Livro-Texto Unidade II ALGEBRA LINEAR

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Unidade II
5 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
5.1 Definição
Sejam U e V espaços vetoriais e T: U → V uma função, T é uma transformação linear se satisfaz 
as condições:
1) ∀ a, b ∈ U
 T (a + b) = T(a) + T(b)
2) ∀ a ∈ U, ∀a ∈ IR
 T (aa) = a T(a)
Também encontramos os termos aplicação linear ou função linear para indicar uma 
transformação linear.
5.1.1 Operador linear
Toda transformação linear do espaço, nele mesmo, recebe o nome de operador linear.
 Observação
Todo operador linear é uma transformação linear, mas nem toda 
transformação linear será um operador linear.
T linear e T: U → U então T é um operador linear
5.2 Algumas propriedades
Sendo T: U → V uma transformação linear temos:
1. T(0u) = 0v
(isto é, uma transformação linear leva zero de U em zero de V)
Note que: Se T(0u) ≠ 0v então T não é linear.
Unidade II
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Assim, para verificar se uma transformação é linear, devemos inicialmente calcular T(0u) daí:
- se T(0u) = 0v , nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição
- se T(0u) ≠ 0v concluímos que a transformação não é linear
2. ∀a, b ∈ U, ∀a, b ∈ IR
 T(aa + bb) = a T(a) + b T(b)
De modo geral temos:
3. ∀a1, a2, ... , an ∈ U, ∀a1, a2, ...,an ∈ IR
T n n(α α α α α α1 1 2 a a a ) T(a ) T(a ) T(a )1 2 2 n 1 2 n+ + + = + + + 
Exemplos:
Verifique quais transformações são lineares:
a) F: IR2 → IR, F (x,y) = -x + 7y + 3
Calculando F(0,0) temos:
F(0,0) = 0 + 7 . 0 + 3 = 3 ≠ 0 (vetor nulo de IR) logo F não é linear.
b) T: IR2 → IR2, definida por T (x,y) = (x, 2x - y)
Calculando T (0,0) temos:
T(0,0) = (0, 2.0 - 0) = (0, 0); nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição de 
transformação linear.
(1) T (a + b) = T (a) + T (b), ∀ a, b ∈ IR2
Sejam a = (x, y) ∈ IR2, b= (r, s) ∈ IR2
T (a + b) = T (x + r, y + s) = ((x + r) , 2.(x + r) - (y + s)) =
= (x + r, 2x + 2r – y – s)
T(a) + T (b) = T (x, y) + T (r, s) = (x, 2x – y) + (r, 2r – s) =
= (x + r, 2x – y + 2r – s) = (x + r, 2x + 2r – y – s)
Logo T (a + b) = T (a) + T (b) e vale (1)
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Unidade II
(2) T (a a) = a T (a), ∀ a ∈ IR2 , ∀ a ∈ IR
Sejam a = (x, y) ∈ IR2, a ∈ IR
T(a . a) = T (a. (x, y)) = T (a x, a y) = (a x, 2 (a x) - (a y))
a . T(a) = a. T(x, y) = a. (x, 2x - y) = (a x, a (2x - y)) =
= (a x, 2(a x) - (a y))
Logo T (a . a) = a . T (a), e vale (2).
Portanto T é transformação linear.
c) T: IR3 → IR3, definida por T(x, y, z) = (x2, x + y, z)
Calculando T (0, 0, 0) temos:
T(0, 0, 0) = (02, 0 + 0, 0) = (0, 0, 0); nada se conclui e devemos verificar as 2 condições da definição 
de transformação linear.
(1) T (a + b) = T (a) + T (b), ∀ a, b ∈ IR3
Sejam a = (x, y, z) ∈ IR3 e b = (r, s, t) ∈ IR3
T (a + b) = T (x + r, y + s, z + t) =
= ((x + r)2, x + r + y + s, z + t)
T (a) + T (b) = T (x, y, z) + T (r, s, t) =
= (x2, x + y, z) + (r2, r + s, t) =
= (x2 + r2, x + y + r + s, z + t)
Como (x + r)2 ≠ x2 + r2 (em geral), segue que
T (a + b) ≠ T (a) + T (b).
Logo, não vale a condição (1) e T não é transformação linear.
d) Seja T: IR3 → IR3 , linear dada por T (x, y, z) = (2x + z, y, 0) determinar a imagem dos vetores pela 
transformação
i) (1, -1, 2) ii) (2, 0, 1) iii) (0, 2, -1)
Devemos substituir as coordenadas dos vetores na expressão de T, assim
i) T (1, -1, 2) = (2.1 + 2, -1, 0) = (4, -1, 0)
ii) T (2, 0, 1) = (2. 2 + 1, 0, 0) = (5, 0, 0)
iii) T (0, 2, -1) = (2 . 0 + (-1), 2, 0) = (-1, 2, 0)
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e) Sendo que T é uma transformação linear de IR3 em IR3, determine T(x,y,z), dados T(1,0,2) = (1,1,2), 
T(0,1,1) = (0,-1,2) e T(0,0,1) = (0,0,1), e B base do IR3 B = {(1,0,2), (0,1,1), (0, 0,1)}.
Como B é base do espaço, podemos escrever qualquer vetor do IR3 como combinação linear dos 
vetores de B, assim temos:
(x,y,z) = a . (1,0,2) + b . (0,1,1) + c . (0,0,1)
multiplicando pelos escalares e somando os vetores vem:
(x,y,z) = (a, b, 2a + b + c)
daí temos o sistema
x a
y b
z a b c
=
=
= + +



 2
resolvendo o sistema encontramos a = x, b = y e c = z – 2x – y
Guardamos estes resultados para aplicar depois.
Em T(x,y,z) vamos substituir o vetor (x,y,z) pela combinação linear dos vetores de B, assim temos:
T(x,y,z) = T (a . (1,0,2) + b . (0,1,1) + c . (0,0,1))
como a transformação é linear, utilizando a propriedade 3 do item 3.2 podemos escrever
T(x,y,z) = a . T (1, 0, 2) + b . T (0, 1, 1) + c . T (0, 0, 1)
Substituindo os dados do enunciado encontramos
T(x,y,z) = a . (1, 1, 2) + b . (0, -1, 2) + c . (0, 0, 1)
substituindo agora os resultados encontrados no sistema temos
T(x,y,z) = x . (1, 1, 2) + y . (0, -1, 2) + (z – 2x – y) . (0, 0, 1)
Multiplicando pelos escalares e somando os vetores temos
T(x,y,z) = (x, x – y , 2x + 2y + z – 2x - y), isto é,
T(x,y,z) = (x, x – y , y + z)
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Unidade II
Você pode encontrar mais exemplos de transformações lineares nos livros indicados em 
nossa bibliografia.
 Saiba mais
Para saber mais sobre transformações lineares, veja:
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/alinear/tlinear1.htm
5.3 Núcleo
5.3.1 Definição
Seja T: U → V uma transformação linear. Chamamos de núcleo da transformação linear T o conjunto 
N(T), dado por
 N(T) = {a ∈ U | T(a) = 0}
Notação: N(T) = Ker(T), (abreviatura da palavra inglesa Kernel)
Exemplos:
Determinar o núcleo das transformações lineares
1) F: IR2 → IR2 definida por F (x,y) = (x - y, y)
N (F) = {(x, y) ∈ IR2 | F(x, y) = (0,0)}
F (x,y) = (x - y, y) = (0,0) ⇒
− =
=



x y
y
0
0
Resolvendo o sistema temos x = y = 0
Logo N (F) = {(0,0)}, (subespaço trivial ou nulo)
2) T: IR3 → IR3 dada por, T(x,y,z) = (0, y - x, x + z)
N(T) = {(x,y,z) ∈ IR3 | T(x,y,z) = (0,0,0)}
T(x,y) = (0, y - x, x + z) = (0,0,0) ⇒ 
0 0
0
0
=
− =
+ =




