Aula 12 - 11-05-2021

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Atendimento Remoto - Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Luiz Otávio - 11/05/2021
Conteúdo a ser estudado: Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais
Um sistema de Equações Diferenciais Lineares pode ser escrito como:
y′1(x) = a11(x)y1(x) + a12(x)y2(x) + . . .+ a1n(x)yn(x) + g1(x)
y′2(x) = a21(x)y1(x) + a22(x)y2(x) + . . .+ a2n(x)yn(x) + g2(x)
. . .
y′n(x) = an1(x)y1(x) + an2(x)y2(x) + . . .+ ann(x)yn(x) + gn(x)
Se g1(x), g2(x), . . . , gn(x) forem funções nulas, então o sistema é dito homogêneo.
Caso contrário, ele é dito não-homogêneo.
De forma mais geral, podemos escrever um sistema de equações diferenciais na
forma:
y′1(x) = f1(x, y1, y2, . . . , yn)
y′2(x) = f2(x, y1, y2, . . . , yn)
. . .
y′n(x) = fn(x, y1, y2, . . . , yn)
Se este último sistema não possuir a forma do primeiro, ele é dito não-linear.
Caso este sistema possua condições iniciais y1(0) = a0, y2(0) = a1, . . . , yn(0) = an,
ele é um PVI.
Resolver PVI’s que possuam um sistema de equações diferencias significa procurar
funções que substituídas por y1(x), y2(x), . . . , yn(x) satisfazem todas as n equações
simultaneamente e as n condições iniciais. Podemos usar métodos numéricos para
procurar estas soluções. Há uma versão do Método de Euler para resolução destes
sistemas, que veremos na sequência:
Método de Euler:
Dado um sistema de equações diferenciais da forma, então para os vetores Yn e
Xn tem-se:
Yn+1 = Yn + hf(Xn, Yn, ...), ∀n = 0, 1, . . . ,
em que h é o espaçamento entre x1, x2, . . . e y1, y2, . . . , yn são aproximações para
y(x1), y(x2), . . ., respectivamente.
Exemplo: Use o método de Euler com h = 0, 1 para obter uma aproximação numé-
rica da solução do sistema de equações diferenciais
y′(x) = x+ 2y + z2
z′(x) = 2x− y + 4z
y(0) = 1
z(0) = 2
para x ∈ [0; 0, 3].
Solução:
Para n = 0, temos:
y1 = y0 + hf1(x0, y0, z0)
y1 = 1 + (0, 1)(0 + 2.(1) + (2)
2) = 1, 6
z1 = z0 + hf2(x0, y0, z0)
z1 = 2 + (0, 1)(2.(0)− (1) + 4(2)) = 2, 7
Para n = 1, temos:
y2 = y1 + hf1(x1, y1, z1)
y2 = 1, 6 + (0, 1)((0, 1) + 2.(1, 6) + (2, 7)
2) = 2, 659
z2 = z1 + hf2(x1, y1, z1)
z2 = 2, 7 + (0, 1)(2.(0, 1)− (1, 6) + 4(2, 7)) = 3, 64
Para n = 2, temos:
y3 = y2 + hf1(x2, y2, z2)
y3 = 2, 659 + (0, 1)((0, 2) + 2.(2, 659) + (3, 64)
2) = 4, 53576
z3 = z2 + hf2(x2, y2, z2)
z3 = 3, 64 + (0, 1)(2.(0, 2)− (2, 659) + 4(3, 64)) = 4, 8701
Podemos colocar os resultados em uma tabela:
x 0 0, 1 0, 2 0, 3
y 1 1, 6 2, 659 4, 53576
z 2 2, 7 3, 64 4, 8701
Exercício: Use o método de Euler com h = 0, 1 para obter uma aproximação nu-
mérica da solução do sistema de equações diferenciais
y′(x) = x2 + 2yx− 5z
z′(x) = x+ y2 + 3z
y(0) = 0
z(0) = −1
para x ∈ [0; 0, 3].
Observações Importantes:
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Os alunos podem enviar perguntas ao professor sobre os conteúdos estudados
na disciplina ou sobre os trabalhos disponíveis no SGA ou no Canvas, meios oficiais
disponibilizados pela PUC-MG.