Introdução à Relatividade Restrita com Interpretação Geométrica de Minkowski

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Uma introdução à relatividade restrita centrada na 
interpretação geométrica de Minkowski para o plano 
hiperbólico 
 
 
Telmo Ricardo Costa Luís 
 
Dissertação para obtenção do grau de Mestre em 
Engenharia Electrotécnica e de Computadores 
 
Orientadores: Professor Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva 
Professora Doutora Filipa Isabel Rodrigues Prudêncio 
 
Júri 
Presidente: Professor Doutor José Eduardo Charters Ribeiro da Cunha Sanguino 
Orientador: Professor Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva 
Vogal: Professor Doutor Paulo Sérgio de Brito André 
 
 
Novembro 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Daqui em diante os conceitos de espaço e de tempo, considerados como autónomos, vão 
desvanecer-se como sombras e somente se reconhecerá existência independente a uma 
espécie de união entre os dois.” – Hermann Minkowski 
 
i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
AGRADECIMENTOS 
Em primeiro lugar, ao ilustre Professor Doutor Carlos Paiva por me ter proporcionado a honra de 
poder realizar esta dissertação. Um eterno obrigado por todo o apoio incansável e disponibilidade 
prestada. Em segundo lugar, à Professora Doutora Filipa Prudêncio pela ajuda dispensada e pela sua 
imensa receptividade em colaborar nesta dissertação. 
Aos meus pais e à minha irmã, pelo apoio incondicional ao longo de toda a minha vida académica e 
em todos os maus e bons momentos da vida. 
À minha namorada Bruna, por tudo o que fez e tem feito por mim. Foi um grande apoio ao longo de 
todo o meu percurso universitário, por isso, estou-lhe eternamente agradecido. 
Às minhas primas, Cátia Neves e Andreia Neves, pelo apoio e carinho que me têm prestado. 
Aos meus grandes amigos e colegas da faculdade João Maurício e Francisco Pires que conheci 
numa fase decisiva do curso à qual me ajudaram a ultrapassar e a partir da qual foi estabelecida uma 
verdadeira amizade. 
Aos meus grandes amigos Ricardo Marçal, Ivan Sang, João Luís, Sabino Santana, Mário Araújo, 
Gonçalo Freitas, por tudo o que já fizeram por mim ao longo da vida. São sem dúvida os melhores. 
Aos meus ilustres colegas Diogo Fernandes, Ricardo Caetano, Filipe Futuro, Fábio Silva, João Lima, 
André Martins, Marco Neves. 
Por fim, a todos aqueles que se cruzaram ao longo da minha vida e contribuíram positivamente para 
o meu crescimento enquanto estudante e pessoa. 
 
iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
ABSTRACT 
Einstein’s special relativity has introduced a radical transformation in our interpretation of space and 
time. In contemporaneous physics, namely in quantum field theory, special relativity is a fundamental 
tool. Both classical and quantum electrodynamics strongly depend on this new vision. 
The main goal of this dissertation is to develop a new vector approach, based on a direct geometric 
construction, of the hyperbolic plane as a bi-dimensional simplification of the whole four-dimensional 
Minkowskian spacetime. It is intended to create a visual and intuitive interpretation of the relativity of 
simultaneity, thereby allowing to directly read off both length contraction and time dilation. This 
geometric algebra, therefore, makes almost irrelevant the usual emphasis on passive coordinate 
transformations. Obviously, then, those effects that strictly depend on the whole four-dimensional 
construction – such as Thomas rotation – are beyond the present approach. 
Several typical examples of classical paradoxes are considered: the pole-in-barn paradox; the twin (or 
clock) paradox. The previously developed method is used, thereby clearly showing its soundness and 
applicability. Also, this alternative approach has another usefulness: more than exploring what is 
relative (like space and time, when considered separately), it stresses what is absolute and invariant – 
like the spacetime interval invariance underneath the new metric which prohibits a Euclidean 
interpretation of spacetime plots. Finally, the twin paradox is herein addressed with parabolic and 
hyperbolic paths, to stress that acceleration can (and should) be included in special relativity. 
 
 
Key words: Minkowskian spacetime, Hyperbolic plane, Boost / Active Lorentz transformation, Doppler 
effect, Hyperbolic motion, Twin paradox, Geometric algebra of the hyperbolic plane. 
 
 
v 
 
 
 
vi 
 
RESUMO 
A teoria da relatividade restrita de Einstein provocou uma transformação radical da nossa 
interpretação do espaço e do tempo. Na física contemporânea, nomeadamente nas teorias quânticas 
de campo, esta teoria constitui uma ferramenta fundamental. Tanto a electrodinâmica clássica como a 
electrodinâmica quântica dependem fortemente desta nova visão da física. 
O principal objectivo desta dissertação é o de desenvolver uma formulação vectorial, com uma 
interpretação geométrica directa, do plano hiperbólico como a simplificação bidimensional do espaço-
tempo quadridimensional de Minkowski. Pretende-se criar uma visualização gráfica intuitiva da 
relatividade do conceito de simultaneidade, que implica não só a dilatação do tempo mas também a 
contracção do espaço. Esta álgebra geométrica vem tornar (quase) irrelevante o papel tradicional 
desempenhado pela transformação passiva de coordenadas. Naturalmente que os efeitos que 
dependem da construção quadridimensional, como a rotação de Thomas, escapam a esta construção 
estritamente bidimensional. 
São abordados vários exemplos típicos de paradoxos clássicos: a vara e o celeiro; o paradoxo dos 
gémeos. A visualização gráfica, previamente desenvolvida, desempenha aqui um papel determinante. 
Esta visão alternativa tem, também, um outro aspecto positivo: mais do que explorar o que é relativo 
(como o espaço e o tempo), acentua o que (agora) é absoluto – como a invariância do intervalo 
inscrita na nova métrica e que proíbe uma leitura euclidiana das figuras. O paradoxo dos gémeos é 
aqui especialmente investigado quer com um troço parabólico quer através de três troços 
hiperbólicos, de forma a ilustrar como a aceleração pode (e deve) ser incluída num estudo (apenas) 
dedicado à relatividade restrita. 
 
 
Palavras-chave: Espaço-tempo de Minkowski, Plano hiperbólico, Boost / Transformação de Lorentz 
activa, Efeito Doppler, Movimento hiperbólico, Paradoxo dos gémeos, Álgebra geométrica do plano 
hiperbólico.
vii 
 
viii 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 2.1 - Referenciais de inércia S e S  . ....................................................................................... 15 
Figura 2.2 - Diagrama espaço-tempo. ................................................................................................... 16 
Figura 2.3 - Transformação de Galileu num diagrama espaço-tempo. ................................................ 17 
Figura 2.4 - Representação de dois sinais electromagnéticos. ............................................................ 18 
Figura 2.5 - Observador dentro de um vagão. ...................................................................................... 19 
Figura 2.6 - Observador na estação. ..................................................................................................... 20 
Figura 2.7 - Construção da equitemp x . ............................................................................................. 21 
Figura 2.8 - Equilocs e equitemps de S  . ............................................................................................ 23 
Figura 2.9 - Sequência temporal de acontecimentos. ........................................................................... 23 
Figura 2.10 - Parâmetro  em função de  . ........................................................................................ 25 
Figura 2.11 - Representação geométrica das hipérboles e assimptotas. ............................................. 28 
Figura 2.12 - Geometria euclidiana vs geometria hiperbólica. ..............................................................29 
Figura 2.13 - Diagrama de Minkowski. .................................................................................................. 33 
Figura 2.14 – Duas naves espaciais A e B . .................................................................................. 34 
Figura 3.1 - Dilatação do tempo. ........................................................................................................... 38 
Figura 3.2 - Contracção do espaço. ...................................................................................................... 40 
Figura 3.3 - Reciprocidade da dilatação do tempo. .............................................................................. 41 
Figura 3.4 - Reciprocidade da contracção do espaço. .......................................................................... 42 
Figura 3.5 - “Paradoxo” da vara e do celeiro......................................................................................... 45 
Figura 3.6 - Sinais supra-luminosos. ..................................................................................................... 46 
Figura 3.7 - Velocidades supra-luminosas. ........................................................................................... 47 
Figura 3.8 - Variação de 
maxu c no intervalo 0 1  . ........................................................................ 49 
Figura 3.9 - Variação de u c para 4 5  e 0 90 .  ..................................................................... 50 
Figura 4.1 - Método do radar de Bondi. ................................................................................................ 52 
Figura 4.2 - Método do radar de Bondi(2). ............................................................................................ 53 
Figura 4.3 - Intervalo espaço-tempo. .................................................................................................... 55 
file:///C:/Users/Telmo/Dropbox/dissertação3/for%20introduction/Dissertação%208.docx%23_Toc464244104
file:///C:/Users/Telmo/Dropbox/dissertação3/for%20introduction/Dissertação%208.docx%23_Toc464244105
file:///C:/Users/Telmo/Dropbox/dissertação3/for%20introduction/Dissertação%208.docx%23_Toc464244113
file:///C:/Users/Telmo/Dropbox/dissertação3/for%20introduction/Dissertação%208.docx%23_Toc464244124
ix 
 
