Resolução Listas Bioestatistica

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Lista 3 –
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙: 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (
𝑥
𝑛)𝑝𝑥 × (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
1) A probabilidade de um casal heterozigoto para o gene fenilcetonúria (Aa x Aa) ter um filho que apresente a
doença (aa) é de 1/4. Um casal pretende ter 7 filhos.
a. Calcule a probabilidade de que pelo menos 2 dos filhos do casal apresentem a doença.
𝑃𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠/𝑎𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠/𝑛𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥)
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7)
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 0, 1335 + 0, 1730 + 0, 0577 + 0, 0115 + 0, 0013 = 0, 555
A probabilidade é 0,56
b. Calcule a probabilidade de que, no máximo, 2 filhos tenham a doença.
𝑁𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 2 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥); 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑃(𝑋 = 0); 𝑃(𝑋 = 1); 𝑃(𝑋 = 2)
𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 0)
𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0, 3115 + 0, 3115 + 0, 1335 = 0, 7565
A probabilidade é 0.76
2) A seguinte tabela apresenta as probabilidades da distribuição binomial de parâmetros n = 8 e PE {0,04; 0, 94;
0, 06}.
p=0,04 p=0,94 p=0,06
0 0,7214 0,0000 0,6096
1 0,2405 0,0000 0,3113
2 0,0351 0,0000 0,0695
3 0,0029 0,0000 0,0089
4 0,0002 0,0007 0,0007
5 0,0000 0,0089 0,0000
6 0,0000 0,0695 0,0000
7 0,0000 0,3113 0,0000
8 0,0000 0,6096 0,0000
Suponha que a prevalência da Covid-19 (proporção de casos da doença) em certo município seja de 6%. Se
uma amostra aleatória de 8 habitantes do município é selecionada:
a. Qual é a probabilidade de encontrarmos apenas 1 com Covid-19?
Seja X o número de habitantes com Covid-19 dentre os 8 selecionados. Logo X~ Binomial (8; 0,06) e P(X = 1) =
0,3113.
b. Qual é a probabilidade de encontrarmos no máximo 2 com Covid 19?
𝑁𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 2 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥); 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 0, 9904
c. Se uma nova amostra de 62 habitantes deste município for selecionada, qual é o número esperado de
habitantes com Covid-19?
𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛ç𝑎 = 𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝
𝐸(𝑥) = 62 × 0, 06 = 3, 72
3) Acredita-se que o número de erupções vulcânicas que ocorrem numa certa região do planeta se distribua
como uma Poisson com taxa média de 2.2 erupções por década. Realizando os ajustes necessários à taxa
média da Poisson, calcule a probabilidade de que em 2 décadas ocorram
𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛: 𝑃(𝑋 = 𝑘) = ϵ
−λ×λ𝑘
𝑘!
λ = 2, 2/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑒𝑚 2 𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠; λ = 4, 4.
a. exatamente 5 erupções.
𝑃(𝑋 = 5) = ϵ
−λ×λ𝑘
𝑘! =
ϵ−4,4×4,45
5! = 0, 1687
b. no máximo 5 erupções.
𝑃(𝑋 ≤ 5); 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + ... + 𝑃(𝑋 = 5) = 0, 7199
c. menos de 5 erupções.
𝑃(𝑋 < 5); 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + ... + 𝑃(𝑋 = 4) = 0, 5512
Lista 4 –
1) Assuma que os níveis séricos de ácido úrico em homens saudáveis sejam distribuídos probabilisticamente de
acordo com uma Normal com média 5.4mg/100ml e desvio padrão 1.25mg/100ml. Qual é a chance de que um
homem selecionado ao acaso tenha um nível sérico de ácido úrico entre 4.25 e 7.25mg/100ml?
