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Profª Eimi Veridiane Suzuki
Introdução à Resistência
dos Materiais
Aula 3
Conversa Inicial
Seja bem-vindo à aula três de Introdução à 
Resistência dos Materiais, aqui nesta aula 
veremos as deformações que ocorrem 
quando um corpo está submetido a um 
carregamento axial
Carregamento axial
Princípio de Saint-Venant
e Princípio da Superposição
Temos dois pontos importantes no princípio 
de Saint-Venant
As tensões não serão constantes quando 
olhamos na região perto da aplicação da 
carga e do apoio, mas quando nos 
afastamos desses pontos a tensão normal 
se torna constante em toda a seção
Princípio de Saint-Venant
Não importa se você tiver uma força P 
aplicada, ou duas forças P/2, ou n forças 
P/n, a distribuição das tensões nas seções 
será a mesma para todos desde que as 
cargas sejam estaticamente equivalentes e 
tenham sido aplicadas na mesma região
1 2
3 4
5 6
2
Princípio de Saint-Venant
Fonte: Hibbeler (2015)
a
b
c c
a
b
P
P P P
A carga distorce as retas
próximas a ela
As retas localizadas longe 
da carga e do apoio 
permanecem retas
A carga distorce as 
retas localizadas perto 
do apoio
seção a-a seção b-b seção b-b
𝛔𝐦é𝐝
𝑷
𝑨
𝐏
𝟐
𝐏
𝟐
b
𝛔𝐦é𝐝
𝑷
𝑨
seção c-c
c
a
Pelo princípio da superposição, se nós temos 
um carregamento complicado, pode-se 
determinar a tensão e o deslocamento 
resultante dividindo-se o carregamento em 
partes menos complicadas e depois somando 
as resultantes
Princípio da superposição
Para podermos usar esse princípio temos duas 
condições
A carga e a tensão, ou o deslocamento, devem ter 
uma relação linear, como em: σ=F/A
A carga não pode provocar mudanças grandes no 
formato do corpo
Temos um exemplo na figura abaixo, na qual há 
uma grande mudança no comprimento da viga, 
pois d≠d1≠d2
Fonte: Hibbeler (2015)
+=
(a)
d
d1
d2
P
P1
P2
b
Carregamento Axial
Fórmula do deslocamento
𝜎
𝑃
𝐴
𝜀
𝛿
𝐿
𝐸
𝜎
𝜀
𝛿
𝑃.𝐿
𝐴.𝐸
𝛿
𝑃.𝐿
𝐴.𝐸
(Beer et al., 2015) Ambas 
as partes da barra ABC são 
feitas de um alumínio para o 
qual E = 70 GPa
Sabendo que a intensidade 
de P é 4 kN, determine (a) o 
valor de Q de modo que o 
deslocamento em A seja 
zero; e (b) o deslocamento 
correspondente em B
P
Diâmetro de 20 mm0.4 m
