Lista 1_gabarito_v2

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| LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 1 
 
CCE1529 
SISTEMAS ESTRUTURAIS DE CONCRETO 
Prof. Rebecca Mansur de Castro Silva 
beccamansur@hotmail.com 
 
 
 
Gabarito 
Lista de Exercícios 1 
1. Seja a viga contínua com Diagrama de Momentos Fletores característico mostrado abaixo. 
Considerando os dados abaixo, calcule e esboce a armadura longitudinal para a seção do apoio 
central. 
 
Dados: 
Concreto C30 
Aço CA-50 
Altura útil 𝑑 ≅ 0,9ℎ 
𝑑′ = 4 𝑐𝑚 
Cobrimento de 2,5 cm 
Armadura transversal φ 10 c/9 
Brita 1 
Diagrama de Momentos Fletores (kNm) 
 
Solução: 
I. Profundidade da Linha Neutra 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
] 
𝑥 = 1,25(0,9 × 0,6) [1 − √1 −
1,4 × 185
0,425(0,16)(0,54)² 30000 1,4⁄
] 
𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟑 𝒎 = 𝟐𝟓, 𝟑 𝒄𝒎 
• Linha neutra limite 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45𝑑 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45(0,9 × 0,6) 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 24,3 𝑐𝑚 
 
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Como 𝑥 > 𝑥𝑙𝑖𝑚 → Armadura dupla 
II. Obtenção dos momentos fletores 𝑀1𝑑 e 𝑀2𝑑 
No limite da linha neutra (𝑥 = 0,45𝑑) 
𝑀1𝑑 = 0,68 . 𝑏. 𝑥𝑙𝑖𝑚 . 𝑓𝑐𝑑 . (𝑑 − 0,4𝑥𝑙𝑖𝑚) 
𝑀1𝑑 = 0,68 (0,16)(0,243) 
30000
1,4
[(0,9 × 0,6) − 0,4(0,243)] 
𝑴𝟏𝒅 = 𝟐𝟓𝟎, 𝟖𝟔 𝒌𝑵𝒎 
 
𝑀𝑑 = 𝑀1𝑑 + 𝑀2𝑑 
𝑀2𝑑 = (1,4 × 185) − 250,86 
𝑴𝟐𝒅 = 𝟖, 𝟏𝟒 𝒌𝑵𝒎 
III. Cálculo das áreas de aço 𝐴′𝑠 e 𝐴𝑠 
• Zona Comprimida 
𝐴′𝑠 =
𝑀2𝑑
𝑓′𝑦𝑑 . (𝑑 − 𝑑′)
 
𝐴′𝑠 =
8,14
500000
1,15⁄ . (0,54 − 0,04)
 
𝐴′𝑠 = 3,74 × 10
−5 𝑚² 
𝑨′𝒔 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟒 𝒄𝒎² 
• Zona Tracionada 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 
𝐴𝑠1 =
𝑀1𝑑
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 0,4𝑥)
 
𝐴𝑠1 =
250,86
500000
1,15⁄ . (0,54 − 0,4(0,243))
 
𝐴𝑠1 = 1,30 × 10
−3 𝑚² 
𝐴𝑠1 = 13,03 𝑐𝑚² 
 
𝐴𝑠2 =
𝑀2𝑑
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 𝑑′)
 
𝐴𝑠2 =
8,14
500000
1,15⁄ . (0,54 − 0,04)
 
𝐴𝑠2 = 3,74 × 10
−5 𝑚² 
Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 3 
𝑨𝒔𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟒 𝒄𝒎² 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 
𝐴𝑠 = 13,03 + 0,374 
𝑨𝒔 = 𝟏𝟑, 𝟒𝟎 𝒄𝒎² 
• Armadura mínima 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 𝐴𝑐 
 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15% (0,14 × 0,60) 
𝑨𝒔,𝒎í𝒏 = 𝟏, 𝟒𝟒 𝒄𝒎² 
𝐴′𝑠 < 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 → Vamos adotar 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 1,44 𝑐𝑚² (2φ10) 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 → Vamos adotar 𝐴𝑠 = 13,40 𝑐𝑚² (3φ25) 
 
IV. Detalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎ℎ,𝑚í𝑛 ≥ {
2 𝑐𝑚
∅𝑙
1,2𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 1,2(1,9) = 2,28 𝑐𝑚
= 2,5 𝑐𝑚 
 
𝑏𝑤 = 2𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 3∅𝑙 + 2𝑎ℎ 
16 = 2(2,5) + 2(1) + 3(2,5) + 2𝑎ℎ 
𝑎ℎ = 0,75 𝑐𝑚 
𝑎ℎ < 𝑎ℎ,𝑚í𝑛 
É necessário usar mais de uma camada. 
Considerando 2 camadas da armadura superior: 
𝑏𝑤 = 2𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 2∅𝑙 + 𝑎ℎ 
16 = 2(2,5) + 2(1) + 2(2,5) + 𝑎ℎ 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
0,16
 
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 𝑎ℎ = 4 𝑐𝑚 
𝑎ℎ > 𝑎ℎ,𝑚í𝑛 → 𝑜𝑘! 
 
𝑏𝑤 = 2𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 2∅𝑙 + 𝑎′ℎ 
16 = 2(2,5) + 2(1) + 2(1) + 𝑎′ℎ 
𝑎′ℎ = 7 𝑐𝑚 
𝑎′ℎ > 𝑎ℎ,𝑚í𝑛 → 𝑜𝑘! 
 
𝑎𝑣,𝑚í𝑛 ≥ {
2 𝑐𝑚
∅𝑙
0,5𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 0,5(1,9) = 0,95 𝑐𝑚
= 2,5 𝑐𝑚 
𝑎𝑣 = 2,5 𝑐𝑚 
• Verificação da altura útil real 
𝐶𝐺𝑦 = 𝑐𝑜𝑏 + ∅𝑡 + ∅𝑙 +
𝑎𝑣
2⁄ 
𝐶𝐺𝑦 = 2,5 + 1 + 2,5 +
2,5
2⁄ 
𝐶𝐺𝑦 = 7,25 𝑐𝑚 
Altura útil: 
𝑑 = ℎ − 𝐶𝐺𝑦 
𝑑 = 60 − 7,25 
𝑑 = 52,75 𝑐𝑚 
𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙 ~ 98% 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 𝑜𝑘! 
• Armadura de pele (h > 60 cm) → Pela norma NBR 6118:2014, não é necessário colocar 
armadura de pele, porém a boa prática recomenda a utilização de armadura de pele para vigas 
com altura maior ou igual a 50 cm. 
𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 0,10% 𝐴𝑐,𝑎𝑙𝑚𝑎 
𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 0,10% (0,16 × 0,60) 
𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 0,96 𝑐𝑚
2(4∅6,3) 
 
 
 
 
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2. Dimensione e detalhe a seção transversal de momento fletor máximo da viga V3 (20 x 50) 
considerando a colaboração das lajes. 
 
Dados: 
Concreto C20 
Aço CA-50 
Altura útil 𝑑 = 44 𝑐𝑚 
Cobrimento de 2,5 cm 
Brita 1 
Armadura transversal φt 6,3 
 
 
 
 
Solução: 
I. Largura colaborante 
𝑏𝑓 = 𝑏𝑤 + 𝑏1 + 𝑏3 
• Lado esquerdo da viga (L1) 
𝑏3 ≤ {
0,1𝑎
𝑏4
 
𝑏3 ≤ {
0,1(520) = 52 𝑐𝑚
100 𝑐𝑚
 
𝒃𝟑 = 𝟓𝟐 𝒄𝒎 
 
• Lado direito da viga (L2) 
𝑏1 ≤ {
0,1𝑎
0,5 𝑏2
 
𝑏1 ≤ {
0,1(520) = 52 𝑐𝑚
0,5(600) = 300 𝑐𝑚
 
𝒃𝟏 = 𝟓𝟐 𝒄𝒎 
 
 
Rebecca
Pencil
 
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𝑏𝑓 = 20 + 52 + 52 
𝒃𝒇 = 𝟏𝟐𝟒 𝒄𝒎 
II. Profundidade da Linha Neutra 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑓𝑑2𝑓𝑐𝑑
] 
𝑥 = 1,25(0,44) [1 − √1 −
1,4(343)
0,425(1,24)(0,44)² 20000 1,4⁄
] 
𝑥 = 0,0996 𝑚 
𝒙 = 𝟗, 𝟗𝟔 𝒄𝒎 
0,8𝑥 = 7,97 𝑐𝑚 < ℎ𝑓(= 9𝑐𝑚) 
A linha neutra passa na mesa. A seção pode ser calculada como retangular com 𝑏 = 𝑏𝑓. 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45𝑑 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45(44) 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 19,8 𝑐𝑚 
𝑥 < 𝑥𝑙𝑖𝑚 → 𝑜𝑘! 
III. Cálculo da área de aço 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 0,4𝑥)
 
