2262018_1276961341_materialapoio

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

resistencia___forcas_internas.pdf
FORÇAS INTERNAS
FORÇAS INTERNAS EM DUAS 
DIMENSÕES
5 - 1
Equilíbrio de um Corpo Rígido
• Assumindo, incialmente, o corpo como rígido, determinam-se as 
reações dos apoios através das equações de equilíbrio (e métodos 
de análise de estruturas).
5 - 2
Equilíbrio de uma Parte do Corpo
• Se o corpo inteiro está em equilíbrio, uma parte do corpo também estará.
• Aplica-se o método das seções em alguma seção de interesse. O equilíbrio 
das parte do corpo será mantido pelas forças internas.
• As forças internas são as forças que uma parte do corpo exerce sobre a outra 
e, portanto, obedecem a terceira lei de Newton.
5 - 3
Cargas Resultantes Internas
• A distribuição de forças internas, em geral, é desconhecida (depende de 
como o material vai deformar-se).
• Porém, os conhecimentos de Estática (equações de equilíbrio) permitem 
determinar as resultantes das forças internas em determinada seção.
Caso 2D
5 - 4
Distribuição = ?
Cargas Resultantes Internas
• Define-se uma seção reta na região de interesse do corpo. Para elementos 
longos e delgados (vigas, barras, hastes, cabos etc), normalmente se escolhe a 
seção transversal (perpendicular ao eixo longitudinal).
• As forças e momentos resultantes são calculados no centro geométrico da 
seção. Para o caso 2D, tem-se as seguintes resultantes internas:
Em Resistência dos Materiais, essas resultante internas estão 
relacionadas às distribuições de forças e às tensões (que provocam a 
falha do material), a partir de hipóteses de deformações
5 - 5
Cargas Resultantes Internas
• Esforço Normal N: Perpendicular à área da seção. Tende a tracionar ou 
comprimir o corpo.
• Força de Cisalhamento ou Esforço Cortante V: No plano da área. Tende a 
provocar o deslizamento entre os segmentos do corpo. Também está associado 
à distorção da forma do corpo.
• Momento Fletor M: Tende a fletir o corpo em torno de um eixo que se 
encontra no plano da área.
5 - 6
Cálculo das Resultantes Internas
• O cálculo das forças internas é feito através das equações de equilíbrio 
aplicadas à parte do corpo selecionada.
• Considera-se que as forças normal e de cisalhamento agem no centro 
geométrico da seção O.
• O momento fletor também é calculado no ponto O.
• Para o caso 2D, aplicam-se as três equações de equilíbrio para uma parte do 
corpo com as forças externas conhecidas. Assim, determinam-se os três 
esforços internos desconhecidos.
0
0
0
x
y
O
F
F
M
 
 
 
5 - 7
Exemplos
• Deseja-se saber a força normal nos pontos B e C.
• Primeiro, encontra-se a reação em A.
5 - 8
Exemplos
• Deseja-se saber as forças internas nos pontos B e C (imediatamente à 
esquerda e imediatamente à direita da força de 6 kN).
• Primeiro, encontram-se as reações em A e D.
5 - 9
Exemplos
• Deseja-se saber as forças internas no ponto B.
• Primeiro, encontram-se as reações no pino em A e na haste biarticulada DC.
• A carga distribuída é substituída por sua resultante.
Podem ser usadas as 
partes AB ou BC.
5 - 10
Direção da Seção
• As forças internas dependem da direção da seção.
• Analisar outras seções permite achar as forças normais e de cisalhamento 
máximas. A falha de alguns materiais é determinada pela tensão normal e a 
de outros pela tensão de cisalhamento.
• Porém, em Resitência dos Materiais, critérios de falha podem ser 
estabelecidos simplesmente a partir das forças em seções transversais.
5 - 11
Efeitos das Forças Internas
• Efeitos do esforço normal e do momento fletor nas seções transversais de 
elementos esbeltos.
5 - 12
• O esforço normal é a resultante de uma distribuição uniforme de forças 
perpendiculares à seção transversal.
• Atua no centroide da área.
5 - 13
Efeitos das Forças Internas
Efeitos das Forças Internas
• O momento fletor é resultante de uma distribuição de forças perpendiculares 
à seção transversal que variam linearmente de tração à compressão.
• A distribuição é nula no centroide da área.
5 - 14
Efeitos das Forças Internas
• Efeito do cisalhamento: provoca distorção (alteração da forma, ou seja, dos 
ângulos entre duas linhas).
Elemento infinitesimal em 
equilíbrio submetido a 
cisalhamento puro Viga sob efeito de flexão e 
cisalhamento
5 - 15
Problemas Tridimensionais
• O que ocorre na barra OABC?
Flexão + Cisalhamento + Torção
5 - 16
Problemas Tridimensionais
• Haverá forças de cisalhamento nas duas direções transversais e momentos 
fletores em torno dos dois eixos que definem a seção transversal.
• Além disso, haverá um momento torsor.
5 - 17
Problemas Tridimensionais
• As figuras abaixo ilustram um eixo sob torção e o momento torsor
desenvolvido em uma seção para garantir o equilíbrio.
• Como pode ser observado, o momento torsor é resultante de um distribuição 
de forças que se encontram no plano da seção transversal.
