FTR_problemas apostila_2 05

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Problemas extraídos da apostila “Problemas de Fundamentos de 
Relatividade”, Carlos Heitor d’Ávila Fonseca – Março de 2011 
 
Assunto: transformação de Lorentz e intervalo 
 
Formulário: 
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,ou βγββ −=== cc
u v ; 
)/'+1(
'
,
/'+1
'+
;
1
, 2y200
cucu
uLLtt
x
y
x
x
x
v
v
v
v
v
v
γγ
γ ===∆=∆ . 
( ) ( ) zzyyctxxxctct ==−=−= ',',',' βγβγ ; 222222 zyxtcs −−−≡ . 
 
12) Simultaneidade 
Dois eventos “A” e “B” ocorrem simultaneamente em 
pontos do espaço separados de uma distância ∆x’ = xB’– xA’, quando 
observados num referencial S’. Considere um segundo referencial S, 
para o qual o referencial S’ esteja se movimentando com velocidade u 
ao longo do sentido positivo de x, na configuração padrão. 
a) Calcule a partir da transformação de Lorentz o lapso de tempo 
∆t = tB – tA entre os dois eventos no referencial S. 
b) Em que situação dois eventos simultâneos num dado referencial seriam também simultâneos em 
qualquer outro referencial? 
c) Calcule a distância ∆x = xB – xA, entre os eventos no referencial S e compare com a distância ∆x’ 
no referencial S’. 
 
SOLUÇÃO: 
a) No referencial S’ temos, ∆x’= xB’– xA’ que é a separação entre os eventos e ∆t’= tB’– tA’ = 0 , pois 
nesse referencial os eventos são simultâneos. 
No referencial S’ queremos saber quanto vale ∆t = tB – tA . 
Para resolver o problema de uma só vez devemos pegar a equação da transformação de Lorentz 
onde apareçam simultaneamente t, t’ e x’. Tal equação é a transformação inversa: 
t = γ [ t’ + (u/c2 ) x’ ] ∴ ∆t = γ [ ∆t’ + (u/c2 ) ∆x’ ] ∴ ∆t = γ [ 0 + (u/c2 ) ∆x’ ]. 
Assim ∆t = γ u∆x’/c2. Para uma abordagem gráfica veja o probl. 17. 
b) Do resultado anterior notamos que, para que dois eventos simultâneos num dado referencial sejam 
observados simultaneamente em qualquer outro referencial, eles necessitam ocorrer no mesmo ponto 
do espaço. No entanto todos os referenciais que difiram de S’ por uma velocidade relativa no plano 
y’z’, perpendicular ao segmento “AB” ao longo de x’, observarão os eventos “A” e “B” 
simultaneamente. 
c) Por meio de uma transformação de Lorentz envolvendo ∆t’= 0, ∆x’= xB’– xA’ e ∆x = xB – xA, 
temos ∆x = γ (∆x’ + u ∆t’ ) = γ (∆x’ + 0 ) ∴ ∆x = γ ∆x’. 
Observação: Note que ∆x ≥ ∆x’. Esse resultado nos mostra que, do ponto de vista de um 
observador no referencial S, a distância aparente ∆x entre dois eventos, simultâneos e 
separados de ∆x’ no referencial S’, não é a mesma coisa que o comprimento aparente L de 
um objeto de comprimento próprio L0 = ∆x’ viajando com velocidade u. 
 
13) Pulso esférico de luz em dois referenciais 
Consideremos um referencial inercial S’ movimentando-se com 
velocidade u em relação a um referencial S, na configuração padrão. Vamos 
supor que um pulso esférico de luz seja emitido na origem das coordenadas dos 
dois sistemas, quando elas coincidem no instante inicial. Assim a emissão de luz 
se dá em x’ = x = 0 no instante t’ = t = 0. No referencial S o pulso será 
descrito pela equação da esfera de raio ct, dada por x2 + y2 + z2 = (ct)2. 
Mostre a partir da transformação de Lorentz que o pulso também terá 
forma esférica no referencial S’. 
 
