AULA 04 - Deflexão em Vigas

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 4
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Eimi Suzuki
CONVERSA INICIAL
Aprenderemos aqui sobre deflexão em vigas, calcularemos a deflexão e a inclinação nas vigas provocadas
pelas cargas. No final da etapa, aprenderemos como resolver problemas de vigas ou eixos estaticamente
indeterminados.
TEMA 1 – A LINHA ELÁSTICA
Nada mais é do que o diagrama de deflexão de um elemento, essa deflexão é no centroide das seções
transversais do elemento. Essa deformação, que pode ser vista em alguns exemplos na Figura 1, vai depender
de alguns fatores, com reações de apoio e carregamento.
Figura 1 – Linha elástica em duas vigas
Fonte: Hibbeler, 2015.
Se o material for homogêneo e estiver na fase elástica, podemos dizer que:
(4.1)
Em que:
1/ρ é a curvatura de um ponto da linha elástica;
M é o momento fletor interno no mesmo ponto da curvatura;
E é o módulo de elasticidade; e
I é o momento de inércia.
1.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO
A maneira que a viga está apoiada vai interferir na deflexão da viga, pode ser visto na Figura 2 que para
pino e rótula não há variação em y na linha elástica, já no engaste além de não ter variação de y o ângulo (θ) no
ponto engastando também não muda.
Figura 2 – Condições de contorno para alguns tipos de vigas
Fonte: Beer et al, 2015.
As condições de contorno sempre serão relativas às deflexões e às inclinações nos pontos de apoio da viga.
1.2 CONCAVIDADE DA LINHA ELÁSTICA
Para desenhar um esboço da linha elástica, começamos com o gráfico de momento fletor. Quando o
momento é positivo, a concavidade da curva da linha elástica é para cima, e quando o momento é negativo, a
concavidade da curva da linha elástica é para baixo. E para quando o momento é nulo, temos o ponto de
inflexão, que é quando há a mudança do sentido da concavidade da curva (Figura 3).
Figura 3 – Exemplo de como esboçar a linha elástica
Fonte: elaborado com base em Hibbeler, 2015.
1.3 EXEMPLO
Exemplo 1: (Hibbeler, 2015) uma tira de aço L2 com 3 mm de espessura e 50 mm de largura é curvada até
formar um circular de 15 m de raio. Determine a tensão de flexão máxima na tira.
Solução: organizando os dados:
Como a tira é de aço, em uma tabela de propriedades dos materiais, temos que:
Utilizando a equação (4.1).
Mas sabemos que:
Exemplo 2: desenhe um esboço da linha elástica da viga da figura.
Fonte: Martha, 2017.
Solução: para pino e rótula não temos variação em y. Desenhando o gráfico de momento fletor.
Fonte: Martha, 2017.
Como o momento é positivo em toda a viga, a concavidade da curva da linha elástica é para cima. Como o
carregamento pontual é bem maior que a resultante da força distribuída, podemos esboçar a linha elástica,
como:
Fonte: Martha, 2017.
TEMA 2 – EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
A linha elástica, sendo uma curva, pode ser representada através de uma função.
Fazendo substituições, chega-se à equação que gerará a equação da linha elástica, uma equação diferencial
de segunda ordem.
(4.2)
Se a rigidez a flexão for constante na viga, pode ser usado:
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Se a viga tiver carregamentos diferentes, ao longo da viga, por exemplo, no início da viga, uma carga
distribuída e no final dela uma carga concentrada, pode-se usar várias funções (vários x), uma para cada parte
da viga. Lembrando que a convenção é a mostrada na Figura 4.
Figura 4 – Convenção de sinais positivo
Fonte: Hibbeler, 2015.
2.1 CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE
Quando as condições de contorno não são suficientes para achar a equação da linha elástica, pode ser
usado condições de continuidade. Se na viga for usado mais de uma função para a linha elástica, nos pontos de
mudança de função, a deflexão e a inclinação devem ser as mesmas para o determinado ponto pelas duas
funções.
2.2 CONDIÇÕES DE SIMETRIA
Se uma viga é simétrica, a inclinação da linha elástica no seu ponto médio será nula.
2.3 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Hibbeler, 2015) determine a equação da linha elástica para a viga utilizando a coordenada x
válida para 0 x L/2. Especifique a inclinação em A e a deflexão máxima da viga. EI é constante.
Solução: como a única força concentrada P está equidistante dos dois apoios, as duas reações de apoio em
y serão iguais com valor P/2. Nesta viga, faremos duas seções, uma antes de P e outra depois de P. Com isso,
vamos fazer o diagrama de momento fletor.
1ª seção:
2ª seção:
Pelas condições de contorno, sabemos que quando x = 0; y =0.