5 - 18
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.1H A coluna da figura é engastada no solo e é submetida ao carregamento
mostrado. Determine as forças internas (força normal, força de cisalhamento e
momento fletor) nos pontos A e B.
Ponto A: NA = 12 kN, VA = MA = 0
Ponto B: NB = 20 kN, VB = 0, MB = 1,2 kNm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.2H Quatro forças axiais atuam sobre o eixo engastado no solo, conforme mostrado
na figura. Determine as forças internas nas seções transversais que passam pelos
pontos A e B.
Ponto A: NA = 100 N, VA = MA = 0
Ponto B: NB = VB = MB = 0
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.2H2 A viga da figura é suportada por um pino em B e por um rolete em A.
Determine as forças internas nos pontos C e D.
NC = 0, VC = 1735,71 N, MC = 1157,13 Nm
ND = 0, VD = 1350 N, MD = 810 Nm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.7H Determine os esforços internos atuantes na seção transversal que passa pelo
ponto C da viga da figura. A viga está engastada no ponto A.
NC = 21,65 kN, VC = 62,5 kN, MC = 225 kNm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.12H Para a viga da figura, determine os esforços internos atuantes nas seções
transversais que passam (a) pelo ponto C e (b) pelo ponto D, imediatamente à direita
da carga de 22,2 kN. A viga é suportada por um pino em A e por um rolete em B.
(a) NC = 0, VC = 8,7 kN, MC = 21,33 kNm
(b) ND = 0, VD = 19,8 kN, MD = 35,64 kNm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.48H Para a viga da figura, determine os esforços internos atuantes nas seções
transversais que passam (a) pelo ponto D (exatamente no meio dos pontos A e B) e
(b) pelo ponto B, imediatamente à esquerda da reação de apoio. A viga é suportada
por um pino em A e por um rolete em B.
(a) ND = 0, VD = 4 kN, MC = 8 kNm
(b) NB = 0, VB = 20 kN, MD = 16 kNm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.65H O eixo da figura é apoiado por um mancal axial em A (oferece reações em x e
y) e por um mancal radial em B (oferece reação em y). Determine as forças internas
nas seções transversais (a) imediatamente à esquerda da carga em C, (b)
imediatamente à direita da carga em C e (c) imediatamente à esquerda da carga em
D.
(a) NC = 0, VC = 3037,5 N, MC = 1822,5 Nm
(b) NC = 0, VC = 1237,5 N, MC = 1822,5 Nm
(c) ND = 0, VD = 1237,5 N, MD = 2565 Nm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.72H A viga da figura é engastada em A e submetida ao carregamento mostrado.
Determine os esforços internos atuantes nas seções transversais que passam (a)
pelo ponto C (exatamente no meio dos pontos A e B) e (b) pelo ponto A (no
engaste). Observação: Notar que os esforços internos em A são as próprias reações
do engaste.
(a) NC = 0, VC = 19 kN, MC = 43,5 kNm
(b) NA = 0, VA
= 28 kN, MD = 144 kNm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.119H A viga da figura é suportada por um pino em C e por uma haste biarticulada
AB. (a) Determine as forças internas no ponto D. (b) Sabendo que a haste tem uma
seção com diâmetro d = 8 mm, determine a tensão normal média na haste.
(a) ND = 6,083 kN, VC = 2,598 kN, MC = 12,99 kNm
(b) s = 201,01 MPa
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
7.121H A estrutura da figura é suportada por um pino em A e por uma haste
biarticulada CD. Primeiramente, determine as reações no pino e a força ao longo na
haste para o equilíbrio do sistema. Posteriormente, determine as forças internas nas
seções transversais (a) imediatamente à esquerda de B e (b) imediatamente à direita
de B. Despreze a espessura das barras.
A = 4,743 kN 18,43º, FCD = 6,364 kN 45º
(a) NB = 4,5 kN, VB = 1,5 kN, MB = 4,5 kNm
(b) NB = 4,5 kN, VB = 4,5 kN, MB = 3,5 kNm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
1.69H A estrutura da figura está sujeita à carga de 2 kN e é suportada por um pino
em C e por uma haste biarticulada BA. (a) Determine as reações no pino e a força ao
longo da haste. (b) Sabendo que a haste BA tem largura constante de 25 mm e
espessura t, se a tensão normal admissível na haste for sadm = 100 MPa, determine
a espessura t exigida para a haste.
(a) C = 4,253 kN 5,97º, FBA = 4,885 kN
(b) t = 1,954 mm
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
1.96H A viga AB da figura é suportada por um pino em A e por uma haste
biarticulada BC. (a) Determine as reações no pino e a força ao longo da haste. (b)
Sabendo que a haste BC tem largura constante de 50 mm e espessura t = 8 mm,
calcule a tensão normal média atuando na haste
(a) A = 8,660 kN 60º, FBC = 8,660 kN
(b) s = 21,65 MPa
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
1.114H A viga da figura é submetida a um carregamento distribuído e é suportada por
um pino em A e por uma haste biarticulada BC. (a) Determine as reações no pino e a
força ao longo da haste. (b) Determine os esforços internos no ponto D da haste. (c)
Sabendo que a haste BC tem largura constante de 25 mm e espessura t = 5 mm,
calcule a tensão normal média atuando na haste. (d) Se a tensão normal admissível
na haste for sadm = 100 MPa, determine a espessura t mínima exigida para a haste.