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14) Nave e meteoro nos vários referenciais 
Uma nave de comprimento próprio L0 vai de encontro a um meteoro em trajetória paralela. 
Considere dois eventos, A e B, como sendo respectivamente a passagem do meteoro pela proa da nave 
e pela sua popa. Esses eventos são observados a partir de um referencial S em que a nave tem uma 
velocidade u e o meteoro uma velocidade contrária v. 
a) Trabalhando no referencial S calcule o lapso de tempo entre os dois eventos, ∆t, nesse mesmo 
referencial. 
b) Refaça os cálculos trabalhando agora no referencial S’ da nave. Mostre que obtemos o mesmo lapso 
de tempo ∆t a partir deste último resultado. 
 
SOLUÇÃO: 
a) O ponto de vista do referencial S pode ser representado num 
diagrama de espaço-tempo como na figura da esquerda, onde a 
nave que se desloca com velocidade u tem um comprimento 
aparente L0/γu , dado pela contração de Lorentz. O meteoro ao 
movimentar no sentido contrário com velocidade v ocasiona 
os eventos A e B. O detalhe apresentado na figura da direita 
nos permite notar que o comprimento aparente da nave é a 
soma das distâncias percorridas pela nave e pelo meteoro no 
lapso de tempo ∆t. Ou seja, L0/γu = u ∆t + v ∆t. 
Reescrevendo essa expressão obtemos o lapso de tempo entre os dois eventos no referencial S: 
∆t = L0/[γu (u + v)]. 
Observação: A expressão L0/γu = (u + v)∆t, obtida acima a partir de uma análise da figura, 
poderia sugerir que a velocidade u + v fosse a velocidade relativa entre a nave e o meteoro, o 
que de fato é verdadeiro num raciocínio baseado na física clássica. Mas na Relatividade essa 
expressão carece desse significado, não passando de uma soma algébrica que eventualmente 
pode ultrapassar a velocidade da luz. 
b) O ponto de vista do referencial S’ está representado na figura ao lado, onde a 
nave em repouso vê a passagem do meteoro, com velocidade v’ = ( u + v )/( 1 + 
uv/c2 ), dada pela equação da transformação de velocidades. Nessa figura 
podemos notar que o comprimento próprio da nave é igual à distância percorrida 
pelo meteoro no lapso de tempo ∆t’, ou seja, L0 = v’ ∆t’. 
Assim ∆t’ = L0 /v’ = L0 ( 1 + uv/c2 )/( u + v ). 
O problema agora é transformar esse lapso de tempo para o referencial S. 
Não podemos usar a equação da dilatação do tempo, pois os dois eventos A e B 
não se situam num mesmo ponto do espaço, nem no referencial S nem no referencial S’. Ou seja, 
não temos um tempo próprio associado aos eventos em nenhum desses dois referenciais. Assim a 
solução deve vir de uma transformação de Lorentz relacionando ∆t = tB − tA, ∆t’ = t’B − t’A e ∆x’ = 
x’B − x’A = −L0. Além disso, a velocidade relativa entre esses dois referenciais é u: 
∆t = γu ( ∆t’ + u∆x’/c2 ) = γu [ L0 ( 1 + uv/c2 )/( u + v ) − uL0/c2 ] ∴ 
∆t = [γu L0/( u + v )][ 1 + uv/c2 − ( u + v )u/c2 ] = [γu L0/( u + v )][ 1 − u2/c2 ] = L0/[γu (u + v)]. 
 
18) Geometria da causalidade 
Numa abordagem geométrica da transformação de Lorentz considere um evento A acontecendo 
no instante inicial na origem do referencial S. Desenhe o cone de luz para esse referencial num diagrama 
ct × x. 
Considere agora um segundo evento B acontecendo na região interna ao cone de luz (ou sobre o 
cone de luz) do futuro e verifique graficamente que nenhum outro referencial consegue observar a 
seqüência dos eventos A e B na ordem inversa. Assim, caso haja uma relação causal entre esses eventos 
ela não poderá ser invertida. 
Considere agora um terceiro evento C que aconteça em algum lugar da região externa ao cone 
de luz. Verifique graficamente ser possível a um segundo referencial observar a seqüência dos eventos A 
e C em qualquer ordem temporal. Note que agora esses dois eventos não podem estar relacionados de 
maneira causal. 
 
