Livro-Texto Unidade III ALGEBRA LINEAR

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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
7 APLICATIVOS DE INFORMÁTICA USANDO MAXIMA
Software Livre
Para a Fundação Software Livre América Latina1, um software é livre quando ele for licenciado por 
meio de termos que respeitem as seguintes liberdades de seus usuários:
•	 a liberdade de executar o programa para qualquer propósito (liberdade nº 0);
•	 a liberdade de estudar como o programa funciona e adaptá‑lo às suas necessidades (liberdade nº 1). 
Acesso ao código‑fonte é um pré‑requisito para esta liberdade;
•	 a liberdade de redistribuir cópias, de modo que você possa ajudar o seu próximo (liberdade nº 2);
•	 a liberdade de aperfeiçoar o programa e distribuir os seus aperfeiçoamentos, de modo que toda 
a comunidade se beneficie (liberdade nº 3). Acesso ao código‑fonte é um pré‑requisito para 
esta liberdade.
 Saiba mais
Você pode saber mais sobre software livre, acessando:
http://www.fsfla.org/svnwiki/about/what‑is‑free‑software.pt.html
7.1 Maxima: o software, a instalação e os recursos básicos
7.1.1 Origens e potencialidades do Maxima
Nós, professores de Matemática, durante nossa carreira profissional, utilizamos alguns softwares 
computacionais, seja no auxílio à preparação de aulas, resolução de problemas e exercícios, elaboração 
de projetos e à preparação de atividades ou aulas a serem desenvolvidas com nossos alunos. Aqui, em 
nosso curso de Matemática da UNIP, oferecemos uma introdução a alguns softwares livres ou gratuitos 
(Winplot, Maxima, Mupad) para que, no desenvolvimento de suas funções profissionais, você, já sendo 
possuidor de alguma familiaridade com pacotes computacionais, possa deles fazer uso e aprofundar 
seus conhecimentos conforme suas necessidades ou seus interesses.
1 Alexandre Oliva e Pedro Antonio Dourado de Rezende – Fundação Software Livre América Latina. Disponível em: 
http://www.fsfla.org/svnwiki/texto/index.pt.html. Acesso em: 22 jul. 2011.
Unidade III
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Unidade III
Nesta disciplina, apresentaremos a você o Maxima: um software livre e gratuito. O Maxima é um 
pacote computacional para cálculos matemáticos, semelhante aos softwares MatLab, Mathematica e 
Maple, que não são livres nem gratuitos e representam alto custo aos usuários. O Maxima é um sistema 
de álgebra computacional para trabalharmos com expressões numéricas e simbólicas. O pacote pode ser 
baixado no seguinte endereço: <http://maxima.sourceforge.net> e também pode ser encontrado em 
nosso Blackboard.
O Maxima tem sua origem no sistema Macsyma (1968–1982), desenvolvido no Instituto de Tecnologia 
de Massachusetts (MIT). O MIT, em 1982, remanejou uma cópia/versão do código‑fonte do Macsyma 
ao departamento de energia; essa versão é conhecida com Macsyma DOE (Departamento de Energia).
O professor William F. Schelter (2001†) obteve, em 1998, permissão para liberar o código‑fonte 
sob a GNU General Public License (GPL). A sobrevivência e a abertura do código‑fonte do Maxima se 
deveram aos esforços e às habilidades de muitas pessoas, em especial do professor Schelter. Um grupo 
cada vez maior de colaboradores e usuários deram forma e disponibilizaram o Maxima a todos os que 
se interessassem.
Para que você tenha noção da abrangência do Maxima, saiba que ele inclui: limites, diferenciação, 
integração, gráficos 2D e 3D, curvas de nível, séries de Taylor, transformações de Laplace, equações 
diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, séries, listas, conjuntos, números complexos, 
vetores, matrizes, determinantes, autovalores e autovetores, raízes de polinômios, polinômio 
característico, entre outras.
7.1.2 Baixando e instalando o Maxima
A versão que iremos usar do Maxima ficará disponível para você baixar dentro do site da própria 
UNIP, em nosso curso, junto com o material desta disciplina.