𝐴𝑠 =
1,4(343)
500000
1,15⁄ (0,44 − 0,4(0,096))
 
𝐴𝑠 = 2,75 × 10
−3 𝑚² 
𝑨𝒔 = 𝟐𝟕, 𝟐 𝒄𝒎² 
(𝟔∅𝟐𝟓) 
• Armadura mínima 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 𝐴𝑐 
 
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𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15% [(20 × 41) + (124 × 9)] 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 2,904 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 
IV. Detalhamento 
𝑎ℎ,𝑚í𝑛 ≥ {
2 𝑐𝑚
∅𝑙 = 2,5 𝑐𝑚
1,2𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 1,2(1,9) = 2,28 𝑐𝑚
 
 
𝑏𝑤 = 2𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 3∅𝑙 + 2𝑎ℎ 
20 = 2(2,5) + 2(0,63) + 3(2,5) + 2𝑎ℎ 
𝑎ℎ = 3,12 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
 
𝑎𝑣,𝑚í𝑛 ≥ {
2 𝑐𝑚
∅𝑙 = 2,5 𝑐𝑚
0,5𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔 = 0,5(1,9) = 0,95 𝑐𝑚
 
𝑎𝑣 = 2,5 𝑐𝑚 
 
 
3. Dimensione e detalhe a seção transversal de momento fletor máximo da viga V3 do exercício 
anterior considerando que agora ela esteja submetida a um momento fletor máximo de 400 kNm. 
 
Dados: 
Concreto C20 
Aço CA-50 
Altura útil 𝑑 = 44 𝑐𝑚 
Cobrimento de 2,5 cm 
Brita 1 
Armadura transversal φt 6,3 
 
Solução: 
I. Profundidade da Linha Neutra 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 8 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑓𝑑2𝑓𝑐𝑑
] 
𝑥 = 1,25(0,44) [1 − √1 −
1,4(400)
0,425(1,24)(0,44)² 20000 1,4⁄
] 
𝑥 = 0,118 𝑚 
𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟖 𝒄𝒎 
0,8𝑥 = 0,8(11,8) = 9,47 𝑐𝑚 > ℎ𝑓 = 9 𝑐𝑚 
A linha neutra passa na alma da viga → Dimensionamento como seção retangular com 𝑏 = 𝑏𝑓 . 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45𝑑 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45(44) 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 19,8 𝑐𝑚 
𝑥 < 𝑥𝑙𝑖𝑚 → 𝑜𝑘! 𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
II. Cálculo dos momentos fletores M1d e M2d 
𝑀1𝑑 = (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓0,85𝑓𝑐𝑑(𝑑 − 0,5ℎ𝑓) 
𝑀1𝑑 = (1,24 − 0,20)(0,09)(0,85)
20000
1,4
[0,44 − 0,5(0,09)] 
𝑴𝟏𝒅 = 𝟒𝟒𝟖, 𝟗𝟓 𝒌𝑵𝒎 
𝑀2𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀1𝑑 
𝑀2𝑑 = (1,4 × 400) − 448,95 
𝑴𝟐𝒅 = 𝟏𝟏𝟏, 𝟎𝟓 𝒌𝑵𝒎 
III. Cálculo da nova altura da linha neutra 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀2𝑑
0,425. 𝑏𝑤. 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑
] 
𝑥 = 1,25(0,44) [1 − √1 −
111,05
0,425(0,2)(0,44)² 20000 1,4⁄
] 
𝑥 = 0,150 𝑚 
𝒙 = 𝟏𝟓, 𝟎 𝒄𝒎 {
< 𝑥𝑙𝑖𝑚 → 𝑜𝑘!
> ℎ𝑓 
 
Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 9 
IV. Cálculo da área de aço 
𝐴𝑠1 =
𝑀1𝑑
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 0,5ℎ𝑓)
 
𝐴𝑠1 =
448,95
500000
1,15⁄ (0,44 − 0,5(0,09))
 
𝐴𝑠1 = 2,61 × 10
−3𝑚² 
𝑨𝒔𝟏 = 𝟐𝟔, 𝟏 𝒄𝒎² 
 
𝐴𝑠2 =
𝑀2𝑑
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 0,4𝑥)
 
𝐴𝑠2 =
111,05
500000
1,15⁄ (0,44 − 0,4(0,150))
 
𝐴𝑠2 = 6,72 × 10
−4𝑚² 
𝑨𝒔𝟐 = 𝟔, 𝟕𝟐 𝒄𝒎² 
 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 
𝐴𝑠 = 26,1 + 6,72 
𝑨𝒔 = 𝟑𝟐, 𝟖 𝒄𝒎² 
(𝟕∅𝟐𝟓) 
• Armadura mínima 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 𝐴𝑐 
 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15% [(20 × 41) + (124 × 9)] 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 2,904 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 
 
 
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4. Seja a planta de forma abaixo na qual a laje é nervurada com nervuras iguais nas duas direções. 
Obtenha a carga para o dimensionamento da laje sabendo que a mesma faz partede um pavimento 
para uso residencial e a laje possui um enchimento feito com blocos cerâmicos furados. 
 
Dados: 
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 = 25 𝑘𝑁/𝑚³ 
𝛾𝑒𝑛𝑐ℎ𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 13 𝑘𝑁/𝑚³ 
𝑔𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0,46 𝑘𝑁/𝑚² 
𝑞𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 1,5 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
 
 
 Solução: 
I. Volume de concreto 
𝑉𝑐 = (65 × 65 × 6) + (65 × 13 × 21) + 2(26 × 13 × 21) 
𝑉𝑐 = 57.291 𝑐𝑚³ 
II. Espessura média equivalente de concreto 
�̅�𝑐 =
𝑉𝑐
𝐴
 
�̅�𝑐 =
57.291
(65 × 65)
= 13,56 𝑐𝑚 
 
III. Espessura média de enchimento 
�̅�𝑒𝑛𝑐ℎ = ℎ − �̅�𝑐 
�̅�𝑒𝑛𝑐ℎ = 27 − 13,56 
�̅�𝑒𝑛𝑐ℎ = 13,44 𝑐𝑚 
IV. Carga atuante na laje 
- Peso próprio 
𝑃𝑃 = 𝛾𝑐 × �̅�𝑐 
𝑃𝑃 = 25 × 0,1356 
𝑷𝑷 = 𝟑, 𝟑𝟗 𝒌𝑵/𝒎² 
 
 
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- Enchimento 
𝑃𝑒𝑛𝑐ℎ = 𝛾𝑒𝑛𝑐ℎ × �̅�𝑒𝑛𝑐ℎ 
𝑃𝑒𝑛𝑐ℎ = 13 × 0,1344 
𝑷𝒆𝒏𝒄𝒉 = 𝟏, 𝟕𝟓 𝒌𝑵/𝒎² 
- Revestimento 
𝑷𝒓𝒆𝒗 = 𝟎, 𝟒𝟔 𝒌𝑵/𝒎² 
- Carga acidental 
𝒒 = 𝟏, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎² 
 
- Carga total 
𝑷 = 𝟕, 𝟏 𝒌𝑵/𝒎² 
 
 
5. Dimensione a laje do exercício anterior considerando que ela seja engastada nas quatro bordas. 
 
Dados: 
Concreto C30 
Aço CA-50 
𝑙𝑥 = 𝑙𝑦 = 8 𝑚 
Altura útil 𝑑 = 23,5 𝑐𝑚 
 
 
 Solução: 
I. Levantamento geométrico 
Direção x = Direção y 
{
𝑏𝑓 = 100 𝑐𝑚;
ℎ𝑓 = 6 𝑐𝑚;
𝑏𝑛𝑒𝑟𝑣 = 13 𝑐𝑚;
ℎ = 27 𝑐𝑚
 
