web IV Fundamentos de estatística 2020 1- Prof Mabel

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FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA
Webconferência IV
Professor(a):Mabel Lopes
Teste qui quadrado
De acordo com Larson e Farber (2015), um teste de ajuste qui- quadrado é 
usado para testar se uma distribuição de frequência se encaixa em uma 
distribuição esperada.
Estabelecer as hipóteses nula e alternativa. Em geral, a hipótese nula 
estabelece que a distribuição de frequência se ajusta à distribuição 
esperada e a hipótese alternativa que a distribuição de frequência não se 
ajusta.
Frequência observada O: é a frequência da categoria observada nos dados 
da amostra.
Frequência esperada E: é a frequência calculada para a categoria. A 
frequência esperada para a i-ésima categoria é: 
Onde n é o tamanho da amostra e pi é a prob. assumida da i-ésima categ.
Teste qui quadrado
Para usar o teste qui quadrado, as seguintes observações devem ser 
verdadeiras.
1. As frequências observadas devem ser obtidas usando uma amostra 
aleatória.
2. Cada frequência esperada deve ser maior ou igual a 5.
Se essas condições forem satisfeitas, então a distribuição amostral para o 
teste é aproximada por uma distribuição qui quadrado com k-1 graus de 
liberdade , sendo o número de categorias. 
A estatística de teste é :
Obs.: uma estatística de teste 
grande é uma evidência para 
rejeitar a hipótese nula.
Teste qui quadrado
Instruções para realizar o 
teste qui quadrado:
Tabela Distr. Qui Quadrado
Teste qui quadrado
Ex .(Larson e Farber, 2015): Uma associação de comércio varejista afirma que 
os meios de preparação de imposto são distribuídos conforme mostrado na 
Tabela. Uma consultoria de impostos seleciona aleatoriamente 300 adultos 
e pergunta como eles preparam seus impostos. Os resultados encontram-
se na tabela. Para 𝛼= 0,01, teste a afirmação da associação. 
Teste qui quadrado
Como as frequências observadas foram obtidas usando uma amostra 
aleatória e cada frequência esperada é maior do que 5, podemos usar o 
teste qui-quadrado para testar a qualidade do ajuste para a distribuição 
proposta. As hipóteses nulas e alternativas são as seguintes. 
a distribuição esperada dos métodos de preparação de impostos é: 24% 
por contador, 20% à mão, 35% com programa de computador, 6% por 
amigo ou familiar e 15% com consultoria de impostos.(Afirmação) 
: a distribuição dos métodos de preparação de
impostos difere da distribuição esperada. 
Como há 5 categorias, a distribuição qui quadrado tem g.l=5-1=4, α=0,01, o 
valor crítico é 𝜒0²=13,277. A região de rejeição é 𝜒
2 > 13,277.
Teste qui quadrado
𝜒2 =෍
(𝑂 − 𝐸)²
𝐸
=
(61 − 72)2
72
+
(42 − 60)2
60
+
(112 − 105)2
105
+
(29 − 18)2
18
+
(56 − 45)2
45
≈ 16,958
Como 𝜒2 está na região de rejeição, pela figura, então rejeitamos a 
hipótese nula.
Interpretação: Há evidências suficiente , ao nível 
de significância de 1%, para rejeitar a afirmação 
de que a distribuição dos meios de preparação dos 
impostos observada e a distribuição esperada da associação são as 
mesmas.
Distribuição F
Comparando duas variâncias (distribuição F):
Para variâncias diferentes, designe a maior variância amostral como . 
Isso significa que F será sempre maior ou igual a 1. 
Instruções para encontrar os valores críticos da distribuição F
Tabela de distribuição F 
(Larson e Farber, 2015)
Teste F
O teste F com duas amostras compara duas variâncias populacionais usando 
uma amostra de cada população.
Teste F
Instruções para utilizar o teste F: 
Teste F
Exemplo: Um gerente de restaurante está criando um sistema que se destina 
a diminuir a variância do tempo que os clientes esperam antes de suas 
refeições serem servidas. Com o antigo sistema uma amostra aleatória de 
10 clientes teve uma variância de 400. Com o novo sistema, uma amostra 
aleatória de 21 clientes teve uma variância de 256. Para α=0,10, há 
evidência suficiente para convencer o gerente a mudar para o novo 
sistema? Suponha que ambas as populações são normalmente distribuídas.