(a) A = 6,325 kN 18,43º,
FCB = 10 kN
(b) ND = 10 kN
(b) sBC = 80 MPa
(c) t = 4 mm
estatica___equilibrio_de_corpos_rigidos___2d.pdf
EQUILÍBRIO DE CORPOS 
RÍGIDOS
EQUILÍBRIO EM DUAS DIMENSÕES
4 - 1
Introdução
• Para um corpo rígido em equilíbrio, o sistema força-binário
equivalente em um ponto O qualquer é um sistema equivalente a 
zero.
• Se a resultante das forças for nula, ainda é possívelque o corpo
esteja sob o efeito de um binário, não estando em equilíbrio. 
Portanto, além da resultantenula, o vetor momento em um ponto
O qualquer também deve sernulo. Com o vetor momento sendo
nulo em um ponto, este será nulo em todos.
4 - 2
Introdução
4 - 3
• As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio estáticode 
um corpo são que a força e o binário (momento) resultantes de todas 
as forças externas formem um sistema equivalente a zeroem um 
ponto O qualquer:
0 0OF M= =∑ ∑
� �
∑ =∑ =∑ =
∑ =∑ =∑ =
000
000
zyx
zyx
MMM
FFF
• Decompondo cada força e cada momento em seus componentes 
retangulares, podemos indicar as condições necessárias e suficientes 
para o equilíbrio por meio de 6 equações escalares:
• Para um corpo rígido em equilíbrio estático, as forças e momentos 
externosestão balenceadas e não impõem movimento de 
translação ou de rotação ao corpo. Na maioria das vezes, o 
carregamento externo é balanceado por reaçõesde seus vínculos.
Diagrama de Corpo Livre
4 - 4
O primeiro passo na análise do equilíbrio estático 
de um corpo rígido é identificar todas as forças que 
atuam no corpo com um diagrama de corpo livre.
• Selecionamos a extensão do corpo livre de 
interessee o isolamosdo solo e de todos os 
outros corpos.
• Incluimos as dimensões necessárias ao 
cálculo dos momentos das forças.
• Indicamos o ponto de aplicação e as direções e 
arbitramos os sentidospara as forças 
desconhecidas. Estas geralmente consistem nas 
reações de apoiopor meio das quais o solo e 
os outros corpos se opõem a um possível 
movimento do corpo rígido.
• Indicamos o ponto de aplicação, intensidade, 
direção e sentido das forças externas(atuando 
sobreo corpo), incluindo o peso do corpo 
rígido (aplicado no centro de gravidade).
Reações em Apoios e Conexões para uma 
Estrutura Bidimensional (Beer & Johnston)
4 - 5
• Reações equivalentes a 
uma força com linha de 
ação conhecida, ou seja, 
impedem o movimento em 
apenas uma direção. 
Portanto, resultam em 
apenas uma incógnita
(módulo da reação).
• O sentido da reação deve 
ser como mostrado na 
figura no caso de: (1) uma 
superfície lisa (para fora 
da superfície) ou (2) de um 
cabo (tração na direção de 
um cabo).
Tração Tração ou 
compressão.
Normal à superfície, podendo atuar nos dois sentidos dependendo do caso.
Normal à haste, podendo atuar nos dois sentidos.
(articulada)
4 - 6
• Impedem a translação nas 
duas direções. Reações 
equivalentes a uma força de 
direção, sentido e 
intensidade desconhecidos 
(ou dois componentes). 
Portanto, resultam em duas 
incógnitas.
• Impede qualquer 
movimento. Reações 
equivalentes a uma força 
de direção, sentido e 
intensidade 
desconhecidos e a um 
binário de intensidade 
desconhecida (dois 
componentes de força e 
um momento, ou seja, 
três incógnitas).
Reação em qualquer direção. Para superfície rugosa, a componente vertical 
deve ter sentido para cima.
Reações em Apoios e Conexões para uma 
Estrutura Bidimensional (Beer & Johnston)
4 - 7
Reações em Apoios e Conexões para uma 
Estrutura Bidimensional (Hibbeler)
4 - 8
Reações em Apoios e Conexões para uma 
Estrutura Bidimensional (Hibbeler)
4 - 9
Reações em Apoios e Conexões para uma 
Estrutura Bidimensional (Hibbeler)
Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas 
Dimensões
4 - 10
• As equações de equilíbrio se reduzem a:
∑ ∑ ∑ === 000 Ayx MFF
sendo A qualquer ponto no plano da 
estrutura.
• As 3 equaçõespodem ser resolvidas para 
no máximo 3 incógnitas.
• As 3 equações não podem ser ampliadas com equações adicionais. 
Por exemplo, não permite achar uma quarta incógnita, já 
que as três equações acima são suficientespara garantir o equilíbrio. 
Por outro lado, qualquer uma delas pode ser substituídapor outra 
equação de somatório de momentos, por exemplo:
∑ ∑ ∑ === 000 BAx MMF
Há restrições para a aplicação de mais de uma equação de 
somatório de momentos.
0BM =∑
Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas 
Dimensões
4 - 11
Conjunto Alternativo I:
• A linha passando pelos pontosA e B não pode ser paralelaao eixo
y.
