AULA 06 - Flambagem, Fadiga e Fluência

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Eimi Suzuki
CONVERSA INICIAL
Aqui, vamos focar em uma falha muito comum em colunas: a flambagem. Vamos ver como a flambagem
funciona para diferentes tipos de apoios. Aprenderemos também sobre os conceitos de fluência e fadiga e, ao
final, faremos mais dois exemplos de aplicação da matéria estudada em Resistência dos Materiais.
TEMA 1 – FLAMBAGEM E ESTABILIDADE
A flambagem é uma falha que ocorre comumente em colunas, que são membros compridos e esbeltos que
geralmente suportam cargas de compressão. A flambagem é a deflexão lateral que ocorre nesses elementos
estruturais (Figura 1).
Figura 1 – Flambagem de uma coluna submetida a um carregamento axial P
Crédito: Wasteresley Lima.
Suponha agora a estrutura hipotética mostrada na Figura 2 (a), com duas barras rígidas unidas por um pino
em B e mantidas na vertical por uma mola rotacional que possui uma rigidez k. Na Figura 2(a) a mola está em
repouso, as barras rígidas estão alinhadas na vertical e a carga P é axial, o sistema está em equilíbrio.
Quando movermos o ponto B para a posição mostrada na Figura 2(b), fazendo com que as barras rígidas
formem um ângulo θ com a vertical, o sistema pode se comportar de três maneiras diferentes: estável, instável e
neutro.
Figura 2 – Flambagem de uma estrutura hipotética
Crédito: Wasteresley Lima.
O momento provocado pela mola (momento restaurador) irá fazer com que o ponto B volte a posição
original e a força P fará com que o deslocamento lateral aumente (Figura 2(c)). Portanto, para o sistema se
comportar de maneira estável o efeito do momento terá que ser maior que o efeito da força P.
Se o efeito do momento for igual o efeito da força P, o sistema será neutro e o ponto B ficará aonde foi
deixada. Já se o efeito do momento for menor do que o efeito da força P, o sistema será instável e a coluna
entrará em colapso.
Quando o sistema for instável, a força axial será chamada de carregamento crítico (Pcr) e enquanto o
deslocamento lateral ainda for pequeno a equação a seguir pode ser usada para determinar esse carregamento
crítico.
(6.1)
O momento provocado pela mola pode ser calculado com a seguinte expressão.
(6.2)
Ou seja, se P < Pcr, temos estabilidade; se P = Pcr, o sistema será neutro e se P > Pcr, o sistema será instável.
1.1 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Hibbeler, 2015)
Determine a carga de flambagem crítica para a coluna. Podemos considerar que o material é rígido.
Crédito: Wasteresley Lima.
Solução: se houver deslocamento lateral temos:
Crédito: Wasteresley Lima.
Se θ for bem pequeno, podemos escrever:
Exemplo 2 (Beer et al., 2015)
Duas barras rígidas AC e BC são conectadas, conforme mostra a figura, a uma mola de constante k.
Sabendo que a mola pode atuar tanto em tração como em compressão, determine a força crítica Pcr para o
sistema.
Crédito: Wasteresley Lima.
Solução: se houver deslocamento lateral, temos:
Crédito: Wasteresley Lima.
Vamos chamar de x o deslocamento do ponto C.
Para a barra AC:
Para a barra BC:
Para o sistema inteiro. Como só temos duas forças verticais:
TEMA 2 – COLUNAS COM EXTREMIDADES APOIADAS POR PINOS
A Figura 3 (a) mostra uma coluna com extremidades apoiadas por pinos, pode ser visto sua flambagem (b)
e como age a força P e o momento fletor em usa seção dessa coluna (c).
Figura 3 – Coluna com extremidades apoiadas por pinos
Crédito: Wasteresley Lima.
Para esses casos, colunas com extremidades apoiadas por pinos, Euler desenvolveu uma fórmula para achar
o Pcr e a partir dela a tensão crítica, já que σ=P/A.
(6.3)
(6.4)
onde né o número de ondas na coluna, como pode ser vista na Figura 4.
Figura 4 – Exemplo para n=1 e n=2 para a fórmula de Euler
Fonte: Hibbeler, 2015.
Outro item a ser discutido é o r, que representa o raio de giração da coluna, que deve ser calculado usando
o menor momento de inércia das seções transversais da coluna, com a equação abaixo.
(6.5)
L/r é chamado de índice de esbeltez e representa a flexibilidade da coluna.
2.1 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Beer et al., 2015)
Determine o raio da escora redonda de modo que as escoras redonda e quadrada tenham seção transversal
de mesma área e calcule a carga crítica de cada escora. Utilize E = 200 GPa.
Crédito: Wasteresley Lima.
Solução: vamos achar a área da seção transversal quadrada e descobrir o raio da seção transversal
redonda.
Momento de inércia para ambas as seções transversais:
Agora vamos usar a equação (6.3) para achar a carga crítica de cada escora.
Exemplo 2 (Hibbeler, 2015)
Uma barra quadrada é feita de plástico PVC com módulo de elasticidade E = 9 GPa e deformação por
escoamento εe = 0,001 mm/mm. Determine as dimensões a de sua menor seção transversal, de modo
que não falhe por flambagem elástica. As extremidades da barra estão presas por pinos e seu comprimento é
1.250 mm.