y x
x z
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Resolvendo o sistema temos: y = x, z = -x e x qualquer (sistema possível e indeterminado)
Logo N (T) = {(x,y,z) ∈ IR3 | y = x e z = -x}, isto é,
N (T) = {(x, x,-x) | x ∈ IR}
5.3.2 Propriedades
1. N(T) é subespaço de U
Devemos verificar as 3 condições da definição de subespaço
(1) N (T) ≠ ∅, pois, 0U ∈ N (T)
(2) ∀ a, b ∈ N (T), a + b ∈ N (T)
Como T é linear, temos que T (a + b) = T (a)+ T(b), mas a, b ∈ N (T), assim,
T (a + b) = T (a)+ T(b) = 0 + 0 = 0, portanto a + b ∈ N (T)
(3) ∀ a ∈ N (T), ∀a ∈ IR, temos a.a ∈ N(T)
 a ∈ N (T) ⇒ T(a) = 0
 T(a.a) = a T(a) = a.0 = 0 , donde a.a ∈ N(T)
De (1), (2) e (3) temos que N (T) é subespaço de U.
2. N(T) = {0} ⇔ T é injetora
Demonstra-se facilmente utilizando a definição de função injetora.
Exemplos:
Determinar uma base e a dimensão do núcleo das transformações do exemplo anterior
1) F: IR2 → IR2 definida por F (x,y) = (x - y, y)
Já vimos que N (F) = {(0,0)}, temos então que B = ∅ é base de N(F) e dim N(F) = 0
2) T: IR3 → IR3 dada por, T(x,y,z) = (0, y - x, x + z)
Como já vimos N (T) = {(x, x,-x) | x ∈ IR}, temos que um sistema de geradores de N(T) é S = {(1,1,-1)} 
e como S é LI, concluímos que S é uma base de N(T) e dim N(T) = 1.
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Unidade II
5.4 Imagem da transformação linear
5.4.1 Definição
Imagem da transformação linear é o conjunto
Im(t) = {v ∈ V | v = T(a), a ∈ U}
Exemplos:
Determinar a imagem das transformações lineares
1) F: IR2 → IR2 definida por F (x,y) = (x - y, y)
Im (F) = {(x, y) ∈ IR2 | (x, y) = F(a,b)} = {(x – y, y) | x , y ∈ IR}
2) T: IR3 → IR3 dada por, T(x,y,z) = (0, y - x, x + z)
Im (T) = {(0, y - x, x + z) | x,y,z ∈ IR}
5.4.2 Propriedades
1. Im (T) é subespaço de V
Pode-se verificar facilmente que valem as 3 condições da definição
2. Im(T) = V ⇔ T é sobrejetora
3. Teorema da dimensão
Sendo T: U → V uma transformação linear temos:
dim Im (T) + dim N(T) = dimU
 Lembrete
Como o núcleo e a imagem de uma transformação linear são subespaços, 
podemos determinar uma base e a dimensão para eles.
Exemplos:
1. Determinar uma base e a dimensão da imagem das transformações do exercício anterior
a) F: IR2 → IR2 definidapor F (x,y) = (x - y, y)
Já sabemos que Im (F) = {(x – y, y) | x , y ∈ IR}, vamos determinar um sistema de geradores de Im (F).
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Como o vetor tem 2 letras, podemos separar em 2 vetores, cada um com uma letra, (x – y , y) = (x, 0) + (- y , y) 
colocando as letras em evidência, encontramos os geradores (x – y, y) = (x, 0) + (-y, y) = x (1, 0) + y (-1, 1) logo 
B = {(1, 0), (-1, 1)} gera Im (F), falta provar que são LI.
Montando a matriz e escalonando temos:
1 0
1 1
1 0
0 1−








~ vetores LI, logo B é base de Im (F) e dim Im (F) = 2
b) T: IR3 → IR3 dada por T(x,y,z) = (0, y - x, x + z)
Já sabemos que Im(T) = {(0, y - x, x + z) | x,y,z ∈ IR} vamos determinar um sistema de geradores de Im (T).
Como o vetor tem 3 letras, podemos separar em 3 vetores, cada um com uma letra, (0, y - x, x + z) = 
(0, - x, x) + (0, y, 0) + (0, 0, z) colocando as letras em evidência encontramos os geradores (0, y - x, x + z) 
= x (0, - 1, 1) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1)
S = {(0, -1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} gera Im (T), falta verificar se são LI.
Montando a matriz e escalonando temos:
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0
2
−







−







−







~ ~
L == + = +L L L L L2 1 3 3 2
os 3 vetores são LD, mas os 2 primeiros são LI, logo B = {(0, -1, 1), (0, 1, 0)}, é base de Im (T) e dim 
Im (T) = 2
2. Determinar o núcleo, a imagem, uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de cada uma 
das transformações
a) T:IR3 → IR2 definida por H (x, y, z) = (x + y - z, -x + y)
N(T)
N(T) = {(x, y, z) ∈ IR3 | T(x, y, z) = (0,0)}
T(x, y, z) = (x + y - z, -x + y) = (0,0)
x y z
x y
+ − =
− + =



0
0
resolvendo o sistema temos y = x e z = 2x e assim
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Unidade II
N (T) = {(x, y, z) ∈ IR3 | y = x e z = 2x} ou
N (T) = {(x, x, 2x) | x ∈ IR}
Base de N(T)
Os vetores de N(T) tem só uma letra, logo, encontraremos só 1 gerador, (x, x, 2x) = x (1, 1, 2)
B = {(1, 1, 2)} gera N(T) e como B é LI, temos que B = {(1, 1, 2)} é uma base de N(T) e dim N(T) = 1
ImT
ImT = {(x + y - z, -x + y) | x, y, z ∈ IR}
Base de ImT
Os vetores da ImT têm 3 letras, logo, encontraremos 3 geradores (x + y - z, -x + y) = (x, -x) + (y, y) + 
(-z, 0) colocando as letras em evidência
(x + y - z, -x + y) = (x, -x) + (y, y) + (-z, 0) = x (1, -1) + y (1,1) + z (-1,0)
assim ImT= [(1, -1), (1, 1), (-1, 0)], falta verificar se os geradores são LI montando a matriz e 
escalonando vem:
1 1
1 1
1 0
1 1
0 2
0 0
−
−








−







~
concluímos então que os 3 vetores são LD, porém, os 2 primeiros são LI, logo B = {(1, -1), (1, 1)} é 
base da ImT e dim ImT = 2.
b) F: IR4 → IR3, F (x, y, z, t) = (2x + y - t, x - 2y -z, 0)
N(F)
N (F) = {(x, y, z, t) ∈ IR4 | F (x, y, z, t) = (0,0,0)}
F (x, y, z, t) = (2x + y -t, x - 2y -z, 0) = (0,0,0)
2 0
2 0
0 0
x y t
x y z
+ − =
− − =
=




resolvendo o sistema temos z = x – 2y e t = 2x + y
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Logo N (F) = {(x, y, z, t) ∈ IR4 | t = 2x + y e z = x - 2y} ou 
N (F) = {(x, y, x - 2y, 2x + y) | x, y ∈ IR}
Base de N(F)
Os vetores de N(F) têm 2 letras, logo, encontraremos 2 geradores: 
(x, y, x – 2y, 2x + y) = x (1, 0, 1, 2) + y (0, 1, -2, 1)
B = {(1, 0, 1, 2), (0, 1, -2, 1)} gera N(F) e falta verificar se B é LI
Montando a matriz temos
1 0 1 2
0 1 2 1−




como a matriz já está escalonada, os vetores são LI, logo, B = {(1, 0, 1, 2), (0, 1, -2, 1)} é uma base 
de N(F) e dim N(F) = 2
Im(F)
Im F = {(2x + y - t, x - 2y - z, 0) | x, y, z, t ∈ IR}
Base de Im(F)
Os vetores da Im F têm 4 letras, logo, encontraremos 4 geradores
(2x + y - t, x - 2y - z, 0) = (2x, x, 0) + (y, -2y, 0) + (0, -z, 0) + (-t, 0, 0)
colocando as letras em evidência
(2x + y - t, x - 2y - z, 0) = x (2, 1, 0) + y (1, -2, 0) + z (0, -1, 0) + t (-1, 0, 0)
assim Im F = [(2, 1, 0), (1, -2, 0), (0, -1, 0)], falta verificar se os geradores são LI
montando a matriz e escalonando vem:
2 1 0
1 2 0
0 1 0
2 1 0
0 3 0
0 0 0
−
−
−








−







~
concluímos então que os 4 vetores são LD, porém, os outros 3 são LI, logo, B = {(2, 1, 0), (1, -2, 0), (1, 0, 0)} 
é base da ImF e dim ImF = 3.
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Unidade II
Lembre que você também pode pegar como vetores da base os 2 vetores da matriz escalonada
c) F: IR2→ IR2 definida por F(x, y) = (x - y, y)
N(F)
N (F) = {(x, y) ∈ IR2 | F (x, y) = (0, 0)}
F (x, y) = (x - y, y) = (0, 0)
x y
y
− =
=



0
0
resolvendo o sistema temos x = 0 e y = 0
N (F) = {(0,0)} (subespaço trivial ou nulo)
Base de N(F)
Como N(F) = {(0,0)} temos B = ∅ é base do núcleo e dim N(F) = 0
Im(F)
Im F = {(x - y, y) | x, y ∈ IR}
Base de Im (F)
Os vetores da Im F têm 2 letras, logo, encontraremos 2 geradores
(x - y, y) = (x, 0) + (-y, y)
colocando as letras em evidência
(x - y, y) = (x, 0) + (-y, y) = x (1, 0) + y (-1, 1)
assim Im F = [(1, 0), (-1, 1)], falta verificar se os geradores são LI montando a matriz e escalonando vem:
1 0
1 1
1 0
0 1−








