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FACULDADE DE CIÊNCIAS SOCIAIS E HUMANAS CURSO DE LICENCIATURA EM ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA TRABALHO ACADÉMICO Módulo: Estatística Aplicada EXERCICI OS 1. Falta do sono: em um estudo recente, voluntários que dormiram 8 horas em uma noite eram três vezes mais capazes de responder as questões de um teste de estatística em relação àqueles que não tiveram horas de sono suficientes. a) Identifica a amostra usada no estudo. (0.5 V) b) Qual era a população da amostra. (0.5 V) c) Que parte do estudo representa a parte descritivo da estatística? (0.5 V) d) Faça uma inferência com base nos resultados do estudo. (0.75 V) RESOLUÇÃO: a) A amostra usada no estudo: Voluntários que dormiram 8 horas de tempo emu ma noite e voluntários que não tiveram horas de sono suficientes. b) A população da amostra: o enunciado não especifica a população da amostra, desta forma podemos enferir que seria composto por pessoas que precisam realizar tarefas que exigem habilidades estatísticas. c) A parte do estudo que representa o descritivo da estatística é apresentação das medidas de tendência central e de dispersão dos dados colectados, com media e desvio padrão do número de questões respondidas correctamente pelos participantes em cada grupo. d) A inferência feita com base nos resultados do estudo é: dormer o suficiente pode ter impactos positivos na habilidade de realizar tarefas que exigem domínio estatístico, contudo, é de lembar que a correlação entre essas duas variavéis não necessariamente indica causalidade e que outros factores podem estar envolvidos na habilidade dos participantes em responder as questões do teste. É importante também destacar que cada individuo pode ter necessidades de sono diferente e que os resultados podem variar de pessoa para pessoa. 2. Uma empresa decide aumentar seus funcionários em 80 pessoas. Para sua selecção organiza uma prova em que se apresentam 200 aspirantes. Os selecionados obtiveram os resultados seguintes: Pontuação No aspirantes 50 – 65 21 65 – 75 29 75 – 90 18 90 - 100 12 A empresa determina que os 30% dos selecionados com maior pontuações sejam destinados a oficina principal e o resto a sucursais. Supondo que a distribuição das pontuações dentro de cada intervalo é uniforme, pede se: a) Pontuação mínima que se necessita para trabalhar na oficina principal. (1.5 V) b) Percentagem de selecionados que obtiveram pontuação entre 82 e 95 pontos. (1.0 V) c) A pontuação mediana alcançada na prova. (1.5 V) d) O desvio padrão da pontuação dos aspirantes. (1.5 V) RESOLUÇÃO: a) Para o cálculo da pontuação minima precisamos primeiro conhecer o número de selecionados que irão trabalhar na oficina principal: N=80x30%=24, com este resultado significa que os 24 selecionados com maior pontuação vão para oficina e há necessidade de ver em qual intervalo de pontuação esses 24 selecionados se encontram. Recorrendo a tabela vê se que a maior pontuação está na última linha com interval de 90-100, e neste caso a pontuação minima necessária será de 90 pontos e 12 aspirantes selecionados com maior pontuação estarão na oficina principal. b) Para o cálculo da percentagem dos selecionados que obtiveram pontuação entre 82 e 95 pontos temos: - Analisando a tabela vê-se que as pontuações entre 82 e 95 estão na penúltima e última linha, ou seja: 75-90: 18 selecionados-82 pontos e 90-100: 12 selecionados-95 pontos. Somando o número de selecionados de acordo com essas pontuações temos: 18+12=30 selecionados. Logo, a percentagem dos selecionados com pontuação entre 82 e 95 pontos será: 30/80 x 100%=37,5%. c) Para o cálculo da pontuação mediana alcançada na prova precisamos calcular a frequência acumulada de cada interval e através desta calcular o valor do meio. d) Pontuação No aspirantes Frequência acumulada (Fa) 50 – 65 21 21 65 – 75 29 21+29=50 75 – 90 18 50+18=68 90 - 100 12 68+12=80 Recorrendo a tabela o valor médio é a metade de 80, neste caso é 40. E através desse resulatado é visivél que o 40 esta no interval de 75-90. Logo, a pontuação mediana alcançada sera: 68/200 x 