• Quantidade de nervuras por metro 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 12 
𝑄 =
𝑏𝑓
𝑙𝑐𝑐
=
100
65
 
𝑄 = 1,54 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎𝑠/𝑚 
• Largura equivalente da alma para cálculo 
𝑏𝑤 = 𝑏𝑛𝑒𝑟𝑣 × 𝑄 
𝑏𝑤 = 13(1,67) 
𝑏𝑤 = 20 𝑐𝑚 
II. Obtenção dos esforços solicitantes 
Laje Tipo 6 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 
𝜆 =
8
8
= 1 
Da Tabela A-7: 
𝜈′𝑥 = 𝜈′𝑦 = 2,50 
Da Tabela A-10: 
𝜇𝑥 = 𝜇𝑦 = 2,02 
𝜇′𝑥 = 𝜇′𝑦 = 5,15 
 
 
 
Como a laje é simétrica (apoios e geometria), basta fazer o cálculo em uma direção. 
𝑉′𝑘 = 𝜈
′ × 𝑝
𝑙𝑥
10
 
𝑉′𝑘 = 2,50 × (7,1)
8
10
 
𝑽′𝒌 = 𝟏𝟒, 𝟐 𝒌𝑵 
𝑀𝑘 = 𝜇 × 𝑝
𝑙𝑥
2
100
 
𝑀𝑘 = 2,02 × (7,1)
(8)2
100
 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
54
Rebecca
Typewriter
Tabela de Bares
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 13 
𝑴𝒌 = 𝟗, 𝟏𝟖 𝒌𝑵𝒎 
𝑀′𝑘 = 𝜇′ × 𝑝
𝑙𝑥
2
100
 
𝑀′𝑘 = 5,15 × (7,1)
(8)2
100
 
𝑴′𝒌 = 𝟐𝟑, 𝟒 𝒌𝑵𝒎 
III. Armadura longitudinal positiva (vão) 
- Profundidade da linha neutra 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425. 𝑏𝑓 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑
] 
𝑥 = 1,25(0,235) [1 − √1 −
1,4(9,18)
0,425(1)(0,235)² 30000 1,4⁄
] 
𝑥 = 3,78 × 10−3 𝑚 
𝒙 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟖 𝒄𝒎 
0,8𝑥 = 0,302 𝑐𝑚 < ℎ𝑓 
Mesa parcialmente comprimida → Armadura simples 
- Armadura longitudinal por metro 
𝐴𝑠 = 0,8𝑏𝑓 . 𝑥 . 0,85
𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 = 0,8(1)(0,378)(0,85)
30
1,4⁄
500
1,15⁄
 
𝐴𝑠 = 0,0127 𝑚² 𝑚⁄ 
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟕 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
- Armadura mínima 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 𝐴𝑐 
 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
3,78 x 10^-3
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
1,27 x 10^-4
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 14 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15% (20)(27) 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,81 𝑐𝑚
2/𝑚 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 
- Armadura longitudinal na nervura 
𝐴𝑠,𝑛𝑒𝑟𝑣 =
𝐴𝑠
𝑏𝑓
𝑙𝑐𝑐
⁄
 
𝐴𝑠,𝑛𝑒𝑟𝑣 =
1,27
100
65⁄
 
𝑨𝒔,𝒏𝒆𝒓𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟑 𝒄𝒎² 
(𝟐∅𝟖) 
28 c/ 60 (1,00 cm²/nervura) localizado próximo à face inferior da laje. 
IV. Armadura longitudinal negativa (engastes) 
- Profundidade da linha neutra 
𝑥 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425. 𝑏𝑤. 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑
] 
𝑥 = 1,25(0,235) [1 − √1 −
1,4(23,4)
0,425(1)(0,235)² 30000 1,4⁄
] 
𝑥 = 0,0525 𝑚 
𝒙 = 𝟓, 𝟐𝟓 𝒄𝒎 
0,8𝑥 = 4,20 𝑐𝑚 < ℎ − ℎ𝑓 = 27 − 6 = 21 𝑐𝑚 
Nervura parcialmente comprimida → Armadura simples 
- Armadura longitudinal por metro 
𝐴′𝑠 = 0,8𝑏𝑤. 𝑥 . 0,85
𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
𝐴′𝑠 = 0,8(20)(5,25)(0,85)
30
1,4⁄
500
1,15⁄
 
𝐴′𝑠 = 0,0352 𝑚² 𝑚⁄ 
𝑨′𝒔 = 𝟑, 𝟓𝟐 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
5
Rebecca
Pencil
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 15 
- Armadura mínima 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 𝐴𝑐 
 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15% (20)(27) 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,81 𝑐𝑚
2/𝑚 
𝐴′𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 
- Armadura longitudinal na nervura 
𝐴′𝑠,𝑛𝑒𝑟𝑣 =
𝐴′𝑠
𝑏𝑓
𝑙𝑐𝑐
⁄
 
𝐴′𝑠,𝑛𝑒𝑟𝑣 =
3,52
100
65⁄
 
𝑨′𝒔,𝒏𝒆𝒓𝒗 = 𝟐, 𝟐𝟗 𝒄𝒎² 
(𝟐∅𝟏𝟐, 𝟓) 
2 c/ 60 (2,45 cm²/nervura) localizado próximo à face superior da laje. 
V. Armadura de distribuição (mesa) 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 𝐴𝑐 
 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15% (20)(27) 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,81 𝑐𝑚
2/𝑚 
A laje tem 8 metros. Então, 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,81 × 8 = 6,48 𝑐𝑚
2 
Considerando 5, temos 34 barras a serem distribuídas nos 8 metros. 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
5
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 16 
Logo, o espaçamento entre as barras é de 800 34⁄ ≅ 23 𝑐𝑚 
(∅𝟓𝒄/𝟐𝟑) 
VI. Esboço do detalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Verificação do cortante 
𝑙𝑐𝑐 ≤ 65 𝑐𝑚 
𝑉𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑 . 𝑘 (1,2 + 40𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤 . 𝑑 
A laje não é protendida, então 𝜎𝑐𝑝 = 0. 
𝑏𝑤 = 𝑏𝑛𝑒𝑟𝑣 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
⁄ 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7𝑓𝑐𝑡𝑚 
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3√𝑓𝑐𝑘
23 
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 2,896 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 2,028 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 1,448 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑅𝑑 = 0,362 𝑀𝑃𝑎 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 17 
k ≥ {
1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,235 = 𝟏, 𝟑𝟔𝟓 
1
 
Precisamos verificar o cisalhamento no engaste, onde o cortante é máximo. 
Considerando que toda a armadura positiva chega nos apoios, 
𝜌1 =
𝐴𝑠𝑙,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑏𝑛𝑒𝑟𝑣 × 𝑑
 
𝜌1 =
(2 × 1,227) + (2 × 0,503)
13 × 23,5
 
𝜌1 =
(2 × 1,227) + (2 × 0,503)
13 × 23,5
 
𝜌1 = 0,0113 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑 . 𝑘 (1,2 + 40𝜌1)]𝑏𝑤 . 𝑑 
𝑉𝑅𝑑1 = [(0,362 × 10
3) . (1,365) (1,2 + 40(0,0113))](0,13)(0,235) 
𝑽𝑹𝒅𝟏 = 𝟐𝟒, 𝟗𝟒 𝒌𝑵 
𝑉′𝑑 = 1,4𝑉′𝑘 
𝑉′𝑑 = 1,4(14,2) 
𝑽′𝒅 = 𝟏𝟗, 𝟖𝟖 𝒌𝑵 
𝑉′𝑑 < 𝑉𝑅𝑑1 → 𝑜𝑘! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 18 
6. Dimensione e esboce o detalhamento da seção transversal da viga V1 utilizada para engastar uma 
marquise conforme mostrado na planta de forma abaixo. 
 
