GAAL Isabel 02 05 SEI uni I (RF) BB(1)

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Unidade I
GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
Profa. Isabel Espinosa
Apresentação
Estudaremos: 
 Matrizes, sistemas e determinantes.
 Vetores em suas abordagens 
geométricas e algébricas. 
 Retas e planos Retas e planos.
 Posição relativa, distância e ângulos.
 Seções cônicas.
Matrizes
 Matriz é uma tabela de elementos 
dispostos em linhas e colunas. 
 Os elementos de uma matriz podem ser 
números (reais ou complexos), funções, 
vetores ou ainda outras matrizes.
Matrizes
Aplicação – uma tabela das distâncias (em 
milhas inglesas) de voo entre as cidades 
indicadas:
Londres Madri Nova York Tóquio
Londres
Madri
Nova York
0 785 3469 5959
785 0 3593 6706
3469 3593 0 6757
Tóquio
Fonte: Kolman p.11
5959 6706 6757 0
Matrizes
a11 a12 a13 . . . a1n
Amxn = a21 a22 a23 . . . a2n = (aij)mxn
. . . .
. . . . 
. . . .
am1 am2 am3 . . .amn
A lê “ t i ”Amxn lê-se “matriz m por n”
m linhas 
n colunas
Matrizes
A i-ésima linha de A: aij , com 1  j  n 
ai1 ai2 ai3 . . . ain
A j-ésima coluna de A: aij , com 1  i  m 
a1j
a2j
.
.
. 
amj
Matrizes
Exemplos de matrizes:
3iB1x1 =
4 3 -2 4E1x3 =
3
-2
4
D3x1 =
1 0
0 1 
C2x2 = = I2
Matrizes
Uma matriz pode se escrita nas seguintes 
formas:
 Entre colchetes 3 - 4
0 15 
 Entre parênteses 3 - 4
0 15 
 Entre barras duplas 3 - 4
0 15 
Matrizes
O elemento aij de uma matriz
0 52 39 10
14 2 -34 8
a13 = 39 da linha 1 coluna 3
9 153 0 22
0 - 6 57 0
a13 39 da linha 1 coluna 3
a32 = 153 da linha 3 coluna 2
a44 = 0 da linha 4 coluna 4
Matrizes
Igualdade: Amxn = ( aij ) Brxs = ( bij )
A = B  m = r e n = s e aij = bij
Exemplo:
23 ln e - 5/2
2 25 1
8 1 - 10/4
A=
A = B 
8 1 - 10/4
2 32 50
B=
Matrizes
Exemplo:
Determine os valores de x e y de modo que 
as matrizes A e B sejam iguais. 
2x + 1 4 
6 y 
x2 100
A3x2 =
1 41 4 
x – 2y -3 
0 10
B3x2 =
Matrizes
A = B  m = r e n = s e aij = bij
igualando os elementos correspondentes
2x + 1 = 1  2 x = 0  x = 0
4 = 4 (V)
y = - 3 
x2 = 0  x = 0 
x – 2 y = 6  0 – 2 (- 3) = 6  6 = 6 (V)
10 = 10 (V)
Logo x = 0 e y = -3 
Matrizes
Matriz através de uma condição
Exemplos
1. A = (aij) 2x2 e aij = 
2 se i = j
1 se i  j
a11= 2
a12= 1
a21= 1
2
1 se i  j
a22= 2 2 1 
1 2
A2x2=
Matrizes
2. Determinar os elementos a13 , a22 , a32
da matriz A = (aij) 3x2 sendo 
aij = 
i + j se i > j
-1 se i = j
a13, i = 1 e j = 3 então i < j logo a13 = 1
a22, i = j = 2 então a22= - 1
1 se i < j
a32, i = 3 e j = 2 então i > j, logo 
a32 = i + j = 3 + 2 = 5
Interatividade
Quais devem ser os valores de x e y para 
que A=B? 
-2 2x
A2x2=
-2 8
B2x2=
a) x = 2 e y = 1
b) x = 4 e y = -1
) 4 1
y3 0 
2x2
-1 0 
2x2
c) x = - 4 e y = 1
d) x = - 1 e y =4
e) x = -2 e y = 1
Matrizes 
Visualizando as Diagonais
0 -3 1 
2 1 2
diagonal secundária diagonal principal
(DS) (DP)
2 1 2
1 4 3 
DP: a i j com i = j 
(DS) (DP)
Matrizes especiais
Matriz Identidade: matriz quadrada com
aij = 1 se i = j e aij = 0, para i  j.
Exemplos:
1 0 0
A I1 0A I 0 1 0
0 0 1
A3x3 = = I3
0 1
A2x2 = = I2
1 0 0 0
0 1 0 00 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
B4x4= = I4
Operações com matrizes
Adição: 
A = (aij)mxn 
A + B = (aij + bij)mxn 
B = (bij)mxn 
Exemplo:
1 -2
6 0
2 -5
+ = = 
0 4
-2 -5
7 10
1+0 -2+4
6-2 0-5
2+7 -5+10
1 2
4 -5
9 5
A B
2 5 7 10 2 7 5 10 9 5
Operações com matrizes
Multiplicação por escalar.
