Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Calculo Numérico – AOL_04 1) Leia o excerto a seguir: “A grande maioria das equações diferenciais encontradas na prática não podem ser solucionadas analiticamente, e o recurso de que dispomos é o emprego de métodos numéricos. Dentre eles, há o Método de Euler e o Método de Runge Kutta.” Fonte: FRANCO, N. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. p. 383. (Adaptado). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as equações diferenciais ordinárias, pode-se afirmar que, considerando o método de Euler para viabilizar a solução da equação diferencial descrita por = 1,2y + 7𝑒–0,3x de x = 0 até x = 1,0, usando h = 0,5 e f(0) = 3,0, as coordenadas x e y do terceiro ponto são: ( ) (2,0 ;4,052). ( ) (0,0 ;3,000) ( x ) (1,000 ;4,893) ( ) (1,5 ;4,550). ( ) (0,5 ;4,700). 2) Leia o excerto a seguir: “Embora um polinômio interpolador seja único, ele pode tomar formas diferentes. A forma de Lagrange é usada com mais frequência para interpolar tabelas quando n é pequeno e para deduzir fórmulas de aproximação para derivadas e integrais.” Fonte: BURDEN, R.; FAIRES, J. Análise numérica. São Paulo: Cengage Learning, 2008. p. 159. Agora, observe a tabela a seguir: 𝑥 𝑦 0,0 0,000 0,2 2,008 0,4 4,064 Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o método de Lagrange, que permite interpolar pontos, analise as afirmativas a seguir. I) P1(x) = x² – 0,5x + 0,06 II) P2(x) = x² – 0,3x III) P3(x) = x² + 0,4x IV) P1(x1) = P2(x2) = P3(x3) = 0,06 Está correto apenas o que se afirma em: ( ) I, III e IV ( x ) I e II ( ) II, III e IV ( ) I e III ( ) II e IV 3) O Método de Runge-Kutta de quarta ordem é o mais utilizado para solucionar EDOs. Esse método consiste, basicamente, na realização de quatro estágios para resolver um problema de valor inicial que apresente, explicitamente, uma amplitude, um ponto e um intervalo para limitar x. Considerando essas informações o conteúdo estudado sobre as equações diferenciais ordinárias e utilizando o método de Runge-Kutta para solucionar uma equação diferencial dada por = y – x² + 1, y(1,0) = 0,5, x∈[0; 1,0], e h = 0,5, pode-se afirmar que yi – 1 é igual a: ( ) – 0,0449 ( ) 0,4166 ( ) 0,5000 ( x ) 0,1269 ( ) 0,3138 4) Leia o excerto a seguir: “Muitas vezes são encontrados problemas de interpolação cuja tabela de valores conhecidos, tem, de certa forma, características especiais, ou seja, os valores de 𝑥𝑖 (𝑖=0,1,2,… ,𝑛) são igualmente espaçados. Assim, 𝑥𝑖+1−𝑥𝑖=ℎ.” Fonte: BARROSO, L. et al. Cálculo Numérico (com aplicações). 2 ed. São Paulo: Harbra, 1987. p. 190. Agora, observe a tabela a seguir, que trata sobre as diferenças finitas relativas à uma determinada função: Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre interpolação polinomial, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I) ( V ) ∆¹y1 = ∆¹y3 II) ( V ) ∆²y2 = –0,05 III) ( F ) ∆³y1 = ∆³y1 – ∆³y2 IV) ( F ) ∆¹y3 = 12,05 – 13,14 Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: ( ) F, V, F, V ( ) V, F, F, F ( ) F, F, V, V ( x ) V, V, F, F ( ) V, F, V, F 5) Leia o excerto a seguir: “Os polinômios interpoladores de Lagrange formam uma classe específica de polinômios que podem ser usados para fazer o ajuste de um determinado conjunto de dados simplesmente a partir dos valores dos pontos. Os polinômios podem ser escritos diretamente, e os coeficientes são determinados sem a necessidade de nenhum