8 - Números índices

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RESUMO DA AULA 
NÚMEROS ÍNDICES 
 
 
NÚMEROS RELATIVOS 
Item Definição Símbolos e Fórmulas 
Relativo de preço 
Denominando de 𝑝0 e 𝑝𝑡 os preços na época 
base e atual, respectivamente. 𝒑𝟎,𝒕 =
𝒑𝒕
𝒑𝟎
 
 
Relativo de 
quantidade 
Correspondem aos valores extremos 
Denominando de 𝑞0 e 𝑞𝑡 as quantidades na 
época base e atual, respectivamente. 
𝒒𝟎,𝒕 =
𝒒𝒕
𝒒𝟎
 
 
Relativo de valor 
Denominando de 𝑣0 e 𝑣𝑡 os valores na época 
base e atual, respectivamente. 𝒗𝟎,𝒕 =
𝒗𝒕
𝒗𝟎
 
 
 
Propriedades 
 
 
• Caso a data-base coincida com a data atual, o índice será sempre 1 (ou 100, se 
estivermos trabalhando com base 100): 𝑰𝒕,𝒕 = 𝟏
1. Identidade
• Se invertermos os períodos de comparação, os índices serão obtidos um como o 
inverso do outro: 𝑰𝟎,𝒕 =
𝟏
𝑰𝒕,𝟎
⟺ 𝑰𝟎,𝒕 × 𝑰𝒕,𝟎 = 𝟏
2. Reversão (ou inversão) no tempo
é uma medida que sintetiza em 
uma proporção estatística, 
expressa em forma de 
porcentagem, a variação média 
entre duas situações. 
- valor unitário (preço); 
- unidades físicas (quantidade); 
- unidades monetárias (valor 
total). 
Os números índices auxiliam na 
mensuração de variações no 
tempo considerando a existência 
de três componentes distintos: 
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Elos de relativos e relativos em cadeia 
 
 
Bases em números-índice 
A base de comparação é o período ao qual todos os relativos de uma série são comparados. 
Base fixa em 0: o período de comparação da série anterior é constante e igual a zero para todas as variações. 
Base móvel: o período de comparação varia para cada variação. 
 
• Caso o intervalo de análise possa ser decomposto em vários subintervalos, o índice 
poderá ser obtido como o produto dos índices nos subintervalos:
• 𝑰𝟎,𝟏 × 𝑰𝟏,𝟐 × 𝑰𝟐,𝟑 × ⋯ × 𝑰𝒕−𝟐,𝒕−𝟏 × 𝑰𝒕−𝟏,𝒕 = 𝑰𝟎,𝒕 ⟺ 𝑰𝟎,𝒕−𝟏 × 𝑰𝒕−𝟏,𝒕 = 𝑰𝟎,𝒕
• Se o índice satisfizer também o princípio de reversibilidade, temos que:
• 𝑰𝟎,𝟏 × 𝑰𝟏,𝟐 × 𝑰𝟐,𝟑 × ⋯ × 𝑰𝒕−𝟏,𝒕 × 𝑰𝒕,𝟎 = 𝑰𝟎,𝒕 × 𝑰𝒕,𝟎 ⟺ 𝑰𝟎,𝟏 × 𝑰𝟏,𝟐 × 𝑰𝟐,𝟑 × ⋯ × 𝑰𝒕−𝟏,𝒕 ×
𝑰𝒕,𝟎 = 𝟏
3. Circular
• Sendo I_V, I_P e I_Q os índices de valor, preço e quantidade respectivamente, a 
propriedade da decomposição das causas exige que: 𝑰𝑽 = 𝑰𝑷 × 𝑰𝑸
4. Decomposição das causas (ou reversão dos fatores)
• Se ocorrerem mudanças de unidade, o valor do índice não será alterado.
5. Homogeneidade
• Se as variáveis envolvidas no índice sofrerem a mesma variação, então o índice 
resultante terá a mesma variação.
6. Proporcionalidade
𝒑𝒕
𝒑𝒕−𝟏
 
𝒒𝒕
𝒒𝒕−𝟏
 
𝒗𝒕
𝒗𝒕−𝟏
 
números-relativos que 
estabelecem comparações 
entre épocas adjacentes: 
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ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES 
Notação: 
• 𝑝𝑡
𝑖 , 𝑞𝑡
𝑖 , 𝑣𝑡
𝑖: preço, quantidade e valor do produto 𝑖 no tempo 𝑡; 
• 𝑝0,𝑡
𝑖 , 𝑞0,𝑡
𝑖 , 𝑣0,𝑡
𝑖 : relativos de preço, quantidade e valor do produto 𝑖 no tempo 𝑡, tomando-se como 
base o tempo 𝑡 = 0. 
 
