNm 
  21 = 4,29kNm 
  31 = 15/3 = 5kN (o valor 15 é o momento na barra 1. Momento 
dividido pela barra, temos a força) 
 
 
4º Passo: Estado 2 (rotação da placa 2 => Δ2): 
Calculando a rigidez da placa 2. 
Rotacionando a placa 2, trabalha-se com as barras 2 e 3. 
 
 
 
Barra 2: engaste e engaste 
 
Trabalhando com a rigidez relativa no nó: 
𝐾𝐷 = 
60
𝑙
=
60
7
= 8,57 𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐶 = 
30
𝑙
=
30
7
= 4,29 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Barra 3: engaste e apoio 
 
Trabalhando com a rigidez relativa no nó: 
𝐾𝐷 = 
45
𝑙
=
45
2
= 22,5 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2 e calculando o apoio 
adicional: 
  12 = 4,29kNm 
  22 = 8,57 + 22,5 = 31,07kNm 
  32 = 22,5/2 = 11,25kN 
 
 
5º Passo: Estado 3 (deslocamento do apoio adicional => Δ3): 
Dando um deslocamento em Δ3 ao apoio 3, teremos o aparecimento de 
deslocamentos ortogonais recíprocos de igual valor para as barras 1 e 3, 
permanecendo horizontal a barra 2. 
Teremos os seguintes momentos de engastamento perfeito devido a esse 
deslocamento: 
 
Barra 1: apoio e engaste 
𝑀𝐶 = 
450
𝑙2
=
450
32
= 50𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 3: engaste e apoio 
 
 𝑀𝐷 = 
450
𝑙2
=
450
22
= 112,50𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2 e calculando o apoio 
adicional: 
  13 = 50 + 0 = 50kNm 
  23 = 112,50 + 0 = 112,50kNm 
  33 = (50 / 3) + (112,50 / 2) = 72,92kN 
 
 
5º Passo: Sistema 
10 +11 Δ1 +12 Δ2 +13 Δ3 = 0 
 
20 +21 Δ1 +22 Δ2 +23 Δ3 = 0 
30 +31 Δ1 +32 Δ2 +33 Δ3 = 0 
3,92 + 23,56 Δ1 + 4,29 Δ2 + 50 Δ3 = 0 
-2,94 + 4,28 Δ1 + 31,07 Δ2 + 112,5 Δ3 = 0 
9 + 5 Δ1 + 11,25 Δ2 + 72,92 Δ3 = 0 
Δ1 = 0,33474 
Δ2 = 1,31071 
Δ3 = -0,3485897 
 
 
6º Passo: Superposição 
M = M0 + M1 Δ1 + M2 Δ2 + M3 Δ3 
𝑀𝐶
1 = 0 + 15 𝑥 (0,33474) + 0 𝑥 (1,31071) + 50 𝑥 (−0,3485897) = −12,41 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐶
2 = 3,92 + 8,56 𝑥 (0,33474) + 4,29 𝑥 (1,31071) + 0 𝑥 (−0,3485897)
= 12,41 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐷
2 = −2,94 + 4,28 𝑥 (0,33474) + 8,57 𝑥 (1,31071) + 0 𝑥 (−0,3485897)
= 9,73 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐷
3 = 0 + 0 𝑥 (0,33474) + 22,5 𝑥 (1,31071) + 112,5 𝑥 (−0,3485897)
= −9,73 𝑘𝑁𝑚 
 
 
 
Figura 3 – Pórtico com diagrama de momentos fletores (kNm) e as reações de apoio. 
 
 
Figura 4 – Pórtico com diagrama de esforço normal (kN) e as reações de apoio. 
 
 
 
Figura 5 – Pórtico com diagrama de esforço cortante (kN) e as reações de apoio. 
 
 
 
 
Exemplo 3: Obter o diagrama de momento fletor do pórtico abaixo, 
conforme mostra a Figura 7. 
Dados: E J = 1 
 
Figura 6 – Sistema principal com as placas e nomes nas barras e apoios. 
 
1º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
 
Figura 7 – Sistema principal com as placas e os nomes nas barras e nos apoios. 
 
Colocar placa e apoio adicional: 
de = 0 (apoio adicional) 
di = 2 (placas) 
d = de + di = 2 
 
Logo o sistema será: 
10 +11 Δ1 +12 Δ2 = 0 
20 +21 Δ1 +22 Δ2 = 0 
 
2º Passo: Calcular as deformações em todos os estados: 
 
 
 
 
3º Passo: Sistema: 
 
 
4º Passo: Calcular as deformações em todos os estados: 
 
 
Figura 8 – Diagrama de momento fletor.