Solução: como temos o módulo de elasticidade e a deformação por escoamento, podemos achar a tensão
de escoamento.
Usando agora a equação da carga crítica.
E como a tensão é a carga dividido pela área da seção transversal:
TEMA 3 – COLUNAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE APOIO
Já estudamos uma coluna com extremidades apoiadas por pinos, mas se ela tiver outo tipo de apoios,
como na Figura 5 (a), que engastada na base e livre na parte de cima. Outro caso possível é quando as duas
extremidades da coluna são restringidas à rotação e um terceiro caso que iremos estudar é quando uma das
extremidades é engastada e a outra apoiada por pino.
Figura 5 – (a) Coluna com extremidade engastada; (b) para n=1; (c) para n=3 e (d) para n=5
Crédito: Wasteresley Lima.
3.1 COLUNA ENGASTADA NA BASE E LIVRE NO TOPO
Esse tipo de coluna (Figura 5 (a)) terá o mesmo comportamento que uma metade de uma coluna
biarticulada, ou seja, podemos usar as mesmas equações (6.3) e (6.4) só substituindo Lefetivo = 2L.
A Figura 5 nos itens (b), (c) e (d) mostram três maneiras que a coluna pode flambar.
Figura 6 – Coluna engastada na base e livre no topo, que terá o mesmo comportamento que uma metade de
uma coluna biarticulada
Crédito: Wasteresley Lima.
3.2 COLUNA COM AS DUAS EXTREMIDADES RESTRINGIDAS À ROTAÇÃO
Quando temos uma coluna com as duas extremidades restringidas a rotação temos como sua
representação gráfica frequentemente como na Figura 7 (a), que ainda permite o movimento na vertical, mas
para simplificar o desenho as vezes essa coluna é representada como na Figura 7 (b).
Nesse caso, como pode ser visto na Figura 7 (c), o comprimento será equivalente à metade do
comprimento usado para uma coluna com extremidades apoiadas por pinos, ou seja, ainda usando as equações
(6.3) e (6.4) mas com Lefetivo = L/2.
Figura 7 – Coluna com as duas extremidades restringidas à rotação
Crédito: Wasteresley Lima.
3.3 COLUNA COM UMA DAS EXTREMIDADES ENGASTADA E A OUTRA APOIADA POR
PINO
Em uma análise semelhante as outras feitas acima, para uma coluna com uma das extremidades engastada
e a outra apoiada por pino (Figura 8(a)), chega-se à conclusão que Lefetivo = 0,699L (Figura 8(c)).
Figura 8 – Coluna com uma das extremidades engastada e a outra apoiada por pino
Crédito: Wasteresley Lima.
Nos quatro tipos de colunas com diferentes extremidades, usamos as equações (6.3) e (6.4) para achar a
carga crítica e a tensão crítica, apenas variando o valor de Le. Os comprimentos efetivos das colunas podem ser
vistos na Figura 9.
Figura 9 – Comprimento de flambagem de coluna para várias condições de extremidades
Crédito: Wasteresley Lima.
3.4 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Hibbeler, 2015)
O elemento estrutural W200 x 100 é usado como uma coluna de aço estrutural A-36. Podemos considerar
que a base dessa coluna está engastada e que o topo está preso por um pino. Determine a maior força axial P
que pode ser aplicada sem provoca flambagem. Eaço = 200 GPa e σescoamento do aço = 250MPa.
Crédito: Wasteresley Lima.
Solução: primeiramente, vamos verificar as propriedades do perfil W200 x 100.
Crédito: Wasteresley Lima.
Olhandopara a seção transversal, a coluna sofrerá flambagem em torno do eixo menos resistente, ou seja,
o que tiver o menor momento de inércia. Neste caso, eixo y-y.
Se a coluna é engastada em uma extremidade e tem pino na outra temos:
Usando a equação (6.3).
Vamos verificar qual é a tensão criada pela carga crítica.
Como a tensão crítica e menor que a tensão de escoamento a resposta é válida.
Exemplo 2 (Gere; Goodno, 2015)
Um tubo AB de alumínio de seção transversal circular está engastado na base e apoiado por pino no topo a
uma viga horizontal sustentando um carregamento Q = 200kN (veja a figura).
Determine a espessura necessária t do tubo se seu diâmetro d for de 100 mm e o fator de segurança
necessário em relação à flambagem de Euler for FS = 3,0 (assuma E = 72 GPa).
Crédito: Wasteresley Lima.
Solução: para a viga horizontal temos:
Crédito: Wasteresley Lima.
Se a coluna é engastada em uma extremidade e tem pino na outra temos:
Usando a equação (6.3), e adicionando e ela o fator de segurança.
Como nós sabemos a equação do momento de inércia para uma seção transversal tubular.
TEMA 4 – FLUÊNCIA E FADIGA
Em resistência dos materiais, estudamos cargas estáticas ou que são aplicadas muito lentamente, mas
existem casos aonde as cargas têm que ser suportadas por longos períodos de tempo ou eles são repetitivos.