µ = 5, 4 σ = 1, 25 𝑋~𝑁(5, 4; 1, 25)
𝑃(4, 25 ≤ 𝑥 ≤ 7, 25) = 𝑃( 4,25−5,41,25 ≤
𝑥−µ
σ ≤
7,25−5,4
1,25 ) = 𝑃(− 0, 92 ≤ 𝑍 ≤ 1, 48)
(0 ≥ 𝑍 ≥− 0, 92) + (0 ≤ 𝑍 ≤ 1, 48) = 0, 3213 + 0, 4306 = 0, 7518 
A probabilidade é igual a 0.7518
2) Sabe-se que em uma população o peso dos homens adultos tem distribuição normal com média 75,7 kg e
desvio padrão 5,8 kg.
a. Sorteando-se aleatoriamente um homem dessa população qual é a probabilidade de seu peso estar entre 69,3
e 82,1 kg?
µ = 75, 7 σ = 5, 8 𝑋~𝑁(75, 7; 5, 8)
𝑃(69, 3 ≤ 𝑥 ≤ 82, 1) = 𝑃( 69,3−75,75,8 ≤
𝑥−µ
σ ≤
82,1−75,7
5,8 ) = 𝑃(− 1, 1034 ≤ 𝑍 ≤ 1, 1034)
(0 ≥ 𝑍 ≥− 1, 1034) + (0 ≤ 𝑍 ≤ 1, 1034) = 0, 3643 + 0, 3643 = 0, 7286 
b. Qual é o valor do peso tal que 30,5% dos homens adultos com menor peso nessa população tem peso inferior
a esse valor?
30, 5% = 0, 305
𝑁𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0, 5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 1. 𝑆𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0, 305 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟, 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎 é 0, 5 − 0, 305 = 0, 195
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 0, 195 𝑑á 𝑢𝑚 𝑍 𝑑𝑒 0, 51, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜 𝑍 é 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, − 0, 51.
𝑃(𝑍 < 𝑦−75,75,8 ) = 0, 305
𝑦−75,7
5,8 =− 0, 51 → 𝑦 = 72, 742
3) As árvores de uma plantação de uma empresa de fabricação de celulose têm suas alturas variadas. Sabe-se
que a altura das árvores tem distribuição aproximadamente normal com média igual a 14,9 metros e desvio
padrão igual a 1,7 metros.
a. Se escolhemos ao acaso uma árvore da plantação, qual é a probabilidade de que sua altura esteja
compreendida entre 12,5 e 17,3 metros?
µ = 14, 9 σ = 1, 7 𝑋~𝑁(14, 9; 1, 7)
𝑃(12, 5 ≤ 𝑥 ≤ 17, 3) = 𝑃( 12,5−14,91,7 ≤
𝑥−µ
σ ≤
17,3−14,9
1,7 ) = 𝑃(− 1, 4118 ≤ 𝑍 ≤ 1, 4118)
(0 ≥ 𝑍 ≥− 1, 4118) + (0 ≤ 𝑍 ≤ 1, 4118) = 0, 4207 + 0, 4207 = 0, 8414 
b. Qual é o valor da altura tal que 2,5% das árvores mais altas da plantação tem altura superior a esse valor?
2, 5% = 0, 025
𝑁𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0, 5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 1. 𝑆𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0, 025 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟, 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎 é 0, 5 − 0, 025 = 0, 475
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 0, 475 𝑑á 𝑢𝑚 𝑍 𝑑𝑒 1, 96, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜 𝑍 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜.
𝑃(𝑍 < 𝑦−14,91,7 ) = 0, 475
𝑦−14,9
1,7 = 0, 475 → 𝑦 = 18, 2320
4) Assuma que a variável aleatória X denote níveis normais de protrombina (mg/100ml). Assuma que o
comportamento populacional de X seja adequadamente descrito por uma distribuição normal com média μ e
desvio padrão σ (populacionais) e que se tem uma estimativa prévia de σ igual a 3.8 mg/100ml (para esta
questão, trabalhe com esse valor como se fosse o desvio-padrão populacional de X) . Ao selecionarmos uma
amostra aleatória de tamanho 92, determine:
a. A probabilidade de que a diferença absoluta | −μ|, entre a média amostral e média populacional de nível de𝑥
𝑛
protrombina, seja inferior a 0.7.