• A segunda equação diz que a força resultante equivalente do sistema
deve passar porA (momento nulo emA). A primeira equação diz que 
esta resultante deve ser vertical (paralela a y).
• EstandoB fora da linha de ação da resultante vertical emA, a 
terceira equação diz que, para o momento emB ser zero, a resultante
deve ser zero.
∑ ∑ ∑ === 000 BAx MMF
Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas 
Dimensões
4 - 12
Conjunto Alternativo II:
• Os pontosA, B e C não podemestar na mesma linha.
• A primeira equação diz que a força resultante equivalente do sistema
deve passar porA (momento nulo emA). A segunda equação diz que 
esta resultante deve também passar porB (momento nulo emB).
• EstandoC fora da linha de ação da resultante que passa porA e B, a 
terceira equação diz que, para o momento emC ser zero, a resultante
deve ser zero.
0 0 0A B CM M M= = =∑ ∑ ∑
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• Forças internas não entramno diagrama de corpo livre. As forças
internas que atuam entre partículas adjacentes em um corpo 
ocorrem em pares colineares e têm a mesma intensidade e sentidos 
opostos (Terceira Lei de Newton). Portanto, essas forças se 
cancelam e não têm efeito externosobre o corpo.
As forças internas entre os componentes conectados da estrutura não entram 
no diagrama de corpo livre da estrutura inteira .
Portanto, no diagrama de corpo livre, só entram as forças externas em relação 
à parte isoladada vizinhança. 4 - 13
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• Isolar a viga AB.
• Apoio em A permite apenas o 
giro.
• Apoio em B é um apoio 
simples.
Modelo dos apoios
4 - 14
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• Peso da viga é significativo.
• Apoio em A é um engaste.
4 - 15
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• Deseja-se determinar a força necessária no 
pedal.
• Sabe-se que a haste articulada e a mola 
exercem apenas uma força ao longo de 
uma linha de ação conhecida.
• Isolar somenteo pedal.
4 - 16
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• Sabe-se que o cilindro hidráulico (articulado) exerce apenas uma força 
ao longo de uma linha de ação conhecida.
• Isolar somentea lança principal do pino em A e da haste em C.
4 - 17
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• As cargas são simétricas em relação a um plano passando pelo centro da 
estrutura. Portanto, o modelo pode ser idealizado como plano.
• Resolvido o problema, dividir por 2 as reações em A e a tração no cabo 
para achar os valores reais em cada apoio (existem 2 pinos e 2 cabos).
4 - 18
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• Dois tubos lisos (sem atrito) suportados pelo garfo de um trator.
• Na letra (c), tem-se o diagrama de corpo livre do tubo A.
4 - 19
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• Na letra (d), tem-se o diagrama de corpo livre do 
tubo B, utilizando a terceira lei de Newton.
• Na letra (e), tem-se o diagrama de corpo livre da 
estrutura inteira, onde se nota que R é considerada 
uma força interna.
4 - 20
Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
• O parafuso em A não permite o giro da chave, fornecendo uma reação 
de momento.
4 - 21
Corpo Rígido Completamente Vinculado
e Reações Estaticamente Determinadas
Articulação impede o 
ponto A de se mover. 
Rolete em B impede giro 
em relação a A.
Dois roletes (em A e B) e 
uma haste (em D).
• Caso de interesse na disciplina (estruturas isostáticas).
• Máximo de três incógnitas.
• Corpo rígido não pode mover-se sob qualquer condição de carregamento 
(propriamente vinculado).
4 - 22
Reações Estaticamente Indeterminadas
4 - 23
• Estrutura com mais incógnitas do que equações 
(hiperestática).
Estruturas hiperestáticas podem 
ser resolvidas com 
conhecimento de Resistência 
dos Materiais.
Vinculação Parcial
Uma estrutura hipostática não pode ser mantida em 
equilíbrio sob condições gerais de carregamento. No 
exemplo, o somatório de forças em x não será 
satisfeito a menos que a resultante em x das forças 
externas seja nula.
• Estrutura com menosincógnitas do que equações: 
parcialmente vinculada (hipostática).
4 - 24
Estruturas Impropriamente Vinculadas
• Estrutura com número de incógnitas igual ao 
número de equações mas impropriamente 
vinculada.
4 - 25
O somatório de forças em x não 
será satisfeito a menos que a 
resultante em x das forças 
externas seja nula. As reações 
são paralelas.
4 - 26
• Estrutura com número de incógnitas maior do que 
o número de equações mas impropriamente 
vinculada.
O somatório de momentos em A não pode 
ser satisfeito para condições gerais de 
carregamento, uma vez que as linhas de ação 
das reações B e C são obrigadas a passar em 
A. As reações concorrem num mesmo 
ponto.
Estruturas Impropriamente Vinculadas
4 - 27
• Estrutura com número de incógnitas igual ao 
número de equações mas impropriamente 
vinculada.
Estruturas impropriamente vinculadas 
também são estaticamente indeterminadas.
Estruturas Impropriamente Vinculadas
Problema Resolvido 4.1
4 - 28
Um guindaste fixo tem massa de 1000 
kg e é usado para suspender um caixote 
de 2400 kg. Ele é mantido no lugar por 
um pino em A e um suporte basculante 
(balancim) em B. O centro de gravidade 
do guindaste está localizado em G. 