Figura 4.4 - Sinal electromagnético comum a três observadores. ........................................................ 57 
Figura 4.5 - Velocidade relativa entre os referenciais. .......................................................................... 58 
Figura 4.6 - Efeito de Doppler. .............................................................................................................. 59 
Figura 4.7 - Linhas de universo de Alice e Bob. ................................................................................... 61 
Figura 4.8 - Vectores unitários de Alice e Bob. ..................................................................................... 62 
Figura 4.9 - Emissão de um sinal electromagnético em A. ................................................................... 63 
Figura 4.10 - Sinais electromagnéticos emitidos e recebidos por cada um dos gémeos. .................... 64 
Figura 4.11 - Linha de universo de Alice com troço parabólico. ........................................................... 65 
Figura 5.1 - Movimento hiperbólico. ...................................................................................................... 73 
Figura 5.2 - Linha de universo de Alice constituída por troços hiperbólicos. ........................................ 74 
Figura 5.3 - Variação de  t . ............................................................................................................. 78 
Figura 5.4 - Variação de T T com  . .................................................................................................. 78 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela B.1 – Tabuada 1,1C ................................................................................................................. 90 
 
 
 
file:///C:/Users/Telmo/Dropbox/dissertação3/for%20introduction/Dissertação%208.docx%23_Toc464244131
x 
 
SÍMBOLOS 
c Velocidade da luz 
n Índice de refracção 
E Vector campo eléctrico 
B Vector campo magnético 
F Força de Lorentz 
q Carga eléctrica 
v Velocidade instantânea 
xE Componente do campo eléctrico segundo o eixo x 
yE Componente do campo eléctrico segundo o eixo y 
zE Componente do campo eléctrico segundo o eixo z 
xB Componente do campo magnético segundo o eixo x 
yB Componente do campo magnético segundo o eixo y 
zB Componente do campo magnético segundo o eixo z 
yE Componente do campo eléctrico segundo o eixo y 
zE Componente do campo eléctrico segundo o eixo z 
S Referencial próprio 
S  Referencial relativo 
 Ângulo (euclidiano) entre referenciais 
 Velocidade relativa normalizada 
0L Comprimento próprio 
L Comprimento relativo 
0T Tempo próprio 
T Tempo relativo 
 Factor de transformação de Lorentz 
xi 
 
 Rapidez do boost de Lorentz 
0e Vector unitário do tipo tempo do espaço-tempo de Minkowski 
1e Vector unitário do tipo espaço do espaço-tempo de Minkowski 
r Vector acontecimento do espaço-tempo de Minkowski 
k Factor de Bondi 
I Intervalo espaço-tempo 
 Medida do intervalo espaço-tempo 
D Distância euclidiana 
 Tempo próprio 
f Frequência 
f  Frequência relativa 
u Velocidade própria de uma particula 
a Aceleração relativa 
 Valor da aceleração própria 
 
 
xii 
 
 
ÍNDICE 
Agradecimentos .................................................................................................................................... ii 
Abstract ................................................................................................................................................. iv 
Resumo.................................................................................................................................................. vi 
Lista de figuras ................................................................................................................................... viii 
Lista de tabelas ..................................................................................................................................... ix 
Símbolos................................................................................................................................................. x 
Capítulo 1 Introdução ...................................................................................................................... 1 
1.1 Enquadramento ....................................................................................................................... 2 
1.2 Motivações e objectivos ........................................................................................................ 10 
1.3 Estrutura da dissertação ........................................................................................................ 11 
1.4 Contribuições originais .......................................................................................................... 12 
Capítulo 2 Simultaneidade, diagramas de Minkowski e invariância do intervalo ................... 13 
2.1 Os postulados de Einstein ..................................................................................................... 14 
2.2 Transformação de Galileu ..................................................................................................... 14 
2.3 Relatividade da simultaneidade............................................................................................. 19 
2.4 Construção geométrica dos referenciais ............................................................................... 20 
2.5 Transformação de Lorentz ....................................................................................................24 
2.6 Invariância do intervalo espaço-tempo .................................................................................. 26 
2.7 O espaço quadrático de Minkowski ....................................................................................... 30 
2.7.1 Aplicação ....................................................................................................................... 33 
Capítulo 3 Dilatação do tempo, contracção do espaço e causalidade .................................... 37 
3.1 Dilatação do tempo ................................................................................................................ 37 
3.2 Contracção do espaço ........................................................................................................... 39 
3.3 Reciprocidade da dilatação do tempo ................................................................................... 41 
3.4 Reciprocidade da contracção do espaço .............................................................................. 42 
3.5 O “paradoxo” da vara e do celeiro ......................................................................................... 43 
3.6 Causalidade ........................................................................................................................... 46 
3.7 Velocidades supra-luminosas aparentes .............................................................................. 47 
xiii 
 
Capítulo 4 Cálculo de Bondi ......................................................................................................... 51 
4.1 Cálculo do factor k de Bondi .............................................................................................. 52 
4.2 A “distância” na relatividade restrita ...................................................................................... 55 
4.3 Composição de velocidades.................................................................................................. 57 
4.4 Efeito de Doppler ................................................................................................................... 59 
4.5 O “Paradoxo” dos gémeos .................................................................................................... 60 
4.5.1 O “paradoxo” dos gémeos com um troço parabólico .................................................... 65 
Capítulo 5 Movimento hiperbólico e aplicações ......................................................................... 69 
5.1 Movimento hiperbólico ........................................................................................................... 70 
5.2 O “paradoxo” dos gémeos com movimento hiperbólico ........................................................ 74 
Capítulo 6 Conclusões e perspectivas de trabalho futuro ........................................................ 79 
6.1 Conclusões ............................................................................................................................ 80 
6.2 Perspectivas de trabalho futuro ............................................................................................. 81 
Referências .......................................................................................................................................... 83 
Anexo A Tempo próprio................................................................................................................... 87 
Anexo B Álgebra (geométrica) de clifford 
1 1,
C ........................................................................ 89 
 
 
 
 
xiv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xv 
 
 
 
 
1 
 
Capítulo 1 
 
INTRODUÇÃO 
Este capítulo contém uma breve introdução e um enquadramento histórico sobre a teoria da 
relatividade restrita. Posteriormente são apresentados os motivos que levaram à realização desta 
dissertação, bem como os seus objectivos. É, também, apresentada a estrutura e forma como a 
dissertação se encontra organizada. Por fim, são relatados os principais contributos originais deste 
trabalho. 
 
 
 
 
2 
 
1.1 Enquadramento 
Até a época de Galileu (1564-1642) haviam grandes dúvidas a respeito da luz. Galileu tentou medir a 
velocidade da luz, mas sem sucesso, concluindo apenas que era excessivamente grande. Descartes 
(1596-1650) ao estudar os eclipses da lua, concluiu que a velocidade da luz era infinita [1]. Excluindo 
assim a hipótese da luz ser constituída por partículas, pois nenhuma partícula poderia ter velocidade 
infinita, isso significaria que o tempo que levaria a propagar-se era nulo, i.e., a partícula estaria em 
todos os lugares ao mesmo tempo. 
Influenciado pelo trabalho desenvolvido pelos gregos, o físico inglês Isaac Newton (1642-1727) 
formulou um modelo para explicar a natureza da luz, conhecido hoje como a teoria da natureza 
corpuscular da luz. Este modelo consiste num fluxo de partículas microscópicas que são emitidas por 
fontes luminosas a grande velocidade. Com isto pôde criar um modelo mecânico, determinista, de 
corpos materiais em movimento, onde seria possível determinar várias grandezas ao mesmo tempo. 
Portanto, de acordo com Newton, o princípio da relatividade também se deveria de aplicar à luz. No 
entanto havia autores que discordavam. 
Em 1675, Olaus Römer (1644-1710), concluiu que a luz levaria um certo tempo a propagar-se. Ele 
estudou os eclipses dos satélites de Júpiter e percebeu que esses eclipses aconteciam antes do 
previsto quando a Terra se estava a aproximar de Júpiter e depois do previsto quando se estava a 
afastar. Deste estudo ele concluiu que a luz demorava aproximadamente 22 minutos para percorrer 
uma distância igual ao diâmetro da orbita terrestre [2]. 
Uma vez que a propagação da luz não era instantânea, então poderia a luz ser constituída por 
partículas como Newton veio a confirmar. No entanto Christiaan Huygens (1629-1695) sugeriu que a 
luz também poderia ser constituída por ondas que se propagavam num meio transparente que 
preenche o espaço - o éter [3]. 
As preocupações com o princípio da relatividade acentuaram-se no século XIX devido a experiências 
que tentaram medir a velocidade da Terra em relação ao éter que não conseguiram. 
No início do século XIX houve uma mudança nas teorias sobre a natureza da luz. Até aqui quase 
todos os físicos aceitavam a teoria corpuscular e a partir do seculo XIX começaram a por como 
hipótese a teoria ondulatória. Thomas Young (1773-1829) e Augustin Jean Fresnel (1788-1827) foram 
os principais responsáveis por essa mudança. Fresnel admitia um éter em repouso, portanto, o éter 
não seria afectado pelo movimento da terra e seria capaz de atravessar todos os objectos, por mais 
densos que fossem [4]. 
Em 1845, George Gabriel Stokes (1819-1903) propôs uma nova teoria do éter. A teoria de Stokes 
sugeria que o éter comportava-se como um líquido viscoso, que aderia à superfície dos corpos, 
sendo quase totalmente arrastado pela Terra, ficando em repouso em relação a ela na região próxima 
ao solo. Uma vez que o éter estaria em repouso junto ao solo, resultaria que qualquer experiência 
óptica puramente terrestre era independente do movimento da Terra [4]. 
3 
 