Dados: 
Concreto C20 
Aço CA-50 
Altura útil 𝑑 = 0,9ℎ 
Armadura longitudinal da 
flexão = 0,6 cm² 
Armadura transversal do 
cortante = 1,77 cm²/m 
(As,mín) 
 
 
 
 
 
D.E.Qk D.M.Fk D.M.Tk 
Solução: 
I. Levantamento geométrico 
𝑡𝑒 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 {
𝐴/𝑢
2𝑐1; 𝑐1~ 5 𝑐𝑚
 
𝐴
𝑢
=
20 × 40
2(20) + 2(40)
 
𝐴
𝑢
= 6,67 𝑐𝑚 < 10 𝑐𝑚 
𝑡𝑒 = 10 𝑐𝑚 
𝑏𝑒 = 𝑏 − 𝑡𝑒 = 20 − 10 = 10 𝑐𝑚 
ℎ𝑒 = ℎ − 𝑡𝑒 = 40 − 10 = 30 𝑐𝑚 
II. Esforços solicitantes 
𝑉𝑑 = 1,4𝑉𝑘 = 1,4(9) 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 19 
𝑽𝒅 = 𝟏𝟐, 𝟔 𝒌𝑵 
𝑀𝑑 = 1,4𝑀𝑘 = 1,4(6,25) 
𝑴𝒅 = 𝟖, 𝟕𝟓 𝒌𝑵𝒎 
𝑇𝑑 = 1,4𝑇𝑘 = 1,4(7,68) 
𝑻𝒅 = 𝟏𝟎, 𝟖 𝒌𝑵𝒎 
III. Verificação da biela de compressão 
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑟𝑑,2
+
𝑇𝑠𝑑
𝑇𝑟𝑑,2
≤ 1 
Considerando o modelo de cálculo I (θ=45°) 
𝑉𝑟𝑑,2 = 0,27 𝛼𝑣2 𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 𝑑 
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
= 1 −
20
250
= 0,92 
𝑉𝑟𝑑,2 = 0,27 (0,92)
20000
1,4
 (0,2)(0,9 × 0,4) 
𝑽𝒓𝒅,𝟐 = 𝟐𝟓𝟓, 𝟓 𝒌𝑵 
𝑇𝑟𝑑,2 = 0,5𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑 . 𝐴𝑒 . 𝑡𝑒 . sin 2𝜃 
𝑇𝑟𝑑,2 = 0,5 (0,92)
20000
1,4
 (0,1 × 0,3)(0,1) sin(90) 
𝑻𝒓𝒅,𝟐 = 𝟏𝟗, 𝟕 𝒌𝑵𝒎 
12,6
255,5
+
10,8
19,7
≤ 1 
0,6 ≤ 1 → 𝑜𝑘! Não ocorrerá esmagamento da biela. 
IV. Armadura longitudinal de torção 
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
=
𝑇𝑠𝑑
2 𝐴𝑒 𝑓𝑦𝑑 tan 𝜃
 
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
=
10,8
2 (0,1 × 0,3) 500000 1,15⁄ tan 45°
 
𝑨𝒔𝒍
𝒖𝒆
= 𝟒, 𝟏𝟒 𝒄𝒎² 𝒎⁄ 
𝐴𝑠𝑙 = 4,14[2(0,10) + 2(0,3)] 
𝑨𝒔𝒍 = 𝟑, 𝟑𝟏 𝒄𝒎² 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 20 
- Armadura mínima 
𝐴𝑠𝑙,𝑚𝑖𝑛 = 0,2𝑡𝑒𝑢𝑒
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑘
 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 √𝑓𝑐𝑘
23 
𝑓𝑐𝑡,𝑚= 0,3 √(20)2
3
 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,21 𝑀𝑃𝑎 
𝐴𝑠𝑙,𝑚𝑖𝑛 = 0,2 (10)(2(10) + 2(30))
2,21
500
 
𝑨𝒔𝒍,𝒎𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟑𝟔 𝒄𝒎² 
𝐴𝑠𝑙 > 𝐴𝑠𝑙,𝑚𝑖𝑛 
V. Armadura transversal de torção 
𝐴𝑠,90
𝑠
=
𝑇𝑆𝑑
2𝐴𝑒𝑓𝑦𝑑
tan 𝜃 
𝐴𝑠,90
𝑠
=
10,8
2(0,1 × 0,3) 500000 1,15⁄
tan 45° 
𝑨𝒔,𝟗𝟎
𝒔
= 𝟓, 𝟎𝟒 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
- Armadura mínima 
𝐴𝑠,90,𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 0,2𝑏𝑤
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 
𝐴𝑠,90,𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 0,2 (0,2)
2,21
500
 
𝑨𝒔,𝟗𝟎,𝒎𝒊𝒏
𝒔
= 𝟏, 𝟕𝟕 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
𝑨𝒔,𝟗𝟎
𝒔
>
𝑨𝒔,𝟗𝟎,𝒎𝒊𝒏
𝒔
 
VI. Detalhamento 
- Armadura longitudinal: 
Face superior: 
Flexão → 𝐴𝑠,𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜 = 0 
Torção → 𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑟çã𝑜 = 𝑏𝑒 ×
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
= 0,1 (4,14) 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
4,12 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
0,71
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 21 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑟çã𝑜 = 0,414 𝑐𝑚² 
𝑨𝒔,𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟎, 𝟒𝟏𝟒 𝒄𝒎
𝟐(𝟐∅𝟔, 𝟑) 
Face inferior: 
Flexão → 𝐴𝑠,𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜 = 0,60 𝑐𝑚² 
Torção → 𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑟çã𝑜 = 𝑏𝑒 ×
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
= 0,1 (4,14) 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑟çã𝑜 = 0,414 𝑐𝑚² 
𝑨𝒔,𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟏𝟒 𝒄𝒎
𝟐(𝟐∅𝟏𝟎) 
Faces laterais: 
Flexão → 𝐴𝑠,𝑓𝑙𝑒𝑥𝑎𝑜 = 0 
Torção → 𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑟çã𝑜 = ℎ𝑒 ×
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
= 0,3 (4,14) 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑟çã𝑜 = 1,24 𝑐𝑚² 
𝑨𝒔,𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒊𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟒 𝒄𝒎
𝟐(𝟑∅𝟖) 
- Armadura transversal: 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑠
=
𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒,1𝑟𝑎𝑚𝑜
𝑠
+
𝐴𝑠,90
𝑠
 
Como a armadura do cortante é a armadura mínima (ou seja, caso a norma não exigisse armadura mínima, 
ela não seria necessária, pois V > Vc) 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑠
=
0
2
+ 5,04 
𝑨𝒔,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒔
= 𝟓, 𝟎𝟒
𝒄𝒎𝟐
𝒎
(∅ 𝟖 𝒄 𝟗, 𝟓)⁄ 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑠
= 1,77 𝑐𝑚2/𝑚 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑠
>
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑠
2
⁄ 
Espaçamento da armadura transversal: 
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑟𝑑,2
= 0,049 < 0,67 
𝑠𝑚á𝑥 = 0,6𝑑 = 21,6 𝑐𝑚 ≤ 30 𝑐𝑚 
(∅ 8 𝑐 9,5)⁄ → 𝑜𝑘! 
Rebecca
Strikeout
Rebecca
Typewriter
4,12
Rebecca
Typewriter
4,12
Rebecca
Strikeout
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Dimensione e esboce o detalhamento do pilar de seção transversal mostrada abaixo estando o 
mesmo submetido a um carregamento axial Nk = 1661,4 kN. Utilize o ábaco que considera 8 barras 
distribuídas ao longo do perímetro da seção transversal. 
 