Determine os componentes das reações 
em A e B.
SOLUÇÃO:
• Traçamos um diagrama de corpo livre do 
guindaste.
• Determinamos a reação em B resolvendo 
a equação para a soma dos momentos de 
todas as forças em relação a A. Observa-
mos que as reações em A não geram 
momento em relação àquele ponto.
• Determinamos as reações em A
resolvendo as equações para a soma 
dos componentes horizontais e 
verticais de todas as forças.
• Conferimos se os resultados obtidos 
estão corretos verificando se a soma 
dos momentos de todas as forças em 
relação a B é zero.
Problema Resolvido 4.1
4 - 29
• Traçamos um diagrama de 
corpo livre do guindaste.
• Conferimos os resultados obtidos.
• Determinamos a reação em B resolvendo a 
equação para a soma dos momentos de todas 
as forças em relação a A. 
( ) ( )
( ) 0m 6kN5,23
m 2kN81,9m 5,1 :0
=−
−+=∑ BM A
kN1,107+=B
• Determinamos as reações em A resolvendo as 
equações para a soma dos componentes 
horizontais e verticais de todas as forças.
0:0 =+=∑ BAF xx
kN1,107−=xA
0kN5,23kN81,9:0 =−−=∑ yy AF
kN 3,33+=yA
Problema Resolvido 4.3
4 - 30
Um vagão de carga está em repouso 
sobre um trilho inclinado. O peso 
bruto do vagão e sua carga é 24.750 N 
e está aplicado em G. O vagão é 
mantido no lugar pelo cabo. 
Determine a tração no cabo e a reação 
em cada par de rodas.
SOLUÇÃO:
• Criamos um diagrama de corpo livre 
para o vagão com sistema de 
coordenadas alinhado com o trilho.
• Determinamos as reações nas rodas 
resolvendo as equações para a soma 
dos momentos em relação aos eixos 
das rodas.
• Determinamos a tração no cabo 
resolvendo a equação para a soma dos 
componentes das forças paralelos ao 
trilho.
• Conferimos os resultados obtidos 
verificando se a soma dos componentes 
das forças perpendiculares ao trilho é 
zero.
Problema Resolvido 4.3
4 - 31
• Traçamos um diagrama de 
corpo livre
( )
( )
N 460.10
25sen N 4.7502
N 431.22
25cosN 750.24
−=
−=
+=
+=
�
�
y
x
W
W
• Determinamos as reações nas rodas.
( ) ( )
( ) 0cm 251 
cm 15N 2.4312cm 5,62N 0.4601:0
2 =+
−−=∑
R
M A
N 922.72 =R
( ) ( )
( ) 0cm 251 
cm 15N 2.4312cm 5,62N 0.4601:0
1 =−
−+=∑
R
M B
N 538.21 =R
• Determinamos a tração no cabo
0TN 431.22:0 =−+=∑ xF
N 431.22+=T
Problema Resolvido 4.4
4 - 32
A estrutura representada na figura 
sustenta parte do teto de um pequeno 
edifício. Sabendo que a tração no cabo 
é 150 kN.
Determine a reação no engaste E.
SOLUÇÃO:
• Traçamos um diagrama de corpo livre 
da estrutura e do cabo BDF.
• Resolvemos as 3 equações de 
equilíbrio para os componentes da 
força e do momento em E.
Problema Resolvido 4.4
4 - 33
• Traçamos um diagrama de 
corpo livre da estrutura e do 
cabo BDF.
• Também poderíamos traçar um 
diagrama “cortando” o cabo no 
ponto D. A tração de 150 kN 
simplesmente seria deslocada 
para D.
• Resolvemos as 3 equações de equilíbrio 
para os componentes da força e do 
momento em E.
( ) 0kN150
5,7
5,4
:0 =+=∑ xx EF
kN 0,90−=xE
( ) ( ) 0kN150
5,7
6
kN204:0 =−−=∑ yy EF
kN 200+=yE
∑ = :0EM
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0m5,4kN150
5,7
6
m8,1kN20m6,3kN20
m4,5kN20m7,2kN20
=+−
++
++
EM
mkN0,180 ⋅=EM
4 - 34
EXERCÍCIOS
Equilíbrio de um Corpo Sujeito à 
Ação de Duas Forças
4 - 35
• Considere uma placa do tipo cantoneira sujeita à 
ação de duas forças F1 e F2.
• Se a placa estiver em equilíbrio, a soma dos 
momentos em relação a A deve ser zero. Como o 
momento de F1 é obviamente zero, o momento de 
F2 também deve ser zero, ou seja,
a linha de ação 
de F2 deve passar por A.
• De forma similar, a linha de ação de F1 deve passar 
por B para que a soma dos momentos em relação a 
B seja zero.
• Como a soma das forças em qualquer direção deve 
ser zero, conclui-se que F1 e F2 devem ter a mesma 
intensidade, mas sentidos opostos.
4 - 36
• Considere um corpo rígido sujeito à ação de forças 
atuando em apenas 3 pontos.
• Assumindo que as linhas de ação das forças F1 e F2 se 
interceptam, o momento de ambas em relação ao 
ponto de interseção representado por D é zero.
• Como o corpo rígido está em equilíbrio, a soma dos 
momentos de F1, F2 e F3 em relação a qualquer eixo 
deve ser zero. Portanto, o momento de F3 em relação a 
D também deve ser zero e a linha de ação de F3 deve 
passar por D.