Sol.: Como 400>256, então 𝑠1
2 =400 e 𝑠2
2 = 256 . Portanto, 𝑠1
2 e 𝜎1²
representam as variâncias da amostra e da população do sistema antigo, 
respectivamente. Com a afirmação: A variância dos tempos de espera no 
novo sistema é menor que a variância dos tempos de espera no sistema 
antigo.
Então as hipóteses são:
Teste F
𝐻0: 𝜎1² ≤ 𝜎2² 𝐻𝑎: 𝜎1
2 > 𝜎2² (Afirmação)
O teste é unilateral à direita com α=0,10, e os graus de liberdade são
g.ln= n1-1 = 10-1=9 e g.ld=n2-1= 21-1=20. Então o valor crítico é
𝐹0 = 1,96 e a região de rejeição é F>1,96.
A estatística de teste é : F =
𝑠1
2
𝑠2
2 =
400
256
≈ 1,56.
Como F não está na região de rejeição, não rejeitamos a hipótese nula.
Interpretação: Não há evidência 
suficiente, ao nível de significância 10%, 
para convencer o gerente a trocar de 
sistema.
Números- Índices
Os números-índices são usados para indicar variações relativas em 
quantidades, preços ou valores de um artigo (artigos) durante certo 
período de tempo. Eles resumem as modificações nas condições 
econômicas em um espaço de tempo, através de uma razão.
Esses números nos ajudam a quantificar variações em diversos setores, tais 
como: financeiro, agrícola, alimentício, imobiliário...
Ex.: ao se escutar que os produtos da cesta básica aumentaram 3 pontos 
em relação ao ano passado, ou que o mercado de ações abriu em baixa de 
12 pontos.
Outro ex.: é o IPC (índice de preço ao consumidor)é um dos índices que 
mede a inflação. Os índices de inflação são usados para medir a variação 
dos preços e o impacto no custo de vida da população.
Números- Índices
1. Números índices simples: quando apenas um item (produto) é 
computado.
Um período é escolhido como base, e todos os índices são computados em 
relação aos registros deste período específico. 
Os números índices simples podem ser de preço, quantidade e de valor.
Vejamos as equações: 
Números- Índices
Ex.1:- Uma siderúrgica produz chapas de aço. No ano de 2015 a chapa 
custava R$ 45, e em 2016 R$ 47,5. Em 2015 a empresa produziu 1500 
toneladas, e em 2016, 1567 toneladas. Calcular os números índices de 
preço, quantidade e valor para a chapa de aço tomando o ano de 2015 
como base. 
Sol.:O período base é 2015, então: 
O períoda atual é 2016, então: 
Os índices de preço, quantidade e valor são: 
Aumento de 5,56%
Aumento de 4,47%
Aumento de 10,27%
Números- Índices
Considere agora a situação em que temos mais de um produto e estamos 
interessados em estudar variações de preços ou quantidade para todos os 
produtos conjuntamente. 
Ex.: Veja na tabela os produtos presentes na cesta básica que compõem o 
café da manhã típico da maioria dos brasileiros.
Vamos criar um índice desse grupo de alimentos
para 2014 usando como base 2013.
Números- Índices
Esses próximos índices foram calculados usando a fórmula passada.
Condensando todos os índices em um só índice, calcularemos a média 
simples de preços relativos: 
Esse valor indica que a média desse grupo de índices cresceu 6,36% de 2013 
para 2014.
Números- Índices
Uma vantagem : podemos obter o mesmo valor dos índices apesar das 
diferentes medidas de seus componentes.
Uma desvantagem: é que ele deixa de considerar a importância relativa dos 
itens incluídos. ( o mesmo peso)
2. Números índices compostos: expressam variações no preço, quantidade 
ou valor de um grupo de itens. Atribuem pesos diferentes para os itens 
que os compõem, isso nos permite dar uma ênfase maior às variações de 
cada item.
Os índices compostos mais utilizados são:
- Índice de Laspeyres (época básica): ponderação é feita em função dos 
preços ou quantidades do período base. Podem ser calculados índices de 
preço e quantidade. 
Números- Índices
- Índice de Paasche (época atual): ponderação é feita em função dos preços 
ou quantidades do período “atual”. Podem ser calculados índices de preço 
e quantidade. 