Dados: 
Concreto C25 
Aço CA-50 
𝑙𝑒𝑥 = 𝑙𝑒𝑦 = 400 𝑐𝑚 
𝑑′ = 3,5 𝑐𝑚 
Cobrimento = 2 cm 
Brita 1 
 
Solução: 
Pilar interno – Compressão centrada 
 
I. Esforços solicitantes 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑁𝑘 
 
𝑁𝑑 = 1(1,4)(1661,4) 
𝑵𝒅 = 𝟐𝟑𝟐𝟓, 𝟗𝟔 𝒌𝑵 
II. Índice de Esbeltez 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 23 
𝜆 =
𝑙𝑒
𝑖
 
𝑖 = √
𝐼
𝐴
 
Direção x = Direção y 
𝐼 =
𝑏ℎ³
12
=
35 (35)³
12
 
𝐼 = 125.052,08 𝑐𝑚4 
𝑖 = √
125.052,08 
35 × 35
 
𝑖 = 10,1 𝑐𝑚 
𝜆 =
400
10,1
 
𝝀 = 𝟑𝟗, 𝟔 
35 < 𝜆 ≤ 90 → 𝑷𝒊𝒍𝒂𝒓 𝒎é𝒅𝒊𝒐 
Se o pilar não tivesse seção transversal quadrada e/ou o comprimento equivalente (le) fosse diferente nas 
duas direções, precisaríamos calcular o índice de esbeltez para cada direção. 
III. Momento Fletor Mínimo de 1ª ordem 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 𝑁𝑑 (0,015 + 0,03ℎ) 
Direção x = Direção y (seção transversal quadrada) 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 2325,96 (0,015 + 0,03(0,35)) 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏 = 𝟓𝟗, 𝟑𝟏 𝒌𝑵𝒎 
IV. Esbeltez limite 
𝜆1 =
25 + 12,5
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 
35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 
𝑒1 =
𝑀1𝑑
𝑁𝑑
 
Compressão simples → 𝑒1 = 0 
Para pilares bi-apoiados com momentos fletores menores que o momento mínimo → 𝛼𝑏 = 1 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 24 
𝜆1 =
25 + 12,5
0
0,35
1
 
𝜆1 = 25 < 35 
Logo, 𝝀𝟏 = 𝟑𝟓. 
𝝀 = 𝟑𝟗, 𝟔 > 𝝀𝟏 
Devem ser considerados os esforços de 2ª ordem local. 
V. Momento Fletor de 2ª ordem 
 Método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
𝑀2𝑑 = 𝑁𝑑
𝑙𝑒
2
10
1
𝑟
 
1
𝑟
=
0,005
h(𝜈 + 0,5)
≤
0,005
h
 
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
 
𝜈 =
2325,95
(0,35 × 0,35) 25000 1,4⁄
 
𝜈 = 1,063 
1
𝑟
=
0,005
0,35(1,063 + 0,5)
≤
0,005
0,35
 
1
𝑟
= 0,00914 ≤ 0,0143 → 𝑜𝑘! 
𝑀2𝑑 = 2325,96
(4)2
10
(0,00914) 
𝑴𝟐𝒅 = 𝟑𝟒, 𝟎𝟏 𝒌𝑵𝒎 
VI. Momento Fletor Total 
Direção x = Direção y 
 
 
O momento fletor máximo ocorre em uma seção 
intermediária C, onde M2d é máximo. 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 + 𝑀2𝑑 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 59,31 + 34,01 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕 = 𝟗𝟑, 𝟑𝟐 𝒌𝑵𝒎 
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 25 
VII. Determinação da Área de Aço 
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
 
𝜈 =
2325,95
(0,35 × 0,35) 25000 1,4⁄
 
𝝂 = 𝟏, 𝟎𝟔𝟑 
𝜇 =
𝑀𝑑
𝐴𝑐 ℎ 𝑓𝑐𝑑
 
𝜇 =
93,32
(0,35 × 0,35)(0,35) 25000 1,4⁄
 
𝝁 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟐 
𝒅′
𝒉
=
3,5
35
= 𝟎, 𝟏 
Por se tratar de um pilar quadrado e submetido à compressão simples, iremos utilizar o Ábaco A-27 de 
Venturini. 
 
Do ábaco, 𝜔 ≈ 0,55. 
𝐴𝑠 = 𝜔 𝐴𝑐 
𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 = 0,55 (35 × 35) 
30
1,4⁄
500
1,15⁄
 
𝑨𝒔 = 𝟐𝟕, 𝟔𝟕 𝒄𝒎² 
De acordo com o ábaco escolhido, a área de aço 
deve ser distribuída em 8 barras. Assim, cada 
barra deve ter 
𝑨𝒔,𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 =
27,67 
8
= 𝟑, 𝟒𝟔 𝒄𝒎² 
Logo, as barras devem ser de ∅ = 25 𝑚𝑚. 
VIII. Detalhamento 
- Armadura longitudinal 
10 𝑚𝑚 ≤ ∅𝑙 ≤
𝑏
8⁄ (=
350
8⁄ = 43,75 𝑚𝑚) 
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 26 
- Armadura longitudinal mínima 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
≥ 0,4% 𝐴𝑐 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15
2325,95
500000
1,15⁄
≥ 0,4%(0,35 × 0,35) 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 8,02 𝑐𝑚
2 ≥ 4,9𝑐𝑚² 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 → 𝑜𝑘! 
- Armadura longitudinal máxima 
𝜌𝑠 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
≤ {
8%
4% 𝑛𝑎 𝑒𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎
 
𝜌𝑠 =
(8 × 4,909)
35 × 35
 
𝜌𝑠 = 3,21 % → 𝑜𝑘! 
- Armadura transversal 
∅𝑡 ≥ {
5 𝑚𝑚
∅𝑙
4⁄ =
25
4⁄ = 6,25 𝑚𝑚
 
∅𝑡 = 6,3 𝑚𝑚 
𝑠𝑡 ≤ {
20 𝑐𝑚
𝑏 = 35 𝑐𝑚
12 ∅𝑙 = 12(2,5) = 30 𝑐𝑚
 
𝑠𝑡 = 20 𝑐𝑚 
∅𝟔, 𝟑 𝒄 𝟐𝟎⁄ 
- Espaçamento da armadura longitudinal 
𝑏 = 2. 𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 3∅𝑙 + 2𝑎 
35 = 2(2) + 2(0,63) + 3(2,5) + 2𝑎 
𝒂 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟐 𝒄𝒎 = 𝟏𝟏𝟏, 𝟐 𝒎𝒎 
𝑎 ≥ {
20 𝑚𝑚
∅𝑙 = 25 𝑚𝑚
1,2 𝑑𝑚á𝑥 = 1,2(19) = 22,8 𝑚𝑚
 
𝑎 > 25 𝑚𝑚 → 𝑜𝑘! 
𝑎 ≤ {2𝑏 = 2
(35) = 70 𝑐𝑚
40 𝑐𝑚
 
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 27 
𝑎 ≤ 40 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
- Verificação da necessidade (ou não) de gancho 
20∅𝑡 = 12,6 𝑐𝑚 
É necessário usar ganchos. 
 
8. Dimensione e esboce o detalhamento da seção transversal do pilar abaixo. Utilize o ábaco que 
considera a armadura longitudinal distribuída perpendicularmente à direção do momento. 
 
Dados: 
Concreto C20 
Aço CA-50 
𝑙𝑒𝑥 = 𝑙𝑒𝑦 = 500 𝑐𝑚 
𝑑′𝑥 = 𝑑′𝑦 = 5 𝑐𝑚 
Cobrimento = 2 cm 
Brita 1 
 
 
Solução: 
I. Esforços solicitantes 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑁𝑘 
 
𝑁𝑑 = 1(1,4)(1276,8) 
𝑵𝒅 = 𝟏𝟕𝟖𝟕, 𝟓𝟐 𝒌𝑵 
𝑀𝑑,𝑥,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑀𝑘,𝑥,𝑡𝑜𝑝𝑜 
𝑀𝑑,𝑥,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 1(1,4)(51,1) 
𝑴𝒅,𝒙,𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝟕𝟏, 𝟓𝟒 𝒌𝑵𝒎 
𝑀𝑑,𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑀𝑘,𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 
𝑀𝑑,𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1(1,4)(25,5) 
𝑴𝒅,𝒙,𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟑𝟓, 𝟕 𝒌𝑵𝒎 
𝑴𝒅,𝒙,𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝑴𝟏𝒅,𝑨,𝒙 
𝑴𝒅,𝒙,𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝑴𝟏𝒅,𝑩,𝒙 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 28 
II. Índice de Esbeltez 
𝜆 =
𝑙𝑒
𝑖
 
𝑖 = √
𝐼
𝐴
 
- Direção x: 
𝐼𝑥 =
50(25)³
12
 
𝐼𝑥 = 65.104,17 𝑐𝑚
4 
𝑖𝑥 = 7,22 𝑐𝑚 
𝜆𝑥 =
500
7,22
 
𝝀𝒙 = 𝟔𝟗, 𝟑 
Pilar médio 
- Direção y: 
𝐼𝑦 =
25(50)³
12
 
𝐼𝑦 = 260.416,7 𝑐𝑚
4 
𝑖𝑦 = 14,43 𝑐𝑚 
𝜆𝑦 =
500
14,43
 
𝝀𝒚 = 𝟑𝟒, 𝟔 
Pilar curto 
III. Momento Fletor Mínimo de 1ª ordem 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 𝑁𝑑 (0,015 + 0,03ℎ) 
- Direção x: 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 = 1787,52 (0,015 + 0,03(0,25)) 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒙 = 𝟒𝟎, 𝟐𝟐 𝒌𝑵𝒎 
- Direção y: 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑦 = 1787,52 (0,015 + 0,03(0,50)) 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒚 = 𝟓𝟑, 𝟔𝟑 𝒌𝑵𝒎 
IV. Esbeltez limite 
𝜆1 =
25 + 12,5
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 
35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 
𝑒1 =
𝑀1𝑑
𝑁𝑑
 
