Aula 08 - 13-04-2021

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Atendimento Remoto - Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Luiz Otávio - 13/04/2021
Conteúdos a serem estudados: Matrizes e Sistemas Lineares
Existem diversos métodos numéricos de resolução de Sistemas Lineares: Decom-
posição LU, Método de Gauss, Método de Gauss-Jordan, dentre outros. Em todos,
utiliza-se matrizes para representar o sistema.
Considere um sistema linear

a11x1 + a12x2 ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 ... + a2nxn = b2
... ... . . . ... ...
am1x1 + am2x2 ... + amnxn = bm
Este sistema pode ser representado através da matriz

a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
... ... . . . ... ...
am1 am2 ... amn bm

Por exemplo, para o sistema

4x + 9y + 5z = 1
7x + 2y + 4z = 4
3x + 8y + 6z = 0
, temos amatriz:
 4 9 5 17 2 4 4
3 8 6 0

Método de Eliminação de Gauss:
A Eliminação de Gauss é ummétodo sistemático para se resolver sistemas de equa-
ções lineares. Ele consiste na aplicação de operações elementares sucessivas com o
objetivo de simplificar o sistema, transformando-o em outro sistema de mesma solu-
ção e de resolução mais fácil que o primeiro.
Passo 1: Para aplicar este método, deve-se escrever a matriz [A|b] associada ao
sistema linear.
Passo 2: Na sequência, deve-se aplicar as seguintes operações elementares na
matriz do Passo 1 de forma ordenada para obter uma nova matriz [Ā|b̄] equivalente à
primeira (ou seja, associada a um sistema com o mesmo conjunto solução), onde Ā é
triangular superior (possui somente zeros abaixo da diagonal).
As operações elementares são:
(1) Permutar duas linhas;
(2) Multiplicar uma constante C não-nula em todos os elementos de uma linha i;
(Li = CLi)
(3) Substituir uma linha i pela sua soma com um múltiplo de outra linha j. (Li =
Li + CLj);
Este passo envolve algumas etapas que utilizam a operação elementar (2):
Etapa 1: zerar os elementos abaixo de a11, usando este a11 como pivô: Li = Li +
−a11
ai1
Li, i > 1
Etapa 2: zerar os elementos abaixo de a22, usando este a22 como pivô: Li = Li +
−a22
ai2
Li, i > 2
. . .
Etapa j: zerar os elementos abaixo de ajj , usando este ajj como pivô: Li = Li +
−ajj
aij
Li, i > j
Passo 3: Escrever o sistema linear correspondente a [Ā|b̄] e fazer substituições
retroativas a partir da última equação até a primeira para obter a solução geral.
Observação: Para aplicar este método e obter uma única solução, é necessário
que se tenha det(A) 6= 0.
Exemplo Resolvido: Resolva o sistema linear abaixo usando até 2 casas após a
vírgula:
2x + 3y + z = 1
3x + y + 2z = 3
5x + 2y + 4z = 1
Passo 1: Montar a matriz correspondente:
 2 3 1 13 1 2 3
5 2 4 1

Passo 2:
Fazer: L2 = L2 + (−1, 5)L1 e L3 = L3 + (−2, 5)L1 2 3 1 13 1 2 3
5 2 4 1
 ∼
 2 3 1 10 −3, 5 0, 5 1, 5
0 −5, 5 1, 5 −1, 5

Fazer: L3 = L3 + (−−5,5−3,5)L2 ou seja: L3 = L3 + (1, 57)L2 2 3 1 10 −3, 5 0, 5 1, 5
0 −5, 5 1, 5 −1, 5
 ∼
 2 3 1 10 −3, 5 0, 5 1, 5
0 0 0, 72 −3, 86

Passo 3: Voltar para o sistema:

2x + 3y + z = 1
− 3, 5y + 0, 5z = 1, 5
0, 72z = −3, 86
Portanto,
z = −3, 86/0, 72 = −5, 36
−3, 5y = 1, 5− 0, 5z
y = 1,5−0,5.(−5,36)−3,5
y = −1, 19
2x = 1− 3y − z
x =
1− 3y − z
2
x =
1− 3(−1, 19)− (−5, 36)
2
x = 4, 96
Exercício:
1) Resolva os sistemas abaixo usando o método de eliminação Gaussiana e usando
até 3 casas após a vírgula.
a)

2x + 2y + z = 2
4x + 3y + 2z = 6
5x + y + z = 7
b)
 1 4 22 3 −1
4 6 1
 xy
z
 =
 81
11

c)

x + 5y + z − w = 3
2x + 8y − z + 4w = 0
x− 2y + 2z + 2w = 5
5x− 2y + z + 3w = 7
Soluções exatas para os sistemas dos exercícios:
1a) x = 1, y = −2, z = 4
1b) x = 2, y = 0, z = 3
1c) x = 1, y = 0, z = 2, w = 0