Cálculo numérico AVA1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA – 
UVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO SUPERIOR DE SISTEMAS DE 
INFORMAÇÃO 
 
TRABALHO CÁLCULO NUMÉRICO 
Mateus Florindo Pereira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Cálculo Numérico [AVA 1] 
Resolução de Sistemas Lineares com Método Gauss-Jacobi e o Método de 
Gauss-Seidel 
 
Situação problema: 
Analise o sistema linear abaixo: o discente, deverá resolver utilizando os seguintes 
métodos: Método de Gauss - Jacobi e o Método de Gauss – Seidel. 
{3x1−0.1x2−0.2x3=7.85 
{0.1x1+7x2−0.3x3=−19.3 
{0.3x1−0.2x2+10x3=71.4 
Resolva o sistema linear utilizando os seguintes métodos: Método de Gauss - Jacobi e o 
Método de Gauss – Seidel. Para ambos os métodos, os valores iniciais são: x(0) = (0,0,0) e o 
erro ε ≤ 0.001. Os resultados devem ter no máximo 3 casas decimais. 
Em ambos os Métodos, considerar os seguintes passos: 
1. Verificar o Critério de Convergência (Critério de Linhas). 
2. Isolar as variáveis 
3. Verificar o Critério de Parada (Cálculo do Erro). 
 
Método de Gauss-Jacobi - 
 
1- Verificar o critério de linhas 
 
| 3 | ≥ | -0.1 | + | 0,2 | 
| 7 | ≥ | 0.1 | + | -0,3 | 
| 10 | ≥ | 0.3 | + | -0,2 | 
 
Os módulos dos números da diagonal principal são maiores que os módulos dos 
números de sua própria linha. Logo, o critério é satisfeito. 
 
2- Isolar as variáveis 
 
x1 = 7.85 + 0.1x2 + 0.2x3 
 3 
 
x2 = -19.3 – 0.1x1 + 0.3x3 
 7 
x3 = 71,4 + 0,2x2 - 0,3x1 
 10 
 
3- Verificar cálculo do erro 
 
x1(1) = 7.85 + 0.1x2(0) + 0.2x3(0) = 2.617 
 3 
x2(1) = -19.3 – 0.1x1(0) + 0.3x3(0) = -2.757 
 7 
x3(1) = 71,4 + 0,2x2(0) - 0,3x1(0) = 7,140 
 10 
 
x1(2) = 7.85 + 0.1x2(-2.757) + 0.2x3(7.140) = 3.001 
 3 
x2(2) = -19.3 – 0.1x1(2.617) + 0.3x3(7.140) = -2.489 
 7 
x3(2) = 71,4 + 0,2x2(-2.757) - 0,3x1(2.617) = 7.006 
 10 
 ∈ = 0.384; 0.268; - 0.134 
 
x1(3) = 7.85 + 0.1x2(-2.489) + 0.2x3(7.006) = 3.001 
 3 
x2(3) = -19.3 – 0.1x1(3.001) + 0.3x3(7.006) = -2.500 
 7 
x3(3) = 71,4 + 0,2x2(-2.489) - 0,3x1(3.001) = 7.006 
 10 
 ∈ = 0; -0.011; 0 
 
x1(4) = 7.85 + 0.1x2(-2.5) + 0.2x3(7) = 3.000 
 3 
x2(4) = -19.3 – 0.1x1(3.001) + 0.3x3(7) = -2.500 
 7 
x3(4) = 71,4 + 0,2x2(-2.5) - 0,3x1(3.001) = 7.000 
 10 
 
 ∈ = 0.001; 0; -0.006 
 
 
 Método de Gauss-Seidel 
1- Verificar o critério de linhas 
 
| 3 | ≥ | -0.1 | + | 0,2 | 
| 7 | ≥ | 0.1 | + | -0,3 | 
| 10 | ≥ | 0.3 | + | -0,2 | 
 
Os módulos dos números da diagonal principal são maiores que os módulos dos 
números de sua própria linha. Logo, o critério é satisfeito. 
 
2- Isolar as variáveis 
 
x1 = 7.85 + 0.1x2 + 0.2x3 
 3 
 
x2 = -19.3 – 0.1x1 + 0.3x3 
 7 
x3 = 71,4 + 0,2x2 - 0,3x1 
 10 
 
3- Verificar cálculo do erro 
 
x1(1) = 7.85 + 0.1x2(0) + 0.2x3(0) = 2.617 
 3 
x2(1) = -19.3 – 0.1x1(1) + 0.3x3(0) = -2.795 
 7 
x3(1) = 71,4 + 0,2x2(1) - 0,3x1(1) = 7,006 
 10 
 
x1(2) = 7.85 + 0.1x2(1) + 0.2x3(1) = 2.991 
 3 
x2(2) = -19.3 – 0.1x1(2) + 0.3x3(1) = -2.500 
 7 
x3(2) = 71,4 + 0,2x2(2) - 0,3x1(2) = 7.000 
 10 
 ∈ = 0.374; 0.295; - 0.006 
 
x1(3) = 7.85 + 0.1x2(2) + 0.2x3(2) = 3.000 
 3 
x2(3) = -19.3 – 0.1x1(3) + 0.3x3(2) = -2.500 
 7 
x3(3) = 71,4 + 0,2x2(3) - 0,3x1(3) = 7.000 
 10 
 ∈ = 0.009; 0; 0 
 
x1(4) = 7.85 + 0.1x2(3) + 0.2x3(3) = 3.000 
 3 
x2(4) = -19.3 – 0.1x1(4) + 0.3x3(3) = -2.500 
 7 
 
x3(4) = 71,4 + 0,2x2(4) - 0,3x1(4) = 7.000 
 10 
 
 ∈ = 0; 0; 0