A
B
0.5 m
C
Diâmetro de 60 mm
7 8
9 10
11 12
3
𝐹 0
𝑁 𝑃 4 𝑘𝑁
Dados
E 70 GPa 70 . 10 𝑃𝑎
𝑃 4 kN
𝐿 0,4 m
𝐿 0,5 m
𝑑 20 mm 0,02 m
𝑑 60 mm 0,06 m
Q ? quando 𝛿 0
𝛿 ? quando 𝛿 0
P
Diâmetro de 20 mm0.4 m
A
B
0.5 m
C
Diâmetro de 60 mm
P
NAB
𝐹 0
𝑃 𝑄 𝑁 0
𝑁 4 𝑄 𝑘𝑁
𝐴 𝜋𝑟
𝐴 𝜋
𝑑
2
𝐴 𝜋
0,02
2
𝐴 3,1416. 10 𝑚²
𝐴 𝜋
𝑑
2
𝐴 𝜋
0,06
2
𝐴 2,8274. 10 𝑚²
Dados
E 70 GPa 70 . 10 𝑃𝑎
𝑃 4 kN
𝐿 0,4 m
𝐿 0,5 m
𝑑 20 mm 0,02 m
𝑑 60 mm 0,06 m
Q ? quando 𝛿 0
𝛿 ? quando 𝛿 0
P
A
B
Q
NBC
Dados
E 70 GPa 70 . 10 𝑃𝑎
𝑃 4 kN
𝐿 0,4 m
𝐿 0,5 m
𝑑 20 mm 0,02 m
𝑑 60 mm 0,06 m
Q ? quando 𝛿 0
𝛿 ? quando 𝛿 0
𝛿
𝑃. 𝐿
𝐴.𝐸
0
𝑁 . 𝐿
𝐴 . E
𝑁 .𝐿
𝐴 . E
0
4. 10 . 0,4
3,1416. 10 . 70 . 10
4. 10 𝑄 . 0,5
2,8274. 10 . 70 . 10
𝑄 32800𝑁 32,8 𝑘𝑁
𝛿
𝑁 .𝐿
𝐴 . E
𝛿
4. 10 32,8. 10 . 0,5
2,8274. 10 . 70 . 10
𝛿 0,0000728 𝑚 0,0728𝑚𝑚
P
Diâmetro de 20 mm0.4 m
A
B
0.5 m
C
Diâmetro de 60 mm
Elemento com Carga Axial 
Estaticamente Indeterminado
Em alguns casos 
apenas as equações 
de equilíbrio não são 
suficientes para achar 
as reações de apoio, 
esses casos são 
chamados de 
estaticamente 
indeterminados 
Elemento estaticamente 
indeterminado
Fonte: Gere; Goodno, (2017)
a
b
L
B
C
P
A
RA
RB
RA
A
P
C
B
RB
Para achar as reações de 
apoio precisamos do mesmo 
número de equações, se 
temos duas reações 
precisamos de duas equações
Uma das equações achamos 
com as equações de equilíbrio
A segunda equação será 
obtida analisando a 
geometria do elemento e 
seus deslocamentos (δ)
Fonte: Gere; Goodno, (2017)
RA
A
P
C
B
RB
13 14
15 16
17 18
4
(Hibbeler, 2015) A 
coluna de concreto é 
reforçada com quatro 
hastes de aço, cada uma 
com diâmetro de 18 mm
Determine a tensão no 
concreto e no aço se a 
coluna for submetida a 
uma carga axial de 800 
kN
Eaço = 200 GPa, Ec = 25 
GPa
300 mm 300 mm
800 kN Dados
𝑑 ç 18 𝑚𝑚 0,018𝑚
𝑙𝑎𝑑𝑜 300 𝑚𝑚 0,3 𝑚
𝑃 800 𝑘𝑁
𝐸 ç 200 𝐺𝑃𝑎
𝐸 25 𝐺𝑃𝑎
𝜎 ?
𝜎 ç ?
300 mm 300 mm
800 kN
𝐹 0
𝐴 𝜋𝑟
𝐴 ç 𝜋
𝑑 ç
2
𝐴 ç 𝜋
0,018
2
𝐴 ç 2,5447. 10 𝑚²
𝐴 𝑙𝑎𝑑𝑜 4 .𝐴 ç
𝐴 0,3 4 . 2,5447. 10
𝐴 0,08898 𝑚²
4 .𝐹 ç 𝐹 800 0
𝛿 𝛿 ç
𝐹 . 𝐿
𝐴 .𝐸
𝐹 ç . 𝐿 ç
𝐴 ç .𝐸 ç
𝐹
0,08898 . 25. 10
𝐹 ç
2,5447. 10 . 200. 10
𝐹 43,7085 .𝐹 ç
4 .𝐹 ç 𝐹 800 0
4 .𝐹 ç 43,7085 .𝐹 ç 800 0
𝐹 ç 16,7685 𝑘𝑁
𝐹 732,9261 𝑘𝑁
Dados
𝑑 ç 18 𝑚𝑚 0,018𝑚
𝑙𝑎𝑑𝑜 300 𝑚𝑚 0,3 𝑚
𝑃 800 𝑘𝑁
𝐸 ç 200 𝐺𝑃𝑎
𝐸 25 𝐺𝑃𝑎
𝜎 ?