𝑃( 𝑥
𝑛
− µ|||
||| < 𝑍) = 𝑃(− 𝑍 < 𝑥𝑛 − µ < 𝑍) = 𝑃(
−𝑧
σ2
𝑛
<
𝑥
𝑛
−µ
σ2
𝑛
< 𝑧
σ2
𝑛
) 
𝑃( 𝑥
𝑛
− µ|||
||| < 0, 7) = 𝑃(− 0, 7 < 𝑥𝑛 − µ < 0, 7) = 𝑃(
−0,7
3,82
92
<
𝑥
92
−µ
σ2
𝑛
< 0,7
3,82
92
) = 1, 67854103 
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 → 1, 67854103 = 0, 4525 → × 2 =
0,9228
b. O tamanho da amostra que deveria ser observada de forma a atender a margem de erro de 0.7 mg/100ml,
com probabilidade 94%.
105
Lista 5 –
Quando usamos intervalo de confiança, existem duas fórmulas se o desvio padrão populacional, , forσ
desconhecido:
𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑡
𝑛−1,1− α2
× 𝑠
𝑛
𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑡
𝑛−1,1− α2
𝑠𝑒 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 ≤ 30 
𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑧
1− α2
× 𝑠
𝑛
 𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑛 ≥ 30, 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑍
1) Assuma que a variável aleatória X denote alturas (cm) de meninos de 10 a 11 anos de idade, na Inglaterra.
Assuma que o comportamento populacional de X seja adequadamente descrito por uma distribuição normal com
média μ e desvio padrão σ (populacionais) desconhecidos. Ao selecionarmos uma amostra aleatória de tamanho
32 obtemos média amostral x¯ = 129 cm e desvio-padrão amostral s = 3.8 cm. Baseado nessa amostra,
Se a questão falar que o sigma, o desvio padrão é desconhecido, deve-se utilizar a tabela t student
Se a questão desse variância, o desvio padrão é a dela.2
Se aparecer o intervalo de 95% o Zc é igual a 1,96.
a. Obtenha o limite inferior do intervalo ao nível 97% de confiança para a altura média na população.
𝑛 = 32; 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 ≥ 30 γ = 0, 97
α = 1 − % ÷ 100 = 1 − 97 ÷ 100 = 0, 03
𝐼𝐶 = 𝑥 − 𝑧
1− α2
× 𝑠
𝑛
= 129 − 𝑧
1− 0,032
× 3,8
32
= 129 − 2, 17 × 0, 6718 = 127, 5423 
𝑂𝐵𝑆: 𝑧
1− 0,032
= 𝑧
0,985
 𝑝𝑜𝑟é𝑚 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 0 𝑎 𝑍, 𝑒 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 é 𝑑𝑒 − 𝑍 < 0 < 𝑍, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢í𝑚𝑜𝑠
0, 5. 𝐷𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑍
0,485
.
b. Obtenha o limite superior do intervalo ao nível 97% de confiança para a altura média na população.
𝐼𝐶 = 𝑥 + 𝑧
1− α2
× 𝑠
𝑛
= 129 + 𝑧
1− 0,032
× 3,8
32
= 129 + 2, 17 × 0, 6718 = 130, 4577
c. Qual seria a margemde erro associada à estimativa intervalar, baseada nos mesmos dados amostrais, mas
para um nível de confiança 94% ?
𝐸 = 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜; 𝑍𝑐 = 𝑍 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜; σ = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜; 𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑂 𝑍𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎 94% é 𝑑𝑒 1, 88
𝑍
1− 0,062
= 𝑍
1−0,03
= 𝑍
0,97
= 𝑍
0,97−0,5
= 𝑍
0,47
= 1, 88
𝐸 = 𝑍𝑐 × σ
𝑛
= 1, 88 × 3,8
32
= 1, 26289 
2) Assuma que quantidade X (mg/dl) de colesterol no sangue de habitantes de uma determinada localidade
segue uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ desconhecidos. Ao selecionarmos uma amostra
aleatória de tamanho 26 obtemos x¯ = 220 e s = 50. Baseado nessa amostra,
a. obtenha o limite inferior (à esquerda) do intervalo de 96% confiança para o nível de colesterol médio na
população.