- Direção x: 
𝑒1𝑥 =
𝑀1𝑑𝑥
𝑁𝑑
 
𝑒1𝑥 =
71,54
1787,52
 
- Direção x:𝑒1𝑦 = 0 
Pois 𝑀1𝑑𝑦 = 0 
Como M1d,A < M1d,mín 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 29 
𝒆𝟏𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟒 𝒎 = 𝟒, 𝟎𝟎 𝒄𝒎 
Como M1d,A > M1d,mín 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 
0,40 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 
35,7
71,54
 
𝛼𝑏 = 0,8 → 𝑜𝑘! 
𝜆1𝑥 =
25 + 12,5
4
25
0,8
 
𝜆1𝑥 = 33,75 < 35 
Então, 𝝀𝟏𝒙 = 𝟑𝟓 
𝝀𝒙 = 𝟔𝟗, 𝟑 > 𝝀𝟏𝒙 
Esforços de 2ª ordem locais devem ser considerados. 
𝛼𝑏 = 1 
𝜆1𝑦 =
25 + 12,5
0
50
1
 
𝜆1𝑦 = 25 < 35 
Então, 𝝀𝟏𝒚 = 𝟑𝟓 
𝝀𝒚 = 𝟑𝟒, 𝟔 < 𝝀𝟏𝒚 
Não é necessário considerar os efeitos de 2ª 
ordem locais. 
 
V. Momento Fletor de 2ª ordem 
 Método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
𝑀2𝑑 = 𝑁𝑑
𝑙𝑒
2
10
1
𝑟
 
1
𝑟
=
0,005
h(𝜈 + 0,5)
≤
0,005
h
 
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
 
- Direção x 
𝜈 =
1787,52
(0,25 × 0,50) 20000 1,4⁄
 
𝜈 = 1,00 
 
1
𝑟
=
0,005
0,25(1 + 0,5)
≤
0,005
0,25
 
1
𝑟
= 0,0133 ≤ 0,02 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 30 
𝑀2𝑑,𝑥 = 1787,52
(5)2
10
(0,0133) 
𝑴𝟐𝒅,𝒙 = 𝟓𝟗, 𝟒𝟒 𝒌𝑵𝒎 
VI. Momento Fletor Total 
- Direção x - Direção y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção de Extremidade Topo 
𝑀1𝑑,𝐴 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
Então, 𝑀1𝑑 = 𝑀1𝑑,𝐴 
𝑀2𝑑 = 0 
Logo, 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑀2𝑑 
 𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 71,54 + 0 = 𝟕𝟏, 𝟓𝟒 𝒌𝑵𝒎 
Seção Intermediária C 
𝑀1𝑑,𝐶 ≥ {
0,6𝑀1𝑑,𝐴 + 0,4𝑀1𝑑,𝐵
0,4𝑀1𝑑,𝐴
 
𝑀1𝑑,𝐶 ≥ {
0,6(71,54) + 0,4(35,7) = 57,2 𝑘𝑁𝑚
0,4(71,54) = 28,6 𝑘𝑁𝑚
 
𝑴𝟏𝒅,𝑪 = 𝟓𝟕, 𝟐 𝒌𝑵𝒎 
𝑀1𝑑,𝐶 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
Então, 𝑀1𝑑 = 𝑀1𝑑,𝐶 
𝑀2𝑑 = 59,44 𝑘𝑁𝑚 
Logo, 
Não há necessidade de verificar qual a seção mais 
solicitada, uma vez que não há momento de 1ª 
ordem atuante e o momento de 1ª ordem mínimo 
é constante ao longo de todo o pilar. Além disso, 
não há momento de 2ª ordem, pois não foi 
necessário considerá-lo. Assim, 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑦 = 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍,𝒚 = 𝟓𝟑, 𝟔𝟑 𝒌𝑵𝒎 
 
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 31 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1𝑑,𝐶 + 𝑀2𝑑 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 57,2 + 59,44 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟔 𝒌𝑵𝒎 
 
Logo a seção mais solicitada é a seção intermediária C 
e o momento de cálculo na direção x é: 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍,𝒙 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟔 𝒌𝑵𝒎 
VII. Determinação da área de aço 
Como o momento fletor total máximo ocorre na direção de menor rigidez, ou seja, maior esbeltez, basta 
calcular a armadura nesta direção, uma vez que ela será a maior das armaduras calculadas. 
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
 
𝜈 =
1787,52
(0,25 × 0,5) 20000 1,4⁄
 
𝝂 = 𝟏, 𝟎 
𝜇 =
𝑀𝑑
𝐴𝑐 ℎ 𝑓𝑐𝑑
 
𝜇 =
116,6
(0,25 × 0,5)(0,25) 20000 1,4⁄
 
𝝁 = 𝟎, 𝟐𝟔 
𝒅′
𝒉
=
5
50
= 𝟎, 𝟏 
O enunciado pede para considerarmos a armadura longitudinal distribuída perpendicularmente à direção 
do momento. Sendo assim, utilizaremos o ábaco A-2 de Venturini. 
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Pencil
Rebecca
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25
Rebecca
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0,2
Rebecca
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De acordo com a notação do Ábaco escolhido, o valor de h é perpendicular a excentricidade (ou paralelo à direção da armadura).
Rebecca
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Rebecca
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Rebecca
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A-4
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 32 
 
Do ábaco, 𝜔 ≈ 0,85. 
𝐴𝑠 = 𝜔 𝐴𝑐 
𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 = 0,85 (25 × 50) 
20
1,4⁄
500
1,15⁄
 
𝑨𝒔 = 𝟑𝟒, 𝟗 𝒄𝒎² 
De acordo com o ábaco escolhido, a área de aço 
obtida está distribuída nas duas maiores faces. 
Assim, utilizaremos 
8 ∅ 𝟐𝟓 (𝟑𝟗, 𝟐𝟕 𝒄𝒎𝟐) 
 
VIII. Detalhamento 
- Armadura longitudinal 
10 𝑚𝑚 ≤ ∅𝑙 ≤
𝑏
8⁄ (=
250
8⁄ = 31,25 𝑚𝑚) 
- Armadura longitudinal mínima 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
≥ 0,4% 𝐴𝑐 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15
1787,52
500000
1,15⁄
≥ 0,4%(0,25 × 0,50) 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 6,17 𝑐𝑚
2 ≥ 5 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 → 𝑜𝑘! 
- Armadura longitudinal máxima 
𝜌𝑠 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
≤ {
8%
4% 𝑛𝑎 𝑒𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎
 
𝜌𝑠 =
(8 × 4,909)
25 × 50
 
𝜌𝑠 = 3,14 % → 𝑜𝑘! 
- Armadura transversal 
∅𝑡 ≥ {
5 𝑚𝑚
∅𝑙
4⁄ =
25
4⁄ = 6,25 𝑚𝑚
 
∅𝑡 = 6,3 𝑚𝑚 
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Placed Image
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1,02
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1,02
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41,9
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10
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49,09
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10
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3,93%
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 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 33 
𝑠𝑡 ≤ {
20 𝑐𝑚
𝑏 = 25 𝑐𝑚
12 ∅𝑙 = 12(2,5) = 30 𝑐𝑚
 
𝑠𝑡 = 20 𝑐𝑚 
∅𝟔, 𝟑 𝒄 𝟐𝟎⁄ 
- Espaçamento da armadura longitudinal 
ℎ𝑣 = 2. 𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 4∅𝑙 + 3𝑎𝑣 
50 = 2(2) + 2(0,63) + 4(2,5) + 3𝑎𝑣 
𝒂𝒗 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟖 𝒄𝒎 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟖 𝒎𝒎 
ℎℎ = 2. 𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 2∅𝑙 + 𝑎ℎ 
25 = 2(2) + 2(0,63) + 2(2,5) + 𝑎ℎ 
𝒂𝒉 = 𝟏𝟒, 𝟕𝟒 𝒄𝒎 = 𝟏𝟒𝟕, 𝟒 𝒎𝒎 
 
𝑎 ≥ {
20 𝑚𝑚
∅𝑙 = 25 𝑚𝑚
1,2 𝑑𝑚á𝑥 = 1,2(19) = 22,8 𝑚𝑚
 
𝑎 > 25 𝑚𝑚 
𝑎𝑣 = 115,8 𝑚𝑚 > 𝑎 → 𝑜𝑘! 
𝑎ℎ = 147,4 𝑚𝑚 > 𝑎 → 𝑜𝑘! 
𝑎 ≤ {2𝑏 = 2
(25) = 50 𝑐𝑚
40 𝑐𝑚
 
𝑎 ≤ 40 𝑐𝑚 
𝑎𝑣 = 11,58 𝑐𝑚 < 𝑎 → 𝑜𝑘! 
𝑎ℎ = 14,74 𝑐𝑚 < 𝑎 → 𝑜𝑘! 
 