𝜎 ç ?
300 mm 300 mm
800 kN
𝜎 ç
𝐹 ç
𝐴 ç
𝜎 ç
16,7685 . 10
2,5447. 10
𝜎 ç 65,8958 𝑀𝑃𝑎
𝜎
𝐹
𝐴
𝜎
732,9261 . 10
0,08898
𝜎 8,2370 𝑀𝑃𝑎
Dados
𝑑 ç 18 𝑚𝑚 0,018𝑚
𝑙𝑎𝑑𝑜 300 𝑚𝑚 0,3 𝑚
𝑃 800 𝑘𝑁
𝐸 ç 200 𝐺𝑃𝑎
𝐸 25 𝐺𝑃𝑎
𝜎 ?
𝜎 ç ?
300 mm 300 mm
800 kN
Tensão Térmica
Quando um corpo é aquecido ele tende a se 
expandir e se sua temperatura é reduzida ele 
tende a se contrair
Fonte: Gere; Goodno (2017)
A B
19 20
21 22
23 24
5
Quando há uma mudança de temperatura o 
corpo se expande ou se contrai segundo uma 
relação linear
𝛿 𝛼 .∆𝑇 . 𝐿
Onde α é o coeficiente linear de expansão 
térmica, que é uma propriedade do material e 
tem como unidade 1/°C ou 1/K
Quando temos um 
elemento estaticamente 
indeterminado que passa 
por uma mudança de 
temperatura usa-se o 
princípio da superposição 
para resolver o problema
Fonte: Beer et al. (2015)
P
L
A B
L
c
A B
b
𝜹𝑻
B
a
A B
L
𝜹𝒓
(Adaptado de BEER et al., 
2015) Um tubo de latão 
(α = 20,9.10-6 /°C) é 
totalmente preso ao 
núcleo de aço (α = 
11,7.10-6/°C)
Determine o maior 
aumento permitido na 
temperatura se a tensão 
no núcleo de aço não 
deve exceder 55MPa
Tubo de latão
E = 105 GPa 250 mm
20 mm
5 mm5 mm
20 mm
5 mm
Núcleo de aço
E = 200 GPa
5 mm
Dados
𝐿 ç 𝐿 ã 250 𝑚𝑚 0,25 𝑚
𝛼 ã 20,9 . 10 /°𝐶
𝛼 ç 11,7 . 10 /°𝐶
𝜎 ç 55 𝑀𝑃𝑎
𝐸 ç 200 𝐺𝑃𝑎
𝐸 ã 105 𝐺𝑃𝑎
∆𝑇 ?
𝜎 ç
𝐹 ç
𝐴 ç
55 . 10
𝐹 ç
0,02²
𝐹 ç 22 𝑘𝑁
𝐹 ç 𝐹 ã 22 𝑘𝑁
5 mm
Tubo de latão
E = 105 GPa 250 mm
20 mm
5 mm5 mm
20 mm
5 mm
Núcleo de aço
E = 200 GPa
Dados
𝐿 ç 𝐿 ã 250 𝑚𝑚 0,25 𝑚
𝛼 ã 20,9 . 10 /°𝐶
𝛼 ç 11,7 . 10 /°𝐶
𝜎 ç 55 𝑀𝑃𝑎
𝐸 ç 200 𝐺𝑃𝑎
𝐸 ã 105 𝐺𝑃𝑎
∆𝑇 ? Tubo de latão
E = 105 GPa 250 mm
20 mm
5 mm5 mm
20 mm
5 mm
Núcleo de aço
E = 200 GPa
𝛿 ç 𝛿 ã
𝛿 ç 𝛿 ç 𝛿 ã 𝛿 ã
𝛼 ç .∆𝑇. 𝐿
𝐹 ç . 𝐿
𝐴 ç .𝐸 ç
𝛼 ã .∆𝑇. 𝐿
𝐹 ã . 𝐿
𝐴 ã .𝐸 ã
11,7 . 10 .∆𝑇
22000
0,02² . 200. 10
20,9 . 10 .∆𝑇
22000
0,03 0,02² . 105. 10
∆𝑇 75,44°𝐶
Concentração de Tensão
25 26
27 28
29 30
6
Em alguns elementos 
estruturais podem 
estar presentes 
algum tipo de 
descontinuidade no 
formato do elemento, 
e essa 
descontinuidade 
causar uma 
perturbação na 
distribuição de 