𝑛 = 26; 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 ≤ 30
α = 1 − % ÷ 100 = 1 − 96 ÷ 100 = 0, 04
𝐼𝐶 = 𝑥 − 𝑡
𝑛−1,1− α2
× 𝑠
𝑛
= 220 − 𝑡
26−1,1− 0,042
× 50
26
= 220 − 2, 167 × 50
26
= 198, 7501
𝑂𝐵𝑆: 𝑡
26−1,1− 0,042 
𝑒𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑖 𝑞𝑢𝑒 é 𝑠ó 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎𝑟 𝑎 𝑛 − 1; α 𝑞𝑢𝑒 𝑑á 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜. 
b. obtenha o limite superior (à direita) do intervalo de 96% confiança para o nível de colesterol médio na
população.
𝑛 = 26; 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 ≤ 30
α = 1 − % ÷ 100 = 1 − 96 ÷ 100 = 0, 04
𝐼𝐶 = 𝑥 + 𝑡
𝑛−1,1− α2
× 𝑠
𝑛
= 220 + 𝑡
26−1,1− 0,042
× 50
26
= 220 + 2, 167 × 50
26
= 241, 2492
𝑂𝐵𝑆: 𝑡
26−1,1− 0,042 
𝑒𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑖 𝑞𝑢𝑒 é 𝑠ó 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎𝑟 𝑎 𝑛 − 1; α 𝑞𝑢𝑒 𝑑á 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜. 
3) Assuma que se tenha interesse em estimar a prevalência p de câncer de mama entre mulheres com 50 a 55
anos, cujas mães tiveram câncer de mama. Ao selecionarmos uma amostra aleatória de 295 mulheres,
observamos 35 casos da doença. Baseado nessa amostra,
a. Use a estimativa pontual para calcular a margem de erro e obtenha o limite inferior do intervalo ao nível 97%𝑝
de confiança para a prevalência p de câncer de mama nessa população.
𝑝 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
35
295 = 0, 1186
α = 1 − γ = 0, 03 → α2 = 0, 015 ⇒ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 0, 5 − 0, 015 = 0, 485
𝑧 α
2
= 2, 17
𝑚. 𝑒 = 𝑧 α
2
𝑝(1−𝑝)
𝑛 = 2, 17
0,1186(1−0,1186)
295 = 0, 0408486
𝐼. 𝐶 = (𝑝 − 𝑚. 𝑒) = (0, 1186 − 0, 0408486) = 0, 0778 
b. Use a estimativa pontual para calcular a margem de erro e obtenha o limite superior do intervalo ao nível𝑝
97% de confiança para a prevalência p de câncer de mama nessa população.
𝐼. 𝐶 = ( 𝑝 + 𝑚. 𝑒) = (0, 1186 + 0, 0408486) = 0, 1594 
4) Um instituto de pesquisas em genética realizou um experimento clínico do método XSORT, projetado para
aumentar a probabilidade de se conceber uma menina. Na amostra que compôs o estudo, nasceram 305 bebês
de pais que usaram o XSORT e 145 deles eram meninas. Com base nessa amostra,
a. obtenha o limite inferior (à esquerda) do intervalo de 96% confiança conservador (ou conservativo) para o
percentual de meninas nascidas de pais que usaram o método XSORT.
𝑝 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
145
305 = 0, 4754
α = 1 − γ = 0, 04 → α2 = 0, 02 ⇒ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 0, 5 − 0, 02 = 0, 48
𝑧 α
2
= 2, 05
𝑚. 𝑒 = 𝑧 α
2
𝑝(1−𝑝)
𝑛 = 2, 05
0,4754(1−0,4754)
305 = 0, 05862
𝐼. 𝐶 = (𝑝 − 𝑚. 𝑒) = (0, 4754 − 0, 05862) = 0, 4168 
b. obtenha o limite superior (à direita) do intervalo de 96% confiança conservador (ou conservativo) para o
percentual de meninas nascidas de pais que usaram o método XSORT.
𝐼. 𝐶 = (𝑝 + 𝑚. 𝑒) = (0, 4754 + 0, 05862) = 0, 5340