- Verificação da necessidade (ou não) de gancho 
20∅𝑡 = 12,6 𝑐𝑚 
Há necessidade de gancho! 
 
 
9. Dimensione e esboce o detalhamento da seção transversal do pilar abaixo. Utilize o ábaco que 
considera 8 barras distribuídas ao longo do perímetro da seção transversal. 
 
Rebecca
Rectangle
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Rebecca
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Rebecca
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5
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4
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5
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8,06
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80,6
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80,6
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8,06
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Rebecca
Pencil
Rebecca
Pencil
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 34 
Dados: 
Concreto C20 
Aço CA-50 
𝑙𝑒𝑥 = 𝑙𝑒𝑦 = 380 𝑐𝑚 
𝑑′𝑥 = 𝑑′𝑦 = 4 𝑐𝑚 
Cobrimento = 2,5 cm 
Brita 1 
 
 
Solução: 
I. Esforços solicitantes 
 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑁𝑘 
 
𝑁𝑑 = 1(1,4)(1600) 
𝑵𝒅 = 𝟐𝟐𝟒𝟎 𝒌𝑵 
𝑀𝑑,𝑥,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑀𝑘,𝑥,𝑡𝑜𝑝𝑜 
𝑀𝑑,𝑥,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 1(1,4)(−35,8) 
𝑴𝒅,𝒙,𝒕𝒐𝒑𝒐 = −𝟓𝟎, 𝟏𝟐 𝒌𝑵𝒎 
𝑀𝑑,𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑀𝑘,𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 
𝑀𝑑,𝑥,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1(1,4)(130,7) 
𝑴𝒅,𝒙,𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟏𝟖𝟐, 𝟗𝟖 𝒌𝑵𝒎 
𝑴𝒅,𝒙,𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝑴𝟏𝒅,𝑩,𝒙 
𝑴𝒅,𝒙,𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝑴𝟏𝒅,𝑨,𝒙 
𝑀𝑑,𝑦,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑀𝑘,𝑦,𝑡𝑜𝑝𝑜 
𝑀𝑑,𝑦,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 1(1,4)(−20) 
𝑴𝒅,𝒚,𝒕𝒐𝒑𝒐 = −𝟐𝟖 𝒌𝑵𝒎 
𝑀𝑑,𝑦,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑀𝑘,𝑦,𝑏𝑎𝑠𝑒 
𝑀𝑑,𝑦,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1(1,4)(45,1) 
𝑴𝒅,𝒚,𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝟔𝟑, 𝟏𝟒 𝒌𝑵𝒎 
𝑴𝒅,𝒚,𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝑴𝟏𝒅,𝑩,𝒚 
𝑴𝒅,𝒚,𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝑴𝟏𝒅,𝑨,𝒚 
II. Índice de Esbeltez 
𝜆 =
𝑙𝑒
𝑖
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 35 
𝑖 = √
𝐼
𝐴
 
Como a seção transversal é quadrada, 𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 
𝐼 =
45(45)³
12
= 341.718,75 𝑐𝑚4 
𝑖 = 12,99 𝑐𝑚 
Como os comprimentos equivalentes dos pilares 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙𝑒𝑦 
𝜆𝑥 = 𝜆𝑦 =
380
12,99
 
𝝀𝒙 = 𝝀𝒚 = 𝟐𝟗, 𝟑 
Pilar curto nas duas direções! 
III. Momento Fletor Mínimo de 1ª ordem 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 𝑁𝑑 (0,015 + 0,03ℎ) 
Como ℎ𝑥 = ℎ𝑦, então 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 = 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑦 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 2240(0,015 + 0,03(0,45)) 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏 = 𝟔𝟑, 𝟖𝟒 𝒌𝑵𝒎 
IV. Esbeltez limite 
𝜆1 =
25 + 12,5
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 
35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 
𝑒1 =
𝑀1𝑑
𝑁𝑑
 
- Direção x: 
𝑒1𝑥 =
𝑀1𝑑𝑥
𝑁𝑑
 
𝑒1𝑥 =
182,98
2240
 
𝒆𝟏𝒙 = 𝟖, 𝟏𝟕 𝒄𝒎 
Como M1d,A > M1d,mín 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 
- Direção x: 
𝑒1𝑦 =
𝑀1𝑑𝑦
𝑁𝑑
 
𝑒1𝑦 =
63,14
2240
 
𝒆𝟏𝒙 = 𝟐, 𝟖 𝒄𝒎 
Como M1d,A < M1d,mín 
𝛼𝑏 = 1 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 36 
0,40 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 
(−50,12)
182,98
 
𝛼𝑏= 0,49 → 𝑜𝑘! 
𝜆1𝑥 =
25 + 12,5
8,17
45
0,49
 
𝜆1𝑥 = 55,65 > 35 
Então, 𝝀𝟏𝒙 = 𝟓𝟓, 𝟔𝟓 
𝝀𝒙 = 𝟐𝟗, 𝟑 < 𝝀𝟏𝒙 
Não é necessário considerar os efeitos de 2ª ordem 
locais. 
𝜆1𝑦 =
25 + 12,5
2,8
45
1
 
𝜆1𝑦 = 25,8 < 35 
Então, 𝝀𝟏𝒚 = 𝟑𝟓 
𝝀𝒚 = 𝟐𝟗, 𝟑 < 𝝀𝟏𝒚 
Não é necessário considerar os efeitos de 2ª 
ordem locais. 
 
V. Momento Fletor Total 
- Direção x - Direção y 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção de Extremidade Topo 
𝑀1𝑑,𝐴 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
Então, 𝑀1𝑑 = 𝑀1𝑑,𝐴 
𝑀2𝑑 = 0 
Logo, 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑀2𝑑 
 𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 182,98 + 0 = 𝟏𝟖𝟐, 𝟗𝟖 𝒌𝑵𝒎 
Seção Intermediária C 
Seção de Extremidade Base 
𝑀1𝑑,𝐴 < 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
Então, 𝑀1𝑑 = 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
𝑀2𝑑 = 0 
Logo, 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 + 𝑀2𝑑 
 𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 63,84 + 0 = 𝟔𝟑, 𝟖𝟒 𝒌𝑵𝒎 
Seção Intermediária C 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 37 
𝑀1𝑑,𝐶 ≥ {
0,6𝑀1𝑑,𝐴 + 0,4𝑀1𝑑,𝐵
0,4𝑀1𝑑,𝐴
 
𝑀1𝑑,𝐶 ≥ {
0,6(182,98) + 0,4(−50,12) = 89,74 𝑘𝑁𝑚
0,4(182,98) = 73,19 𝑘𝑁𝑚
 
𝑴𝟏𝒅,𝑪 = 𝟖𝟗, 𝟕𝟒 𝒌𝑵𝒎 
𝑀1𝑑,𝐶 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
Então, 𝑀1𝑑 = 𝑀1𝑑,𝐶 
𝑀2𝑑 = 0 
Logo, 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1𝑑,𝐶 + 𝑀2𝑑 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 89,74 + 0 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟖𝟗, 𝟕𝟒 𝒌𝑵𝒎 
Logo a seção mais solicitada é a seção de extremidade 
topo e o momento de cálculo na direção x é: 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍,𝒙 = 𝟏𝟖𝟐, 𝟗𝟖 𝒌𝑵𝒎 
𝑀1𝑑,𝐶 ≥ {
0,6𝑀1𝑑,𝐴 + 0,4𝑀1𝑑,𝐵
0,4𝑀1𝑑,𝐴
 