~
os vetores são LI, logo, B = {(1,0), (-1,1)} é base da Im F e dim Im F = 2.
Lembre que você também pode pegar como vetores da base os 2 vetores da matriz escalonada, isto 
é, B = {(1, 0), (0, 1)} também é base da Im F
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
5.5 Matriz da transformação linear
Sejam T: U → V linear, A = {u1, u2, ...,un} e B = {v1, v2, ...,vm} base de U e V respectivamente.
Como B é base de V, podemos escrever T(ui) como combinação linear destes vetores, assim:
T u a v a v a v
T u a v a v a v
T u
m m
m m
( ) ...
( ) ...
(
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
= + + +
= + + +

nn n n mn ma v a v a v) ...= + + +1 1 2 2
Chamaremos de matriz da transformação linear T, em relação às bases A e B, à matriz m x n formada 
pelos coeficientes da combinação linear acima (vetor coordenada), colocados em colunas
T
a a a
a a a
a a a
A
n
n
m m mn
( ) =












, B
 
11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
� � � �
…
 
 T(u ) 1
↑ ↑ ↑
 T(u ) T(u ) 2 n
Observações:
1. Se U = V, isto é, T é operador linear e as bases A e B são iguais, então podemos escrever (T)A,A= (T)A
2. Se T: U → V é linear e as bases A e B são canônicas, então podemos escrever (T)A,B=(T).
Assim, quando não houver indicação da base na matriz, estaremos trabalhando com a base canônica.
 Lembrete
A base canônica do IR3 é formada pelos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Exemplos:
1. Sendo T: IR3 → IR2 linear dada por T(x, y, z) = (x + z, x + y), determinar a matriz de T em relação 
a A = {(1,0,0), (0,1,-1), (0,0,1)} base do IR3 e a B = {(1,1), (0,-1)} base do IR2.
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Unidade II
Inicialmente devemos calcular T nos vetores da base A
T(1,0,0) = (1+ 0,1 + 0) = (1, 1)
T(0,1, -1) = (0 - 1, 0 +1) = (-1, 1)
T(0,0,1) = (0 + 1,0 + 0) = (1, 0)
Devemos escrever cada T(ai) como combinação linear dos vetores da base B, assim
T(1,0,0) = (1, 1) = a11 (1, 1) + a21 (0, -1)
Multiplicando pelos coeficientes e somando os vetores encontramos o sistema
a
a a a
11
11 21 21
1
1 0
=
− = ⇒ =


 
estes serão os valores da 1ª coluna da matriz
T(0,1, -1) = (-1, 1) = a12 (1, 1) + a22 (0, -1)
Multiplicando pelos coeficientes e somando os vetores encontramos o sistema
a
a a a
12
12 22 22
1
1 2
= −
− = ⇒ = −


 
estes serão os valores da 2ª coluna da matriz
T(0,0,1) = (1, 0) = a13 (1, 1) + a23 (0, -1)
Multiplicando pelos coeficientes e somando os vetores encontramos o sistema
a
a a a
13
13 23 23
1
0 1
=
− = ⇒ =



estes serão os valores da 3ª coluna da matriz
Logo T A B( ) =



,
1 -1 1
0 -2 1
2. Consideremos o operador linear do IR3, T (x, y, z) = (x, 2x – y, z) e as bases do IR3 A = {(1,1,1), (0,1,-1), (0,0,1)} 
e B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} determine as matrizes (T)A,B; (T)B,A; (T)A e (T)B
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Calculando (T)A,B
Devemos calcular os valores de T paracada um dos vetores de A e escrever como combinação linear 
dos vetores de B
T(a1) = T(1, 1,1) = (1, 1, 1) = a1 (1, 0, 0) + b1 (0,1, 0) + γ1 (0, 0, 1)
T(a2) = T(0,1,-1) = (0,-1,-1) = a2 (1, 0,0) + b2 (0,1,0) + γ2 (0, 0, 1)
T(a3) = T(0, 0,1) = (0, 0, 1) = a3 (1, 0, 0) + b3 (0, 1, 0) + γ3 (0, 0, 1)
Multiplicando os coeficientes e somando os vetores temos os sistemas
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
1
0
1
1
0
0
1
=
=
=




=
= −
= −




=
=
=





Logo (T)A,B = 
1 0 0
1 1 0
1 1 1
−
−








Calculando (T)B,A
Agora devemos calcular os valores de T para cada um dos vetores de B e escrever como combinação 
linear dos vetores de A
T(b1) = T(1, 0, 0) = (1, 2, 0) = a1 (1, 1, 1) + b1 (0, 1, -1) + γ1 (0, 0, 1)
T(b2) = T(0, 1, 0) = (0, -1, 0) = a2 (1, 1, 1) + b2 (0, 1, -1) + γ2 (0, 0, 1)
T(b3) = T(0, 0, 1) = (0, 0, 1) = a3 (1, 1, 1) + b3 (0, 1, -1) + γ3 (0, 0, 1)
92
Unidade II
Multiplicando os coeficientes e somando os vetores temos os sistemas
α α
α β β
α β γ γ
α α
α β
1 1
1 1 1
1 1 1 1
2 2
2 2
1 1
2 1
0 0
0 0
1
= → =
+ = → =
− + = → =




= → =
+ = − →→ = −
− + = → = −




= → =
+ = → =
− + =
β
α β γ γ
α α
α β β
α β γ
2
2 2 2 2
3 3
3 3 3
3 3 3
1
0 1
0 0
0 0
11 13→ =




 γ
Logo (T)B,A = 
1 0 0
1 1 0
0 1 1
−
−








Observe que as matrizes (T)A,B e (T)B,A são diferentes, isso ocorre na maior parte dos casos.
Calculando (T)A
Devemos calcular T nos vetores de A e escrever como combinação linear dos vetores da base A
T(a1) = T(1, 1, 1) = (1, 1, 1) = a1 (1, 1, 1) + b1 (0, 1, -1) + γ1 (0, 0, 1)
T(a2) = T(0, 1, -1) = (0, -1, -1) = a2 (1, 1, 1) + b2 (0, 1, -1) + γ2 (0, 0, 1)
T(a3) = T(0, 0, 1) = (0, 0, 1) = a3 (1, 1, 1) + b3 (0, 1, -1) + γ3 (0, 0, 1)
α
α β β
α β γ γ
1
1 1 1
1 1 1 1
1
1 0
1 0
=
+ = → =
− + = → =




α
α β β
α β γ γ
α
α β β
α
2
2 2 2
2 2 2 2
3
3 3 3
3
0
1 1
1 2
0
0 0
=
+ = − → = −
− + = − → = −




=
+ = → =
−− + = → =




 β γ γ3 3 31 1
93
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Logo (T)A = 
1 0 0
0 1 0
0 2 1
−
−








Calculando (T)B
Devemos calcular T nos vetores de B e escrever como combinação linear dos vetores da base B
T(b1) = T(1, 0, 0) = (1, 2, 0) = a1 (1, 0, 0) + b1 (0, 1, 0) + γ1 (0, 0, 1)
T(b2) = T(0, -1, 0) = (0, -1, 0) = a2 (1, 0, 0) + b2 (0, 1, 0) + γ2 (0, 0, 1)
T(b3) = T(0, 0, 1) = (0, 0, 1) = a3 (1, 0, 0) + b3 (0, 1, 0) + γ3 (0, 0, 1)
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
=
=