Instalação do Maxima
Após efetuar o download do software Maxima, dê dois cliques com o botão esquerdo do mouse ou 
selecione o ícone (figura 1) e pressione a tecla Enter:
Figura 1 – Ícone do instalador do Maxima
Após executar o instalador, a primeira tela que aparece é para selecionar a língua de instalação do 
software (figura 2); como padrão está a língua inglesa, mas clicando nas opções, pode‑se escolher a 
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
opção Português (Brasil) (figura 3). Após selecionar a língua, basta clicar em OK para prosseguir com 
a instalação:
Figura 2 – Línguas disponíveis para instalação
Figura 3 – Selecionando a língua portuguesa: Português (Brasil)
Atenção: existem algumas razões para que, mesmo seguindo os passos indicados, você não consiga 
ter a versão em português do Maxima (não entraremos nesse mérito). Apresentamos a imagem em 
português, uma vez que lhe será mais significativa. Qualquer que seja o idioma em que o pacote for 
instalado, a posição dos temas, das funções ou das operações será sempre a mesma. Com essa versão 
em português, ficará fácil para você compreender o que aparece em sua tela, caso sua versão esteja em 
inglês. Tudo tem um lado positivo; se sua versão ficar instalada em inglês, além de aprender a ser um 
usuário desse pacote computacional, você também irá agregar aos seus conhecimentos novos termos 
técnicos em inglês. Dessa forma, você poderá e saberá transitar em qualquer versão do Maxima e 
aumentará o entendimento de termos em outros pacotes computacionais.
Voltemos à instalação do Maxima. O próximo passo é o Contrato de Licença de Uso; basta ler os 
termos, ativar a opção Eu aceito os termos do contrato e clicar em Avançar para continuar. A figura 4 
mostra a tela como é apresentada e a opção Eu aceito os termos de Contrato já selecionada:
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Figura 4 – Contrato de Licença de Uso
Após as configurações iniciais de instalação, é apresentada uma tela de boas‑vindas do assistente de 
instalação (figura 5); basta clicar em Avançar e prosseguir com a instalação do software:
Figura 5 – Boas‑vindas do instalador
A próxima tela apresenta as seguintes informações:
1. Usuários do sistema operacional MS Windows 9X devem ler a sessão referente à falta de espaço 
para ambiente no arquivo Readme.
2. Se a interface do software Maxima não funcionar, ler a sessão referente a firewall no arquivo Readme.
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
A figura 6 ilustra a parte que contém essas informações; depois de lidas, clique em Avançar para 
prosseguir com a instalação:
Figura 6 – Informações gerais
O passo seguinte da instalação consiste em definir o diretório para instalação do Maxima. A figura 7 
mostra o diretório‑padrão escolhido pelo instalador; caso deseje mudar o diretório de destino, clique no 
botão Procurar... e defina o diretório de sua preferência. Após definir o diretório ou aceitar o padrão, 
clique em Avançar para continuar com a instalação:
Figura 7 – Definição do diretório de instalação do Maxima
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Unidade III
A tela seguinte do instalador (figura 8) é referente aos componentes a serem instalados. Por padrão, 
é definido Full installation (ou instalação completa), que consiste em instalar todos os componentes 
do software Maxima. Existem outras duas opções:
• Compact installation (ou instalação compacta): consiste somente no Maxima core with command 
line interface.
• Custom installation (ou instalação customizada): o usuário pode definir quais pacotes deseja instalar.
Por padrão, deixaremos a opção Full installation. Clique no botão Avançar para continuar com a instalação:
Figura 8 – Componentes do Maxima
A tela seguinte (figura 9) confirma o nome da pasta em que serão salvos os atalhos no Menu Iniciar. 