cálculo preliminar.” Fonte: GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenharia e cientistas. Porto Alegre: Bookman, 2008. p. 212. Agora, observe a tabela a seguir: Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre interpolação polinomial, pode-se afirmar que, ao se utilizar os dados dispostos na tabela segundo o Método de Lagrange, obtém-se: I) P2(x) = x² – x + II) P1(x) = x² + x III) P3(x) = x² – IV) P2(x) = x² – x + V) P1(x) = x² – ( x ) I ( ) III ( ) II ( ) V ( ) IV 6) Leia o excerto a seguir: “Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definidas a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição a função f(x)”. Fonte: RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais. 2. Ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. p. 230. Agora, observe a função descrita pelos pontos dispostos a seguir: Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre interpolação polinomial, pode-se afirmar que o polinômio interpolador da função apresentada é: ( ) 𝑃3(𝑥) = 𝑥2 − 2. ( ) 𝑃3(𝑥) = 2𝑥 + 2. ( x ) 𝑃3(𝑥) = 2𝑥 ( ) 𝑃3(𝑥) = 2𝑥 − 2 ( ) 𝑃3(𝑥) = − 𝑥2 + 2. 7) Existe um algoritmo próprio para o cálculo da derivada de uma expressão algébrica. No entanto, ao desprezar ou desconhecer esta informação, é possível estimar o valor de uma derivada em um ponto 𝑥0 quando encontra-se a expressão analítica que relaciona estes pontos. Agora, observe a tabela a seguir: Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre interpolação polinomial, pode-se afirmar que, ao interpolar os pontos apresentados pelo Método de Lagrange para 𝑥 = 0,41 e utilizando quatro casas decimais, obtém-se: ( x ) 𝑃2(0,41) = 1,5068. ( ) 𝑃2(0,41) = 1,4998 ( ) 𝑃2(0,41) = 1,5099. ( ) 𝑃2(0,41) = 1,4908. ( ) 𝑃2(0,41) = 1,5009. 8) A primeira regra de Simpson se baseia no princípio de aproximação de alguns pontos por um polinômio quadrático, ou seja, um polinômio do segundo grau; tal procedimento se caracteriza por convergir para um resultado aproximado com uma rápida velocidade. Agora, observe a tabela a seguir: Considerando essas informações, o conteúdo estudado sobre integração numérica e utilizando a primeira regra de Simpson, além de admitir que os dados apresentados se referem a uma função na qual se objetiva determinar sua integral, pode-se afirmar que, utilizando três casas decimais, a melhor aproximação deste valor é: ( ) 2,001 ( ) 1,321 ( ) 2,3200 ( x ) 1,912 ( ) 0,7733 9) O Método de Euler é considerado um método direto, ou seja, iterativo. Além disso, também se caracteriza por ser uma metodologia de passo simples, isto é, para se obter o valor da solução no ponto subsequente basta conhecer as informações referentes ao ponto anterior. A cada etapa da resolução de um PVI utiliza-se a mesma relação. ( x ) (0,7;−0,625). ( ) (0,5;1,2). ( ) (0,7;0,023) ( ) (0,6;0,75). ( ) (0,6;0,87) 10) Leia o excerto a seguir: “Problemas envolvendo a taxa de variação de uma variável em relação a outra são modelados através de uma equação diferencial ou de uma equação de diferenças. Existe um número muito restrito de equações diferenciais cuja solução pode ser expressa sob uma forma analítica simples.” Fonte: HUMES, A. et al. Noções de cálculo numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1984. p. 182. (Adaptado). ( ) 20,7907 ( x ) 16,7482 ( ) 22,3927 ( ) 18,5644 ( ) 17,6073 Respostas 1-C / 2-B / 3-D / 4-D / 5-A / 6-C / 7-A / 8-D / 9-A / 10-B
Compartilhar