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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEOS 
 
Ao longo das últimas aulas, estudamos os seguintes assuntos: 
 
• Matrizes 
• escalonamento de matrizes 
• determinantes e propriedades 
• sistemas de equações lineares 
• Sistemas Possíveis Determinados, Sistemas Possíveis Indeterminados, 
Sistemas Impossíveis. 
 
Vamos dar ênfase agora a um caso particular de sistemas de equações lineares: os 
sistemas de equações lineares homogêneos. 
 
DEFINIÇÃO: 
Um sistema linear homogêneo com m equações e n incógnitas é um sistema linear 







=++++
=++++
=++++
0xaxaxaxa
0xaxaxaxa
0xaxaxaxa
nmn33m22m11m
nn2323222121
nn1313212111
K
MMMMM
K
K
, 
onde os elementos ija
 
são constantes reais ( )nj1,mi1 ≤≤≤≤ . 
Matriciamente, podemos reescrevê-lo como 0XA =⋅ , onde A é a matriz de 
coeficientes (ordem m×n), X é a matriz coluna de incógnitas (ordem n×1) e a matriz 
coluna nula (ordem m×1). 
 
 
EXEMPLOS: Os sistemas a seguir são homogêneos 
1)



=+
=−
0y2x3
0yx
 
Matricialmente, 
{ {
0XA
0
0
y
x
23
11






=





⋅




 −
43421
 
2)





=+
=++
=+−
0z2x2
0zyx
0z2y5x2
 
Matricialmente, 
{ {
0XA
0
0
0
z
y
x
202
111
252










=










⋅









 −
4434421
 
A principal característica desta classe de sistemas é que eles sempre possuem, pelo 
menos, uma solução: a solução trivial 0x...xx n21 ==== . Assim 
 
Um sistema linear homogêneo nunca será impossível (SI).
 
 
Então, a questão é saber quando um sistema linear homogêneo possui uma única 
solução – e, portanto, é um SPD - ou mais de uma solução (SPI). Para fazermos esta 
análise, vamos considerar a matriz estendida do sistema homogêneo de m equações 
e n incógnitas: 












=
0
0
0
0
 
aaa
aaa
aaa
S
A
mn2m1m
n22221
n11211
4444 34444 21
K
MMM
K
K
 
Uma das formas de resolver um sistema linear é escalonar a matriz S. Entretanto, 
observe que, trabalhar com S é simplesmente trabalhar com a matriz A. Assim, para 
um sistema linear homogêneo, temos duas hipóteses: 
Sistema Possível Indeterminado: posto de A menor do que o número de incógnitas. 
Sistema Possível Determinado: posto de A igual ao número de incógnitas. 
Restringindo-nos ao caso de um sistema onde o número de equações coincide com o 
número de incógnitas, para que o sistema seja tal que o posto de A, ou seja, o número 
de linhas não nulas de A escalonada,seja menor do que o número de incógnitas, pelo 
menos uma das linhas precisa ser identicamente nula. Isso implica em o determinante 
de A escalonada ser zero (uma das linhas pode ser escrita como combinação linear de 
outras linhas). Assim, 
 
Um sistema de equações lineares homogêneo com o número de equações m é igual 
ao número de incógnitas n é SPI se det(A) = 0. Particularmente, o sistema será SPD 
se, e somente se, det(A) ≠0. 
 
OBS: Note que, como um sistema homogêneo é sempre possível, no caso de m>n, 
(m-n) linhas de A NECESSARIAMENTE irão se anular após o escalonamento. 
EXEMPLO 1: 



=+
=−
0y2x3
0yx
 
Matricialmente, A·X=0, onde 
y
x
X e ,
23
11
A 





=




 −
=
 
Note que ( ) ( )
 .053121Adet ≠=⋅−−⋅= 
Por outro lado, a matriz escalonada deste sistema é 
023
011S 




 −
= 
Escalonando, 
 0xy
0y5
0yx
 
 
050
011
 ~ 
023
011
1L.32L2L
==⇒



=
=−
⇒





 −





 −
−→
 
Logo, o sistema é SPD. 
EXEMPLO 2: 





=+
=++
=+−
0z2x2
0zyx
0z2y5x2
 
Matricialmente, A·X=0, com 
z
y
x
X e ,
202
111
252
A










=









 −
=
 
Note que ( ) ( ) ( )[ ]
 .0201215212201215212Adet =⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅= 
Por outro lado, a matriz escalonada deste sistema é 
0202
0111
0252
A