Você pode alterar o nome, clicar em Procurar e definir outro local ou aceitar o padrão. Em nosso caso, 
iremos clicar em Avançar para prosseguir com a instalação:
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 9 – Diretório do menu iniciar
A próxima tela define tarefas adicionais (figura 10) de como adicionar ícones à área de trabalho. Por 
padrão, está definida a criação do ícone do Maxima na área de trabalho, basta clicar em Avançar e 
continuar com a instalação:
Figura 10 – Tarefasadicionais
As próximas telas mostram as definições da instalação; basta clicar em Instalar para efetuar a instalação:
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Unidade III
Figura 11 – Definições de instalação
Após clicar em Instalar, ocorrerá a instalação do software Maxima. Espera‑se a barra de progresso 
para o fim da instalação, conforme a figura 12:
Figura 12 – Progresso da instalação
Após a instalação, é exibida uma tela com informações gerais conforme a figura 13; basta clicar 
em Avançar:
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 13 – Informações gerais
Concluída a instalação, é exibida a tela da figura 14; clique em Concluir. O ícone do Maxima pode 
ser encontrado na área de trabalho, como na figura 15:
Figura 14 – Instalação concluída
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Unidade III
Figura 15 – Ícone do Maxima
7.1.3 A interface do Maxima
A interface wxMaxima é planejada para facilitar o uso do Maxima. A tela do programa é como está 
aparecendo a seguir (figura 16), que é a padrão para esta versão; possui doze botões de atalho na parte 
inferior da tela abaixo da Entrada. Informo aos “futuros amantes do Maxima” que esta quantidade pode 
ser aumentada:
Figura 16 – Interface do wxMaxima
Caso deseje visualizar ou trabalhar com a versão completa, você deve clicar em Editar e selecionar 
Configurar no painel de botões; selecione a opção Completo (como ilustrado na figura 17) e clique em 
OK. Caso não deseje, tudo bem, não vamos usar esses botões de atalho em nossa excursão pelo Maxima:
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 17 – Configuração do Maxima
Na sequência, você deve fechar o programa e abri‑lo novamente. Após seguir os procedimentos 
listados até agora, irá visualizar uma janela semelhante à que apresentamos na figura 18:
Figura 18 – Interface do wxMaxima com painel de botões completo
Nessa imagem, pode‑se observar a existência de vinte botões de atalho. Você também tem a opção 
de ocultar todos os botões de atalho.
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Unidade III
O Maxima foi desenvolvido em C++ e possui o código‑fonte aberto, o que lhe permite ser modificado 
e aprimorado por qualquer pessoa que se interesse e desenvolva o conhecimento suficiente para fazê‑lo. 
Caso, no futuro, você queira desenvolver algum trabalho nesse sentido, este poderá ser configurado 
como um projeto de iniciação científica, tanto na Matemática quanto na Computação, que são ciências 
social e culturalmente construídas.
O Maxima também possui potencialidades a serem desenvolvidas e existem características a 
melhorar. Saiba que é usual aprimorar programas computacionais. Existem pelo mundo pessoas 
investindo tempo, inteligência e paixão para fazê‑lo. Um exemplo desses esforços está na busca por 
modificações com o intuito de aumentar o número de funções existentes no programa hoje.
Na versão que escolhemos para apoiar nossa disciplina, existe uma interface gráfica que permite ao 
Maxima trabalhar com matrizes de forma semelhante à que ocorre com o Winmat. Outras equipes se 
envolvem em fazer traduções2 em diversas línguas para as versões que são aprimoradas.
Para ter acesso ao manual virtual do Maxima, você pode clicar sobre o ícone na barra de ferramentas. 
Uma segunda forma é colocar o cursor na região Entrada, digitar o símbolo da interrogação (?), dar um 
espaço e teclar Enter. Se estiver com uma dúvida específica sobre um comando, você deve colocar o 
cursor na região Entrada, digitar o símbolo da interrogação (?), dar um espaço, digitar a primeira letra 
(também pode ser mais de uma) do comando pretendido e clicar Enter; o manual virtual abrirá na 
página com a sequência em ordem alfabética das funções que apresentam, como início, a(s) letra(s) que 
você digitou. Para sair do manual, basta clicar no ícone no canto superior direito da tela.
7.1.4 Recursos básicos no Maxima
Você pode apoiar seus estudos, tanto no que se refere aos de cálculo quanto aos conteúdos de álgebra.
No que se refere aos conteúdos de cálculo, podemos, entre outros, nos apoiar no Maxima para:
•	 representação gráfica de uma função em duas ou três dimensões;
•	 calcular o limite de uma função;
•	 calcular a(s) derivada(s) de uma função;
•	 calcular a integral indefinida e/ou definida de uma função;
•	 encontrar as frações parciais de uma equação racional;
•	 resolver equações diferenciais.
2 “Para contribuir com a equipe do Maxima na tarefa de manter a tradução para o português sempre atualizada, 
envie um e‑mail para <maxima@math.utexas.edu>.” A fonte dessa informação está na página 1 do manual virtual dessa 
versão do Maxima.
