Atividade Contextualizada Calculo Numérico

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Nome do aluno: Franco Rodrigues de Carvalho 
 Matrícula: 01404043 
Curso: Bacharelado em Engenharia Elétrica 
 Tipo de Avaliação: Contextualizada 
Disciplina: Cálculo Numérico 
 
RESOLUÇÃO DE QUESTÃO 
 
O objetivo desta atividade é encontrar um polinômio quadrático que será 
interpolado por três pontos correspondentes aos horários das 16h às 18h, com 
referência ao fluxo de tráfego para esses horários específicos. Para resolver esse 
problema, será utilizado o método do matemático e francês italiano Joseph Louis 
Lagrange, conhecido como método de Lagrange. Polinômio Quadrático Para análise, 
temos uma situação em que um engenheiro está encarregado de um projeto de 
duplicação de avenida. De acordo com a tabela abaixo, refere-se aos dados de 
medição coletados durante o dia. 
 
Para obter dados de tráfego de veículos, independentemente da hora do dia, 
os engenheiros escolheram um polinômio de interpolação. Para facilitar a análise, ele 
selecionou três dos 24 pontos de medição, entre 16h e 18h. Como método de 
encontrar o polinômio de interpolação, será utilizado o método Lagrangiano. De 
acordo com o horário específico das 16h00, 17h00 e 18h00, temos os seguintes 
 
valores correspondentes ao número de carros que circulam na rua: 14, 19, e 22. 
Extraindo valores da tabela acima: X1=16, X2=17, X3=18 , Y1=14, Y2=19, Y3=22. 
 
Daremos início com os respectivos pares ordenados: P1(x1,y1); P2(x2,y2) e 
P3(x3,y3), potanto: P1(16,14); P2(17,19) e P3(18,22). 
Usando o método de Lagrange para encontrar o polinômio interpolador para os 
seguintes pontos {(16,14), (17,19), (18,22)}. 
Lembrando que o conjunto de dados tem três pontos, logo o polinômio interpolador 
terá no máximo grau 2, portanto o polinômio terá índice 2, de forma que, P2(x) = 
L1Y1(x) + L2Y2(x) + L3Y3(x), sendo (x1,y1) = (16,14), (x2,y2) = (17,19) e (x3,y3) = 
(18,22), agora calcularemos os polinômios elementares L1(x), L2(x) e L3(x). Temos: 
 
 L1 =
(X − X₂)(X − X₃)
(X₁ − X₂)(X₁ − X₃)
 
L1 =
X − 17)(X − 18)
(16 − 17)(16 − 18)
 
L1 =
x2 − 35x + 306
(16 − 17)(16 − 18) 
 
𝐋𝟏 =
𝐱𝟐 − 𝟑𝟓𝐱 + 𝟑𝟎𝟔 
𝟐 
 
L2 =
(X − X₁)(X − X₃) 
(X₂ − X₁)(X₂ − X₃) 
 
L2 =
(X − 16)(X − 18) 
(17 − 16)(17 − 18) 
 
L2 =
x2 − 34x + 288 
(17 − 16)(17 − 18)
 
𝐋𝟐 =
𝐱𝟐 − 𝟑𝟒𝐱 + 𝟐𝟖𝟖 
−𝟏
 
L3 =
(X − X₁)(X − X₂) 
(X₃ − X₁)(X₃ − X₂)
 
L3 =
(X − 16)(X − 17) 
(18 − 16)(18 − 17)
 
 
L3 =
x2 − 33x + 272 
(18 − 16)(18 − 17)
 
𝐋𝟑 =
 𝐱𝟐 − 𝟑𝟑𝐱 + 𝟐𝟕𝟐 
𝟐
 
 
Substituiremos os valores de L1, L2 e L3 em Y(x1), Y(x2) e Y(x3), 
respectivamente na fórmula, P2(x) = Y(x1).L1 + Y(x2).L2 + Y(x3).L3 , para encontrar 
o polinômio interpolador Lagrange. 
 
P2 =
 14(x2 − 35x + 306)
2
 
P2 =
 19(x2 − 34x + 288)
−1
 
P2 =
 22(x2 − 33x + 272) 
2
 
P2(x) = 7(x2 − 35𝑥 + 306) − 19(x2 − 34𝑥 + 288) + 11(x2 − 33𝑥 + 272) 
P2(x) = 7x2 − 245𝑥 + 2142 – x2 + 646𝑥 − 5472 + 11x2 − 363𝑥 + 2992) 
P2(x) = 7x2 + 11x2 − 19x2 + 646𝑥 − 245𝑥 − 363𝑥 − 5472 + 2142 + 2992 
P2(x) = -(𝐱)𝟐 + 𝟑𝟖𝒙 − 𝟑𝟑𝟖 
 
Encontrando o polinômio interpolador, P2(x) = −(𝐱)𝟐 + 𝟑𝟖𝒙 − 𝟑𝟑𝟖, faremos 
as verificações dos respectivos pontos 16,17 e 18, substituindo-os onde tem X, com 
isso, obteremos os valores de Y que serão respectivamente 14,19 e 22, referente ao 
fluxo de carros nos horários determinado. 
 
1- Verificando o ponto referente às 16hs 
P2(x) = −(𝐱)𝟐+ 38𝑥 − 338 
P2(x) = −(𝐱)𝟐 + (38 ∗ 16) − 338 
P2(x) = −256 + 608 − 338 = 𝟏𝟒 
2- Verificando o ponto referente às 17hs 
P2(x) = −(𝐱)𝟐 + 38𝑥 − 338 
 
P2(x) = −(𝟏𝟕)𝟐 + (38 ∗ 17) − 338 
P2(x) = −289 + 646 − 338 = 𝟏𝟗 
3- Verificando o ponto referente às 18hs 
P2(x) = −(𝐱)𝟐 + 38𝑥 − 338 
P2(x) = −(𝟏𝟖)𝟐 + (38 ∗ 18) − 338 
P2(x) −324 + 684 − 338 = 𝟐𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
DIAS, Laila Talarico et al. Estimação de parâmetros genéticos para peso do 
nascimento aos 550 dias de idade para animais da raça Tabapuã utilizando-se 
modelos de regressão aleatória. Revista Brasileira de Zootecnia, v. 35, n. 5, p. 1915-
1925, 2006. 
 
NASCIMENTO, Arcelino Bruno Lobato do. Sobre renormalização e rigidez 
quaseconforme de polinômios quadráticos. Tese de Doutorado. Universidade de São 
Paulo. 
 
GIVISIEZ, Gustavo Henrique Naves. Introdução a métodos de estimativas e 
interpolações populacionais. Livros, p. 45-70, 2015. 
 
AMARO, Rafaela Rodrigues Oliveira. Cálculo Numérico. Ser Educacional. Recife, PE, 
2019