Para esses casos, vamos ver brevemente os conceitos de fluência e fadiga.
4.1 FLUÊNCIA
Quando um material é submetido a uma carga por um longo período de tempo, ele pode sofrer uma
deformação chamada fluência. Na Figura 10, podemos ver um exemplo, uma barra com uma carga constante.
No gráfico, podemos ver que o alongamento vai aumentando gradualmente a medida que o tempo passa, e
como a carga P é constante esse aumento não é causado pelo aumento do valor de P.
Figura 10 – Fluência em uma barra com carregamento constante
Crédito: Wasteresley Lima.
A fluência ocorre com mais frequência em altas temperaturas, então sempre que um projeto envolver altas
temperaturas o projetista deve levar em consideração a fluência.
O aço, a madeira e o concreto são exemplos de materiais que, mesmo à temperatura ambiente, sofrem
pequenos alongamentos devido a fluência quando suportam um carregamento por longos períodos de tempo.
Outro exemplo que pode ser dado é o elástico de dinheiro que quando fica esticado na mesma posição por
muito tempo nunca volta ao seu comprimento inicial, se deforma permanentemente.
4.2 FADIGA
A fadiga é quando há a ruptura do material após ele ser submetido a ciclos repetidos de tensão ou
deformação. Essa ruptura ocorrerá em uma tensão menor do que a tensão de ruptura estática, e o material que
é considerado dúctil terá uma ruptura frágil.
Um exemplo de fadiga é quando se tem um clipe de escritório, se você o flexiona para frente e para traz
repetidas vezes ele acabará por se romper, mesmo que a carga usada não seja suficiente para romper o material
sem o uso do movimento cíclico.
A fadiga deve ser levada em consideração quando o material for ser submetido a movimentos cíclicos que
se repetirão milhares ou bilhões de vezes até o fim da sua vida útil, como ocorre em motores, carros, turbinas,
geradores, pontes.
A fadiga é iniciada por trincas microscópicas que vão se formando com o movimento repetitivo, ou inicia
com alguma imperfeição já existente no material. A cada ciclo a trinca aumenta um pouquinho, até que o
material restante não é suficiente para suportar a carga e o material se rompe.
Existe um equipamento que testa o material para a fadiga, criando assim um gráfico que relaciona a tensão
(S) com o número de repetições do ciclo (N) (Figura 11).
Figura 11 – Gráfico S-N
Com o gráfico mostrado na Figura 11, podemos ver que quanto maior a tensão menor é o número de ciclos
até a fadiga. Nos gráficos pode ser achado o limite de fadiga, que é a tensão mais alta sem que haja evidencia
de fadiga, e pode ser achada pois no gráfico a curva tende a se tornar horizontal (Figura 13).
Figura 12 – Curva S-N mostrando o limite de falha
TEMA 5 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Exemplo 1 (Beer et al., 2015)
Três forças são aplicadas à componente de máquina ABD mostrado na figura
Sabendo que a seção transversal contendo o ponto H é um retângulo de 20 mm x 40 mm, determine as
tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto H.
Crédito: Wasteresley Lima.
Solução: vamos fazer uma seção em H, e achar as forças e momentos internos resultantes para essa seção.
Crédito: Wasteresley Lima.
Crédito: Wasteresley Lima.
Agora que achamos os esforços internos vamos descobrir a tensão causada por cada uma desses esforços
no ponto H.
A força Fx gera tensão normal.
O sinal negativo indica compressão.
O Fy e o Fz gerarão tensões de cisalhamento, mas já sabemos que para o ponto H a força Fy gerará tensão
nula.
My e Mz gerarão tensão normal, mas já sabemos que para o ponto H o momento My gerará tensão nula.
Portanto achando as tensões resultantes para o ponto H.
Isolando o ponto H, temos:
Crédito: Wasteresley Lima.
Montando o círculo de Mohr
Para achar a tensão normal em C:
Para achar o raio usamos o teorema de Pitágoras:
Achando as tensões principais:
Exemplo 2 (Hibbeler, 2015)
A haste de bronze C86100 de 50 mm de diâmetro está engastada em A e afastada de 2 mm da parede em
B. Determine o aumento de temperatura que provocará a flambagem da haste. Considere que o contato em B
age como um pino.
Crédito: Wasteresley Lima.
Solução: primeiramente vamos verificar as propriedades do bronze C86100.
Agora vamos achar o momento de inércia e a área da seção transversal.
Para haver flambagem a extremidade B deve estar encostando no apoio, para isso:
Usando a equação da carga crítica. Como um dos lados é engaste e outro pino:
Igualando.
Vamos verificar qual é a tensão criada pela carga crítica.
Como a tensão crítica e menor que a tensão de escoamento a resposta é válida.
FINALIZANDO
Aprendemos sobre flambagem. Dentro desse assunto, vimos como a flambagem funciona com vários tipos
de apoios e aprendemos também sobre fluência e fadiga. Foram feitos exemplos dos assuntos apresentados,
mas, para melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios dos tópicos desta etapa.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH Editora Ltda., 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
_____. Mecânica dos materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2015.