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Sei que são muitos conceitos novos, mas saiba que no curso de Matemática irão se construir 
campos de compreensão e aplicação em cada um deles. Mantenha a calma, estude sistematicamente, 
assista aos vídeos das aulas, participe ativamente do fórum de discussão, resolva reflexivamente 
as atividades solicitadas, faça suas pesquisas pessoais que esses conceitos, com o tempo, se 
constituirão como seus. Estude e tenha a postura que recomenda Walter Franco em uma de suas 
canções: mantenha “a mente quieta, a espinha ereta e o coração tranquilo”. Iremos desenvolver 
esses temas mais adiante.
No que se refere aos conteúdos de álgebra, podemos, entre outros, nos apoiar no Maxima para:
•	 calcular determinantes;
•	 operar com matrizes;
•	 operar com vetores;
•	 resolver sistemas lineares;
•	 encontrar as raízes ou zeros de um polinômio.
7.1.4.1 Iniciando e conhecendo o Maxima
Para abrir o programa, você deve clicar sobre o ícone ; desse modo, aparecerá o que se retrata 
na figura 19:
Figura 19 – Inicializando o Maxima
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Unidade III
Leia e feche a dica do dia. Ao iniciá‑lo, saiba que você estará em um ambiente de trabalho que 
recebe e armazena os dados segundo linhas de comando. Você irá, o tempo todo, ler e interpretar 
as linhas de comando simbolizadas das seguintes formas (%i1), (%i2), [...], (%iN); N é um número 
natural. O i é uma abreviação da palavra input, termo da língua inglesa usado para designar entrada 
de dados.
As respostas às entradas serão dadas nas seguintes etiquetas: (%o1), (%o2), [...], (%oN); no qual o 
é uma abreviação da palavra output, que significa saída de dados. Uma vantagem dessa simbologia é 
que você pode fazer referência a uma entrada ou a um resultado passado relacionando‑os apenas pela 
etiqueta (figura 20):
Figura 20 – Uso de etiquetas e a mensagem do Maxima
O texto em inglês que aparece na figura 20 é sobre a versão do software. O local no qual se 
encontra oficialmente armazenado, informa que o mesmo é livre e de domínio público e apresenta uma 
dedicatória à memória do professor William Schelter, um incansável defensor dos sotfwares livres e um 
dos responsáveis por incentivar o aprimoramento e a disponibilidade pública do Maxima.
Caso deseje iniciar suas atividades sem que a mensagem‑padrão ocupe a tela do seu computador, 
basta clicar em Editar, selecionar a opção limpar a tela e não verá mais a mensagem na sessão 
aberta. Aliás, você pode realizar o procedimento de limpar a tela sempre que considerar necessário, 
independentemente do que esteja nela registrado. A única imagem que ficará visível é a indicação de 
qual será sua próxima “linha de comando”.
Embora não visíveis na tela, as contas, as equações ou os comandos inseridos permanecem na 
memória virtual do Maxima e você pode retomá‑los posicionando o cursor sobre a janela Entrada e 
clicando sobre a seta ↑ (sentido para cima) em seu teclado. Se teclar uma vez, aparecerá na região de 
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
entrada o conteúdo (fórmula e/ou operação) do código da última linha de comando inserida, mesmo 
sem que a linha esteja visível na tela. Clicando duas vezes, você recuperará o conteúdo do código da 
penúltima linha de comando e assim sucessivamente.
Exemplo
Veja como efetuamos as seguintes operações:
a) 220
b) 3+5
c) 5–13*2
d) 10/2–3
e) 2,5*3
Figura 21 – Exercícios
Para realizar os cálculos, inserimos na Entrada: para o item:
•	 2^20 e teclamos Enter, a resposta é automática;•	 3+5 e teclamos Enter, a resposta é automática;
•	 5–13*2 e teclamos Enter, a resposta é automática;
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Unidade III
•	 10/2–3 e teclamos Enter, a resposta é automática;
•	 2.5*3 e teclamos Enter, a resposta é automática.
 Lembrete
Porém, quando inserimos 2,5*3 e teclamos Enter, a resposta foi um 
alerta: Improper argument (em português, esse alerta está chamando 
sua atenção para o fato de você ter inserido um argumento impróprio, ou 
seja, você cometeu um erro).
 Observação
Nunca se esqueça de que no Maxima, assim como ocorre nas 
calculadoras, os números decimais são escritos com ponto (no lugar da 
vírgula); por exemplo: 3,1415 [...]. Para inserirmos esse valor, devemos usar 
3.1415; isso vale tanto no Maxima quanto no Mupad, no Maple etc.