Neste caso, pode-se usar a condição de simetria, para x = L/2; dy/dx=0.
Portanto, pode-se escrever a equação da linha elástica como:
Para achar a inclinação em A, sabemos que em A x = 0.
A deflexão máxima será no meio da viga.
Exemplo 2: (Beer et al., 2015) para a viga e o carregamento mostrados, sabendo que a = 2 m, w = 50 kN/m
e E = 200 GPa, determine (a) a inclinação no apoio A, (b) a deflexão no ponto C (I = 84,9 . 106mm4).
Solução: calculando as reações de apoio, temos que:
A viga terá duas seções, uma entre AC e outra entre CB.
Seção AC:
Pelas condições de contorno, sabemos que quando x = 0; y =0.
Seção CB:
Pelas condições de contorno, sabemos que quando x = 6-2 = 4; y =0.
Pelas condições de continuidade sabemos que quando xAC = a e xCB =0; dy/dx=dy/dx =0 e y=y.
(a)A inclinação em A (x = 0).
(b) a deflexão no ponto C (x = 2).
TEMA 3 – MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
Quando a viga está sujeita a várias forças concentradas e distribuídas, geralmente, é mais simples utilizar o
método da superposição para realizar o cálculo da deflexão e da inclinação. A Erro! Fonte de referência não
encontrada. mostra como o princípio da superposição funciona.
Fonte: elaborado com base em Beer et al, 2015.
3.1 TABELAS COM INCLINAÇÕES E DESLOCAMENTOS DE VIGAS
Alguns resultados já são tabulados para facilitar os cálculos. As tabelas com a inclinação, deflexão máxima e
curva da linha elástica para vigas simplesmente apoiadas e em balanço com vários tipos de carregamentos
podem ser vistas na Figura 5 e na Figura 6.
Figura 5 – Inclinações e deslocamentos de vigas simplesmente apoiadas
Fonte: elaborado com base em Hibbeler, 2015.
Figura 6 – Inclinações e deslocamentos de vigas em balanço
Fonte: elaborado com base em Hibbeler, 2015.
3.2 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Beer et al., 2015) para a viga em balanço e o carregamento mostrados na figura, determine a
inclinação e a deflexão na extremidade C. Use E = 200GPa e I = 2,52 . 10-6 m4.
Solução: usando o princípio da superposição:
1ª viga:
Usando a Figura 6, achamos a equação da inclinação e da curva da linha elástica para essa viga com esse
tipo de carregamento, para a porção AB da viga.
Substituindo pelos valores que temos:
A porção BC não muda a inclinação.
2ª viga:
Usando a Figura 6, achamos a equação da inclinação e da curva da linha elástica para essa viga com esse
tipo de carregamento, para a porção AB da viga.
Substituindo pelos valores que temos:
Pelo princípio da superposição:
Exemplo 2: (Hibbeler, 2015) a viga simplesmente apoiada com perfil W360 x 64 feita de aço A-36 é
submetida à carga mostrada na figura. Determine a deflexão em seu centro C.
Solução: como a viga é de aço A-36, E = 200 GPa, e o momento de inércia para o perfil W360 x 64 é I =
179. 106 mm4, portanto:
Pelo princípio da superposição, vamos dividir a viga para duas vigas com carregamento mais simples.
1ª viga:
Vamos achar na Figura 5 a equação de deflexão.
Substituindo pelos valores que já conhecemos:
2ª viga:
Vamos achar na Figura 5 a equação de deflexão.
Substituindo pelos valores que já conhecemos:
Pelo princípio da superposição:
TEMA 4 – VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO
DA INTEGRAÇÃO
Já vimos como resolver problemas de eixos estaticamente indeterminados para elementos com carga axial.
Aqui, vamos ver como resolver outras vigas e eixos estaticamente indeterminados e não apenas as de elementos
com carga axial.
Uma viga ou um eixo são classificados como estaticamente indeterminados quando não é possível achar as
reações de apoio apenascom as equações de equilíbrio. A Figura 7 mostra uma viga que possui quatro reações
de apoio para três equações de equilíbrio.
Figura 7 – (a) Viga estaticamente indeterminada e (b) suas reações de apoio
Fonte: Hibbeler, 2015.
A reação, ou as reações, de apoio a mais na viga, como a da Figura 7, são chamadas de redundantes
estática. A reação redundante, para ser determinada, é necessária uma análise, se a reação for retirada e o viga
ainda for estável e em equilíbrio, essa será a reação redundante. Na Figura 7, essa poderia ser Ay, MA ou By, já se
Ax fosse retirada e viga, não mais estaria em equilíbrio, portanto, ela não pode ser a reação redundante.