No final do século XIX, a maioria dos físicos acreditavam que o éter era uma identidade física que 
preenchia todo o espaço e que transmitia a luz. No entanto, a própria teoria do éter previa algumas 
dificuldades em medir a velocidade da Terra em relação ao éter. Em particular, em experiências que 
usassem apenas fenómenos luminosos com propagação rectilínea, reflecção e refracção, deviam de 
surgir diversos efeitos que se cancelariam, impedindo a detecção do movimento da Terra em relação 
ao éter. 
Mas isso não queria dizer que se deveria de descartar a hipótese da existência de éter. Pois 
proporcionava uma explicação qualitativa para as forças electromagnéticas e para a propagação da 
luz no vácuo. Assim como uma teoria quantitativa do éter, desenvolvidapor Fresnel, propunha que 
um corpo material transparente (como vidro ou água) em movimento pudesse arrastar parte do éter 
consigo. A proporção  de éter arrastado dependia do índice de refracção n do material, sendo dada 
por 21 1 n   [5]. 
Em 1851, Armand-Hippolyte-Louis Fizeau (1819-1896), pôs em prática a previsão teórica de Fresnel. 
A experiência consistiu na medição (indirectamente) da velocidade da luz dentro de um tubo onde 
havia água em movimento com uma velocidade v . 
De acordo com um resultado obtido por uma experiência anterior realizada pelo próprio Fizeau e 
Jean-Bernard-Leon Foucault (1819-1869), a velocidade da luz com a água em repouso era c n [6]. 
Portanto a nova experiência pretendia determinar a velocidade da luz com a água em movimento. 
Havia três possibilidades: 
1. Se a água não arrastasse o éter, então a velocidade da luz era independente da velocidade da 
água e deveria de ser c n . 
2. Se a água arrastasse o éter na sua totalidade, então a velocidade da luz deveria ser a soma da 
velocidade da água v com a velocidade da luz em relação à água c n . 
3. Se a água arrastasse parcialmente o éter (como previsto por Fresnel), então a velocidade da luz 
deveria de ser a soma da velocidade da luz em relação à água c n com uma parte  da 
velocidade da água, portanto seria v c n  . 
O resultado obtido por Fizeau foi o da terceira hipótese, confirmando a teoria do éter de Fresnel [6]. 
Portanto, para alguns fenómenos (como para a refracção) a teoria resultava. Mas para outros tipos de 
fenómenos a teoria era inconclusiva. 
Houveram experiências durante o século XIX, através de fenómenos de polarização e de difracção, 
que pareciam ter detectado deslocamento de éter causado pelo movimento da Terra. Posteriormente, 
foram repetidas as mesmas experiências e obtiveram resultados diferentes dos anteriores. James 
Clerk Maxwell (1831-1879) acreditava na existência de éter, onde efectuou diversas experiências 
para medir a velocidade da Terra em relação ao éter. Os testes mais famosos foram realizados por 
Albert Abraham Michelson (1852-1931) em 1881 (e, depois, novamente por Michelson em conjunto 
com Edward Williams Morley (1838-1923) em 1887 [7]), utilizando um interferómetro óptico, não 
4 
 
conseguiram observar os efeitos previstos pela teoria do éter de Fresnel. Até à data haviam dois 
excelentes resultados, o de Fizeau e o de Michelson e Morley. Um confirmava a teoria de Fresnel 
para o arrastamento do éter por corpos transparentes, o outro contrariava a teoria de Fresnel para o 
éter em repouso. Aparentemente não era possível explicar com apenas uma única teoria dois 
resultados que eram contraditórios entre si. Parecia necessário elaborar uma nova teoria do éter. 
Poucos anos depois da experiência de Michelson e Morley, George Francis FitzGerald (1851-1901) e 
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) propuseram, independentemente, uma solução para a teoria do 
éter de Fresnel. Eles concluíram que o interferómetro em movimento através do éter produziria uma 
contração do seu comprimento. Na época não havia nenhum motivo físico para imaginar que o 
movimento dos corpos através do éter devesse mudar as suas dimensões. Tanto Fitzgeral como 
Lorentz, do resultado da experiência de Michelson e Morley, deduziram que alguma coisa poderia 
estar a cancelar o efeito do vento de éter, atribuindo a essa coisa o efeito de contracção [9]. 
Nesta altura, meados de 1900, a explicação da existência do éter era bastante confusa. As duas mais 
importantes teorias do éter – a de Fresnel e a de Stokes – apenas permitiam explicar uma parte dos 
resultados experimentais. A teoria de Fresnel não era coerente com a experiência de Michelson e 
Morley de 1887, no entanto, se admitíssemos a contracção dos objectos já havia uma compatibilidade 
entre eles. Foi nesta direcção que alguns importantes investigadores, como Lorentz e Poincaré, 
desenvolveram os seus trabalhos. 
Maxwell desenvolveu todas as equações da sua teoria electromagnética supondo que os fenómenos 
eram analisados do ponto de vista de um referencial parado em relação ao éter. Em princípio, quando 
se procedesse ao estudo de fenómenos electromagnéticos num sistema em movimento em relação 
ao éter, poderiam surgir novos efeitos. Pondo-se a hipótese de poder medir a velocidade de um corpo 
em relação ao éter através de uma experiência electromagnética. No entanto Maxwell percebeu que, 
pelo menos no caso de alguns fenómenos electromagnéticos, apenas os movimentos relativos dos 
corpos produzem efeitos. Ele mostrou isso com a experiência de Faraday (indução electromagnética): 
quando um íman é aproximado ou afastado de um enrolamento, surge uma corrente eléctrica no 
condutor; se o íman ficar parado e o enrolamento é que possuir movimento, aparece exactamente o 
mesmo efeito. Concluindo assim que o aparecimento da corrente apenas depende do movimento 
relativo entre o íman e o condutor. 
Um físico alemão, August Föppl (1854-1924), comentou que o efeito da indução electromagnética só 
depende do movimento relativo do íman e do condutor, i.e., se eles se moverem em conjunto não 
ocorrerá nenhum efeito. Föppl, baseando-se no estudo de Maxwell, diz que para todos os fenómenos 
electromagnéticos apenas poderiam ser importantes os movimentos relativos. 
De acordo com o historiador Gerald Holton, Einstein estudou o livro de Föppl (“Introdução à teoria da 
electricidade de Maxwell”) e foi inspirado nele que escreveu o inicio do seu artigo de 1905 [10]. 
Em 1887, Waldemar Voigt (1850-1919) publicou um trabalho sobre o efeito de Doppler para a luz, i.e., 
a variação da frequência e do comprimento de onda da radiação, quando ela (fonte) ou o observador 
5 
 
se movem em relação ao éter. Ele começou por estudar as propriedades das ondas luminosas em 
diferentes sistemas de referência. A equação de propagação da onda, em relação ao éter, era: 
 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
0
U U U U
x y z c t
   
   
   
 (1.1) 
Voigt impôs que essa equação deveria de ser covariante, i.e., ter a mesma forma em todos os 
referenciais. No entanto, isso exigia a utilização de um tipo especial de transformação de 
coordenadas. Considerando dois referenciais ( , )S x t e ( , )S x t   que se movem um em relação ao 
outro, com uma velocidade v , na direcção x . A posição de um objecto, na direcção x , relaciona-se 
da seguinte forma: 
 x x vt   (1.2) 
onde x é a posição do objecto em relação a S  , x é a posição do objecto em relação a S , e t é o 
tempo decorrido a partir do instante em que as origens de S e S  se cruzam. Esta é uma relação já 
bem conhecida da mecânica clássica. 
Utilizando a equação anterior supondo que y y  , z z  e t t  , a equação de onda não mantém a 
mesma forma quando se muda de referencial. De forma a que a equação de onda fosse covariante, 
Voigt determinou as seguintes transformações de coordenadas [11]: 
 
2
2
2
2
2
1
1
x x vt
v
y y
c
v
z z
c
x
t t v
c
  

   


  


  

 (1.3) 
Apenas a relação entre as coordenadas x tinham um significado físico. As restantes transformadas 
eram apenas manipulações matemáticas com o intuito de com a mudança de referencial a equação 
de onda manter a mesma forma. Note-se que Voigt deduziu as suas transformações segundo duas 
condições. A primeira foi que a equação de onda fosse covariante, e a segunda que a transformação 
da coordenada x fosse como já conhecida da mecânica clássica. Sem a segunda condição haveria 
muitos outros conjuntos de equações que obedeciam à primeira condição. 
Em 1893, Joseph Larmor (1857-1942) publicou um trabalho a respeito da teoria do éter. Ele tentou 
justificar, partindo das equações de Maxwell, os resultados obtidos nas experiências ópticas. 
Considerando que a luz era um fenómeno electromagnético, a impossibilidade de medir a velocidade 
da Terra em relação ao éter podia significar que todos osfenómenos electromagnéticos ocorriam 
exactamente da mesma forma. Seja num referencial parado em relação ao éter ou num referencial 
em movimento. Larmor tentou desenvolver as transformações de coordenadas semelhantes às que 
posteriormente Lorentz desenvolveu, mas estas eram incorrectas. 
6 
 
Em 1895, partindo das equações de Maxwell, Lorentz propõe a teoria do electromagnetismo para 
sistemas em movimento. As equações de Maxwell que são escritas na actualidade na verdade foram 
escritas pela primeira vez por Oliver Heaviside (1850-1925). Mas ambos assumiram que essas 
equações eram válidas para fenómenos ocorridos num referencial em repouso em relação ao éter. 
Lorentz assumiu que essas equações deveriam de ser válidas em relação a outros referenciais, caso 
não fossem, deveriam ocorrer fenómenos diferentes num referencial parado e num referencial em 
movimento em relação ao éter, que permitiam detectar o movimento da Terra em relação ao éter. 
Lorentz provou que as equações de Maxwell eram válidas em qualquer referencial desde que fossem 
usadas as seguintes transformações de coordenadas: 
 
2
2
x x vt
y y
z z
x
t t v
c
c
  
  