• As linhas de ação das três forças devem ser 
concorrentes ou paralelas.
Equilíbrio de um Corpo Sujeito à 
Ação de Três Forças
Problema Resolvido 4.6
4 - 37
Um homem leventa uma viga de 
10 kg e 4 m de comprimento 
puxando-a com uma corda.
Encontre a tração T na corda e a 
reação em A.
SOLUÇÃO:
• Traçamos um diagrama de corpo livre da 
viga observando que a viga é um corpo sob 
a ação de 3 forças que são o seu peso, a 
força exercida pela corda e a reação em A.
• Para que o corpo esteja em equilíbrio, as 
três forças devem ser concorrentes. 
Portanto, a reação R deve passar pela 
interseção das linhas de ação do peso e da 
força exercida pela corda. Dessa forma 
determina-se a direção da reação R.
• Utilizamos um triângulo de forças para 
determinar a intensidade da reação R.
Problema Resolvido 4.6
4 - 38
• Traçamos um diagrama de corpo livre da 
viga. 
• Determinamos a direção da reação R.
( )
( )
( )
636,1
414,1
313,2
tan
m 2,313m 515,0828,2
m 515,020tanm 414,1
m 414,1
m828,245cosm445cos
2
1
===
=−=−=
=°=
===
=°=°=
AE
CE
BDBFCE
BD
AFAECD
ABAF
α
�6,58=α
Problema Resolvido 4.6
4 - 39
• Determinamos a intensidade da reação R.
��� 38,6sen
N 1,98
110sen4,31sen 
== RT
N 8,147
N9,81
=
=
R
T
4 - 40
Estruturas com Elementos Unidos através 
de Pinos
• Componentesbiarticulados sem forças intermediáriasdevem ser previamente
identificados.
Exemplo:
• A haste AB exerce uma força na barra EBD ao longo de seu eixo.
4 - 41
Estruturas com Elementos Unidos através 
de Pinos
• Componentesbiarticulados sem forças intermediáriasdevem ser previamente
identificados.
Exemplo:
• Isolando o componente ABC, o componente BD exerce uma forçaao longo da 
linha passando pelos pontos B e D.
4 - 42
Estruturas com Elementos Unidos através 
de Pinos
• No caso geral, componentes unidos por pinos que possuam forças intermediárias
trocam duas forçasno ponto de ligação.
• É possível desenhar o diagrama de corpo livre para cada componente, 
respeitando a terceira lei de Newton.
Exemplo:
4 - 43
Estruturas com Elementos Unidos através 
de Pinos
• Muitas vezes, é possível determinar todas as incógnitas do problema (reações dos 
apoios e forças internas trocadas entre os componentes nos pinos) analisando
também o equilíbrio de cada componenteisoladamente.
Exemplo:
1º) ComponenteCB: Acham-seCx, Cy e By.
2º) ComponenteAC: Aplicando a terceira lei
de Newton, acham-seAx, Ay e MA.
4 - 44
Estruturas com Elementos Unidos através 
de Pinos
• Muitas vezes, é possível determinar todas as incógnitas do problema (reações dos 
apoios e forças internas trocadas entre os componentes nos pinos) analisando
também o equilíbrio de cada componenteisoladamente.
Exemplo:
1º) ComponenteAB: Montam-se 3 equações de equilíbrio paraAx, Ay, Bx e By.
2º) ComponenteBC: Montam-se 3 equações de equilíbrio paraBx, By, Cx e Cy.
3º) Resolvem-se as6 equaçõespara as6 incógnitas.
4 - 45
Estruturas com Elementos Unidos através 
de Pinos
Exemplo:
• Nesse caso, primeiramente determinam-se as reações no pino A e no cabo DG e, 
depois, as forças internas entre os componentes.
1º) Estruturainteira : 3 equações de equilíbrio para acharAx, Ay e T.
2º) ComponenteABCD ou componenteCEF: 3 equações de equilíbrio para
achar as forças internas trocadas entre os componentes (Cx, Cy e FBE).