 −
=
 
Escalonando, 





∈
=
−=
⇒





=
=
=+
⇒




















−










−









 −









 −









 −
−→
−→↔
−→→
Rz
0y
zx
 
00
0y
0zx
 
0000
0010
0101
 ~ 
0050
0010
0101
 ~ 
0252
0010
0101
 ~ 
0101
0010
0252
 ~ 
 
0101
0111
0252
 ~ 
0202
0111
0252
2L53L3L
1L.23L3L3L1L
3L2L2L3.L2
1
3L
 
Logo, o sistema é SPI. 
Já vimos que os sistemas lineares homogêneos são importantes por sempre ter 
soluções, e por podermos determinar a quantidade de soluções analisando a matriz de 
coeficientes do sistema. Vamos agora ver uma situação prática onde eles aparecem. 
 
 
 
APLICAÇÃO: Balanceamento de reações químicas 
 
Pense na seguinte situação: sabemos que, em uma equação química, o número de 
moléculas, átomos ou moles existentes antes da reação tem que ser o mesmo que o 
existente após a reação (Lavoisier: nada se perde, nada de cria). Vamos encontrar o 
conjunto de soluções possíveis para o balanceamento da equação química a seguir: 
Suponhamos que queiramos saber a quantidade de hidrogênio e oxigênio necessária 
para formar água. 
0HzOyHx 222 ⋅→⋅+⋅ 
Agora, os dois átomos de hidrogênio que aparecem no início da reação precisam 
aparecer depois da reação também, do mesmo modo que os dois átomos de oxigênio 
precisam aparecer de alguma forma. 
Note que, do lado esquerdo da equação, temos 2 átomos de hidrogênio reagindo com 
2 átomos de oxigênio, enquanto do lado direito, temos dois átomos de hidrogênio e 
apenas um de oxigênio. Logo, precisamos considerar x moléculas de hidrogênio e y 
moléculas de oxigênio de forma que, após a reação, tenhamos exatamente z 
moléculas de água. O número de átomos antes e após a reação precisa ser o mesmo! 
Matematicamente, 2·x = 2·z (são dois átomos de hidrogênio antes da reação e dois 
depois) e 2·y = 1·z (são dois átomos de oxigênio antes da reação e apenas um após). 
Então temos que encontrar x, y e z de forma que seja satisfeito o seguinte sistema 
homogêneo: 



=−
=−
0z1y2
0z2x2
 
Matricialmente,temos A.X=0, onde 
 
0
00 e 
y
xX ,
120
202A 





=





=





−
−
=
 
Note que a matriz A possui mais incógnitas do que linhas (m<n). Logo, a opção de ser 
SPD está descartada. De fato, resolvendo o sistema, obteremos 




=
=
2
zy
zx
 
Assim, para cada molécula de água desejada, precisamos de uma molécula de 
hidrogênio e de meia molécula de oxigênio para obtê-la. 
 
EXERCÍCIO: Encontre a quantidade de moléculas dos compostos químicos a seguir, 
de forma que a equação esteja balanceada corretamente: 
5222 ONzOyNOx ⋅→⋅+⋅ 
OBS: Tente resolver e confira o resultado na página seguinte. 
Resolução: 
Note que, do lado esquerdo da equação, temos 1 átomo de nitrogênio reagindo com 4 
átomos de oxigênio (2 + 2), enquanto do lado direito, temos dois átomos de nitrogênio 
e 5 de oxigênio. Logo, precisamos considerar x moléculas de dióxido de nitrogênio 
( )2NO e y moléculas de oxigênio de forma que, após a reação, tenhamos exatamente 
z moléculas de pentóxido de dinitrogêneo( 52ON ). 
Matematicamente, 1·x = 2·z (um átomo de nitrogênio antes da reação e dois depois) e 
2·x + 2·y = 5·z (são quatro átomos de oxigênio antes da reação e cinco após). Então 
temos que encontrar x, y e z de forma que seja satisfeito o seguinte sistema 
homogêneo: 



=−+
=−
0z5y2x2
0z2x
 
Matricialmente,temos A.X=0, onde 
 
0
0
0 e 
y
x
X ,
522
202
A 





=





=





−
−
=
 
Novamente, o fato da matriz A possuir mais incógnitas do que linhas (m<n) descarta a 
opção do sistema ser SPD. De fato, resolvendo o sistema, obteremos 




=
=
z
2
3y
zx
 
Assim, para cada molécula de pentóxido de dinitrogêneo, precisamos de uma 
molécula de dióxido de nitrogênio e de 3/2 moléculas de oxigênio para obtê-la.