  


  

    

    

E E v B
E
B B v
 (1.4) 
À semelhança de Voigt, Lorentz utilizou inicialmente a transformação clássica da coordenada x e 
supôs que as restantes coordenadas espaciais não sofriam nenhuma alteração. Em relação à 
transformação no tempo ele intitulou-a de tempo local, apesar de não ver um significado físico [12]. 
Em relação às transformações dos campos eléctricos e magnéticos, a primeira foi obtida através da 
força de Lorentz,  q  F E v B , a segunda é uma consequência da primeira. 
Em 1895, Henri Poincaré (1854-1912) publicou um artigo no qual discutia a ideia de Larmor. Nesse 
artigo ele afirma que é impossível medir o movimento absoluto da matéria, i.e, o movimento relativo 
da matéria em relação ao éter. Apenas se podia medir movimento da matéria em relação à matéria. 
Em 1899 Poincaré voltou ao assunto publicando um artigo intitulado de lei da relatividade onde refere 
que apenas os movimentos entre os corpos materiais podem produzir efeitos. Comentou que todos 
os efeitos que pudessem depender do movimento de um sistema em relação ao éter dever-se-iam 
cancelar de tal forma que seria impossível detectar o movimento do sistema em relação ao éter. 
Poincaré comentou que a contracção dos corpos materiais, formulada por Lorentz e Fitzgerald, era 
uma explicação ad hoc, inventada apenas para justificar o resultado da experiência de Michelson e 
Morley. Era então necessário desenvolver uma teoria universal, aplicável a todos os fenómenos, 
compatível com a lei da relatividade. 
Em 1900, Poincaré publicou um novo artigo, intitulado de princípio do movimento relativo. Nesse 
artigo ele dá uma interpretação física para o tempo local de Lorentz, mostrando que essa 
transformação no tempo representava o tempo medido quando os relógios eram sincronizados com 
recurso a sinais luminosos. 
7 
 
Finalmente dois anos mais tarde Poincaré publica, no seu livro Ciência e hipótese, o princípio de 
relatividade. Para ele a justificação da existência desse princípio era apenas devido aos resultados 
obtidos nas experiências efectuadas durante o seculo XIX. Nenhuma conseguiu revelar a velocidade 
da Terra em relação ao éter. Apenas movimentos relativos entre corpos materiais podem ser 
medidos. De acordo com dois amigos de Einstein, Maurice Solovine e Carl Seelig, Einstein leu o livro 
de Poincaré entre os anos 1902 e 1903. Portanto, Einstein conhecia o princípio da relatividade de 
Poincaré e outras ideias desse autor, quando escreveu o seu artigo em 1905. 
Em 1900 Larmor publica um livro intitulado Éter e matéria no qual, ao contrário do artigo que publicou 
em 1893, formula correctamente as transformações de espaço e tempo que mantêm as equações de 
Maxwell invariantes. Os resultados que ele chegou foram a primeira versão correcta das 
transformações de Lorentz. As transformações obtidas por Larmor foram [13]: 
 
2 2
2 2 2
1
1
x vt
x
v c
y y
z z
t t v c x v c

 

  
  

    
 (1.5) 
Substituindo x em t  obtém-se a transformação de Lorentz para o tempo. Mas, actualmente, tais 
transformações são denominadas por transformações de Lorentz. À partida parece estranho uma vez 
que Larmor descobriu-as primeiro que Lorentz. No entanto essas equações só se tornam uteis, no 
electromagnetismo, quando são acompanhadas pelas transformações correctas das grandezas 
electromagnéticas. Larmor não conseguiu chegar a esse conjunto de equações. 
Quatro anos depois, em 1904, Lorentz publicou um artigo onde propõe uma teoria exacta do 
electromagnetismo dos corpos em movimento. Nesse artigo Lorentz apresenta a sua transformação 
de espaço e tempo em duas etapas. Na primeira etapa ele passa de um sistema S parado em 
relação ao éter para um sistema S  em movimento, utilizando as transformações da física clássica, 
i.e.: 
 
x x vt
y y
z z
t t
  
  

 
  
 (1.6) 
 
Seguidamente, na segunda etapa, ele transforma o espaço e tempo do sistema de referência em 
movimento, utilizando as seguintes relações: 
8 
 
 
2 2
2
2 2
2 2
1
1
1
x
x
v c
y y
z z
x v c
t t v c
v c

 

  

 
 
   
 
 (1.7) 
Combinando os dois conjuntos de equações obtém-se a forma usual das transformações de Lorentz: 
 
2 2
2
2 2
1
1
x vt
x
v c
y y
z z
t vx c
t
v c

 

  

 
 
 
 
 (1.8) 
No entanto, é importante referir o motivo pelo qual Lorentz faz essas transformações em duas etapas. 
Para ele, a verdadeira transformação de coordenadas é as que constam na primeira etapa (que é 
usualmente designado de transformações de Galileu). As transformações formuladas na segunda 
etapa eram apenas um conjunto de transformações artificiais puramente matemáticas, sem qualquer 
significado físico, que permitiam tonar as leis de Maxwell covariantes. 
Lorentz também obteve as transformações dos campos electromagnéticos, que podem ser escritas 
da seguinte forma: 
 
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
1
1
1
1
x x
y z
y
z y
z
x x
y z
y
z y
z
v
v c
v
v c
v c
v c
v c
v c
  

 
 

  
  
 

 

   



  
 
 
E E
E B
E
E B
E
B B
B E
B
B E
B
 (1.9) 
Com esse conjunto de equações Lorentz mostrou que é impossível medir o movimento da Terra em 
relação ao éter por fenómenos electromagnéticos (e ópticos). Analisando a alteração das forças 
electromagnéticas quando os corpos se movem através do éter e supondo que as forças que mantêm 
a forma dos objectos sólidos se transformam do mesmo modo, Lorentz provou que os objectos 
sofrem uma contracção dos seus comprimentos quando estes se movem através do éter. Portanto, a 
contracção de Lorentz deixou de ser uma explicação inventada sob a justificação dos resultados 
9 
 
obtidos na experiencia de Michelson e Morley, tornando-se uma consequência das mudanças das 
forças entre as partículas que compõem cada corpo. 
Em 1905, Einstein publicou dois artigos que tiveram um grande impacto na teoria da relatividade [14]. 
Um deles foi intitulado Sobre a electrodinâmica dos corpos em movimento e contém essencialmente 
o que é conhecido agora por Teoria da Relatividade Restrita. Nesse artigo Einstein obtém 
essencialmente os mesmos resultados que já haviam sido obtidos por outros autores, porém de uma 
forma muito mais simples e clara. No outro artigo, como suplemento do anterior, ele deduz em menos 
de três páginas a provavelmente formula mais famosa da física: 2E mc . 
Sob o ponto de vista de novos resultados científicos, o trabalho de Einstein de 1905 não trouxe 
muitas contribuições. Pode-se dizer que quase todas as equações obtidas por Einstein já haviam sido 
obtidas antes. No entanto, os trabalhos que foram desenvolvidosaté aqui tinham como base a 
existência de éter. O éter era considerado um conceito útil, capaz de proporcionar uma compreensão 
dos fenómenos, embora nunca conseguiram provar a sua existência. 
Para Einstein, o éter era um conceito inútil, uma vez que não era possível ser detectado. No artigo 
publicado em 1905, ele adoptou o conceito de que o que não fosse detectável deveria de ser excluído 
da física. 
A teoria da relatividade de Einstein é geralmente famosa por ser extremamente complexa e difícil de 
compreender. Mas, na verdade, a sua exposição por parte de Einstein foi bastante clara e sucinta. O 
mesmo já não acontece nos trabalhos realizados por Lorentz e Poincaré. Estes autores não 
apresentavam uma versão final e didáctica das suas ideias. Mostravam uma construção gradual, 
através de várias tentativas, de uma teoria que sofria constantemente diversas alterações. Eles não 
tinham com clareza sobre o que deveria de ser tomado como ponto de partida. Não tinham um 
conjunto de postulados e um método de dedução dos resultados. Cada caso particular era estudado 
por um novo método. 
Em contraste, Einstein apresenta os seus pressupostos com muito mais clareza. Parte de dois 
postulados tornando as deduções mais simples e claras, tanto sob o ponto de vista conceptual como 
matemático. Há um método geral que é transversal a todos os casos. Esse foi um aspecto em que 
Einstein impressionou e foi apreciado por toda a comunidade científica. Mesmo para aqueles que não 
concordaram com os aspectos conceituais e epistemológicos da teoria de Einstein perceberam que a 
sua metodologia era bastante aliciante. 
Em 1908, Hermann Minkowski (1864-1909) proferiu a sua famosa palestra Espaço e Tempo numa 
conferência de cientistas alemães de diversas áreas. Ele viu-se perante o seguinte problema: como 
explicar aos presentes, muitos dos quais não eram físicos nem matemáticos, a teoria da relatividade 
restrita introduzida por Einstein em 1905 cujo tratamento matemático envolvia conceitos matemáticos 
(tensores, geometria não-euclidiana). Minkowski fê-lo falando somente da alteração que a teoria da 
relatividade restrita introduzia nos conceitos de espaço e de tempo, mas sem recorrer a Matemática 
sofisticada. 
10 
 
A fim de explicar o significado da Relatividade e do espaço-tempo, Minkoski teve a ideia de 
representar o movimento de objectos ao longo deste ultimo através daquilo que agora se designa por 
diagramas de Minkowski. 
Minkowski também aproveitou os seus diagramas para representar, para cada observador, dois 
cones: o cone dos acontecimentos futuros relativos a esse observador e o cone dos acontecimentos 
passados. Também introduziu a distinção, agora clássica, entre vectores 
4r do tipo tempo e 
vectores do tipo espaço. 
Sobre o tema, a teoria da relatividade restrita, existe uma vasta bibliografia que pode ser consultada. 
Desde bibliografia de nível introdutório [16-24], assim como bibliografia de nível médio [25-32], até a 
bibliografia de nível avançado [33-37]. 
 