exercicios___equilibrio_de_corpos_rigidos___2d.pdf
LISTA DE EXERCÍCIOS 4
Equilíbrio de Corpos Rígidos – 2D
4.1 a 4.149: Beer & Johnston
5.10H a 5.91H: Hibbeler
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
100 cm50 cm 125 cm
4050 N
A = 1462,5 N
B = 5287,5 N
4.1 Um trator de 9450 N é usado para erguer 4050 N de cascalho. Determine a
reação em cada uma das duas rodas traseiras A e em cada uma das duas rodas
dianteiras B. Dica: O problema pode ser tratado como plano. Portanto, as reações
calculadas em A e B correspondem ao total das duas rodas.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
(a) F = 42 N
(b) x = 0,264 m
4.2 (a) Uma jardineira usa um carrinho de mão de 60 N para transportar um saco de
fertilizante. Qual a força que ela deve exercer em cada barra? Dica: O problema pode
ser tratado como plano. Portanto, a força calculada na barra do carrinho corresponde
ao total das duas barras. (b) A jardineira deseja agora transportar um segundo saco
de fertilizante de 250 N ao mesmo tempo que o primeiro. Determine a máxima
distância horizontal x do eixo A do carrinho de mão até o centro de gravidade do
segundo saco se ela pode carregar somente 75 N em cada braço.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
160 N
150 mm 200 mm150 mm
(a) A = 80 N para baixo
B = 600 N para cima
(b) A = 40 N para baixo
B = 560 N para cima
200 N 120 N 40 N
4.7 Um suporte em T sustenta as quatro cargas mostradas na figura. Para o
equilíbrio do sistema, determine as reações em A e B (a) se a = 250 mm, (b) se a =
175 mm.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
0,1 m
0,1 m para não girar
mína
a


160 N
150 mm 200 mm150 mm
200 N 120 N 40 N
4.8 Para o suporte do Problema 4.7, determine a menor distância a para que o
suporte não se mova. Dica: No limite para girar em torno de B, a reação A = 0
(estrutura deixa de encostar no ponto A). Verificar o equilíbrio de momentos em B
para essa situação.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
175 mm
375 mm
P = 323,32 N
C = 862,86 N 22,01º
4.17 A tração necessária no cabo BA é 800 N. Determine a força vertical P que deve
ser aplicada ao pedal e a reação correspondente em C para o equilíbrio do sistema.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
TBA = 2000 N
C = 2320 N 46,40º
4.19 O suporte BCD é articulado em C e preso a um cabo de controle em B e está
em equilíbrio. Para o carregamento mostrado na figura, determine a tração no cabo e
a reação em C.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
(a) A = 150 N 30º
B = 150 N 30º
(b) A = 433,25 N 12,55º
B = 488,31 N 30º
4.21 A estrutura da figura tem peso de 150 N, aplicado no centro de gravidade em G.
Para o equilíbrio do sistema, determine as reações no pino em A e no rolete em B
quando (a) h = 0, (b) h = 200 mm.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
250 mm
125 mm
75 mm
200 mm
80 N
80 N
(a) E = 124,85 N 60º
A = 33,16 N 58,00º
(b) E = 113,14 N 45º
A = 0
75 mm
4.22 Para a estrutura e carregamento mostrados na figura, determine as reações no
pino em A e no rolete em E quando (a)  = 30 e (b)  = 45.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
TBD = 190,92 N
A = 142,30 N 18,43º
4.26 A barra AB, articulada em A e presa em B ao cabo BD, suporta as cargas
mostradas na figura. Sabendo que d = 200 mm, determine a tração no cabo BD e a
reação em A para o equilíbrio do sistema.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
200 mm
200 mm
200 mm
534 N
A = 308,31 N para a direita
B = 154,15 N 60º
C = 770,76
N 60º
4.35 Uma barra de peso desprezível é apoiada em dois pontos de contato sem atrito
em B e C e está encostada em uma parede sem atrito em A. Uma força vertical de
534 N é aplicada em D. Determine as reações em A, B e C. Dica: Um sistema de
coordenadas inclinado (eixo x paralelo à barra e eixo y perpendicular) facilita a
resolução.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
200 mm
220 N
125
mm
75 mm 175
mm
TBE = 220 N
A = 82,5 N para a direita
D = 82,5 N para a esquerda
4.36 Uma barra de peso desprezível é suspensa por um cabo BE e suporta um peso
de 220 N em C. As extremidades A e D da barra estão em contato com paredes
verticais sem atrito. Determine a tração no cabo BE e as reações em A e D para o
equilíbrio do sistema.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
TAD = 105,08 N
A = 147,15 N para cima
B = 105,08 N para a esquerda
4.36B Uma barra de 0,6 m de comprimento suporta um bloco de 15 kg no ponto
médio C. Roletes nas extremidades A e B estão em contato com superfícies sem
atrito e um cabo horizontal é fixado em A. Determine a tração no cabo e as reações
no rolete para o equilíbrio do sistema.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
TCF = 960,47 N
TBE = 3231,1 N
D = 3750 N para a esquerda
4.38 Para o equilíbrio do sistema da figura, determine a tração em cada cabo e a
reação no rolete em D.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
MC = 4,73 Nm horário
C = 31,11 N 45º
75 mm 75 mm
45 mm
22 N
22 N
4.44 Uma tração de 22 N é mantida na fita que passa através do suporte da figura.
Sabendo que o raio de cada polia é de 10 mm, determine as reações no engaste em
C para o equilíbrio do sistema.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
1,5 m
1,2 m1,2 m
160 N160 N
(a) MD = 24 Nm anti-horário
D = 80 N para baixo
(b) MD = 36 Nm horário
D = 40 N para baixo
4.47 A Viga AD sustenta as duas cargas de 160 N mostradas na figura. A viga é
mantida na posição por um engaste em D e por um cabo BE que está preso ao
contrapeso W. Determine a reação no engaste em D quando (a) W = 400 N, (b) W =
360 N.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
MC = 75 Nm horário
C = 1950,64 N 88,53º
4.49 Sabendo que a tração no cabo BD é de 1300 N, determine a reação do engaste
C para o equilíbrio da estrutura mostrada na figura.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
4.69 Um caixote de 50 kg é levantado por um sistema composto por uma viga e um
trole. Sabendo que a = 1,5 m, determine a tração no cabo CD e a reação no pino em
B para o equilíbrio do sistema.