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23) “Paradoxo” dos gêmeos (abordagem complementar) 
A distância até a estrela Vega, pertencente à constelação da Lira, é igual a 26,0 anos-luz. João 
ficou na Terra enquanto sua irmã gêmea Maria fez a jornada de ida e volta até Vega. A nave de Maria 
viajou praticamente todo o percurso a uma velocidade igual a 0,866 c fazendo com que no momento do 
reencontro João tivesse envelhecido 60,0 anos enquanto Maria envelheceu apenas 30,0 anos (veja 
probl. 10). Despreze o tempo gasto pela nave em suas acelerações, como no caso da mudança do sentido 
de sua velocidade em Vega, de maneira que a jornada possa ser representada no referencial da Terra 
conforme o diagrama ao lado. Alguns eventos estão representadospelas letras A, V, B e W. A unidade de 
tempo está em ano e os valores da esquerda estão no referencial da Terra enquanto os valores da direita 
são os tempos próprios correspondentes da nave. 
Os itens a seguir objetivam a se responder à seguinte questão: Durante sua viagem em alta 
velocidade Maria observa os relógios terrestres funcionando num ritmo 2 vezes mais lento. Como isto 
pode ser conciliado com o fato de Maria ter envelhecido 2 vezes menos que João durante a jornada? 
a) Verifique a duração da viagem do enunciado acima, tanto para 
o caso do João quanto para a Maria. Do ponto de vista do 
referencial terrestre mostre que, a seqüência de eventos na 
nave, simultâneos com os eventos terrestres, acontecerão nos 
instantes marcados no diagrama ao lado. 
b) Usando uma transformação de Lorentz, calcule o instante de 
tempo do evento R ocorrido na Terra, simultâneo para a 
tripulação da nave à sua chegada em Vega (evento V). Deixe 
claro seu raciocínio e marque este evento no diagrama dado 
no enunciado da questão. 
c) Calcule também o instante de tempo do evento S ocorrido na 
Terra, simultâneo para a tripulação da nave à sua partida de 
Vega (evento V). Indique todos os cálculos e marque este 
evento no diagrama dado no enunciado da questão. 
d) Como a tripulação na sua viagem de ida perceberá o ritmo de 
um relógio terrestre, do evento A até o evento R? Calcule esse 
lapso aparente de tempo. Explique. 
e) Como a tripulação na sua viagem de volta perceberá o ritmo 
de um relógio terrestre, entre o evento S e o evento B? 
Calcule esse lapso aparente de tempo. Explique. 
f) Para João o relógio da nave funciona 2 vezes mais lentamente 
durante a viagem de ida e também durante a viagem de volta. Já para Maria são os relógios terrestres 
que funcionam 2 vezes mais devagar durante as duas etapas inerciais de sua viagem. Além disso, 
nesta questão foi desprezada a duração das etapas em que a nave esteve acelerada. Então, como é 
possível que no reencontro João tenha envelhecido 60,0 anos enquanto Maria envelheceu apenas 
30,0 anos? Para compreender melhor essa questão desenhe um diagrama de espaço-tempo do ponto 
de vista da nave, incluindo os eventos mais importantes. 
 
