PRATIQUE E COMPARTILHE 3 - ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL - METODOS ITERATIVOS NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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UNP - UNIVERSIDADE POTIGUAR 
BACHARELADO EM ESTATÍSTICA 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL 
UNIDADE 3 – MÉTODOS ITERATIVOS RESOLUÇÃO SISTEMAS LINEARES 
AUTOR: DR. RICARDO IGARASHI 
REVISOR: RAIMUNDO ALMEIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3 (PRATIQUE E COMPARTILHE), 
apresentada ao curso bacharelado em Estatística, 
ofertado pela Universidade Potiguar, como requisito 
avaliativo complementar da terceira avaliação da 
disciplina Álgebra Linear Computacional – Métodos 
Iterativos Resolução Sistemas Lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO: EBERSON COSTA – MATRÍCULA 2020201380 
BENEVIDES – PARÁ 
2021 
ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL 
UNIDADE 3 – MÉTODOS ITERATIVOS RESOLUÇÃO SISTEMAS LINEARES 
PRATIQUE E COMPARTILHE 
 
 
 
MÉTODOS ITERATIVOS NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LINEARES: MÉTODO DEJACOBI JACOBI E MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
 
Na unidade II apresentamos técnicas de resolução direta de sistemas de equações 
lineares. Nesta unidade, apresentamos o método iterativo. O primeiro método 
apresentado foi o método de Jacobi. Para isso, consideramos o seguinte sistema 
linear: 
 
 
Nesse caso, a iteração é posterior. Nessa metodologia usamos um erro menor que. 
No método de Gauss-Seidel fazemos algumas modificações, que consideramos nas 
fórmulas anteriores já no início. 
 
 
Vamos Praticar 
Utilize uma ferramenta computacional, como o Excel, para resolver o sistema linear 
a seguir, por meio dos dois Métodos: Jacobi e Gauss-Seidel. Considere um erro 
menor que 0,02. 
10x+2y+6z=28 
x+10y+9z=7 
2x-7y-10z=-17 
Depois de resolver o sistema, responda às seguintes perguntas: 
Qual dos dois métodos é mais eficaz? 
Qual possui menos iterações (convergência mais rápida)? 
Ao final, disponibilize seu trabalho no fórum da seção. 
 
Existem vários métodos para a resolução de sistemas lineares, neste exercício, 
iremos resolver um sistema linear por dois métodos de algoritmos diferentes, o 
método de Jacobi e o Método de Gauss-Seidel, ambos trabalham com em obter 
resultados aproximados com um erro máximo pré-determinado. O método iterativo 
de Jacobi é um método clássico que data do final do século XVIII. Técnicas iterativas 
são raramente utilizadas para solucionar sistemas lineares de pequenas dimensões, 
já que o tempo requerido para obter um mínimo de precisão ultrapassa o requerido 
pelas técnicas diretas como a eliminação gaussiana. Contudo, para sistemas 
grandes, com grande porcentagem de entradas de zero essas técnicas aparecem 
como alternativas mais eficientes. Sistemas esparsos de grande porte 
frequentemente surgem na análise de circuitos, na solução numérica de problemas 
de valor de limite e equações diferenciais parciais. O método de Gauss-Seidel é um 
método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares. É semelhante ao 
de Jacobi. É condição suficiente de convergência que a matriz seja estritamente a 
diagonal dominante. 
Como exemplo semelhante ao pedido nesta atividade apresentamos o exercício 
seguinte: 
 
EXEMPLO SEMELHANTE 
Analisar a convergência usando o critério das linhas e o critério de Sassenfeld do 
seguinte sistema linear e resolvê-lo usando os dois métodos iterativos. Usar x0 = ( - 
2,4; 5; 0,3 ) e tolerância € < 10-2 
 
ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA 
CRITÉRIO DAS LINHAS 
O Critério das Linhas pede que: 
 
para todo i = 1, . . . , n. Em palavras: “o valor absoluto do termo diagonal na linha i é 
maior do que a soma dos valores absolutos de todos os outros termos na mesma 
linha”. É importante observar que o Critério das Linhas pode deixar de ser satisfeito 
se houver troca na ordem das equações, e vice-versa: uma troca cuidadosa pode 
fazer com que o sistema passe a satisfaze o Critério. 
 