=
= −
=




=
=
=





Logo (T)B = 
1 0 0
2 1 0
0 0 1
−








3) Dada a matriz ( ) ,T A B =








1 0
0 1
2 1
, determinar a transformação linear de IR2 em IR3, sendo A = {(1,1), (0,1)} 
base do IR2 e = {(1,1,0), (0,1,0), (0,0,1)} base do IR3 .
Pela definição de matriz da transformação linear temos que os escalares da combinação linear dos 
vetores de B são os elementos das colunas da matriz, assim podemos escrever
T(1, 1) = 1(1, 1, 0) + 0(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1) (escalares da 1ª coluna) e daí, T(1, 1) = (1, 1, 2)
T(0,1) = 0(1, 1, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1) (escalares da 2ª coluna) e daí, T(0,1) = (0, 1, 1)
94
Unidade II
Como A é base do IR2, temos que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear 
dos vetores de A. Assim
∀(x,y) ∈ R2, (x,y)=a (1,1)+b (0,1)
multiplicando pelos escalares e somando os vetores vem:
(x, y) = (a, a + b) e encontramos o sistema
a
a b
 =x
 +b =y =y-x⇒



resolvendo o sistema encontramos a = x e b = y – x.
Guardamos estes resultados para aplicar depois.
Em T(x,y) vamos substituir o vetor (x,y) pela combinação linear dos vetores de A, assim temos:
T(x,y) = T (a(1,1) + b (0,1)) como a transformação é linear, utilizando a propriedade 3 do item 5.2 
podemos escrever
T(x,y) = a . T (1,1) + b . T (0,1)
substituindo os valores calculados anteriormente temos
T(x,y) = a . (1, 1, 2) + b . (0, 1, 1)
substituindo agora os resultados encontrados no sistema temos
T(x,y) = x . (1, 1, 2) + (y – x) . (0, 1, 1)
multiplicando pelos escalares e somando os vetores temos
T(x,y) = (x, x + y - x , 2x + y - x) , isto é, T(x,y) = (x, y , x + y),
5.6 Operador inversível
Dizemos que T: U → U, um operador linear, é inversível se existe o operador linear T-1: U → U tal que 
T o T-1 = I, isto é, a composta de T e T-1 é igual ao operador de identidade.
(T o T-1) (u) = T (T-1(u)) = u
95
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
 Lembrete
Só estudaremos se uma transformação linear é inversível se for um 
operador linear.
5.6.1 Alguns resultados importantes
1. T operador inversível ⇔ det (T)C ≠ 0, onde (T)C indica a matriz canônica (matriz em relação à 
base canônica)
2. T operador inversível ⇔ N(T) = {0}
3. T operador inversível então (T)-1 = (T-1), matriz canônica
Exemplo:
Verificar se os operadores são inversíveis; se forem, determine o operador inverso
a) T(x, y) = (x – y, x)
Vamos inicialmente determinar a matriz canônica de T
Já sabemos que a base canônica do IR2 é C = {(1,0), (0,1)}, assim
T(1, 0) = (1, 1)
T(0, 1) = (-1,0)
e daí temos:
( )T C =
−



1 1
1 0
Para T ser inversível devemos ter det (T)C ≠ 0, calculando o determinante temos
det( )T C =
−
= = ≠
1 1
1 0
0 - 1 . (-1) 1 0 logo T é inversível
Falta determinar o operador inverso
96
Unidade II
1° modo – Vamos determinar os valores de x e y tais que
T-1(a, b) = (x, y), isto é, T(x, y) = (a, b)
Igualando os valores de T temos
T(x, y) = (x – y, x) = (a, b)
e daí vem o sistema
x y a
x b
− =
=



resolvendo o sistema temos
x = b e y = b – a
Substituindo em T-1(a, b) = (x,y) vem:
T-1(a, b) = (b, b - a) ou T-1(x, y) = (y, y - x)
2° modo – Utilizando matrizes (T)-1 = (T-1)
Como já calculamos a matriz canônica de T é ( )T C =
−



1 1
1 0
, determinando a inversa da matriz (T)C 
temos ( )T C
− =
−




1 0 1
1 1
.
Para determinar o operador inverso devemos multiplicar a matriz inversa pelo vetor coluna de (x, y),
( ) . .T
x
y
x
y
y
x yC
− 



=
−








=
− +




1 0 1
1 1
 logo T-1(x, y) = (y, y - x)
b) T(x, y) = (3y, y)
Vamos inicialmente determinar a matriz canônica de T
Já sabemos que a base canônica do IR2 é C = {(1, 0), (0, 1)}, assim
T(1, 0) = (0, 0)
T(0, 1) = (3, 1)
e daí temos:
( )T C =




0 3
0 1
97
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Para T ser inversível devemos ter det (T)C ≠ 0, calculando o determinante temos
det( )T C = = =
0 3
0 1
0 . 1 - 3 . 0 0 logo T não é inversível
5.7 Matriz mudança de base
Consideremos A e B bases ordenadas de um espaço V, A = {u1, u2,...,un} e B = {v1, v2, ...,vn}.
Para determinar a matriz, mudança da base A para a base B, vamos escrever cada vetor de A como 
combinação linear dos vetores de B, a matriz formada pelos coeficientes desta combinação linear 
(colocados como colunas) é chamada de matriz mudança de base de A para B.
u a v a v a v
u a v a v a v
u a v
n n
n n
n n
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1
= + + +
= + + +
= +
...
...

aa v a vn nn n2 2 + +...
B
A
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
Ι =












11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
� � � �
…
 
 u u 1 2
↑ ↑ ↑
 u n
5.7.1 Alguns resultados importantes
1. A matriz mudança de base de A para B é inversível e sua inversa é igual à matriz mudança de base 
de B para A.
Ι ΙB
A
A
B( ) =−1
2. Sejam A e B bases de um espaço U e u A( ) =




α
α
 
 
1
2
e u B( ) =




β
β
 
 
1
2
 as matrizes coluna das 
 
coordenadas de u em relação a essas bases, então temos u uB B
A
A( ) = ( )Ι .
3. Consideremos o operador linear T:U → U e A, B bases de U, então as matrizes (T)B e (T)A são 
semelhantes, isto é, podemos escrever (T)B = ( ΙA
B )-1 . (T)A . ΙA
B
98
Unidade II
Exemplo
Sejam A = {(2, 1), (1,1)} e B = {(1,0), (1,-1)}bases do IR2.
a) Calcule ΙB
A (matriz de mudança de base de A para B)
b) Usando ΙB
A , calcule (u)B, sabendo que (u)A = 
2
1






a) Para determinar a matriz mudança de base A para B vamos escrever os vetores de A como 
combinação linear dos vetores de B,
(2, 1) = a11(1, 0) + a21(1, -1)
(1, 1) = a12(1, 0) + a22(1, -1)
multiplicando pelos escalares e igualando os vetores temos os sistemas
 
 -
a a
a
11 21
21
2
1
+ =
=



resolvendo o sistema temos a11 = 3 e a21 = -1 (coeficientes da 1ª coluna da matriz)
 
 -
a a
a
12 22
22
1
1
+ =
=



 resolvendo o sistema temos a12 = 2 e a22 = -1 (coeficientes da 2ª coluna da matriz), logo
B
AΙ =




3 2
-1 -1
 
b) usando (u)B = ΙB
A . (u)A temos
u B( ) = − −











 = −






3 2
1 1
2
1
8
3
 .
logo u( ) = −





B
8
3
99
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
6 OPERADORES
6.1 Operador ortogonal
Um operador linear é chamado de ortogonal se vale para qualquer vetor do espaço:
| T(u) | = | u |
Exemplo:
Verificar se os operadores lineares são ortogonais:
a) T(x, y) = (x, 3y)
Devemos calcular o módulo de T(u) e de u e verificar se são iguais, assim,
| ( ) | ( )
| |
T u x y x y
u x y
= + = +
= +
2 2 2 2
2 2
3 9
comparando os dois resultados verificamos que são diferentes, logo, o operador linear não é 
ortogonal.
b) T(x, y) = (x, -y)
Devemos calcular o módulo de T(u) e de u e verificar se são iguais, assim,
| ( ) | ( )
| |
T u x y x y
u x y
= + − = +
= +
2 2 2 2
2 2
comparando os dois resultados verificamos que são iguais, logo, o operador linear é ortogonal.
c) T(x, y, z) = (x - y, y, z)
Devemos calcular o módulo de T(u) e de u e verificar se são iguais, assim,
| ( ) | ( )
| |
T u x y y z x xy y y z
u x y z
� � � � � � � � �
� � �
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
comparando os dois resultados verificamos que não são iguais, logo, o operador linear não é ortogonal.
100
Unidade II
6.2 Operador simétrico
Um operador linear é chamado de simétrico se sua matriz em relação a uma base ortonormal 
for simétrica.
T: U → U operador simétrico ⇔ (T)B é simétrica, B base ortonormal
Utilizaremos como base ortonormal a base canônica do espaço.
Observações:
1. B é ortonormal ⇔ os vetores são 2 a 2 ortogonais e todos os vetores são unitários
 Lembrete
Vetores são unitários se seus módulos, ou normas, são iguais a 1.
2. Se A é matriz simétrica, então A = At, isto é, a matriz e a sua transposta são iguais
Exemplos:
Verificar se os operadores lineares são simétricos:
a) T(x, y, z) = (2x + y, x + y, z)
Devemos calcular a matriz canônica de T
T(1, 0, 0) = (2, 1, 0)
T(0, 1, 0) = (1, 1, 0)
T(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
Como é a matriz canônica, não precisamos fazer a combinação linear
logo T( ) =