SOLUÇÃO: 
a) Referencial da Terra (inercial): 
O evento W acontece na Terra simultaneamente à chegada da 
nave em Vega (evento V). O lapso de tempo até que esse evento 
ocorra é dado no referencial terrestre por 
∆t = L0/u = 26,0 anos-luz/0,866 c = 30,0 anos (tempo aparente 
observado na Terra entre os eventos A e V). Podemos então conclui 
que no retorno da nave (evento B) João terá envelhecido 60,0 anos. 
Para os observadores terrestres os relógios da nave estarão 
funcionando num ritmo mais lento: 
γ = (1 – 0,8662)–1/2 = 2,00. 
E a duração da viagem de ida, para a tripulação, será dada por 
∆t0 = ∆t/γ = 30 anos/2,00 = 15 anos (tempo próprio para o relógio da 
nave presente aos eventos A e V). Assim, durante toda a jornada 
Maria terá envelhecido apenas 30,0 anos. 
O calendário da nave terá passado num ritmo 2 vezes mais lento 
que o calendário terrestre. 
Essa análise foi feita aplicando-se os resultados da Relatividade 
Especial ao referencial inercial da Terra. Não se pode fazer uma 
 4 
análise parecida no referencial da nave, pois este fica sujeito a acelerações em algumas etapas da 
viagem, não sendo inercial. 
b) t'R = 15 anos; xR = 0 e tR = ? 
A transformação de Lorentz será dada por 
t'R = γ (tR – u xR/c2) ∴ 
tR = u xR/c2 + t'r/γ = 0 + 15 anos/2,00 = 7,5 anos. 
c) No retorno da nave, a origem de seu referencial não coincide com a origem do referencial da Terra 
no instante inicial. Assim, é mais conveniente considerarmos a transformação de Lorentz em termos 
de variações das coordenadas no espaço-tempo: ∆t” = γ (∆t – u ∆x/c2), sendo 
∆t” = tS” – tV” = 0; ∆t = tS – tV = tS – 30 anos e ∆x = xS – xV = –26 anos-luz. Além 
disso temos u = –0,866 c. Assim 
0 = γ (∆t – u ∆x/c2) ∴ ∆t = u ∆x/c2 ⇒ 
(tS – 30 anos) = (–0,866 c)(–26 anos-luz)/c2 = 22,5 anos ∴ tS = 52,5 anos. 
d) Para a tripulação na viagem de ida transcorrerão 15 anos entre os eventos A e V. E do seu ponto de 
vista a chegada em Vega (evento V) será simultânea ao evento R, acontecido na Terra 7,5 anos 
depois da partida da nave (evento A). Assim, para a tripulação são os relógios terrestres que estarão 
funcionando 2 vezes mais devagar durante a etapa inercial da viagem de ida. 
e) No referencial terrestre o evento simultâneo à partida da nave de Vega (evento V) e acontecido na 
Terra é o evento W. Já para a tripulação o evento simultâneo à partida da nave de Vega (evento V) e 
acontecido na Terra será o evento S. Assim, para a tripulação na viagem de volta serão os relógios 
terrestres que estarão funcionando 2 vezes mais devagar: 
tB – tS = 60 anos – 52,5 anos = 7,5 anos. 
f) Apesar da Relatividade Especial não poder ser aplicada aos 
referenciais acelerados, podemos transcrever os resultados 
obtidos no referencial inercial da Terra para o referencial da 
nave. 
O diagrama ao lado, incluindo vários eventos, representa o 
ponto de vista da tripulação. Sua viagem possui duas etapas 
inerciais com eixos temporais representados por t’ e t”, com 
o ano marcado à direita dos eventos. À esquerda estão os 
valores de tempo correspondentes no referencial da Terra. 
Em cada etapa inercial Maria acha que os relógios da Terra 
estão funcionando 2 vezes mais lentamente. No entanto, 
enquanto sua nave freia violentamente ao chegar em Vega e 
em seguida acelera em direção à Terra (evento V), do seu 
ponto de vista o calendário terrestre sofre um salto enorme, 
indo do ano 7,5 para o ano 52,5 (veja os eventos R e S no 
referencial da nave). É impressionante o fato de que, no curto 
lapso de tempo enquanto Maria, em Vega, está sendo 
esmagada contra o assento de sua nave devido às enormes 
acelerações, os calendários terrestres pulem 45 anos num 
ritmo vertiginoso! 
 