Exemplo:
2 10
- 4
- 3 * = =
-3*2 -3*10
-3* -3*(- 4)
-6 -30
-1 12 1 1
3
Transposta de A (AT ou A’): 1ª linha vira 1ª 
coluna e assim por diante.
( )
3 3
2 1 2 0 -1
0 3
-1 4
A =
3x2
2 0 1
1 3 4
A’= AT = 
2x3 
Multiplicação de matrizes
Importante:
mxnpxnmxp CBA *
notações: A*B, AB, A.B 
Têm que ser iguais
Multiplicação de matrizes
A = (aik)mxp 
A . B = C = (cij) mxn
B = (bkj)pxn
c = a b + a b + + a bcij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj
(linha por coluna)
Multiplicação de matrizes
1 2
3 -1 
A =
2x2
3 1
4 3 
B =
2x2
1 2 3 1 1 3+2 4 1 1+2 31 2
3 -1 
A.B = . = 
3 1
4 3 
1.3+2.4 1.1+2.3
3.3 -1.4 3.1-1.3 
11 7
A B 5 0 
2x2
A.B = 
Multiplicação de matrizes
A e B do exemplo anterior 
comparar A.B e B.A
3 1
4 3
1 2
1*3+2*4 = 
3 8 11
1*1+2*3 = 
1 6 7
A*B
11 7
A*B =1 2 3+8 = 11 1+6 = 7
3 -1 3*3 -1*4 = 9 - 4 = 5
3*1 -1*3 = 
3 -3 = 0
1 2
3 -1
3 1 3*1+1*3 = 3*2+1*(-1) 
B*A
5 0
A*B =
6 53 1
3+3 = 6
( )
= 6 -1 = 5
4 3 4*1 +3*3 = 
4 + 9 = 13
4*2 +3*(-1) 
= 8 - 3 = 5
6 5
13 5
B*A =
Multiplicação de matrizes
 A multiplicação de matrizes não é 
comutativa.
Podemos ter:
 existe AB e não existe BA.
 existe AB e BA, tipos diferentes.
 Existe AB e BA, mesmo tipo 
( A e B quadradas de mesma ordem)
mas A  B
Matriz inversa
A inversível ↔ A . A-1 = I
Matrizes A e A-1 quadradas
Exemplo: determinar a inversa de A
1 2
3 -1 
A =
a b
c d 
A-1 =
Matriz inversa
A . A-1 = I2
1 2
3 -1 
A.A-1 = . = a b
c d 
1 0
0 1
a + 2c = 1  a + 6a = 1  a = 1/7
3 a - c = 0  c = 3 a  c = 3/7
b + 2d = 0  b = - 2d  b = 2/7
3 b - d = 1  - 6d - d = 1  d = -1/7
1/7 2/7
3/7 -1/7 
A-1 =
Matriz inversa 
Processo prático –
1 2 0 
-1 1 2
1 1 1
A =
Matriz ampliada. 
1 1 1 
1 2 0 1 0 01 2 0 1 0 0 
-1 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1 
A =
Matriz inversa 
1 2 0 1 0 0 
-1 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1 
A =
1 2 0 1 0 0 
0 3 2 1 1 0
0 1 1 1 0 1
A =
0 -1 1 -1 0 1 
L2 = L2 + L1
L3 = L3 - L1
Matriz inversa 
1 2 0 1 0 0 
0 3 2 1 1 0
0 0 5 -2 1 3 
A =
L = 3 L + LL3 = 3 L3 + L2
1 2 0 1 0 0 
0 15 0 9 3 -6
A =
0 0 5 -2 1 3 
L2 = 2 L3 + 5 L2
Matriz inversa 
15 0 0 -3 -6 12 
0 15 0 9 3 -6
0 0 5 -2 1 3 
A =
L 2 L 15 LL2 = -2 L2 + 15 L1
1 0 0 -1/5 - 2/5 4/5 
0 1 0 3/5 1/5 - 2/5
0 0 1 - 2/5 1/5 3/5
A =
0 0 1 2/5 1/5 3/5
L1 = L1 / 15
L2 = L2 / 15
L3 = L3 / 5
A- 1
Interatividade
Determine a matriz X de modo que 
X = 2A - BT + (1/2)C
-2 3
-1 0A =
1 2 3
B =
8 -6
0 4C =1 0
4 -5 
A 
-2 1 0
0 4
4 2 
C 
-3 5
- 4 1
5 -9
a)
-1 5
- 4 1
7 -9
b)
-3 5
0 1
7 -7
c)
e) n.d.a.
3 5
0 1
1 -7
d)
Sistemas lineares
 Sistemas por escalonamento. 
Operações elementares:
 Permutação de equações. Multiplicação de uma equação por um 
número real não nulonúmero real não nulo.
 Substituição de uma equação por sua 
soma com outra, multiplicadas ou não 
por numero real não nulo.