TCD = 498,99 N
B = 456,96 N 26,56º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
4.71 Uma extremidade da barra AB está apoiada no canto A (encostada no chão e
na parede vertical) e a outra extremidade está fixa ao cabo BD. Se a barra suporta
uma carga de 180 N no ponto central C, encontre a reação resultante em A e a
tração no cabo.
250 mm
180 N
450 mm
300 mm 300 mm
TBD = 83,57 N
A = 166,77 N 62,45º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
4.72 Para o equilíbrio do sistema da figura, determine as reações no rolete em A e no
pino em D quando b = 30º.
A = 243,74 N para a direita
D = 344,19 N 22,17º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
4.77 A barra AB é suportada pelo pino em A e repousa sobre um ponto de apoio sem
atrito em C. Determine as reações em A e C quando uma força vertical de 170 N é
aplicada em B.
A = 170 N 33,86º
C = 160 N 28,07º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
(a) A = 225 N para cima
C = 640,8 N 20,56º
(b) A = 365,2 N 60º
C = 844,1 N 22,01º
4.143 Para o equilíbrio do sistema da figura, determine as reações no rolete em A e
no pino em C quando (a) = 0º, (b) = 30º.
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
4.146 O suporte em T mostrado na figura é suportado por uma roda em E e dois
pontos de contato sem atrito em C e D. Determine as reações em C, D e E para o
equilíbrio do suporte quando q = 30º.
100
mm
180 N
100
mm
50 mm
75 mm
75 mm
90 N
C = 35,88 N para a direita
D = 191,77 N para a esquerda
E = 311,77 N 60º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
4.149 Para o equilíbrio do sistema da figura, determine as reações no pino em A e no
rolete em B quando b = 50º.
A = 163,06 N 74,13º
B = 257,58 N 65º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.10H Determine as reações no engaste em A para a viga submetida ao
carregamento mostrado na figura.
A = 8,72 kN 66,59º
MA = 20,20 kNm anti-horário
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.19H Uma pessoa com peso W = 700 N permanece no centro da tábua de
comprimento L = 1,8 m mostrada na figura. As extremidades A e B da tábua estão
apoiadas em superfícies sem atrito, e a extremidade B também está fixada a um
cabo paralelo ao plano inclinado. Determine as reações nos pontos de contato A e B
e a tração no cabo para o equilíbrio do sistema.
A = 350 N para cima
B = 224,98 N 40º
T = 268,12 N
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.22H A viga articulada do guindaste da figura tem um peso de 550 N e centro de
gravidade em G. Se a viga suporta uma carga de 2640 N, determine a força atuando
no pino A e a força no cilindro hidráulico biarticulado BC para a posição mostrada na
figura.
A = 16557,4 N 31,51º
FCB = 18426,6 N 40º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.23H O atuador em D é usado para aplicar uma força F = 200 N no componente da
figura em B. Determine a reação no pino em A e a força do eixo sem atrito no ponto
C do componente para o equilíbrio do sistema.
A = 158,3 N 48,29º
C = 212,6 N 15º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.25H A rampa de um navio tem peso de 890 N aplicado no centro de gravidade em
G. Determine a tração do cabo CD necessária para começar a levantar a rampa (a
reação em B é zero, ou seja, a rampa não encosta mais no chão). Determine
também a reação no pino em A.
A = 455,37 N 17,75º
TCD = 867,4 N
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.29H Uma massa de 700 kg é suspensa de um trole que se move ao longo do trilho
de um guindaste. Para d = 1,7 m, determine a força ao longo da barra biarticulada
BC e a reação no pino A para o equilíbrio do sistema.
A = 5908 N 8,91º
FBC = 9728 N 53,13º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.32H Determine a reação no pino em A e a tração no cabo BC necessárias para
suportar uma carga de 2,22 kN aplicada em B. Despreze o peso da barra AB.
A = 9,150 kN 35º
TBC = 8,084 kN
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.33H O guindaste da figura é suportado por um pino em C e pelo cabo AB. O cabo
pode suportar um tração máxima de 40 kN. Para uma massa suspensa de 2000 kg,
com centro de gravidade localizado em G, determine a maior distância admissível x e
a reação correspondente em C.
x = 5,22 m
C = 32,30 kN 7,79º
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.42H A barra da figura suporta duas cargas verticais mostradas na figura. Sabendo
que F1 = 800 N e F2 = 350 N, determine a reação no pino em A e a tração no cabo
BC para o equilíbrio do sistema.
A = 924,55 N 47,44º
TBC = 781,63 N
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.46H O guindaste e o operador têm um peso total de 11100 N com centro de
gravidade em G. Determine o maior peso W aplicado em F que pode ser içado sem
fazer com que o guindaste tombe em torno do ponto B, quando a lança está na
posição mostrada na figura. Dica: No limite para tombar em torno de B,
a reação A =
0 (guindaste deixa de encostar no solo). Verificar o equilíbrio de momentos em B
para essa situação.
0,66 m
0,42 m
0,9 m
3,6 m
2,52 m
1,8 m
23699 N
23699 N para não girar
máxW
W


UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
Faculdade de Engenharia e Arquitetura
5.91H Determine a reação no rolete em A e a reação no pino em B para o equilíbrio
do componente da figura.
A = 8 kN para cima
B = 7,211 kN 43,90º