1.2 Motivações e objectivos 
O ponto de partida para o desenvolvimento desta dissertação de Mestrado foi dado na disciplina de 
Fotónica presente no plano curricular do Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de 
Computadores (MEEC), na qual me despertou curiosidade e interesse em aprofundar os conceitos 
resultantes da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein. 
À partida pode parecer estranho a apresentação deste tema para uma dissertação final do curso 
MEEC. Contudo existe uma relação íntima entre a teoria da relatividade restrita e o 
Electromagnetismo. 
Na teoria da relatividade restrita, Einstein formulou dois postulados em que o segundo traduz que a 
velocidade da luz, 1299 792 458c m s  , representa o limite máximo para a velocidade cósmica. Uma 
consequência desta realidade é a do campo electrostático radial, que varia com o inverso do 
quadrado da distância, dar origem (na zona distante de uma carga eléctrica acelerada) a um campo 
de radiação, que ao contrário do campo electrostático, é transversal e varia inversamente com a 
distância [15]. 
Outra consequência é a experiencia de um enrolamento (aberto) de um fio condutor a deslocar-se 
sobre um campo magnético estático. Do ponto de vista do campo magnético, que vê o fio em 
movimento, vê cargas em movimento sobre o campo magnético que segundo a força de lorentz, 
q F v B , existe uma força magnética provocando uma corrente e portanto existirá uma tensão no 
fio. Agora, do ponto de vista do fio condutor, este vê o campo magnético em movimento, i.e., vê um 
campo magnético a variar no tempo e portanto de acordo com a lei geral da indução, 
,t   E B existe electromagnetismo. 
 
 
11 
 
1.3 Estrutura da dissertação 
Esta dissertação é composta por seis capítulos, cada um subdividido em várias secções. O primeiro 
capítulo inicia-se com uma secção de enquadramento onde é realizado um resumo histórico sobre a 
Teoria da relatividade restrita. Desde o que era considerado, pela comunidade científica, antes desta 
teoria até ao seu aparecimento. Relata os cientistas envolvidos e as suas contribuições. Na secção 
seguinte, são apresentados os motivos e objectivos que levaram à realização desta dissertação. 
Posteriormente é apresentada de forma sumária a estrutura e organização da dissertação, bem como 
as principais contribuições originais associadas a esta. 
No segundo capítulo, começa-se por enunciar os postulados que Einstein usou como partida no seu 
artigo sobre a Teoria da relatividade restrita. Seguidamente é deduzida a transformada de Galileu. 
Tendo em conta que a transformada de Galileu afirma que o tempo é absoluto e a relatividade vai 
contra tal afirmação, sucedesse a revisão do conceito de simultaneidade. Como consequência são 
determinadas as equilocs e equitemps de dois referenciais que possuem uma velocidade relativa 
entre eles. É também deduzida a transformação de Lorentz, quer a forma passiva quer a activa. Por 
fim, mostra-se a existência de um absoluto na relatividade restrita, que é a invariância do intervalo. 
No terceiro capítulo começa-se por abordar, formalmente, duas das consequências mais conhecidas 
da teoria da relatividade restrita – a dilatação do tempo e a contracção do espaço. Em seguida, 
mostra-se que a dilatação do tempo como, também, a contracção do espaço são um efeito real e 
reciproco. É apresentado o “paradoxo” da vara e do celeiro. Por fim, estuda-se a causalidade e a 
possibilidade de existirem velocidades supra-luminosos, que, no entanto, não passam de uma 
aparência. 
O capítulo 4 inicia com a determinação do factor k de Bondi a partir do método do radar de Bondi. 
Com o valor de k determinado é definida a nova lei de composição de velocidades assim como o 
efeito de Doppler. Por fim, é apresentado o “paradoxo” dos gémeos de duas formas. A primeira é o 
caso em que a linha de universo do gémeo viajante é constituída por dois troços rectilíneos. A 
segunda é para o caso em que à linha de universo do viajante é adicionado um troço caracterizado 
por um arco de parábola. 
No capítulo 5 é estudado o movimento hiperbólico. Por fim, é realizado (novamente) o estudo do 
“paradoxo” dos gémeos em que a linha de universo do viajante é agora constituída por troços de 
hipérboles. 
Por fim, no capítulo 6 são resumidas as conclusões obtidas ao longo deste trabalho e são sugeridos 
alguns temas e assuntos a serem explorados no futuro, permitindo, eventualmente, dar seguimento a 
este trabalho. 
 
 
12 
 
1.4 Contribuições originais 
O tema desta dissertação tem uma ampla e vasta abordagem pela comunidade científica, sendo 
facilmente encontrado em diversos artigos e livros da especialidade. No entanto, a esmagadora 
maioria desses trabalhos centra-se na transformação passiva de Lorentz, i.e., em determinar de que 
forma as coordenadas de um acontecimento se transformam entre diferentes referenciaisde inércia. 
Resultando num estudo da teoria da relatividade restrita mais analítico. 
A principal contribuição desta dissertação assenta numa interpretação geométrica, gráfica e intuitiva 
de todos os efeitos da relatividade restrita sem recorrer às coordenadas, baseando-se 
essencialmente numa análise vectorial. A abordagem desenvolvida é essencialmente uma álgebra 
geométrica do plano hiperbólico. Assim, parte da transformação activa de Lorentz que transforma os 
vectores que caracterizam um dado referencial noutros vectores que caracterizam um outro 
referencial. 
Salienta-se ainda a análise do paradoxo dos gémeos segundo a perspectiva clássica de referenciais 
com movimento relativo uniforme mas também considerando referenciais uniformemente acelerados. 
No entanto, esta ultima análise, raramente é considerada, mesmo na literatura clássica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
Capítulo 2 
 
SIMULTANEIDADE, DIAGRAMAS DE 
MINKOWSKI E INVARIÂNCIA DO INTERVALO 
Neste capítulo começa-se por formular os postulados que Einstein usou como partida no seu artigo 
sobre a teoria da relatividade restrita. Seguidamente começa-se por estudar a transformação de 
Galileu evidenciando no que dela está errado motivando para uma formulação de uma nova teoria – a 
teoria da relatividade restrita. É revisto o conceito de simultaneidade e por consequência uma 
construção rigorosa do diagrama espaço-tempo (diagrama de Minkowski). Deduz-se a transformação 
de Lorentz, tanto na forma passiva como na forma activa. Por fim, chega-se a um resultado de 
elevada importância que é a invariância do intervalo espaço-tempo. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
2.1 Os postulados de Einstein 
A essência da teoria da relatividade restrita, formulada por Albert Eintein em 1905, radica na revisão 
do conceito de simultaneidade. De acordo com a transformação de Galileu, o tempo é universal e 
absoluto, i.e., não depende do referencial de inercia em que é medido. A teoria da relatividade restrita 
de Einstein parte de dois postulados que de acordo com a mecânica newtoniana são puramente 
contraditórios entre si. 
 
 Primeiro postulado (principio da relatividade): as leis da física são as mesmas em todos os 
referenciais de inércia. 
 
 Segundo postulado (invariância de c): a velocidade da luz no vácuo não depende da 
velocidade da sua fonte. 
 
Um referencial de inércia é um referencial (um sistema de referência matematicamente equivalente a 
um sistema de coordenadas) em que a estrutura não só do espaço, mas também do tempo, é 
homogénea e isotrópica. Existe, então, a classe de equivalência dos referenciais de inércia. Aqui, a 
relação de equivalência é o movimento relativo entre referenciais (fixado, pelo menos, um referencial 
de inércia): entre dois referenciais de inércia distintos existe sempre um movimento relativo uniforme 
e rectilíneo. 
 
2.2 Transformação de Galileu 
De acordo com a física pré-relativista, existe uma incompatibilidade entre os dois postulados 
enunciados anteriormente. Na mecânica newtoniana não existe um limite superior para a velocidade 
de uma partícula, como será possível verificar no seguinte caso. 
Considerando dois referenciais de inércia  , ,S x y z e  , ,S x y z    . Em que S  se afasta em 
relação a S com velocidade v . Admite-se que o movimento relativo apenas se efectua ao longo do 
eixo x - tal como descrito na Figura 2.1. 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
De acordo com a transformação de Galileu tem-se: 
 
x x vt x x vt
y y y y
z z z z
t t t t
      
    
 
   
    
 (2.1) 
A ultima equação do sistema de equações (2.1), t t , mostra precisamente o preconceito 
newtoniano de que o tempo é universal e absoluto, independentemente do referencial inercial em que 
é medido. Assim sendo, propõe-se o caso de um fotão com velocidade c em relação a S  , tal que 
x ct  . De acordo com a lei da adição de velocidades, contemplada pela transformação de Galileu, 
a velocidade w do fotão em relação a S é: 
    x wt x vt ct vt c v t c v t w c v               (2.2) 
Verifica-se então que a velocidade do fotão é superior à velocidade da luz ( 1299792458c m s  ). Mas 
este resultado está em total contradição com o segundo postulado, segundo o qual w c , i.e., a 
adição de velocidades não se aplica. Do ponto de vista relativista o resultado de (2.2) está errado pois 
a transformação de Galileu parte de um pressuposto falso: o de que t t  , i.e., o tempo é absoluto, 
também, quer dizer que, a simultaneidade tem um significado universal – independente do referencial 
medido. 
 