TEOREMA: 
Se o sistema linear satisfaz o Critério das Linhas então o Método de Jacobi 
converge. 
 
https://sites.google.com/site/calcnumq3/lista-3/questao-4/1231.png?attredirects=0
Para ter convergência, basta que um alfa seja menor do que um, neste caso os três 
são, com isso, podemos garantir que os métodos de Jacobi e de Gauss convergem 
para esse sistema. 
 
CRITÉRIO DE SASSENFELD 
 
 
RESOLUÇÃO 
MÉTODO DE JACOBI 
 
 
 
e fizemos as demais interações no excel: 
 
NO EXCEL 
Passos 
1) Para k=0, colocamos os valores iniciais de x1=0, x2=0, e x3=0; 
 
 
 
2) colocamos as fórmulas de x1, x2 e x3 isolados em C4, D4 e E4, respectivamente; 
emancipamos até k=14 
 
3) colocamos as fórmulas dos erros; estendemos até k=14 
 
 
 
4) procuramos onde erro de x1<0,01 , erro de x2<0,01 e erro de x3<0,01, que foi na 
sétima interação. Portanto x1=1,002703 ; x2=1,00745 e x3= 0,00296 
 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
 
 
 
 
 
e fizemos as demais interações no excel: 
 
NO EXCEL 
Passos 
1) Para k=0, colocamos os valores iniciais de x1=0, x2=0, e x3=0; 
 
2) colocamos as fórmulas de x1, x2 e x3 isolados em C4, D4 e E4, respectivamente; 
emancipamos até k=14 
 
 
 
 
 
 
3) colocamos as fórmulas dos erros; estendemos até k=14 
 
 
4) procuramos onde erro de x1<0,01 , erro de x2<0,01 e erro de x3<0,01, que foi na 
quinta interação. Portanto x1=0,999632 ; x2=1,000073 e x3=0,0000956 
 
COMPARAÇÕES ENTRE OS MÉTODOS 
 O método de Gauss-Seidel é mais vantajoso do que o de Jacobi, já que o método 
de Gauss-Seidel consegue uma solução de sistemas cuja convergência não é 
garantida para o método de Jacobi, sendo esse conhecido como Critério de 
Sassenfeld, onde uma vez satisfeito o Critério de linhas, logo será satisfeito 
o Sassenfeld. Entretanto, a recíproca não é válida, e vale lembrar que ambos 
critérios são apenas suficientes e não necessários, tendo casos de convergência 
com critérios não satisfeitos. 
 Um motivo para a escolha de Gauss-Seidel é devido ao fato deste encontrar o 
resultado com um menor número de interações do que o primeiro (Jacobi), sendo 
necessário apenas 5 iterações contra 7 do outro. Isso acontece porque o método de 
Gauss-Seidel conta com uma vantagem de já atualizar os valores das raízes 
achadas nas próximas iterações, isto é, calcular as linhas seguintes com o valor 
mais próximo do exato , e isto reflete uma rapidez maior no retorno da resposta 
correta. Além disso, o critério de Sassenfeld permite convergir mais rápido quanto 
menor for o valor para β, portanto, através de uma mudança de linhas, é possível 
alterar a rapidez da convergência. 
 Como uma observação, existem ainda mais condições de convergência para os 
métodos iterativos, como o critério de colunas (semelhante ao de linhas) 
e CRITÉRIO DO RAIO ESPECTRAL (o raio espectral , maior autovalor, em módulo, 
da matriz de iteração do método seja menor que a unidade), sendo este último uma 
condição não só suficiente, mas também necessária. 
 Quanto aos erros, como são método iterativos, contamos com possíveis erros de 
arredondamentos acompanhados de erros de truncamentos, já que devemos truncar 
as iterações, mas ambos se igualam à este processo. 
 
Referências 
 
DORNELLES FILHO, A. A. Fundamentos de Cálculo Numérico. 1. ed. 
PortoAlegre: Editora Bookman, 2016. 
 
https://sites.google.com/site/calcnumq3/lista3/questao4..Acesso.em.23/09/202. 
 
http://www.ime.usp.br/~colli/cursos/NumericoIAG.2005/LivroNumericoCapitulo4.pdf 
https://sites.google.com/site/calcnumq3/lista3/questao4