 
 
24) Prócion e intervalo 
Prócion é uma estrela da constelação do Cão Menor e sua distância à Terra é aproximadamente igual 
a 12 anos-luz. Suponha que uma nave seja capaz viajar da Terra até Prócion mantendo praticamente todo 
o tempo uma velocidade de 0,6 c. Os gráficos abaixo mostram essa viagem tanto no referencial da Terra 
quanto no referencial da nave. O evento T representa a partida da Terra e o evento P a chegada em 
Prócion. No referencial da nave, o evento Q acontece na Terra simultaneamente à chegada da nave em 
Prócion. 
 
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a) Mostre que no referencial da Terra o evento P acontece 20 anos depois da partida da nave. 
b) Mostre que no referencial da nave os eventos P e Q acontecem 16 anos após sua partida e que a 
distância percorrida até Prócion é de 9,6 anos-luz. 
c) Calcule o intervalo entre os eventos T e Q indicando todos os cálculos e especificando qual o 
referencial utilizado. Qual o tipo desse intervalo? Justifique. 
d) Calcule o intervalo entre os eventos Q e P indicando todos os cálculos e especificando qual o 
referencial utilizado. Qual o tipo desse intervalo? Justifique. 
e) Como ficariam modificados os resultados obtidos nos dois itens anteriores, caso fossem calculados no 
outro referencial? Justifique. 
f) No referencial da Terra, quando acontece o evento Q? Deixe claro seu raciocínio. 
 
SOLUÇÃO: 
a) A distância L0 = 12 anos-luz (comprimento próprio) já está no referencial da Terra. Assim, o tempo 
de percurso para os observadores na Terra é 
∆t = L0/u = (12 anos-luz)/(0,6 c) = 12 anos/0,6 = 20 anos (tempo aparente). 
b) O fator de Lorentz é dado por γ = (1 – 0,62)–1/2 = 1,25. Assim, do ponto de vista da Terra os 
relógios da nave serão observados funcionando 1,25 vezes mais devagar, ou seja 
∆t0 = ∆t/γ = 20 anos/1,25 = 16 anos (tempo próprio). 
Nesse tempo, do pontode vista da nave, a distância por ela percorrida é 
L = u ∆t0 = 0,6 c × 16 anos = 9,6 anos-luz (comprimento aparente). 
c) O intervalo ao quadrado é dado pela expressão ∆s2 = c2∆t2 – ∆x2 – ∆y2 – ∆z2. O cálculo do intervalo 
entre os eventos T e Q pode ser efetuado diretamente no referencial da nave 
∆sTQ2 = c2(16 anos)2 (–9,6 anos-luz)2 = (162 9,62) anos-luz2 = +164 anos-luz2 ∴ 
∆sTQ = 12,8 anos-luz. 
Como o resultado de ∆s2 foi positivo, o intervalo é do tipo tempo. 
d) O cálculo do intervalo entre os eventos Q e P pode ser efetuado diretamente no referencial da nave 
∆sQP2 = c2(0)2 – (9,6 anos-luz)2 = –(9,6 anos-luz)2 ∴ ∆sQP = i 9,6 anos-luz. 
Como o resultado de ∆sQP2 foi negativo (∆s imaginário puro), o intervalo é do tipo espaço. 
e) O intervalo é uma grandeza invariante, logo os resultados encontrados não dependem do referencial 
utilizado. 
f) Podemos utilizar o fato de o intervalo ser invariante para calcular quando o evento Q acontece no 
referencial da Terra. Para esse referencial podemos escrever 
∆sTQ2 = c2(tQ – tT)2 – (xQ – xT)2 = c2(tQ – tT)2 – 0 ⇒ c(tQ – tT) = ∆sTQ = 12,8 anos-luz ⇒ 
tQ = 12,8 anos. 
Observação: 
Esse cálculo também poderia ter sido efetuado usando-se uma transformação de Lorentz na forma 
(tQ – tT) = γ [(t’Q – t’T) + (u/c2)(x’Q – x’T)] = 1,25×[16 anos + 0,6×(–9,6 anos)] = 12,8 anos. 
Outra maneira seria notar que, do ponto de vista da tripulação da nave, os relógios da Terra estariam 
funcionando 1,25 vezes mais lentamente. Assim, depois de viajar por 16 anos, o tempo 
transcorrido na Terra seria igual a 16 anos/1,25 = 12,8 anos, do ponto de vista da tripulação. 
 