𝑀1𝑑,𝐶 ≥ {
0,6(63,14) + 0,4(−28) = 26,68 𝑘𝑁𝑚
0,4(63,14) = 25,26 𝑘𝑁𝑚
 
𝑴𝟏𝒅,𝑪 = 𝟐𝟔, 𝟐𝟖 𝒌𝑵𝒎 
𝑀1𝑑,𝐶 < 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 
Então, 𝑀1𝑑 = 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 
𝑀2𝑑 = 0 
Logo, 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 + 𝑀2𝑑 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 63,84 + 0 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟔𝟑, 𝟖𝟒 𝒌𝑵𝒎 
Logo: 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍,𝒚 = 𝟔𝟑, 𝟖𝟒 𝒌𝑵𝒎 
VI. Determinação da área de aço 
Flexão Composta Oblíqua (momentos de 1ª ordem em ambas as direções) → Ábacos de Pinheiro 
𝒅′𝒙
𝒉
=
𝒅′𝒚
𝒉
=
4
45
= 𝟎, 𝟎𝟗 
Vamos considerar 
𝒅′
𝒉
= 𝟎, 𝟏. 
O enunciado pede para considerarmos a armadura longitudinal como sendo 8 barras distribuídas ao longo 
do perímetro da seção transversa, ou seja, o Arranjo 6 de Pinheiro. Logo, utilizaremos o Ábaco 43. 
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
 
𝜈 =
2240
(0,45 × 0,45) 20000 1,4⁄
 
𝝂 = 𝟎, 𝟕𝟕 
Vamos utilizar 𝜈 = 0,8. (Para um resultado mais exato, poderíamos fazer uma interpolação entre ν = 0,6 e 
ν = 0,8). 
𝜇𝑥 =
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡,𝑥
𝐴𝑐 ℎ𝑥 𝑓𝑐𝑑
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 38 
𝜇𝑥 =
182,98
(0,45 × 0,45)(0,45) 20000 1,4⁄
 
𝝁𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟒 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡,𝑦
𝐴𝑐 ℎ𝑦 𝑓𝑐𝑑
 
𝜇𝑥 =
63,84
(0,45 × 0,45)(0,45) 20000 1,4⁄
 
𝝁𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟓 
 
Do ábaco, 𝜔 ≈ 0,42. 
𝐴𝑠 = 𝜔 𝐴𝑐 
𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 = 0,42 (45 × 45) 
20
1,4⁄
500
1,15⁄
 
𝑨𝒔 = 𝟐𝟕, 𝟗𝟓 𝒄𝒎² 
De acordo com o ábaco escolhido, a área de aço 
deve ser distribuída em 8 barras. Assim, cada barra 
deve ter 
𝑨𝒔,𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 =
27,95 
8
= 𝟑, 𝟒𝟔 𝒄𝒎² 
Logo, as barras devem ser de ∅ = 25 𝑚𝑚. 
VII. Detalhamento 
- Armadura longitudinal 
10 𝑚𝑚 ≤ ∅𝑙 ≤
𝑏
8⁄ (=
45
8⁄ = 56,3 𝑚𝑚) 
- Armadura longitudinal mínima 
 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
≥ 0,4% 𝐴𝑐 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15
2240
500000
1,15⁄
≥ 0,4%(0,45 × 0,45) 
𝑨𝒔,𝒎í𝒏 = 7,73 𝑐𝑚
2 ≥ 𝟖, 𝟏 𝒄𝒎² 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 → 𝑜𝑘! 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 39 
- Armadura longitudinal máxima 
𝜌𝑠 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
≤ {
8%
4% 𝑛𝑎 𝑒𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎
 
𝜌𝑠 =
(8 × 4,909)
45 × 45
 
𝜌𝑠 = 1,94 % → 𝑜𝑘! 
- Armadura transversal 
∅𝑡 ≥ {
5 𝑚𝑚
∅𝑙
4⁄ =
25
4⁄ = 6,25 𝑚𝑚
 
∅𝑡 = 6,3 𝑚𝑚 
𝑠𝑡 ≤ {
20 𝑐𝑚
𝑏 = 45 𝑐𝑚
12 ∅𝑙 = 12(2,5) = 30 𝑐𝑚
 
𝑠𝑡 = 20 𝑐𝑚 
∅𝟔, 𝟑 𝒄 𝟐𝟎⁄ 
- Espaçamento da armadura longitudinal 
𝑎ℎ = 𝑎𝑣 
ℎ = 2. 𝑐𝑜𝑏 + 2∅𝑡 + 3∅𝑙 + 2𝑎 
45 = 2(2) + 2(0,63) + 3(2,5) + 2𝑎 
𝒂 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟐 𝒄𝒎 = 𝟏𝟓𝟔, 𝟐 𝒎𝒎 
𝑎 ≥ {
20 𝑚𝑚
∅𝑙 = 25 𝑚𝑚
1,2 𝑑𝑚á𝑥 = 1,2(19) = 22,8 𝑚𝑚
 
𝑎 > 25 𝑚𝑚 → 𝑜𝑘! 
𝑎 ≤ {2𝑏 = 2
(45) = 90 𝑐𝑚
40 𝑐𝑚
 
𝑎 ≤ 40 𝑐𝑚 → 𝑜𝑘! 
- Verificação da necessidade (ou não) de gancho 
20∅𝑡 = 12,6 𝑐𝑚 
Há necessidade de gancho! 
 
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 40 
10. Determine a força de arrasto do vento a ser considerada no dimensionamento do galpão destinado 
a depósito abaixo. A estrutura está localizada em Passo Fundo, RS (zona de baixa turbulência), em 
um terreno plano com poucos obstáculos. 
 
 
Solução: 
I. Velocidade básica do vento → Isopleta 
𝑉𝑜 = 45 𝑚/𝑠 
 
II. Coeficientes 
- Fator topográfico S1 
Terreno plano ou pouco acidentado: 𝑆1 = 0 
 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 41 
- Fator S2 
 
Terreno plano com poucos obstáculos → Categoria III 
 
Classe C 
{
𝐹𝑟 = 0,95
𝑏 = 0,93
𝑝 = 0,115
 
𝑆2 = 𝑏 . 𝐹𝑟 . (
𝑧
10
)
𝑝
 
𝑆2 = 0,93 . (0,95) . (
6
10
)
0,115
 
𝑆2 = 0,833 
- Fator estatístico S3 
 
Depósito → Grupo 3 
𝑆3 = 0,95 
III. Velocidade característica do vento 
𝑉𝑘 = 𝑉0 . 𝑆1 . 𝑆2 . 𝑆3 
𝑉𝑘 = 45 (1)(0,833)(0,95) 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 42 
𝑉𝑘 = 35,6 𝑚/𝑠 
IV. Pressão dinâmica do vento (q) 
𝑞 = 0,613 𝑉𝑘
2 
𝑞 = 0,613 (35,6)² 
𝑞 = 777,54 𝑁/𝑚² 
V. Força de arrasto do vento 
𝐹𝑎 = 𝐶𝑎 . 𝑞 . 𝐴𝑒 
 
- Direção 1 
 𝑙1
𝑙2
=
60
20
= 3 
ℎ
𝑙1
=
6
60
= 0,1 
Vamos adotar o menor valor de ℎ 𝑙1
⁄ (= 0,5). 
Assim, do gráfico 
𝐶𝑎 ≅ 1,25 
𝐹𝑎 = 1,25 (777,54)(60 × 6) 
𝐹𝑎 = 350 𝑘𝑁 
- Direção 2 
 
 | LISTA DE EXERCÍCIOS 1 | Prof. Rebecca M. C. Silva | 43 
 𝑙1
𝑙2
=
20
60
= 0,33 
ℎ
𝑙1
=
6
20
= 0,3 
Vamos adotar o menor valor de ℎ 𝑙1
⁄ (= 0,5). 
Assim, do gráfico 
𝐶𝑎 ≅ 0,7 
𝐹𝑎 = 0,7 (777,54)(20 × 6) 
𝐹𝑎 = 65,3 𝑘𝑁 
A direção 1 é a que gera a situação mais desfavorável devido ao carregamento de vento.