2 1 0
1 1 0
0 0 1
como a matriz é simétrica, temos que o operador é simétrico.
b) T(x, y, z) = (x - y, 3x + y, z + x)
Devemos calcular a matriz canônica de T
101
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
T(1, 0, 0) = (1, 3, 1)
T(0, 1, 0) = (-1, 1, 0)
T(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
Como é a matriz canônica, não precisamos fazer a combinação linear
logo T( ) =
−







1 1 0
3 1 0
1 0 1
como a matriz não é simétrica, temos que o operador não é simétrico.
6.3 Operações com operadores lineares
6.3.1 Adição
Consideremos os operadores F: U → U e G : U → U, o operador soma de F e G é dado por
(F + G) (u) = F (u) + G (u), ∀u ∈ U
Exemplo:
Sendo F(x, y, z) = (2x, y + z, x – z) e G(x, y, z) = (x –y , y, x – 2z) determine o operador F + G.
(F + G) (x, y, z) = F(x, y, z) + G(x, y, z) =
= (2x, y + z, x – z) + (x –y , y, x – 2z) =
= (3x – y, 2 y + z, 2x – 3z)
Logo (F + G) (x, y, z) = (3x – y , 2y + z, 2x – 3z)
6.3.2 Multiplicação por escalar
Consideremos o operador F: U → U e o escalar k ∈ IR. O operador produto de F por k é dado por
(k F) (u) = k F(u), ∀u ∈ U
Observação: Se F e G são lineares, então F + G e k F também são lineares.
Exemplo:
1) Sendo F(x, y, z) = (x, y - 2z, – z) e G(x, y, z) = (y , y + x, x – z) determine o operador 2F e 2F + G.
Inicialmente vamos calcular o operador 2F
102
Unidade II
(2 F) (x, y, z) = 2 F(x, y, z) = 2 (x, y - 2z, – z) = (2x, 2y – 4z, -2z) agora somamos com G(x, y, z)
(2 F + G) (x, y, z) =2 F(x, y, z) + G(x, y, z) =
= (2x, 2y - 4z, – 2z) + (y, y + x, x – z) =
= (2x + y, 3y + x – 4z, x – 3z)
Logo (2 F + G) (x, y, z) = (2x + y, 3 y + x – 4z, x – 3z)
2) Sendo F(x, y) = (2x – y, 3 y) e G(x, y) = (0, x + y) determine F – 2 G.
(F–2 G)(x, y) = F(x, y) – 2G(x, y) = (2x - y, 3y) – 2 (0, x + y) = (2x - y - 0, 3y - 2x - 2y) 
logo (F-2 G)(x, y) = (2x - y, - 2x + y)
6.3.3 Composição
Consideremos os operadores F e G tais que F: U → U e G: U → U. Chamamos operador composição 
de G com F e denotamos G o F, o operador dado por
(G o F) (u) = G(F(u)), ∀u ∈ U
 Observação
Note que as operações com os operadores lineares são semelhantes às 
realizadas com funções.
Exemplo:
1) Sejam F, G : IR2 → IR2 operadores lineares dados por:
F(x, y) = (x - y, y) e G(x, y) = (x, 0). Determine F o G e G o F
F o G
(F o G) (x, y) = F(G(x, y)) = F(x , 0) = (x –0, 0) = (x, 0)
logo (F o G) (x, y) = (x, 0)
G o F
(G o F) (x, y) = G(F(x, y)) = G(x - y, y) = (x – y, 0)
logo (G o F) (x, y) = (x –y, 0)
2) Sejam F, G : IR3 → IR3 operadores lineares dados por:
F(x, y, z) = (x - z, 2x – y, z) e G(x, y, z) = (2y + z, x + y, x + z)
103
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Determine F o G e G o F
F o G
(F o G) (x, y, z) = F(G(x, y, z)) = F(2y + z, x + y , x + z) =
= ((2y +z) – (x + z), 2 (2y +z) – (x + y), x +z))
logo (F o G) (x, y, z) = (2y– x, 3y + 2z – x , x +z)
G o F
(G o F) (x, y, z) = G(F(x, y, z)) = G(x - z, 2x – y, z) =
= (2(2x - y) + z, x – z + 2x – y, x – z + z)
logo (G o F) (x, y, z) = (4x – 2y + z , 3x - y - z , x)
6.4 Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada é um número real associado a ela.
Sendo A = (aij) matriz quadrada de ordem n representaremos o determinante desta matriz por: 
det A ou por | A |,
det A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
�
�
� � � �
�
Para desenvolver o determinante temos vários modos, dependendo da ordem da matriz.
Matriz de ordem 1
Neste caso temos A = (a11) e det A = a11
Matriz de ordem 2
Neste caso temos
A
a a
a a
=




11 12
21 22
 e det . .A
a a
a a
a a a a= = −11 12
21 22
11 22 21 12
Exemplo:
Calcular o determinante da matriz A =
−



1 1
2 0
104
Unidade II
det . .A =
−
= − = + =
1 1
2 0
1 0 2 (-1) 0 2 2
logo det A = 2
Matriz de ordem 3
Neste caso temos
A
a a a
a a a
a a a
A
a a a
a a a
=








=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22det 223
31 32 33a a a
=
=a .a .a +a .a .a +a .a .a -(a .a11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22..a +a .a .a +a .a .a )31 12 21 33 11 23 32
Exemplo:
Calcular o determinante da matriz:
a) A =
−







1 1 1
2 1 0
0 2 3
Desenvolvendo o determinante temos:
det A �
�1 1 1
2 1 0
0 2 3
=
=1.1.3+(-1).0.0+1.2.2- 1.1.0+(-1).2.3+1.0.2�� �=3+4-(-6)=13
b) B =
−
−








2 1 1
0 1 1
1 0 2
105
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Desenvolvendo o determinante temos:
det A =
−
−
=
2 1 1
0 1 1
1 0 2
2.1.2+1.1.(-1)+(-1).0.0- (-1).1.(-1)+2.0.1++1.0.2 =2( )
Matriz de ordem n, n ≥ 3
Neste caso, faremos o desenvolvimento do determinante utilizando a regra de Laplace,
Seja A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=












11 12 1
21 22 2
1 2
�
�
� � � �
�
 então
det A
a a a
a a a
a a a
a
n
n
n n nn
ij= = ∑
11 12 1
21 22 2
1 2
�
�
� � � �
�
 . A , fixadoij i ou j
onde
aij representa o elemento da linha i e coluna j
Aij representa o cofator de aij, isto é, A N Nij
i j
ij
i j
ij= − = −
+ +( ) .det ( ) . | |1 1
| Nij | representa o menor relativo a aij, isto é, determinante da matriz que sobra eliminando a linha 
i e a coluna j de A
Exemplo:
1) Calcular o determinante da matriz A =
−







1 1 1
2 1 0
0 2 3
, utilizando Laplace.
Inicialmentedevemos fixar uma linha ou coluna, por exemplo, vamos fixar a linha 1, isto é, faremos 
o desenvolvimento pela linha 1. O resultado independe da linha ou coluna escolhida.
106
Unidade II
Assim devemos calcular os cofatores relativos à 1ª linha
A N
A
11
1 1
11
2
12
1 2
1 1
1 0
2 3
1 1 3 2 0 3
1
= − = − = − =
= −
+
+
( ) . | | ( ) . . ( . . )
( ) . |
 
NN
A N
12
3
13
1 3
13
1
2 0
0 3
1 2 3 0 0 6
1
| ( ) . ( ). ( . . )
( ) . | | (
= − = − − = −
= − = −+
 
11
2 1
0 2
1 2 2 1 0 44) . . ( . . )= − = 
Substituindo na regra temos:
det A a a a aj=
−
= = + + =∑
1 1 1
2 1 0
0 2 3
11 11 12 13 . A . A . A . A1j 11 12 13 . 3 . (-6) . 4+ − + = + + =( )1 1 3 6 4 13
Note que chegamos ao mesmo resultado do item anterior. No caso de determinante de uma matriz 
de ordem 3, você poderá escolher qualquer um dos dois modos.
2) Calcular o determinante da matriz A =
−
−








2 2 1
0 3 1
0 2 4
, utilizando Laplace.
Inicialmente, devemos fixar uma linha ou coluna, por exemplo, vamos fixar a coluna 1, isto é, faremos 
o desenvolvimento pela coluna 1 (esta é a opção mais conveniente por ter maior número de zeros, o 
que facilita as contas).
Devemos calcular os cofatores relativos à 1ª coluna, notemos que a21 = 0 e a31 = 0, logo, não é 
necessário calcular os cofatores relativos a estes elementos
A N11
1 1
11
21 1
3 1
2 4
1 3 4 1 2 14= − = −
−
= − − =+( ) . | | ( ) . . ( . ( ). ) 
Substituindo na regra temos:
det A a a a ai=
−
= = + + = −∑
1 1 1
2 1 0
0 2 3
1 11 21 31 . A . A . A . Ai1 11 21 31 22 0 0 28 . 14 . A . A21 31+ + = −
107
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
6.4.1 Algumas propriedades
1. Matriz com linha ou coluna nula tem determinante nulo
Exemplo:
Se A =
−