- Outros índices: Fischer, Marshall - Edgeworth,Drobish, Divisia, e os índices 
de preços normalmente utilizados no Brasil (IGP-M, INPC, IPC-A, ICV do 
DIEESE, IPC da FIPE).
Índice de Laspeyers: a ponderação é feita em função dos preços e 
quantidades do período base. Por causa disso ele tende a exagerar a alta, 
por considerar as quantidades (ou preços) iguais aos do período base. As 
equações: 
Números- Índices
Ex.: O índice de Laspeyres é dado por: 
Números- Índices
-Índice de Paasche: a ponderação é feita em função dos preços e 
quantidades do período atual. Por causa disso ele tende a exagerar a baixa, 
por considerar as quantidades (ou preços) iguais aos do período atual.
O índice de Paasche para o mesmo ex. dos itens do café da manhã é:
Números- Índices
-Índice ideal de Fischer: foi proposto como uma tentativa de compensar os 
problemas apresentados pelos outro índices. O índice ideal de Fisher é 
definido como a média geométrica dos índices de Laspeyers e Paasche:
Raramente é utilizado por apresentar o mesmo problema do índice de 
Paasche, determinar um novo conjunto de quantidades a cada ano.
O índice ideal de Fischer para o ex. anterior nos dá:
Números- Índices
“As variações de preço, causadas por inflação ou deflação, podem 
obscurecer as variações de quantidade”.
Às vezes o que parece ser um crescimento de vendas, ou aumento na 
participação no mercado (por apresentar maior faturamento) deve-se mais 
a flutuações de preços, ou desvalorizações cambiais, do que realmente a 
acréscimos nas quantidades vendidas.
Este problema torna-se mais grave se examinamos longas séries temporais, 
incluindo vários anos (considerando, no caso do Brasil, as grandes 
mudanças estruturais que a economia sofreu, o problema torna-se ainda 
mais sério). 
Neste caso, precisamos remover o efeito da inflação nos valores de uma 
série temporal. Devemos procurar um número índice apropriado para isso.
Números-Índices
Um índice de preços usado para equiparar valores monetários de diversas 
épocas ao valor monetário de uma época base é chamado deflator.
- se for uma empresa que vende diretamente ao consumidor final, no varejo, 
utilizar como deflator um índice de preços ao consumidor (como o IPC-A do 
IBGE, o IPC da FIPE, etc.); 
- se a empresa vender bens de capital, ou realizar vendas no atacado, 
devemos utilizar um índice que retrate as flutuações de tal mercado (como 
o IGP-M da Fundação Getúlio Vargas, do qual 60% deve-se ao Índice de 
Preços por Atacado, calculado pela mesma instituição).
- se a empresa exporta, seria interessante incluir também a flutuação da 
taxa de câmbio do país (ou países de destino). 
Números-Índices
Ex.: Obtenha o faturamento real a preços de 1999.
Faturamento da empresa
100 R$ em 1999 equivalem a 105,272 R$ em 
2000, a 115,212 em 2001, etc. 
A série de faturamentos a preço de 1999 é :
Números-Índices
• Mudança de base de um número índice
A escolha da base de um número índice é muitas vezes uma tarefa difícil. É 
preciso escolher um período relativamente estável, o mais "típico" 
possível, quando a atividade econômica não estiver sendo afetada por 
variações estruturais ocasionais. 
Pode ser interessante, ou necessário, mudar a base de um número índice 
por duas razões:
- para atualizar a base, tornando-a mais próxima da realidade atual.
- para permitir a comparação de duas séries de índices que tenham bases 
diferentes
Números-Índices
O procedimento é simples: basta dividir toda a série de números índices 
originais pelo número índice do período escolhido como nova base. Isso 
preservará as diferenças relativas.
Ex.: Mudar a base da série de números índices abaixo para 2013.
Ano 2011 2012 2013 2014 2015
Índice 100 109,12 113,86 116,69 126,53
Novo Índice 87,83 95,84 100 102,49 111,13
Coeficiente de Correlação
O cálculo da correlação nos ajudará a descrever se existe algum tipo de 
relação entre duas variáveis quantitativas e determinar se a correlação é 
significante. Os dados podem ser representados por pares ordenados (x,y), 
sendo x a variável independente e y a variável dependente.
Ex.:Um professor tenta investigar se há relação entre o número de horas que 
seus alunos passam em redes sociais e os resultados dos exames finais.