100%=34%. e) Para o cálculo do desvio padrão da pontuação dos aspirantes precisamos calcular primeiro os valores médios das pontuações tabela abaixo, conhecer o tamanho da amostra, calcular a media das pontuações e a variância das pontuações: Pontuação No aspirantes (Fa) 50 – 65 21 21 57,5 65 – 75 29 21+29=50 70 75 – 90 18 50+18=68 82,5 90 - 100 12 68+12=80 95 A media das pontuações é calculado usando a seguinte formula: Onde: A variância das pontuações é calculado usando a seguinte formula: O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo fica: 3. De um conjunto de cinco empresas, deseja-se selecionar, aleatoriamente, uma empresa, mas com probabilidade proporcional ao número de funcionários. O número de funcionários da empresa A é 20; de B é 15; de C é 17; de D é 5 e de E é 3. a) Qual é a probabilidade de cada uma das empresas ser selecionada? (1.25) b) Qual é a probabilidade de a Empresa A não ser selecionada? (1.5) RESOLUÇÃO: a) Cálculo da probabilidade de cada empresa para 60 funcionários (20+15+17+5+3=60). Usaremos a formula de probabilidade de ocorrência de um evento de acordo com a seguinte expressão: p(A)=20/60=1/3 p(B)=15/60=1/4 p(C)=17/60 p(D)=5/60 p(E)=3/60=1/20 b) Cálculo da probabilidade da empresa A não ser selecionada, para tal primeiro deve-se calcular número de funcionários que não pertencem a esta empresa: 60-20=40 funcionários. Logo, a probabilidade é: 40/60=2/3. 4. No trajecto de um avião de guerra há duas estações de radar inimigas equipadas com baterias antiaéreas, que só são accionadas se o avião for detectado. O avião tem uma probabilidade de 0.25 de ser detectado pela primeira estação e, sendo detectado, tem três hipóteses em cinco de não ser abatido por essa estação. Se o avião não é detectado pela primeira estação, aproxima- se da segunda nas mesmas condições em que da primeira. Por outro lado, se a primeira estação o detecta sem o abater, será certamente detectado e abatido pela segunda estação. a) Qual a probabilidade do avião não ser abatido pela primeira estação? (1.0 V) b) Qual a probabilidade do avião não ser abatido? (1.5 V) c) O avião foi abatido. Qual a probabilidade de ter sido a primeira estação a abatê-lo? (2.0 V) RESOLUÇÃO: a) Cálculo da probabilidade do avião não ser abatido pela primeira estação Adoptaremos: P(A) – Avião não foi dectado por nenhuma estação (0,25); P(B) – Avião foi dectado apenas pela primeira estação (0,75) e p(A/B) não foi abatido (duas hipóteses em cinco=2/5); Logo, P=p(A)+p(B)xp(A/B)=0,25+0,75x(2/5)=0,55 b) Cálculo da probabilidade do avião não ser abatido obedece as mesmas condições da alínea anterior, logo, p=0,55x0,55=0,3025 c) Cálculo da probabilidade de sido a primeira estação a abate-lo: para tal, adoptaremos: p(C)- Avião detectado (0,75) e abatido pela primeira estação (três hipóteses em cinco=3/5). Logo, p=0,75x3/5=0,45 5. Determinado teste é usado no diagnóstico de uma deficiência, mas o resultado nem sempre é correcto: aplicado a uma pessoa doente, dá resultado positivo em 98% dos casos; aplicado a uma pessoa saudável, dá resultado positivo em 10% das vezes. a) Qual a probabilidade de uma pessoa doente ter um resultado negativo? (2.0 V) b) Qual a percentagem de testes positivos se, no conjunto das pessoas que o fazem, 10% estiverem efectivamente doentes? (2.0 V) RESOLUÇÃO: a) Cálculo da probabilidade de uma pessoa doente ter um resultado negativo. Para resolver essa alinea precisamos a plicar o teorema do evento complementar: p(A)=100%-P(A). Logo, teremos: p(A)=100%-98%=2% o que significa que 2% de pessoas doentes acusam resultado negativo. b) Cálculo da percentagem de testes positivos se, no conjunto das pessoas que fazem, 10% estiverem efectivamente doentes. Para resolução dessa alíneaé necessário calcular: a percentagem de resultados falsos positivos (FP), percentagem de resultados de falsos negativos (FN) e por fim fazer o somatório. Neste caso, o p(FP)=10%x90%=9% e p(FN)=10%x98%=9,8% Somando os resultados, fica: p(P)=p(FP)+p(FN)=9%+9,8%=18,8% O que significa que 18,8% dos testes apresentarão diagnóstico positivo. Fim !
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