Em relatividade é habitual usar diagramas de espaço-tempo em que o eixo horizontal representa o 
eixo do espaço e o eixo vertical o do tempo. Nestas condições está-se a reduzir o espácio-temporal 
contínuo quadridimensional a um espácio-temporal contínuo bidimensional, onde existe uma única 
direcção espacial. A este sistema espaço-tempo bidimensional será designado por  ,S x t tal como 
se pode ver na Figura 2.2. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Referenciais de inércia S e S  . 
16 
 
 
 
 
 
 
 x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Num diagrama espaço-tempo, como se pode observar da figura anterior, um dado ponto C deste 
plano é designado por acontecimento a que corresponde o par ordenado  ,x tC C . Uma trajectória 
(linha) deste plano é designada por linha de universo. Portanto, na Figura 2.2, é possível encontrar os 
acontecimentos A , B e C ; e as linhas de universo 
0u , 1u e 2u . Uma linha de universo é uma 
sequência contínua de acontecimentos. A linha de universo 
0u corresponde à equação 0x x para 
todos os instantes, i.e., refere-se a uma partícula que se encontra estacionada na posição 
0x . Já a 
linha de universo 
1u representa uma partícula animada de movimento uniforme, i.e., a partícula viaja 
com uma velocidade constante. Por fim, a linha de universo 
2u representa uma partícula animada de 
movimento acelerado, uma vez que está sujeita a uma força variável no tempo. Ainda referente à 
figura convém definir o seguinte: o eixo temporal t corresponde à equação 0x  , i.e., todos os 
acontecimentos ao longo deste eixo ocorrem na mesma posição 0x  . Por essa razão um eixo 
temporal designa-se por equiloc. Já o eixo espacial x corresponde à equação 0t  , i.e., todos os 
acontecimentos ao longo deste eixo ocorrem no mesmo instante 0t  . Por essa razão um eixo 
espacial designa-se por equitemp. Todas as equilocs são paralelas entre si, o mesmo acontece para 
as equitemps. As equilocs são, por definição, ortogonais às equitemps. A intersecção de uma equiloc 
com uma equitemp resulta num acontecimento, p.e., o acontecimento B resulta da intersecção da 
equiloc 
0x x com a equitemp t t C . Os acontecimentos B e C são simultâneos. Os acontecimentos 
A e B ocorrem na mesma posição. 
 
Uma forma de tratar a transformação de Galileu é a de a representar num diagrama espaço-tempo, 
como é possível ver na Figura 2.3. 
 
 
 
Figura 2.2 - Diagrama espaço-tempo. 
17 
 
 
Figura 2.3 - Transformação de Galileu num diagrama espaço-tempo. 
Na Figura 2.3 estão representados os referenciais  ,S x t e  ,S x t   . No referencial S o 
acontecimento A tem coordenadas  ,x tA A e, no referencial S  , coordenadas  ,x t A A . Note-se que 
as equitemps dos dois referenciais coincidem, pois como a transformação de Galileu nos diz, em (2.1)
, t t  e portanto 
A At t  . O mesmo não acontece para as equilocs, sendo x x vt  A A A . O eixo t  
corresponde à equiloc 0x  (em S  ) dada pela equação x vt (em S ) e que intersecta a equiloc 
0x  (o eixo t ) na origem dos dois sistemas de coordenadas. Como não existe um limite para a 
velocidade relativa entre os referenciais, o ângulo  da figura pode tomar valores de 2 2     . 
Caso em que avelocidade entre eles seja nula ( 0v  ) tem-se 0  . 
Note-se que, até agora, na apresentação de um diagrama espaço-tempo persiste um problema de 
unidades: o eixo temporal e o eixo espacial não têm as mesmas unidades SI. No entanto é possível 
ultrapassar esse problema introduzindo unidades geométricas atribuindo (por definição) 1c  . Assim, 
por exemplo, o tempo é medido em segundos e o espaço em segundos-luz. Nestas condições, 
4  quando 1v c  . E, 
  tan   (2.3) 
em que  representa a velocidade (normalizada) relativa entre dois referenciais e é dado por: 
 
v
c
  (2.4) 
Como 1c  , então v  . Na transformação de Galileu tem-se   . 
18 
 
De acordo com as unidades geométricas definida anteriormente, um sinal luminoso (ou, mais geral, 
um sinal electromagnético) descrito num diagrama espaço-tempo é representado por uma recta com 
uma inclinação de 45  , como se indica na Figura 2.4. 
 
 
Figura 2.4 - Representação de dois sinais electromagnéticos. 
O sinal electromagnético 
1
 é caracterizado pela equação t x a  e o sinal electromagnético 
2
 é 
caracterizado pela equação t x b   . 
Todos os sinais electromagnéticos são, em qualquer referencial de inércia, paralelos a um dos sinais 
apresentados na Figura 2.4. Isto é uma imposição do segundo postulado. Uma das consequências 
imediatas do segundo postulado é corrupção da universalidade do conceito de simultaneidade. Como 
se verá adiante, as equitemps de um referencial de inércia não podem ser paralelas às equitemps 
doutro referencial de inércia (distinto do anterior). É aqui que a relatividade restrita diverge 
profundamente da transformação de Galileu, apresentada na Figura 2.3. Uma vez que a 
transformação de Galileu está errada é necessário deduzir uma nova transformação de coordenadas. 
Essa nova transformação é designada por transformação de Lorentz. O correspondente diagrama de 
espaço-tempo designa-se por diagrama de Minkowski. 
 
 
 
 
 
 
19 
 
2.3 Relatividade da simultaneidade 
O conceito de simultaneidade absoluta é incompatível com o segundo postulado de Einstein. Em 
seguida vai-se proceder à revisão do conceito de simultaneidade, com recurso a diversos problemas 
geométricos. 
Consideremos um observador O que viaja num comboio em movimento, com velocidade  , descrito 
pelo sistema de coordenadas S  , como se pode ver na Figura 2.5. 
 
Figura 2.5 - Observador dentro de um vagão. 
A experiência efectuada, e que a Figura 2.5 descreve, é a seguinte: o viajante (observador O ), que 
está dentro e exactamente a meio do vagão ( m ) de comprimento 0L . No instante de tempo 0t  
(acontecimento M) emite simultaneamente (do seu ponto de vista) dois sinais electromagnéticos em 
sentidos diametralmente opostos. Um dos sinais alcança o extremo esquerdo do vagão ( 1e ) no 
acontecimento A e o outro sinal alcança o extremo direito do vagão (
2e ) no acontecimento B . Como 
os sinais percorrem a mesma distância ( 0 2L ) com a mesma velocidade ( c ), o viajante vê os dois 
sinais a chegarem às extremidades do vagão em simultâneo, t t A B . 
No decorrer da experiência descrita na Figura 2.5, encontra-se um observador O que se encontra na 
estação de comboios, descrito pelo sistema de coordenadas S , que vê o comboio em andamento da 
esquerda para a direita. A Figura 2.6 mostra a perspectiva do observador O em relação à 
experiência efectuada pelo viajante. 
 
 
20 
 
 
Figura 2.6 - Observador na estação. 
Do ponto de vista do observador O , que vê o comboio a andar a partir da estação de comboios, os 
acontecimentos A e B não são simultâneos. A Figura 2.6 mostra, com efeito, que A é anterior a B, 
pois t tA B . Em conclusão desta experiência, do ponto de vista do observador O os acontecimentos 
A e B são simultâneos, mas do ponto de vista do observador O não são. Conclui-se então que a 
simultaneidade de acontecimentos é um conceito relativo, i.e., depende do referencial de inércia 
medido. Isto implica então que o tempo não é absoluto, i.e., o tempo não flui de igual forma para 
referenciais distintos. Uma consequência disto é que as equitemps de referenciais distintos, num 
diagrama espaço-tempo, já não coincidem, como se pode ver na secção seguinte. 
 
2.4 Construção geométrica dos referenciais 
Resta agora determinar a equação, do ponto de vista de S , que descreve a equitemp de um 
referencial S  em que este possui uma velocidade relativa  em relação a um referencial S . Expõe-
se, então, a seguinte experiência: num vagão de um comboio (referencial S  ), de comprimento 0L (
L para S ), em movimento (com velocidade  ) encontram-se dois indivíduos: a Alice e o Bob. A Alice 
encontra-se na extremidade esquerda do vagão (
1e ) e o Bob na extremidade direita do vagão ( 2e ). Em 
simultâneo, no instante 0t  , enviam um sinal electromagnético um para o outro. Uma vez que 
enviam os sinais ao mesmo tempo então irão ver os seus sinais a cruzarem-se um com o outro 
precisamente a meio do vagão (acontecimento M), tal como mostra a Figura 2.7. 
21 
 
 
Figura 2.7 - Construção da equitemp x . 
Pela geometria da Figura 2.7 é fácil descobrir que os acontecimentos A e B representam o momento 
em que são emitidos os sinais electromagnéticos pela Alice e pelo Bob, respectivamente. Uma vez 
que emitiram os sinais em simultâneo, então, do ponto de vista da Alice e Bob (de S  ), os 
acontecimentos A e B são simultâneos. Portanto, a linha que trespassa estes dois acontecimentos é, 
por definição, uma equitemp de S  . A esta equitemp corresponde o eixo x uma vez que contém a 
origem do referencial. 
Já com o eixo x determinado graficamente, vai-se em seguida determinar a equação que o descreve 
(do ponto de vista de S ). 
Comecemos por determinar as coordenadas do acontecimento M. Analisando a Figura 2.7, o 
acontecimento M ocorre na intersecção de 
2 t x , 1 t x b   e 2m x t L  . Então, 
 