Para averiguar melhor se existe algum tipo de correlação entre duas 
variáveis o diagrama dispersão é bem utilizado. 
Coeficiente de Correlação
Gráficos sobre correlação 
Coeficiente de Correlação
Ex.: Um economista quer determinar se existe relação linear entre o produto 
interno bruto (PIB) de países e as respectivas emissões de dióxido de 
carbono (CO2). Os dados encontram-se na Tabela.
Pelo diagrama de dispersão, parece existir uma correlação linear positiva.
Coeficiente de Correlação
Observando apenas os gráficos não é possível dizer qual é o valor do 
coeficiente de correlação e nem mesmo se é fraca ou forte. Para isso, 
utilizamos a fórmula:
(coeficiente de correlação amostral)
Onde n, é o número de pares dados.
Coeficiente de Correlação
• O coeficiente de correlação pode variar entre -1 e 1, quando r está próximo 
de 1 significa que x e y tem uma relação linear positiva forte.
• Se x e y tem uma correlação linear negativa forte , r está próximo de -1.
• Se não há correlação linear ou existe uma correlação linear fraca, r está 
próximo de 0.
Regressão Linear
Sabendo da existência da correlação linear entre duas variáveis, o próximo 
passo é determinar a equação da linha que melhor modela os dados. Essa 
linha é chamada de linha (reta) de regressão,e sua equação pode ser usada 
para predizer o valor de y para um dado valor de x.
di=resíduos
Uma reta de regressão, é reta para a qual a soma dos quadrados dos 
resíduos é um valor mínimo.
Regressão Linear
A equação da reta de regressão é:
Em que ො𝑦 é o valor previsto para um dado valor x. A inclinação m e a 
intersecção b são dadas por: 
, em que ത𝑦 e ҧ𝑥 são as médias dos valores y e x no
conjunto de dados. 
Regressão Linear
Analisemos um ex. de Larson e Farber. Vamos encontrar a equação da reta 
de regressão para o problema do dióxido de carbono anterior.
Sabemos que : 𝑛 = 10, σ 𝑥 = 24,6 , σ 𝑦 = 5263 ,
σ𝑥𝑦 =16.145,46 , σ𝑥2 = 79,68.
A inclinação 𝒎 =
𝑛.σ 𝑥𝑦−(σ 𝑥)(σ 𝑦)
𝑛.σ 𝑥2− σ 𝑥 2
=
10(16.145,46)−(24,6)5263
10(79,68)−24,62
𝒎 ≈ 𝟏𝟔𝟔, 𝟗
e 𝒃 = ത𝑦 −𝑚 ҧ𝑥 =
5263
10
− 166,9.
24,6
10
= 𝟏𝟏𝟓, 𝟕𝟐𝟓
Então, a equação da reta de regressão é
ෝ𝒚 = 𝟏𝟔𝟔, 𝟗𝒙+115,725
Regressão Linear
Reta de regressão 
Variações sobre uma linha de regressão: há 3 tipos de variações sobre uma 
linha de regressão, a variação total, a variação explicada e variação não 
explicada. Para identificar cada uma precisamos calcular :
Regressão Linear
A variação total para um linha de regressão é a soma dos quadrados das 
diferenças entre o valor y de cada par pedido e a média de y.
A variação explicada é a soma dos quadrados das diferenças entre o valor y 
previsto e a média de y.
A variação não explicada é a soma dos quadrados das diferenças entre o 
valor y de cada par pedido e cada valor y previsto correspondente.
Coeficiente de determinação
O quadrado do coeficiente de correlação é chamado de coeficiente de 
determinação .
O coeficiente de determinação é a relação da variação explicada com a 
variação total.
• significa que a variável dependente não pode ser prevista a partir 
da variável independente.
• , significa que a variável dependente pode ser prevista, sem erro, a 
partir da variável independente.
• entre 0 e 1 , significa que a variável é previsível.
O coeficiente de determinação é a relação da variação explicada com a 
variação total, isto é, 
Coeficiente de determinação
Usando o ex. anterior e calculando o coeficiente de determinação temos:
𝑟2 = 0,9122 = 0,832
Cerca de 83,2% da variação nas emissões de dióxido de carbono pode ser 
explicada pela equação de regressão em função do produto interno bruto. 
Os restantes 16,8% da variação são a parte não explicada e consequência 
de outros fatores, taiscomo erro amostral, e outras variáveis não 
consideradas.