tensão da seção 
transversal do corpo Fonte: Gere; Goodno (2017)
b d
c/2
c/2
PP
a
P
b
𝝈𝐌𝐀𝐗
Pode-se calcular esse valor da tensão 
máxima com a fórmula
𝐾 á
é
Aonde K é o fator de concentração de tensão, 
e é um valor tabelado que depende da 
geometria do objeto
A tensão média deve ser achada pela 
fórmula, σ=P⁄A, mas a área deve ser a da 
menor seção transversal do corpo
𝑤
ℎ
4,0
𝑤
ℎ
3,0 𝑤
ℎ
2,0
𝑤
ℎ
1,5
𝑤
ℎ
1,2
𝑤
ℎ
1,1
Fonte: Hibbeler (2015)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
𝒓
𝒉
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
P P
rw
𝜎 é
𝑃
ℎ𝑡
th
K
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5𝒓
𝒉
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
P
2r
𝜎 é
𝑃
𝑤 2𝑟 𝑡
P
w
t
Fonte: Hibbeler (2015)
K
A concentração de tensão é importante ser 
estudada para evitar rachaduras em elementos 
de materiais frágeis principalmente se são 
submetidos a comportamento cíclicosUma pequena mudança na geometria do corpo 
pode diminuir o valor de K e diminuir o risco do 
aparecimento de trincas
Fonte: Hibbeler (2015)
(Hibbeler, 2015) Determine a força axial máxima 
P que pode ser aplicada à barra
A barra é feita de aço e tem tensão admissível 
σadm = 147 MPa
4 mm
25 mm
P
r 5 mm
15 mm
P
37,5 mm
31 32
33 34
35 36
7
4 mm
25 mm
P
r 5 mm
15 mm
P
37,5 mm
𝑟 5 𝑚𝑚
ℎ 25 𝑚𝑚
𝑤 37,5 𝑚𝑚
𝑟
ℎ
5
25
0,2
𝑤
ℎ
37,5
25
1,5
𝐾 1,72
𝐾
𝜎 á
𝜎 é
1,72
147 . 10
𝜎 é
𝜎 é 85,4651 𝑀𝑃𝑎
𝜎 é
𝑃
𝐴
85,4651 . 10 
𝑃
0,025 . 0,004
𝑃 8,5465 𝑘𝑁
𝑤
ℎ
4,0
𝑤
ℎ
3,0 𝑤
ℎ
2,0
𝑤
ℎ
1,5
𝑤
ℎ
1,2
𝑤
ℎ
1,1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
𝒓
𝒉
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
P P
rw
𝜎 é
𝑃
ℎ𝑡
th
4 mm
25 mm
P
r 5 mm
15 mm
P
37,5 mm
𝑤 37,5 𝑚𝑚
𝑟
15
2
7,5 𝑚𝑚
𝑟
𝑤
7,5
37,5
0,2
𝐾 2,45
𝐾
𝜎 á
𝜎 é
𝜎 é
𝑃
𝐴
2,45
147 . 10
𝜎 é
𝜎 é 60 𝑀𝑃𝑎
60 . 10 
𝑃
0,0375 . 0,015 . 0,004
𝑃 5,4 𝑘𝑁
Portanto, a força máxima P que pode ser aplicada à barra é 5,4 kN
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5𝒓
𝒉
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
P
2r
𝜎 é
𝑃
𝑤 2𝑟 𝑡
P
w
t
37 38