1 1
0 0
 então det A = 0
2. Matriz com 2 linhas ou colunas iguais ou proporcionais tem determinante nulo
Exemplo:
Se A =
−
−




1 1
2 2
 então det A = 0 (linhas proporcionais)
Se A =
−
−




2 1
2 1
 então det A = 0 (linhas iguais)
3. Matriz triangular tem o determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal
A
a a a
a a
a
A A
a an
n
nn
=












= =
11 12 1
22 2
11 12
0
0 0
�
�
� � � �
�
| | det 
��
�
� � � �
�
…
a
a a
a
a
n
n
nn
1
22 2
11
0
0 0
= a . . a22 nn.
Exemplo:
A
A A a a a
=
−







= =
−
=
1 1 1
0 1 0
0 0 3
1 1 1
0 1 0
0 0 3
11 22 33| | det . . == =1 . 1 . 3 3
4. Se B é uma matriz obtida de A por operações elementares, então:
permutando 2 linhas: det B = - det A
multiplicando uma linha por a: det B = a . det A
108
Unidade II
Exemplo:
Considerando a matriz A = −








1 2 1
1 1 0
0 1 3
a) permute as linhas 1 e 2 e compare os determinantes
b) multiplique a 2ª linha da matriz por 2 e compare os determinantes
a) permutando as linhas 1 e 2 temos
B =
−







1 1 0
1 2 1
0 1 3
calculando os dois determinantes e comparando temos
| A | = 8 e | B | = -8 logo | B | = - | A |
b) multiplicando a 2ª linha por 2 temos
B = −








1 2 1
2 2 0
0 1 3
calculando det B temos | B | = 16, isto é, | B | = 2 | A | = 2 . 8
 Saiba mais
Para saber mais sobre determinantes e sua propriedades busque em: 
KOLMAN, B. Introdução à álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 1999.
6.4.2 Determinante de um operador linear
Seja T: U → U um operador linear definimos como determinante de T o determinante da matriz de 
T, em relação a qualquer base.
109
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Por conveniência utilizamos a matriz em relação à base canônica.
det(T) = I(T)c I
 Observação
Note que só definimos determinante para operadores lineares, pois só 
calculamos determinantes para matrizes quadradas.
Exemplo:
Calcular o determinante do operador linear T(x, y, z) = (x + y, 2x, y + z)
Devemos inicialmente calcular a matriz de T, utilizaremos a matriz canônica. Assim
T(1, 0, 0) = (1, 2, 0)
T(0, 1, 0) = (1, 0, 1)
T(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
e a matriz canônica de T é
( ) T C =








1 1 0
2 0 0
0 1 1
calculando o determinante de (T)C temos
det det ( )T T C= = = − 
1 1 0
2 0 0
0 1 1
2
6.4.3 Composição
Se S e T são operadores de um mesmo espaço, então o determinante do operador S o T é igual ao 
produto dos determinantes de S e de T
det(S o T) = det S . det T
110
Unidade II
Exemplo:
Consideremos os operadores do IR2 dados por S(x, y) = (2x, y) e T(x, y) = (x – y, y) calcular:
S o T, det S, det T e det (S o T)
S o T
(S o T) (x, y) = S (T(x, y)) = S (x – y, y) = (2.(x – y), y) = (2x –2y, y)
det S
calcular inicialmente a matriz canônica de S
S(1, 0) = (2, 0)
S(0, 1) = (0, 1)
( ) S =




2 0
0 1
 daí det A = =
2 0
0 1
2
det T
calcular inicialmente a matriz canônica de T
T(1, 0) = (1, 0)
T(0, 1) = (-1, 1)
( ) T =
−



1 1
0 1
 daí det T =
−
=
1 1
0 1
1
det S o T
calcular inicialmente a matriz canônica de S o T
(S o T) (1, 0) = (2, 0)
(S o T) (0, 1) = (-2, 1)
( ) So T =
−



2 2
0 1
 daí det SoT =
−
=
2 2
0 1
2
Comparando os resultados encontrados, vemos que det (SoT) = 2 = 2 . 1 = det S . det T
6.5 Formas bilineares
Consideremos U um espaço vetorial de dimensão finita, uma forma bilinear é uma aplicação 
F, F: U x U → IR que é linear em cada coordenada.
F é F
F a b a F w b
F
 Ø bilinear
 v v w) . v F(v w)1 2 1 2⇔
+ = +( . . , ( , ) . ,
(( , . . ( , ) . ,v a b a F w b w w ) . v F(v w )1 2 2+ = +


 1
111
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Exemplos:
Verificar se as aplicações são bilineares:
a) F: IR x IR → IR, dada por F(x, y) = x . y
Devemos verificar as 2 condições da definição
linear na 1ª coordenada
F a b a b a b( . . , ( . . ). . . . x x y) x x y x . y x1 2 1 2 1 2� � � � � yy
 . F(x y) a . (x . y) b . (x . y)1 2 1 2a F x y b( , ) ,� � �
logo F a b a F x y b( . . , ( , ) . , x x y) . F(x y)1 2 1 2+ = +
linear na 2ª coordenada
F x a b x a b x x( , . . ( . . ) . . y y ) . y y a . y . 1 2 1 2 1+ = + = + bb . y
 . F(x y ) a . (x . y ) b . (x . y
2
2 1 2a F x y b( , ) . ,1 + = + )) 
logo F x a b a F x y b( , . . ( , ) . , y y ) . F(x y )1 2 2+ = +1
Portanto F é bilinear
b) F: IR2 x IR2 → IR, dada por F(u, v) = x1 . x2 + 2, sendo u = (x1, y1), v = (x2, y2)
Devemos verificar as 2 condições da definição
Tomemos u1 = (x1, y1), v1 = (x2, y2) , u2= (x3, y3) e v2 = (x4, y4)
linear na 1ª coordenada
F a b F a b y( . . , . , ) . , ) , , ) u u v) (x y (x y (x1 2 1 1 3 3 2+ = +( )( )2 ==
= +( )( ) =
=
F b y
F
 (a . x a . y x b . y (x
 (a 
1 1 3 3 2, ) ( . , ) , , )2
.. x . x y b . y (x
a . x . x 
1 3 1 3 2
1 3
+ +( ) =
= +( )
b a y
b
, . ), , )2
.. x
a . x x . x . x 2
2
1 2 3 2
+ =
= +( ) +
2
. b
112
Unidade II
a F
a F y y
 u v) b F (u v)
 (x ), (x )) b
1 2
1 2
( , ,
( , ,
+ =
= +1 2 (x ), (x )) 
a x . x b x . x
3 2
1 2 3 2
F y y( , ,3 2
2 2
=
= +( ) + +( ) =
= a . x . x b . x . x b
 a. x . x b .
1 2 3 2
1 2
+( ) + +( )
= + +
2 2
2
.
.
a
a x . x b 
 a. x . x b . x . x b 2a
3 2
1 2 3 2
+ =
= + + +
2
2
logo F a b a F x y b( . . , ( , ) . , x x y) . F(x y)1 2 1 2+ ≠ + e F não é bilinear (não é linear na 1ª coordenada)
6.6 Produto interno
Definimos como produto interno sobre um espaço vetorial V uma função que associa a cada par de 
vetores de V um escalar, que pode ser representado por u v, ou u . v, que satisfaz as condições
i u v
ii u u u
iii u u
iv u
) , ,
) , , ,
) , ,
) ,
 v u
 v w v w
 v v
 
=
+ = +
=α α
uu e u≥ = ⇔ =0 0 0, ,u u
Exemplos:
1) No IRn temos o produto escalar como um exemplo de produto interno (produto interno usual ou 
padrão), assim no IRn temos u a= ( )1, , a , a2 n e v b= ( )1, , b , b2 n , então o produto interno 
de u por v será (u, v) = u . v = ∑ai . bi .
2) No espaço C das funções contínuas no intervalo[0, 1] com valores reais temos que 
f g f t g t, ( ). ( ) dt= ∫
0
1
 é um produto interno sobre C.
3) O produto interno definido no item anterior também pode ser aplicado ao espaço P, conjunto de 
todos os polinômios.
4) Utilizando o produto interno usual do IR3, determinar o valor de u v, , v v, sendo u = (2, 1, -2) e 
v = (3, 0, 1).
Sabemos que o produto interno usual do IR3 é dado pelo produto escalar, isto é, u ai, v . bi= ∑ , assim
u v, = 2 . 3 + 1 . 0 + (-2) . 1 = 6 + 0 – 2 = 4
v v, = 3 . 3 + 0 . 0 + 1 . 1 = 9 + 0 + 1 = 10
113
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
6.6.1 Norma
Para o espaço IRn definimos norma de um vetor como a raiz quadrada do produto interno 
usual,
 u u u x x xn= = + + +, 1
2
2
2 2