Índice Agregativo Simples (ou Índice de Bradstreet) 
O índice agregativo simples consiste em um relativo das médias aritméticas simples. 
 
𝑷𝑨𝟎,𝒕 =
𝒑𝒕
𝟏 + 𝒑𝒕
𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒕
𝒏
𝒑𝟎
𝟏 + 𝒑𝟎
𝟐 + ⋯ + 𝒑𝟎
𝒏 =
∑ 𝒑𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒑𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
=
∑ 𝒑𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
∑ 𝒑𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
=
�̅�𝒕
�̅�𝟎
 
 
𝑸𝑨𝟎,𝒕 =
𝒒𝒕
𝟏 + 𝒒𝒕
𝟐 + ⋯ + 𝒒𝒕
𝒏
𝒒𝟎
𝟏 + 𝒒𝟎
𝟐 + ⋯ + 𝒒𝟎
𝒏 =
∑ 𝒒𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒒𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
=
∑ 𝒒𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
∑ 𝒒𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
=
�̅�𝒕
�̅�𝟎
 
 
𝑽𝑨𝟎,𝒕 =
𝒗𝒕
𝟏 + 𝒗𝒕
𝟐 + ⋯ + 𝒗𝒕
𝒏
𝒗𝟎
𝟏 + 𝒗𝟎
𝟐 + ⋯ + 𝒗𝟎
𝒏 =
∑ 𝒗𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒗𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
=
∑ 𝒗𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
∑ 𝒗𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
=
�̅�𝒕
�̅�𝟎
 
 
Índice de Valor 
O índice de valor costuma ser utilizado quando são comparados valores em diferentes épocas: 
𝑽𝟎,𝒕 =
∑ 𝒑𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏 × 𝒒𝒕
𝒊
∑ 𝒑𝟎
𝒊 × 𝒒𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
 
Índice da Média Aritmética Simples (ou Índice de Sauerbeck) 
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No Índice da média aritmética simples os índices de preço e quantidade são baseados na média aritmética 
simples dos relativos, �̅�𝟎,𝒕 e �̅�𝟎,𝒕 
�̅�𝟎,𝒕 =
𝒑𝟎,𝒕
𝟏 + 𝒑𝟎,𝒕
𝟐 + ⋯ + 𝒑𝟎,𝒕
𝒏
𝒏
=
∑ 𝒑𝟎,𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
 
 
�̅�𝟎,𝒕 =
𝒒𝟎,𝒕
𝟏 + 𝒒𝟎,𝒕
𝟐 + ⋯ + 𝒒𝟎,𝒕
𝒏
𝒏
=
∑ 𝒒𝟎,𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
 
 
Índice da Média Harmônica Simples 
A média harmônica simples é o valor resultante da divisão entre o número de observações e a soma dos 
inversos dos valores. 
�̅�𝟎,𝒕
𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒑𝟎,𝒕
𝟏 +
𝟏
𝒑𝟎,𝒕
𝟐 + ⋯ +
𝟏
𝒑𝟎,𝒕
𝒏
=
𝒏
∑
𝟏
𝒑𝟎,𝒕
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒏
∑
𝒑𝟎
𝒊
𝒑𝒕
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒏
∑ 𝒑𝒕,𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
 
 
�̅�𝟎,𝒕
𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒒𝟎,𝒕
𝟏 +
𝟏
𝒒𝟎,𝒕
𝟐 + ⋯ +
𝟏
𝒒𝟎,𝒕
𝒏
=
𝒏
∑
𝟏
𝒒𝟎,𝒕
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒏
∑
𝒒𝟎
𝒊
𝒒𝒕
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒏
∑ 𝒒𝒕,𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
 
Índice da Média Geométrica Simples 
A média geométrica simples é calculada pela raiz enésima do produtório das 𝒏 observações. 
�̅�𝟎,𝒕
𝑮 = √
𝒑𝒕
𝟏
𝒑𝟎
𝟏
×
𝒑𝒕
𝟐
𝒑𝟎
𝟐
× ⋯ ×
𝒑𝒕
𝒏
𝒑𝟎
𝒏
𝒏
= √∏ 𝒑𝟎,𝒕
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
 
 
�̅�𝟎,𝒕
𝑮 = √
𝒒𝒕
𝟏
𝒒𝟎
𝟏
×
𝒒𝒕
𝟐
𝒒𝟎
𝟐
× ⋯ ×
𝒒𝒕
𝒏
𝒒𝟎
𝒏
𝒏
= √∏ 𝒑𝟎,𝒕
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
 