 
 
 
 6 
25) Intervalo e simultaneidade 
No referencial da Terra uma nave movimenta-se com 
velocidade constante ao longo do eixo x, como representado 
pela reta passando pelos dois eventos A e B no diagrama ao 
lado. Nesse referencial a Terra se encontra no ponto x = 0. 
a) Calcule a que fração da velocidade da luz está se 
movimentando a nave e qual o seu fator de Lorentz. 
Indique todos os cálculos. 
b) A partir do diagrama calcule o intervalo entre os eventos A 
e B indicando todos os cálculos. Qual o tipo desse 
intervalo? 
c) Quanto vale o intervalo entre os eventos A e B no 
referencial da nave? Justifique. 
d) Calcule quando acontece na Terra o evento C, simultâneo 
ao evento B no referencial da nave. Deixe claro o raciocínio utilizado. 
 
 
25-extra) Intervalo e simultaneidade 
O diagrama de 
espaço-tempo da 
esquerda mostra dois 
eventos A e B, que 
são registrados como 
simultâneos no 
referencial da Terra. 
O diagrama da direita 
mostra os mesmos 
eventos no referencial inercial de uma nave movimentando-se em alta velocidade ao longo do eixo x. 
a) Qual o tipo do intervalo entre esses eventos? Justifique. 
b) Calcule quando ocorre o evento B no referencial da nave. Indique todos os cálculos deixando claro 
seu raciocínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
Respostas de problemas 
 
 
 
18) A figura ao lado mostra três eventos A, B e C, observados em três referenciais inerciais: S, S’ e S’’. 
É fácil perceber que, para um evento B pertencendo ao cone de luz do futuro de A, qualquer 
outro referencial observará esse par de eventos com a mesma 
ordem temporal: tA < tB, tA’ < tB’ e tA’’ < tB’’. 
Já para o caso de um evento C que aconteça em 
algum lugar da região externa ao cone de luz de A, o par de 
eventos A e C pode ser observado com qualquer ordenamento 
temporal. No caso da figura temos: tA < tC, tA’ = tC’ e 
tC’’ < tA’’. 
Do ponto de vista de um referencial como o S, se 
fosse possível ao evento A causar o evento C, o agente dessa 
causa teria que viajar mais rápido que a velocidade da luz. Isso 
levaria a um paradoxo pois, um observador como o do 
referencial S’’ concluiria que o culpado de acontecer o evento 
A seria o evento C, uma vez que em seu referencial tC’’ < tA’’. 
Essa análise mostra que a concepção newtoniana de 
ação à distância não é compatível com a Relatividade. Na 
física atual as forças entre dois objetos necessitam de um “campo” que funcione como intermediário. E a 
propagação desse campo não pode superar a velocidade limite c. Tanto no caso do campo 
eletromagnético como no caso do campo gravitacional a velocidade de propagação coincide com a 
velocidade historicamente atribuída à luz no vácuo. E a Relatividade relaciona essa velocidade à própria 
natureza do espaço-tempo, com seu cone de luz envolvendo o eixo do tempo e à sua estrutura causal. 
 
25) 
a) β = 0,8; γ = 5/3. 
b) 15 ano-luz; tipo tempo. 
c) 15 ano-luz (invariante). 
d) 9 anos. 
 
25-extra) 
a) Intervalo tipo espaço. 
b) 3 anos (o cálculo usando intervalo é muito mais simples que utilizando transformações de Lorentz).