Exemplo:
Determine o valor de:
a) || u || sendo u = (2, 1, -1)
 u u u= = + + − =, ( )2 1 1 62 2 2
b) || 2u || sendo u = (0, 3, 1)
2u = (0, 6, 2)
 2 u u u= = + + = + =2 2 0 6 2 36 4 402 2 2,
c) || u - v || sendo u = (1, -1, 3) e v = (2, 0, 2)
u – v = (1, -1, 3) - (2, 0, 2) = (-1, -1, -1)
 u - v = − − = − + − + − =u v u v, ( ) ( ) ( )1 1 1 32 2 2
6.7 Métrica
Em um espaço vetorial V com produto interno, chamamos de métrica a função distancia d, d: 
V x V → IR, que satisfaz as propriedades:
i d d v u
ii
) ( , )
)
 (u,v)
 d( u, v) 0 e d (u, u) 0 u 0
iii
=
≥ = ⇔ =
)) d (u, v) d (u, w) d ( v, w)≤ +
Exemplos:
1) Em IR temos que d(x, y) = || x – y || é uma métrica.
(verifique que as condições acima valem)
114
Unidade II
A métrica definida desta forma é a usual no IRn
2) Sendo M um conjunto qualquer, d: M x M → IR definida por:
d x y( , ) =
=
≠



0 se x y
1 se x y , podemos provar que d é uma métrica sobre M.
3) Calcule, usando a métrica usual (exemplo 1)
a) d(u, v) sendo u = (2, 1) e v = (3, 2)
d u v u v u v u v( , ) ,= − = − − 
u – v = (-1, -1), assim
d u v u v( , ) ( , ), ( , ) ( ) ( )= − = − − − − = − + − = 1 1 1 1 1 1 22 2
b) d(u, v) sendo u = (1, 2, 0) e v = (-1, 2, -1)
d u v u v u v u v( , ) ,= − = − − 
u – v = (2, 0, 1), assim
d u v u v( , ) = − = = + + = (2, 0, 1) 4 0 1 5
6.8 Ampliando seu leque de exemplos
1. O núcleo da transformação linear T(x,y,z) = (x + 2y, y – z):
A) N(T) = {(-2y, y, y) ∈ IR3}
B) N(T) = {(0, 0, 0)}
C) N(T) = {(x, x, 0) ∈ IR3}
D) N(T) = {(0, y, y) ∈ IR3}
E) N(T) = {(2y, y, y) ∈ IR3}
Resposta correta: alternativa A.
115
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Resolução do exercício
Para calcular o núcleo da transformação linear, vamos utilizar a definição, isto é,
N(T) = {(x, y, z) ∈ IR3 | T(x, y, z) = (0,0)}
(x + 2y, y – z) = (0,0)
x y
y z
+ =
− =



2 0
0 resolvendo o sistema temos: x = -2y e z = y, substituindo no vetor
N(T) = {(-2y, y, y) ∈ IR3} .
2. A imagem do operador linear dado por T(1,1) = (3,2) e T(0,-1) = (1,-1) é:
A) ImT = {(x, x + y) ∈ IR2}
B) ImT = {(2x - y, y) ∈ IR2}
C) ImT = {(x – 2y, y + x) ∈ IR2}
D) ImT = {(4x - y, x + y) ∈ IR2}
E) ImT = {(2x + y, 4y) ∈ IR2}
Resposta correta: alternativa D.
Resolução do exercício
Como B = {(1,1), (0,-1) é base do espaço, podemos escrever qualquer vetor do IR2 como combinação 
linear dos vetores de B, assim:
(x,y) = a . (1,1) + b . (0,-1)
(x,y) = (a, a - b)
Então temos o sistema:
x a
y a b
=
= −



Resolvendo o sistema temos: a = x e b = x – y
116
Unidade II
Assim T(x, y) = T (a . (1,1) + b . (0,-1))
Como T é linear, podemos escrever:
T(x, y) = a T (1,1) + b .T (0,-1)
T(x, y) = x (3,2) + (x - y) . (1,-1)
T(x, y) = (3x + x - y, 2x – x + y)
T(x, y) = (4x - y, x + y)
3. A matriz (T) A, B da transformação linear T(x,y) = (x – y, 2x + y, y) em relação às bases A = {(1,1), (0, 1)} 
e B = {(1,1,1), (0,1,-1), (0,0,2)} é:
A) T A B( ) =
−







,
0 1
3 2
2 2
B) T A B( ) = −
−







,
0 0
3 2
2 2
C) T A B( ) =
−






,
0 1
3 2
2 2
 
D) T A B( ) = −
−







,
0 1
3 2
2 2
E) T A B( ) = −
−







,
1 1
3 2
2 2
Resposta correta: alternativa C.
Resolução do exercício
Inicialmente devemos calcular T nos vetores da base A.
117
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
T(1,1) = (0,3, 1) = a (1, 1, 1) + b (0, 1, -1) + c (0,0,2) = (a, a + b, a – b +2 c)
 
 
a-b 2c 1
a
a b
=
+ =
+ =




0
3
 resolvendo o sistema temos: a=0, b = 3 e c = 2
T(0,1) = (- 1, 1, 1) = (a, a + b, a – b +2 c)
 
a-b 2c 1
a
a b
= −
+ =
+ =




1
1 resolvendo o sistema temos: a = -1, b = 2 e c = 2
Logo, T A B( ) =
−






,
0 1
3 2
2 2
 
4. Qual dos vetores pertence ao núcleo do operador linear T(x,y,z) = (x+z, x+z, 3x+y)?
A) u = (1, 2, -1)
B) u = (2,-6, -2)
C) u = (1,-3, 1)
D) u = (0,3, 0)
E) u = (-1,3, -1)
Resposta correta: alternativa B.
Resolução do exercício
Para saber se um vetor pertence ao núcleo de uma transformação linear, devemos calcular a sua 
imagem pela transformação e o resultado deve ser zero.
Assim,
T (1, 2, -1) = (1 +(-1), 1+(-1), 3. 1 + 2) = (0,0, 5) ∉ N(T)
T (2, -6, -2) = (2 +(-2), 2+(-2), 3. 2 + (-6)) = (0,0, 0) ∈ N(T)
T (1, -3, 1) = (2,2, 0) ∉ N(T)
118
Unidade II
T (0, 3, 0) = (0,0, 3) ∉ N(T)
T (1, 3, -1) = (0,0, 6) ∉ N(T)
5. Uma base do núcleo de T, T(x,y z) = (x – z, y, x – z) é:
A) B = {(1, 0, 1)}
B) B = {(1, 1, 1)}
C) B = {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}
D) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
E) B = {(0, 1, 0)}
Resposta correta: alternativa A.
Resolução do exercício
Para determinar uma base do núcleo, precisamos inicialmente determinar o núcleo de T, assim:
N(T) = {(x, y, z) ∈ IR3 | T(x, y, z) = (0, 0, 0)}
(x – z, y, x – z) = (0, 0, 0)
x z
y
x z
− =
=
− =




0
0
0
 resolvendo o sistema temos: x = z e y= 0, substituindo no vetor
N(T) = {(x, 0, x) ∈ IR3}
Uma base do núcleo será B = {(1, 0, 1)}
6. Uma base da Im T, T(x, y, z) = (x - z, y, x -z) é:
A) B = {(1, 1, 1), (0, 1, 0)}
B) B = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)}
C) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
D) B = {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}
119
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
E) B = {(1, 0, 1), (-1, 0, -1), (0, 1, 0)}
Resposta correta: alternativa D.
Resolução do exercício
Para determinar uma base da imagem, precisamos inicialmente determinar a imagem de T, assim:
Im(T) = {(x - z, y, x -z) ∈ IR3}
(x – z, y, x – z) = (x,0, x) + (0,y,0) + (z, 0, z)
(x – z, y, x – z) = x (1,0, 1) + y (0,1,0) + z (1, 0, 1)
1 0 1
0 1 0
1 0 1
1 0 1
0 1 0
0 0 0
