 
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ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS 
 
Índice de Laspeyres (ou índice da época base) 
 
Índice de Paasche (ou índice da época atual) 
 
Índice de Fisher 
 
 
Cada produto tem um peso diferente. A forma mais 
comum de se definir os pesos é tomar a participação 
de cada bem no valor total 
𝒘𝟎
𝒊 =
𝒗𝒊
∑ 𝒗𝒋𝒏𝒋=𝟏
=
𝒑𝒊 × 𝒒𝒊
∑ 𝒑𝒋 × 𝒒𝒋𝒏𝒋=𝟏
 
designado por 𝑳, é definido como a 
média aritmética ponderada dos 
relativos, sendo os pesos definidos 
na época base. 
 
𝑳𝟎,𝒕
𝒒
=
∑ 𝒑𝟎
𝒊 × 𝒒𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒑𝟎
𝒋
× 𝒒𝟎
𝒋𝒏
𝒋=𝟏
 𝑳𝟎,𝒕
𝒑
=
∑ 𝒑𝒕
𝒊 × 𝒒𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒑𝟎
𝒋
× 𝒒𝟎
𝒋𝒏
𝒋=𝟏
 
denotado por 𝑷, consiste na média 
harmônica dos relativos, ponderada 
na época atual, com base na 
participação do produto na 
composição do valor total. 
𝑷𝟎,𝒕
𝒒
=
∑ 𝒒𝒕
𝒊 × 𝒑𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒒𝟎
𝒊 × 𝒑𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
 𝑷𝟎,𝒕
𝒑
=
∑ 𝒒𝒕
𝒊 × 𝒑𝒕
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒒𝒕
𝒊 × 𝒑𝟎
𝒊𝒏
𝒊=𝟏
 
designado por 𝑭, é definido como a 
média geométrica dos índices de 
Laspeyres e Paasche, tanto para o 
preço como para quantidade. 
 
𝑭𝟎,𝒕
𝒒
= ට𝑳𝟎,𝒕
𝒒
× 𝑷𝟎,𝒕
𝒒
 𝑭𝟎,𝒕
𝒑
= ට𝑳𝟎,𝒕
𝒑
× 𝑷𝟎,𝒕
𝒑
 
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MUDANÇA DE BASE 
A mudança de uma base consiste em recalcular a série com um novo período de referência. Podemos 
realizar três mudanças: 
• base móvel para base fixa; 
• base fixa para base fixa; 
• base fixa para base móvel. 
 
Base móvel para base fixa 
A mudança é feita admitindo-se que a propriedade circular seja atendida pela série considerada. 
Considerando uma série com base fixa em período genérico i no meio da série: 
a) Para o período anterior à base: 
 
b) Para o período posterior: 
 
 
𝐼0,𝑖 = (
1
𝐼0,1 × 𝐼1,2 × ⋯ × 𝐼𝑖−1,𝑖
) 
𝐼1,𝑖 = (
1
𝐼1,2 × 𝐼2,3 × ⋯ × 𝐼𝑖−1,𝑖
) 
𝐼𝑗 ,𝑖 = (
1
𝐼𝑗 ,𝑗 +1 × 𝐼𝑗 +1,𝑗 +2 × ⋯ × 𝐼𝑖−1,𝑖
) 
𝐼𝑖 ,𝑖 = 1 
𝐼𝑖 ,𝑖+1 = 𝐼𝑖 ,𝑖+1 
𝐼𝑖 ,𝑖+2 = 𝐼𝑖 ,𝑖+1 × 𝐼𝑖+1,𝑖+2 
𝐼𝑖 ,𝑡 = 𝐼𝑖 ,𝑖+1 × 𝐼𝑖+1,𝑖+2 × ⋯ × 𝐼𝑡−1,𝑡 
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Base fixa para base fixa 
A passagem de uma série base fixa para uma outra base fixa resume-se à mudança do período de referência 
por meio de uma regra de três. 
 
A passagem de uma base fixa para outra é feita simplesmente ao se dividir a série inicial pelo valor do 
multiplicador no novo período base e depois multiplicar por 100, para calcular o número-índice 
 
Base fixa para base móvel 
Uma base móvel período contra período anterior é calculada por: 
 
 
 
𝐼0,1 = 𝐼0,1 
𝐼1,2 =
𝐼0,2
𝐼0,1
 
𝐼2,3 =
𝐼0,3
𝐼0,2
 
𝐼𝑡−1,𝑡 =
𝐼0,𝑡
𝐼0,𝑡−1
 
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