Aula 03 - 02-03-2021

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Atendimento Remoto - Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Luiz Otávio - 02/03/2021
Conteúdo a ser estudado: Interpolação Polinomial de Newton
Uma alternativa para encontrar o mesmo polinômio interpolador de Lagrange que
passa por todos os pontos de um conjunto é através da Interpolação Polinomial de
Newton. O resultado é o mesmo do polinômio de Lagrange, mas os cálculos são otimi-
zados em comparação ao primeiro método, principalmente para um elevado número
de pontos.
Tabela de Diferenças Divididas.
O primeiro passo é construir uma tabela a partir dos pontos (x1, y1),(x2, y2), (x3, y3),
. . . , (xn, yn). Na esquema a seguir são considerados quatro pontos, mas é possível
construir para um número maior de pontos seguindo o mesmo raciocínio.
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x1 y1
∆01 =
y2 − y1
x2 − x1
x2 y2 ∆11 =
∆02 − ∆01
x3 − x1
∆02 =
y3 − y2
x3 − x2
∆21 =
∆12 − ∆11
x4 − x1
x3 y3 ∆12 =
∆03 − ∆02
x4 − x2
∆03 =
y4 − y3
x4 − x3
x4 y4
Polinômio Interpolador de Newton:
Utilizando os valores obtidos no topo da tabela, constroi-se o polinômio da se-
guinte forma:
P (x) = y1 + ∆01(x− x1) + ∆11(x− x1)(x− x2) + ∆21(x− x1)(x− x2)(x− x3) + . . ..
Exemplo: Encontre o polinômio interpolador de Newton para os pontos (−1, 3), (0, 5), (2, 15).
O primeiro passo é montar a tabela de diferenças divididas, colocando na primeira
coluna os valores das abscissas e na segunda coluna os valores correspondentes das
ordenadas. As demais colunas seguem a construção anterior.
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
−1 3
∆01 =
5 − 3
0 − (−1)
= 2
0 5 ∆11 =
5 − 2
2 − (−1)
= 1
∆02 =
15 − 5
2 − 0
= 5
2 15
O próximo passo é aplicando a fórmula, tomando os valores que estão no topo da
tabela. O resultado obtido é mostrado a seguir:
P (x) = 3 + 2(x− (−1)) + 1(x− (−1))(x− 0)
= 3 + 2(x + 1) + (x + 1)x
= 3 + 2x + 2 + x2 + x
= x2 + 3x + 5
Exercícios:
1) Utilize os pontos da tabela a seguir para obter o polinômio interpolador de
Newton:
x −1 0 1 3
f(x) −8 −4 −8 32
Resposta: P (x) = 3x3 − 4x2 − 3x− 4
2) Encontre o polinômio interpolador de Newton para os pontos (−2, 2), (1, 2), (4, 20).
Resposta: P (x) = x2 + x
3) Encontre o polinômio interpolador de Newton para os pontos (2, 5), (3, 7), (5, 11).
Resposta: P (x) = 2x + 1
Observações Importantes:
Os alunos podem enviar perguntas ao professor sobre os conteúdos estudados
na disciplina ou sobre o Trabalho que está disponível no SGA ou no Canvas, meios
oficiais disponibilizados pela PUC-MG. Estarei pronto para ajudar;
Dica de estudo: Acesse o link http://www.matematica.pucminas.br/lcn/
vcn1.htm e baixe o VCN, software desenvolvido por professores da PUC-MG e que
auxiliam na aprendizagem de Cálculo Numérico.
http://www.matematica.pucminas.br/lcn/vcn1.htm
http://www.matematica.pucminas.br/lcn/vcn1.htm