 ~ os 3 vetores são LD mas os 2 primeiros são LI.
Logo uma base da Im T será B = {(1,0,1), (0,1,0)}
7. Sendo A = {(1, 1), (-1, 0)} e B = {(1, 0), (1, -1)}, a matriz IB
A mudança de base de A para B é:
A) 
−



1 2
2 1
B) 
2 1
1 2−




C) 
1 2
2 1−




D) 
− −
−




2 1
1 2
E) 
2 1
1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
Resposta correta: alternativa E.
120
Unidade II
Resolução do exercício
Para determinar a matriz mudança de base A para B, vamos escrever os vetores de A como combinação 
linear dos vetores de B:
(1, 1) = a(1,0) + b(1,-1)
 
 -
a b
b
+ =
=



1
1
 resolvendo o sistema temos a = 2 e b = -1
(-1, 0) = a(1,0) + b(1,-1)
 
 -
a b
b
+ = −
=



1
0
 resolvendo o sistema temos a = -1 e b = 0
Logo
2 1
1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
8. Dos operadores a seguir, o que é ortogonal é:
A) T(x,y) = (x, 2y)
B) T(x,y) = (x, -y)
C) T(x,y) = (x + y, 2y)
D) T(x,y) = (3x, 2y)
E) T(x,y) = (x –y, 3x)
Resposta correta: alternativa B.
Resolução do exercício
Para o operador ser ortogonal, devemos ter | T(u) | = | u |, assim:
A) | ( ) | ( )T u x y x y= + = +2 2 2 22 4 e | |u x y= +2 2 logo, não é ortogonal.
B) | ( ) | ( )T u x y x y= + − = +2 2 2 2 e | |u x y= +2 2 logo, é ortogonal.
C) | ( ) | ( ) ( )T u x y y x xy y= + + = + +2 2 2 22 2 5 e | |u x y= +2 2 logo, não é ortogonal.
121
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
D) | ( ) | ( ) ( )T u x y x y= + = +3 2 9 42 2 2 2 e | |u x y= +2 2 logo, não é ortogonal.
E) | ( ) | ( ) ( )T u x y y x xy y= − + = + +2 2 2 23 2 10 e | |u x y= +2 2 logo, não é ortogonal.
9. Sendo T(x, y, z) = (x - y, y, z) e S(x, y, z) = (2x- z, y + z, z), a expressão para S + T é:
A) (S + T) (x, y, z) = (3x – y –z, 2y + z, 2z)
B) (S + T) (x, y, z) = (x – y –z, 2y + z, 2z)
C) (S + T) (x, y, z) = (3x – y –z, y + z, 2z)
D) (S + T) (x, y, z) = (3x – y –z, 2y + z, z)
E) (S + T) (x, y, z) = (3x – y +z, 2y + z, 2z)
Resposta correta: alternativa A.
Resolução do exercício
(S + T) (x, y, z) = (2x - z, y + z, z) +(x - y, y, z)
(S + T) (x, y, z) = (3x – y - z, 2 y + z, 2 z)
10. Sendo X = (3, - 1, 2) e Y = (1, 2, 4) o valor do produto interno (3X).Y, (considerando o produto 
interno usual) é:
A) (3X).Y = 27
B) (3X).Y = 9
C) (3X).Y = 24
D) (3X).Y = - 27
E) (3X).Y = 6
Resposta correta: alternativa A.
Resolução do exercício
(3X).Y = (9, -3, 6) . (1, 2, 4) = 9 – 6 + 24 = 27
122
Unidade II
 Resumo
Nesta unidade estudamos transformações lineares e operadores lineares.
Uma função T: U → V é linear se satisfaz:
1) ∀ a, b ∈ U, T (a + b) =T(a) + T(b)
2) ∀ a ∈ U, ∀a∈R, T(aa) = aT(a)
Uma transformação linear de U em U é chamado de operador linear.
Uma propriedade importante das transformações lineares é que ela 
leva zero em zero, isto é,
se T: U → V é linear então T(0U) = 0V .
Núcleo de uma transformação linear é o conjunto:
N(T) = {a ∈ U | T(a) = 0}
Imagem de uma transformação linear é o conjunto:
Im(T) = {v ∈ V / v = T(a), a ∈ U}
Algumas propriedades importantes das transformações lineares:
1) N(T) = {0} ⇔ T é injetora
2) Im(T) = V ⇔ T é sobrejetora
3) dim Im(T) + dim N(T) = dim U
Matriz da transformação linear de A em B:
T
a a a
a a a
a a a
A
n
n
m m mn
( ) =












, B
 
11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
� � � �
…
 
 T(u )1
↑ ↑ ↑
 T(u ) T(u ) 2 n
123
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Operador inversível: T é inversível se e somente se existe o operador T–1, tal 
que (T o T-1) (u) = T (T-1(u)) = u.
Matriz mudança de base,
 B
A
n
n
m m mn
I
a a a
a a a
a a a
=












11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
� � � �
…
 
 T(u ) 1
↑ ↑ ↑
 T(u ) T(u ) 2 n
Operador ortogonal: é um operador linear onde temos |T(u)| = |u|
Operador simétrico: operador cuja matriz em relação a uma base 
ortonormal é simétrica.
Operações com os operadores lineares:
a) Adição: (F + G) (u) = F (u) + G (u), ∀u ∈ U
b) Multiplicação por escalar: (k F) (u) = k F(u), ∀u ∈ U
c) Composição: (G o F) (u) = G(F(u)), ∀u ∈ U
Determinante de um operador linear: determinante da matriz canônica 
do operador linear.
Formas bilineares:
T: U x U → IR, F é bilinear se valem:
F a b a F w b
F v a b
( . . , ( , ) . ,
( , .
 v v w) . v F(v w)
 w 
1 2 1 2
1
+ = +
+ .. ( , ) . , w ) . v F(v w )2 2= +


 a F w b1
Produto interno: produto entre vetores que tem como resultado um escalar.
Num espaço IRn com produto interno, definimos norma e métrica.
Norma de u: u u u x x xn= = + + +, 1
2
2
2 2

124
Unidade II
Métrica: função distancia que satisfaz.
I) d(u, v) = d(v, u)
II) d(u, v) > 0 e d(u, u) = 0 ⇔ u = 0
III) d(u, v) < d (u, w) + d(v, w)
 Exercícios
Questão 1. Considere que a matriz mudança da base C para a base B de R3 seja:
IC
B =
−










1 0 1
1 0 0
1 1 1
Se as coordenadas do elemento v ∈ R3 são (-1,2,0), a matriz de coordenadas de v na base C são:
A) (-1,2,0)
B) (2,-1,0)
C) (1,1,1)
D) (-1,-1,3)
E) (1,2,3)
Resposta correta: alternativa D.
Resolução da questão
Sabemos que:
ν ν[ ] = ⋅[ ]c CB BI
Assim:
ν
ν
[ ] =
−










⋅
−









[ ] =
−
−








c
c
1 0 1
1 0 0
1 1 1
1
2
0
1
1
3


125
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARν
ν
[ ] =
−










⋅
−









[ ] =
−
−








c
c
1 0 1
1 0 0
1 1 1
1
2
0
1
1
3


Questão 2. Considere as bases ordenadas B = ( ) −( ) ( ){ }111 1 11 13 2, , , , , , , , e C = ( ) − −( ) ( ){ }12 2 11 1 12 3, , , , , , , ,
de R3. Sabe-se que as coordenadas do elemento v ∈ R3 na base C são (-1,2,0).
As coordenadas desse elemento na base B são:
A) (-1,2,0)
B) (2,-1,0)
C) (1,5,1,5,1)
D) (1,5,-2,5,5)
E) (1,2,3)
Resposta correta: alternativa D.
Resolução da questão
Vamos determinar a matriz mudança de base IB
C , que é a matriz mudança da base B para a base C.
12 2 111 1 11 13 2
11 1 11
11 21 31
12
, , , , , , , ,
, , , ,
( ) = ( ) + −( ) + ( )
− −( ) =
a a a
a 11 1 11 13 2
12 3 111 1 11
22 32
13 23
( ) + −( ) + ( )
( ) = ( ) + −( ) +
a a
a a
, , , ,
, , , , , , aa
I
a a a
a a a
a a a
B
C
33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
13 2
1 2 2
1 1
, ,( )
=










− −−










=










⋅1
1 2 3
1 1 111 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 1 1
1 3 2
−










Resolvendo o sistema, temos:
126
Unidade II
I
v I v
v
B
C
B B
C
C
B
=
−
−
−










= ⋅
=
−
−
0 5 0 5 1
0 1 0
2 5 15 2
0 5 0 5 1
0 1 0
, ,
, ,
, ,
−−










⋅
−









= −










2 5 15 2
1
2
0
15
2
5 5
, ,
,
,
vB