Uma mágica da divisão por 9

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Uma mágica da divisão por 9 
Pegue qualquer número, digamos 8.675.309. Inverta os dígitos para obter 9.035.768. A 
diferença entre os dois números é 360.459 e é divisível por 9, pois 360.459/9 = 40.051. Mas 
ainda há algo mais interessante. Você pode reorganizar (ou permutar) os dígitos em qualquer 
ordem aleatória. Digamos que o novo número seja 3.580.697. A diferença com o número 
original 8.675.309 é 5.094.612, e isso é divisível por 9, pois 5.094.612/9 = 566.068. 
Isso sempre será verdade? 
Explicando a mágica: 
Vamos voltar a algo que você provavelmente aprendeu na escola. 
Um número é divisível por 9 se a soma de seus dígitos for divisível por 9. 
Por que isso é verdade? 
Vamos trabalhar um padrão com potências de 10. 
1 1 0
10 1 9
100 1 99
1000 1 999
...
10 1 999...99k
kdigitos
= +
= +
= +
= +
= +
 
Claramente, um número com apenas 9s é um múltiplo de 9, pois 99…9 = 9×11…1. Portanto, 
toda potência de 10 é 1 a mais que um múltiplo de 9. Isso é escrito matematicamente como 
uma equação de módulo: 
10 1(mod9)k  
Isto significa que 10k deixa resto 1 quando dividido por 9. 
Assim como uma equação regular, você pode multiplicar ambos os lados pelo mesmo 
número. Então, vamos multiplicar ambos os lados por x para obter: 
10 (mod9)kx x 
Então, como esse resultado nos ajuda a explicar a regra de divisibilidade? 
Digamos que um número n tenha dígitos 1 2 3 1 0...k k kd d d d d− − − . Podemos escrever isso na forma 
expandida: 
1 2 3 1 0
1 2 3 1 0 1 2 3 1 0... 10 10 10 ... 10 10
k k k
k k k k k kn d d d d d d d d d d
− − −
− − − − − −= + + + + + 
Quando tomamos o módulo 9 em ambos os lados, toda potência de 10 se torna 1, então 
temos: 
1 2 3 1 0... (mod9)k k kn d d d d d− − − + + + + + 
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Portanto, um número é igual à soma de seus dígitos módulo 9. 
Mas também sabemos que n é divisível por 9 é equivalente a dizer 0(mod9)n  . Portanto, 
um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos for divisível por 9. 
Seja ( )S n a soma dos dígitos de n e ( )n a permutação (reorganização) dos dígitos de n . 
Como mostrado acima, ( ) (mod9)S n n . 
Se reorganizarmos os dígitos, o novo número terá claramente a mesma soma de dígitos, isto 
é: 
( ( )) ( )s n s n = 
Portanto, temos: 
( )(mod9) ( ) ( )(mod9) 0(mod9)n n n n  − = − = 
Isto significa que ( )n n− deixa resto 0 quando dividido por 9, ou seja, ( )n n− é sempre 
divisível por 9. 
Um número menos qualquer permutação de seus dígitos resultará em um novo número 
divisível por 9. Incrível!