Sistemas lineares
 Sistemas por escalonamento.
x + y – z = 1
x - y + z = -1
2x + y – 3z = 2
E2 = E2 – E1
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
- y – z = 0
E2 E2 E1
E3 = E3 – 2E1
Sistemas lineares
 Sistemas por escalonamento.
E3 = E2 – 2 E3
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
- y – z = 0
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
4z = - 2
3 2 3
Sistemas lineares
Resolvendo o sistema temos:
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
4z = - 2
z = - ½
y = ½ 
x = 0
SPDSPD
Sistemas lineares
 Método de Gauss:
x + y – z = 1
x - y + z = -1
2x + y – 3z = 2
Pivô : a11
Linha pivô: L1
Multiplicador :
m21=
a21
a11
e L2 = L2 - m21 L1
11
m31=
a31
a11
e L3 = L3 - m21 L1
Sistemas lineares
 Matriz ampliada.
x + y – z = 1
x - y + z = -1
2x + y – 3z = 2
1 1 -1 1
1 -1 1 - 1
2 1 -3 2
Sistemas lineares
1 1 -1 1
1 -1 1 - 1
2 1 -3 2
Pivô: 1 
Linha pivô: L1
m21 = 1
2
e L2 = L2 - 1 L1
e L = L 2 Lm31 = 2 e L3 = L3 - 2 L1
Sistemas lineares
1 1 -1 1
0 -2 2 - 2
0 -1 -1 0
Pivô: -2 
Linha pivô: L2
m32 = ½ e 
1 1 1 1
L3 = L3 - ½ L2
1 1 -1 1
0 -2 2 - 2
0 0 -2 1
Sistemas lineares
 Reescrevendo o sistema. 
x + y – z = 1
- 2 y + 2 z = -2
-2z = 1
Daí temos:
z = - ½ , y = ½ e x = 0
SPD
Determinantes
 A toda matriz quadrada M associa-se 
um número, det M
Cálculo do det M:
1º caso: M é de ordem n = 1, então det M é o 
único elemento de M.ú co e e e to de
Exemplo: 
M = [4] 
Logo det M = 4.
Determinantes
M =
a11 a12
a21 a22
det M = = a11.a22 – (a12. a21)
a11 a12
DS
2º caso: M é de ordem 2,
det a11 a22 (a12 a21)a21 a22
DP
2 1
DS
Exemplo:
det M = = 2 . 5 – [ 3(-1) ] = 13
DP
2 -1
3 5 
Determinantes
3º caso: M é de ordem n = 3, isto é,
a11 a12 a13
a21 a22 a23M =
a31 a32 a33
det M =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Interatividade
Seja
Então o determinante de M é igual a:
a) 13
1 -5 
3 -2 
M =
a) -13
b) -10
c) 13
d) - 17
e) 10e) 10
Determinantes
det M =
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
Regra de Sarrus
a31 a32 a33 a31 a32
- - - + + +
det M = a11.a22.a33+ a12.a23.a31+a13.a21.a32+
[-(a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)]
Determinante
Exemplo:
 Resolva a equação e determine o menor 
valor de x que a torne verdadeira.
x 0 0
2 x+1 2 = 0
1 -2 -1
x 0 0 x 0
2 x+1 2 2 x+1
1 -2 -1 1 -2
Determinante
det M = eDP- eDS = 0
eDP = x(x+1)(-1)+0.2.1+0.2.(-2) = -x2 - x
eDS = 1(x+1).0+2.(-2).x+2.(-1).0 = - 4 x
det M = - x2 – x – (- 4x) = - x2 + 3x = 0
Logo x = 0 ou x = 3
Menor valor x = 0e o a o 0
Determinantes
4º caso: matriz de ordem n2
Teorema de Laplace.
det A = a11A11 + a21 A21 + . . . + an1An1
(pela 1ª linha)
Aij = (-1)i+j . Dij
Exemplo:
menor
cofator
Exemplo:
Seja
1 0 2
3 -1 1
0 -2 6
A =
Determinantes
 Indicando os cálculos do determinante:
det A = 1 . A11 + 0 .A12 + 2.A13
0 
det A = 1 . A11 + 2 .A133
det A = 1.(-1)2 + 2.(-1)4
-1 1
-2 6 
3 -1
0 -2 
det A = - 4 – 12 = - 16
Determinantes e resolução de 
sistemas lineares n x n
Regra de Cramer:
 Sistema 2x2
det Ax
det A
x =
det Ay
det A 
y =
 Sistema 3x3
det Ax
det A
x =
det Ay
det A 
y =
det Az
det A
z =
com det A ≠ 0
Determinante
Resolver pela regra de Cramer o sistema: 
Temos que: 
x + y = 4
x – y = - 2 
1 1
1 1
A = = - 2
1 -1 
4 1
-2 -1 
Ax= = - 2
1 4
1 -2
Ay = = -6
Determinante
-2
-2
x = = 1
6
Portanto:
-6
-2
y = = 3
Logo, S = {(1,3)}
Interatividade
Seja
então Ax é igual a:
a) 1
2x + y = 1
-x + y = 2 
b) -2
c) 3
d) - 1
e) 0
ATÉ A PRÓXIMA!