4.1 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO
Esse método é semelhante ao estudado no tópico 2 desta etapa. Para um ponto a uma distância x do ponto
A, ou de uma força, achamos o momento fletor M(x). Fazendo a integração, achamos uma equação para θ e
uma para y. As constantes C1 e C2 serão achadas através das condições de contorno, e/ou condições de
simetria. Esse método é mais apropriado para quando apenas um x é utilizado para achar a linha elástica da
viga.
4.2 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Beer et al., 2015) determine a reação em A e desenhe o diagrama do momento fletor para a
viga e o carregamento mostrados na figura.
Solução: substituindo os apoios pelas reações de apoio.
Como a viga é simétrica:
Fazendo uma seção a uma distância x do ponto A.
Condições de contorno. Para A:
Condições de simetria.
Portanto:
Com isso, conseguimos montar o diagrama de momento fletor.
Exemplo 2: (Hibbeler, 2015) determine as reações nos apoios A, B e C; em seguida, trace os diagramas de
força cortante e momento fletor. EI é constante.
Solução: substituindo os apoios pelas reações de apoio.
Fazendo uma seção a uma distância x do ponto A.
Condições de contorno. Para A:
Condições de contorno. Para B:
Igualando com o que achamos no início do problema.
Para fazer o gráfico, vamos achar as equações do momento e da cortante para cada trecho:
Trecho AB:
Trecho BP:
Com isso, conseguimos montar os diagramas.
TEMA 5 – VIGAS E EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO
DA SUPERPOSIÇÃO
Assim como para encontrar a linha elástica, pode ser usado o método da superposição, esse método
também pode ser usado para achar as reações de apoio de uma viga ou eixo estaticamente indeterminados.
A primeira coisa a fazer é identificar as reações redundantes, uma dessas reações redundantes será
transformada em força (ou momento) com valor desconhecido, a viga agora deverá ser uma viga determinada,
como pode ser visto na Figura 8. Aplicando o método da superposição, a primeira viga será a viga determinada
criada, com o carregamento original aplicado, e a segunda será a viga determinada criada com a força gerada
pela reação redundante.
Viga estaticamente indeterminada pelo método da superposição
Fonte: Beer et al, 2015.
Outra coisa importante que deve ser observada na Figura 8 é que o deslocamento final do ponto onde
havia uma reação de apoio que foi transformada em força deve ser nula, ou seja, para o exemplo yB=0.
Caso a transformação de uma reação redundante não seja o suficiente para gerar uma viga determinada,
pode-se transformar mais reações redundantes.
5.1 Exemplos
Exemplo 1: (Beer et al., 2015) para a viga mostrada, determine a reação em B.
Solução:temos quatro reações de apoio e duas equações de equilíbrio, portanto, vamos escolher duas
reações redundantes, as do apoio B. Esta é uma viga estaticamente indeterminada do segundo grau.
Usando a Figura 6 para a 1ª viga.
Usando a Figura 6 para a 2ª viga.
Usando a Figura 6 para a 3ª viga.
Agora vamos ver as condições de contorno. Para a extremidade B que na figura original é engastada temos:
Portanto:
Exemplo 2: (elaborado com base em Gere; Goodno, 2017) uma viga continua ABC com dois vãos
diferentes, um de comprimento L e outro de comprimento 2L, suporta um carregamento uniforma de
intensidade q (veja a figura). Determine as reações RA RB e RC para essa viga.
Solução: neste problema, temos três reações e duas equações de equilíbrio. Esta é uma viga estaticamente
indeterminada do segundo grau.
Usando a Figura 5 para a 1ª viga.
Como o L da tabela é para a viga inteira, substituiremos L por 3L.
Para o ponto B, x = L.
Usando a Figura 5 para a 2ª viga.
Como o L da tabela é para a viga inteira, substituiremos L por 3L.
b=2L
Para o ponto B, x = L.
Uma das condições de contorno do ponto B é y = 0.
Agora usando as equações de equilíbrio:
FINALIZANDO
Nesta etapa, aprendemos sobre deflexão e inclinação em vigas, como calcular a deflexão em qualquer
ponto da viga, usando dois métodos, o da integração e o da superposição. Usamos esses mesmos dois métodos
para achar as reações de apoio de vigas estaticamente indeterminadas. Foram feitos exemplos dos assuntos
apresentados, mas para melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios dos assuntos desta etapa.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH Editora LTDA, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos Materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil LTDA, 2015.
MARTHA, L. F. Ftool: A Frame Analysis Educational Software. Rio de Janeiro: 2017. Disponível em:
<http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm>. Acesso em: 2 set. 2022.