 
 
2 1
2
2 1
L
xt x
L
Lx t
t




   
 
   
 
M
M
M (2.5) 
Conhecendo as coordenadas de M é, agora, possível determinar o valor de b em 1 , ficando 
 1 1t x L     . 
Agora é necessário calcular as coordenadas do acontecimento B. Este é intersectado por 
 1 1t x L     , 2e x t L  e  x t t m x x   A A (é o que se quer descobrir). 
Então, 
22 
 
 
  
  
1 1
1
1 1
L
xL
t x
L
tx t L
 



 

      
  
      
B
B
B (2.6) 
Finalmente, com as coordenadas dos acontecimentos  0,0A e  x ,tB BB conhecidas é agora 
possível determinar a equação que descreve o eixo x (do ponto de vista de S ). O declive m de x é 
dado por: 
  B A
B A
tan
t t
m
x x
  

  

 (2.7) 
Assim o eixo x é descrito, do ponto de vista de S , pela seguinte equação: 
 t x (2.8) 
Posto isto, fica assim demonstrada a equação dos eixos  x , t  do diagrama de Minkowski. Como os 
declives dos eixos x e t  são recíprocos um do outro, o ângulo entre os eixos t e t  (ver Figura 2.3) 
é o mesmo que o ângulo entre os eixos x e x . Esse ângulo é designado por  . Uma vez que S vê 
S  a afastar-se com velocidade  , então S  vê S a afastar-se com velocidade  . Em resumo, 
mostra-se as seguintes equivalências: 
 
 
0
0
0
0
x S t t x
t S x x t
x S t t x
t S x x t




   
   
    
    
eixo ( de )
eixo ( de )
eixo ( de )
eixo ( de )
equitemp
equiloc
equitemp
equiloc
 (2.9) 
 
Assim, fica demonstrado que as equitemps de S não são paralelas às equitemps de S  . Confirmando 
que na relatividade restrita a simultaneidade é um conceito relativo, i.e., o tempo é relativo. O ângulo 
entre uma equitemp de S e uma equitemp de S  é  e depende da velocidade relativa  . 
Agora com os eixos x e t  bem conhecidos é fácil determinar qualquer outra equiloc ou equitemp de 
S . Bastando apenas, no diagrama de Minkowski, traçar sucessivas rectas paralelas aos seus eixos 
de  ,S x t   , tal como se apresenta na Figura 2.8. 
23 
 
 
Figura 2.8 - Equilocs e equitemps de S  . 
A seguinte situação, ilustrada na Figura 2.9, pretende mostrar como uma dada sequência temporal de 
acontecimentos depende do observador (ou sistema de coordenadas) considerado. Assim, para este 
caso, existem dois observadores: um primeiro observador, denominado O , com equiloc também 
assim designada e equitemp 
O ; um segundo observador, denominado P , com equiloc também 
assim designada e equitemp P . 
 
Figura 2.9 - Sequência temporal de acontecimentos. 
 
24 
 
Na Figura 2.9, que representa o espaço-tempo de Minkowski, existem cinco acontecimentos: 
 A,B,C,D,E . A sequência temporal destes acontecimentos depende do observador: é determinada 
pela forma como as linhas equitemp desse observador intersectam esses acontecimentos. Assim, de 
acordo com o observador O , a sequência temporal é a seguinte:    A B C E D . Mas, por 
outro lado, de acordo com o observador P , a sequência temporal é a seguinte: 
   B A C D E . Portanto os observadores O e P não vêem os acontecimentos a 
sucederem-se pela mesma ordem. Isto é uma consequência directa do conceito de simultaneidade 
ser relativo. 
 
2.5 Transformação de Lorentz 
A transformação (passiva) de Lorentz tem como objectivo deduzir uma relação de transformação 
entre um sistema de coordenadas  x , t e um sistema de coordenadas  x , t  . Quer isto dizer que, 
conhecendo as coordenadas de um dado acontecimento num certo referencial, com a transformação 
de Lorentz é possível obter as coordenadas desse mesmo acontecimento noutro referencial. 
A questão que se põe é: qual será a relação de transformação entre os referenciais S e S  . A 
transformação (ou, com mais rigor, o boost) de Lorentz deverá ter, assim, a seguinte forma: 
 
 
 
1
2
t t x
x x t
 
 
  
  
 (2.10) 
Resta, apenas, determinar 
1 e 2 . Com efeito, a transformação é linear (transforma linhas de 
universo rectilíneas em linhas de universo, também, rectilíneas) e tem que ser tal que satisfaça as 
equações de (2.9). 
Se um laser emitir um feixe luminoso descrito, em relação a S , pela equação x t , o mesmo feixe 
luminoso terá de ser descrito, em relação a S  , pela equação x t  . Logo, após substituir estas duas 
últimas equações de propagação nas equações de transformação (2.10), obtém-se 
 
 
 
   1 1 2
2
1
1 1
1
t t t
t t t
 
   
 
   
    
  
 (2.11) 
pelo que deve ser, necessariamente, 
  1 2 1
t
t
    

     (2.12) 
em que  é o factor de transformação de Lorentz. Assim, vem 
 
1
1
t t
x x



     
    
     
 (2.13) 
25 
 
A inversa desta transformação dá (invertendo a matriz anterior): 
 
 2
11
11
t t
x x

 
    
    
    
 (2.14) 
Mas, de acordo com o principio da relatividade (primeiro postulado), a transformação em (2.14) deve 
ser idêntica à de (2.13) (à parte de  trocar de sinal), ficando 
 
1
1
t t
x x



    
    
    
 (2.15) 
Isto implica que deverá ter-se 
 
 2 2
1 1
1 1
 
  
   
 
 (2.16) 
Observando a expressão de  em (2.16) terá que se excluir a solução negativa, pois para   0 terá 
de se ter   1, i.e., quando S e S  estão em repouso, um em relação ao outro, os seus eixos 
coincidem. Assim, tem-se 
 
2
1
1




 (2.17) 
Quando se tem 1 1   (imposição do segundo postulado, note-se que se está sempre a 
considerar unidades geométricas, 1c  ), vem 1  . A Figura 2.10 representa a função     . 
Figura 2.10 - Parâmetro  em função de  . 
26 
 
Portanto, em síntese, um boost de Lorentz – que corresponde a transformar os eixos x e t em 
novos eixos x e t  , tal como indicado (geometricamente) na Figura 2.8 – escreve-se analiticamente 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 2
1
1
t t x t t x
x x t x x t
   

   
     
 
     
 (2.18) 
E na forma matricial, tem-se: 
 
1 1
1 1
t t t t
x x x x
 
 
 
          
           
          
 (2.19) 
 
2.6 Invariância do intervalo espaço-tempo 
Facilmente se prova que a teoria da relatividade desmonta o seguinte mito popular: na teoria da 
relatividade tudo é relativo. Com efeito, encontra-se aqui um invariante. Qual? É o que se vai 
descobrir em seguida. 
Da trigonometria hiperbólica, sabe-se que,    2 2cosh sinh 1   . Agrupando esta equação com 
(2.16) tem-se: 
 
   
 
   
 
 
   
 
 
 

  

2 2
2 2
2 2 2
2
cosh sinh 1
cosh sinh 1
1
1
1
 (2.20) 
Assim deduz-se, que 
 
 
 
 
cosh
2
= tanh
sinh
2
e e
e e
e ee e
 
 
  
 
 
  



 
  
 
  

 (2.21) 
O parâmetro  designa-se por rapidez do boost de Lorentz. 
Assim, o boost de Lorentz também se pode apresentar da seguinte forma: 
 
 
 
   
   
   
   
cosh sinh
sinh cosh
cosh sinh
sinh cosh
t t x t t x
x x t x t x
t t
x x
   
   
 
 
      
 
      
      
      
     
 (2.22) 
 
 
27 
 
Pelo que 
 
     
     
 
 
         
2 2 2 2
cosh sinh
cosh sinh
t x t x t x e t x
t x e t xt x t x
t x t x t x t x t x t x


 
 
            
 
          
              
 (2.23) 
Acaba-se, em (2.23), de obter um resultado de especial relevância na relatividade que é a invariância 
do intervalo de espaço-tempo. Com base neste resultado pode-se afirmar que a geometria do 
espaço-tempo de Minkowski não é euclidiana: o plano  ,x t tem uma geometria hiperbólica. O 
conceito de “distância” é, desta forma, revisto, na teoria da relatividade restrita. Enquanto que no 
plano euclidiano o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância fixa de um dado 
ponto (centro) é uma circunferência. No plano hiperbólico, o lugar geométrico dos acontecimentos 
que se encontram a uma “distância” (intervalo de espaço-tempo) fixa de um dado acontecimento é 
uma hipérbole. 
Recorde-se que, do ponto de vista de geometria euclidiana, existe um ângulo formado entre os eixos 
t e t  que é igual ao ângulo formado entre os eixos x e x . Esse ângulo foi designado por  , sendo 
(como se viu)  tan   . Este ângulo é, portanto, unicamente determinado pela velocidade relativa 
entre dois referenciais de inércia ( S e S  ). Uma vez que este ângulo é euclidiano, então é “impróprio” 
para (verdadeiramente) representar um ângulo no plano de Minskowski. O ângulo  é então 
substituído por um ângulo (hiperbólico) designado por  (rapidez do boost de Lorentz). 
Num sistema de coordenadas S todas as equilocs são paralelas entre si. O mesmo acontece em 
relação às respectivas equitemps. As equilocs são, por definição, ortogonais às equitemps. Porém, 
ortogonalidade não significa, na relatividade restrita, o mesmo que perpendicularidade (no seu usual 
sentido euclidiano). 
Como consequência do intervalo de espaço-tempo ser invariante, mostra-se na próxima secção, que 
a física relativista implica uma geometria que não é euclidiana. 
O plano   2,x y  euclidiano, com 
2 2 2 0x y r  
 
(em que 0r  quando 0x y  ), tem de ser 
substituído pelo plano   2,x t  hiperbólico, com 2 2t x  . Onde, de (2.23), resultam as 
seguintes possibilidades: 
 
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
0
t x
t x s t x
x t


 
    
 
 (2.24) 
Resultam, portanto, duas hipérboles e duas rectas (assimptotas). As hipérboles do tipo tempo e do 
tipo espaço são descritas por 2 2 2t x   e 2 2 2x t   , respectivamente.E as rectas (assimptotas) 
do tipo luz são descritas por t x  . Seguem as suas representações geométricas na Figura 2.11. 
28 
 
 
Figura 2.11 - Representação geométrica das hipérboles e assimptotas. 
 
De maneira a esclarecer a diferença entre a geometria euclidiana e a geometria hiperbólica expõe-se 
o caso da Figura 2.12. Nesta figura estão presentes dois observadores: o observador  ,x tO em 
que se designa o eixo t por O e o eixo x por O e o observador  ,x t P em que se designa 
o eixo t  por P e o eixo x por P . A hipérbole H de equação 
2 2 2t x   corresponde ao lugar 
geométrico dos acontecimentos  ,x tA em que o intervalo entre os acontecimentos A e  0, 0O é 
2I . A hipérbole H de equação 2 2 2x t   corresponde ao lugar geométrico dos 
acontecimentos  ,x tB em que o intervalo entre os acontecimentos B e  0, 0O é 
2 I . A 
hipérbole degenerada de equação 2 2 0t x  corresponde ao lugar geométrico dos acontecimentos 
 ,x tC em que o intervalo entre os acontecimentos C e  0, 0O é 0I . As hipérboles 
identificadas representam a geometria hiperbólica que é onde assenta a relatividade restrita. Para 
comparação, o equivalente na geometria euclidiana, tem-se uma circunferência (a tracejado) que é o 
lugar geométrico dos pontos  ,x tP cuja distância (euclidiana) entre os pontos P e  0, 0O é 
rD . 
 
29 
 
 
Figura 2.12 - Geometria euclidiana vs geometria hiperbólica. 
Considerando dois acontecimentos  1 1 1,x tE e  2 2 2,x tE . O intervalo entre eles é definido por 
      
2 2
1 2 2 1 2 1, t t x x   E EI (2.25) 
E a medida deste intervalo, por definição, é 
      
2 2
1 2 2 1 2 1, t t x x    E E (2.26) 
Assim, na Figura 2.12, a medida correspondente à hipérbole H é   e a medida correspondente 
à hipérbole H é   . O conceito de medida é, portanto, um conceito do plano hiperbólico que 
corresponde ao conceito de distância do plano euclidiano. A distância euclidiana entre  0, 0O e 
 ,x tA é dada por 
 
2 2t x r  A AD (2.27) 
Do ponto de vista de O , tem-se: 
    , ,x t t t A A A AA
O
 (2.28) 
Infere-se que 
 
2 2 2
A 1t x t r    A AD (2.29) 
Note-se que o acontecimento A pertence à equiloc P , à circunferência (a tracejado) e à hipérbole 
H . E, do ponto de vista de O , a equiloc P é descrita pela equação x t . Mas, 
30 
 
 
2
2 2 2
2
1
1
1
t
t x t r

  
 

      

A
A A A (2.30) 
Assim, tem-se 
 
2
2
1
1r
 




 (2.31) 
em que  é a medida do intervalo ( métrica lorentziana) e r a distância (métrica euclidiana). Note-se 
que, só quando se tem 0  é que a distância euclidiana coincide com a medida do intervalo, i.e., 
r     . Para 1  , obtém-se 0  – é o caso da hipérbole degenerada. 
 
2.7 O espaço quadrático de Minkowski 
Um espaço quadrático de Minkowski é um espaço vectorial (ou linear) ao qual é adicionado uma 
métrica, designada de métrica lorentziana. Convém aqui salientar o seguinte: está-se a considerar 
uma simplificação do espaço-tempo, reduzindo-o a um espaço quadrático bi-dimensional. Nesta 
simplificação apenas se considera uma única dimensão espacial, identificando este modelo de 
espaço-tempo com o plano hiperbólico 
1,1
. Porém, quando se estuda todo o espaço-tempo (i.e., sem 
esta simplificação) começa-se (necessariamente) por considerar um espaço vectorial 
4
 e, de 
seguida, munir este espaço com uma forma quadrática (tornando-o, eventualmente, no espaço 
quadrático 
1,3
). No entanto, muitos aspectos relevantes do espaço quadrático de Minkowski são 
tratáveis no âmbito do espaço quadrático bi-dimensional (plano hiperbólico). Por isso, sempre que 
não haja a necessidade de recorrer ao espaço de Minkowski completo (i.e., 
1,3
), a análise decorre 
no plano hiperbólico. 
Do ponto de vista do espaço vectorial (ou linear) 
2
 um acontecimento do plano hiperbólico ou um 
ponto do plano euclidiano são, um vector 
 
0 1t x r e e (2.32) 
Este vector é, apenas, uma forma de especificar o par ordenado   2,t x  . Mas, aqui, o intuito é 
definir uma base 
  0 1, e eB (2.33) 
linearmente independente e completa. Por exemplo, a base canónica (  0 1, 0t x  e , 
 1 0, 1t x  e ). Até aqui, não há o conhecimento sobre a eventual ortogonalidade dos dois 
vectores desta base (muito menos sobre o “comprimento” de cada um destes vectores). Só quando 
se estabelece uma métrica é que entra a noção de espaço quadrático. Uma métrica é a matriz 
31 
 
 
0 0 0 1
1 0 1 1
  
  
  
e e e e
e e e e
G (2.34) 
É, então, é necessário determinar o produto interno entre os vectores. Só aqui é que entra a noção de 
ortogonalidade (assim como a noção de “comprimento”). 
Na métrica euclidiana tem-se: 
 
0 0 0 1
1 0 1 1
1 0
0 1
    
    
    
e e e e
e e e e
G (2.35) 
Contudo, esta métrica euclidiana é fisicamente incompatível com a teoria da relatividade, porque a 
sua adopção implicaria que a invariância teria que ser 
      2 2 2 2 20 1 0 1 0 0 1 12t x t x t t x x         r r r e e e e e e e e (2.36) 
Na métrica euclidiana, tem-se 
 
2
0 0 0
2
1 1 1
0 1 1 0
1
1
0
e e e
e e e
e e e e
  
  
   
 (2.37) 
o que implica a invariância da forma quadrática 
    
2 22 2 2t x t x    r (2.38) 
A métrica lorentziana diverge da métrica euclidiana. Na métrica lorentziana, tem-se 
 
0 0 0 1
1 0 1 1
1 0
0 1
    
    
    
e e e e
e e e e
G (2.39) 
Pelo que 
 
2
0 0 0
2
1 1 1
0 1 1 0
1
1
0
e e e
e e e
e e e e
  
   
   
 (2.40) 
o que implica a invariância de 
    
2 22 2 2t x t x    r
relatividade plano métrica
restrita hiperbólico lorentziana
 (2.41) 
Assim, a invariância do intervalo está correcta, como se pode verificar em (2.23). A métrica euclidiana 
não tem existência física no contexto do espaço-tempo. É o plano hiperbólico que corresponde à 
física relativista, tendo-se: 
 
0 0 0 1
1 0 1 1
1 0
0 1
    
    
    
e e e e
e e e e
G (2.42) 
32 
 
Neste capítulo já foi deduzida a transformação (passiva) de Lorentz. Vai-se agora deduzir a 
transformação (activa) de Lorentz, que resulta em deduzir de que forma se transforma a base 
        0 1 0 1, ,S S e e f fB B (2.43) 
num boost de Lorentz. 
Tendo em conta a seguinte analogia 
 
   
   0 1 0 1
, ,
, ,
t x t x 


e e f f
 (2.44) 
então 
 
0 1 0 1t x t x    r e e f f (2.45) 
Portanto, o mesmo vector r é visto no sistema de coordenadas S como 0 1t x r e e e, no sistema 
de coordenadas S  , como 
0 1t x  r f f . Mas como se viu em (2.19):  t t x    e  x x t    . 
Assim, infere-se que 
 
   
   
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1
t x t x x t
t x
t x
   
   
      
   
 
r f f f f
f f f f
e e
 (2.46) 
Pelo que se obtém 
 
 
 
0 0 1 0 0
1 1 0 1 1
1
1
e f f e f
e f f e f
  

  
      
    
      
 (2.47) 
Note-se, porém, que 
 
 
1
2
1 1 11
1 1 11
  
 
   

       
       
       
 (2.48) 
Portanto, a transformação (activa) de Lorentz tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
0 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 0
   
   
   

   
f e e e f f
f e e e f f
 (2.49) 
E na forma matricial, tem-se: 
 
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1
1 1
 
 
 
          
            
          
f e e f
f e e f
 (2.50) 
Repare-se que, deste modo, vem 
33 
 
 
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1
1 0
0 1
        
       
        
f f f f e e e e
f f f f e e e e
G (2.51) 
Com o produto interno dos vectores cruzados obtém-se: 
 
0 0 0 1
1 0 1 1
 
 
    
 