Isso se deve ao fato de a programação interna desses pacotes (e de boa parte das calculadoras) seguirem 
o padrão da língua inglesa. Nunca use vírgula ao inserir um número, seja em calculadoras eletrônicas, seja em 
pacotes computacionais de nível internacional; o único pacote que foge a essa regra é o Excel. Portanto, se 
você digitar uma vírgula ao inserir um número, agora você já sabe o que acontece. Veja no quadro a seguir:
Quadro 1
(%i13) 3,1415;
Improper argument to ev:1415 ‑‑ an error. To debug this try debugmode(true);
O programa está informando que você usou um argumento impróprio e avisa que é um erro. O que 
você deve fazer para corrigi‑lo? Posicione o cursor na Entrada e clique sobre a seta ↑ (sentido para 
cima) em seu teclado; recuperando a expressão 3,1415, delete a vírgula (,) e a substitua pelo ponto (.), 
depois tecle Enter. Para ocultar qualquer entrada e sua correspondente saída, basta clicar na etiqueta, 
por exemplo, (%i13) de entrada que aparecerá em vermelho a seguinte mensagem (%i13).
<< Unfold >>. Para recuperar a imagem ocultada, basta clicar sobre a mensagem
<< Unfold >> que novamente você terá, nesse exemplo:
Quadro 2
(%i13) 3,1415;
Improper argument to ev:1415 ‑‑ an error. To debug this try debugmode(true);
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Atenção: após inserir o comando desejado na Entrada, deve‑se pressionar o botão Enter para que 
o comando seja executado pelo Maxima.
7.1.4.2 Salvando arquivos e Maxima como editor de texto matemático simbólico
Salvando arquivos
O procedimento para salvar as operações e variáveis (inputs e outputs) que você realizou por meio 
do Maxima é muito simples; basta clicar sobre a barra de ferramentas na opção Arquivo e depois Salvar 
como (caso seja a primeira vez), depois será mostrada uma tela para você selecionar o diretório em que 
deseja salvar e o nome que deseja dar ao arquivo. Vale lembrar que a extensão com que o arquivo é salvo 
é a extensão WXM, que é uma sessão do wxMaxima:
Figura 22 – Salvando uma sessão do wxMaxima
Após salvo a primeira vez por meio do procedimento descrito anteriormente, basta clicar no ícone 
do disquete para salvar o arquivo:
Durante alterações de uma sessão já salva, 
basta clicar neste ícone para salvar as 
alterações.
Figura 23 – Salvar sessão
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Unidade III
Usando o Maxima como editor simbólico matemático
Em nossos textos como professores de Matemática, muitas vezes precisamos escrever fórmulas, 
expressões e símbolos. Fazemos isso tanto em exercícios que propomos aos nossos alunos quanto ao 
elaborarmos provas, trabalhos e/ou projetos. Se nos apoiarmos no Maxima para verificarmos nossas 
propostas, podemos usá‑lo também como editor de fórmulas e expressões simbólicas. Veja como 
proceder com o exemplo a seguir:
Exemplo
Escrever a equação do segundo grau e copiar as fórmulas e expressões simbólicas obtidas por meio 
do Maxima:
x2–2x+4=0
Solução:
•	 passo 1: digitamos a equação do segundo grau no campo de Entrada:, conforme a figura 24:
Figura 24 – Entrada da equação
Após a entrada da equação, obtemos a saída do Maxima de acordo com o exemplo a seguir, sendo 
%o1 a primeira equação na forma matemática que desejamos copiar:
Figura 25 
•	 passo 2: para copiarmos a equação %o1, damos um clique sobre ela (selecionamos a equação), 
de tal forma que ela fique com um fundo cinza, conforme a figura 26:
Figura 26 – Calculando a equação
Após selecionar a equação, vamos à opção Editar da barra de menu e selecionamos a opção Copiar 
como, para então poder colar a equação, conforme a figura 27:
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 27 – Procedimento para copiar a equação
Depois disso, colocamos as duas raízes da equação na entrada do Maxima (fórmula de Baskhara) e 
efetuamos o passo 2 para as duas raízes, conforme as figuras 28; 29; 30 e 31:
Figura 28 – Primeira raiz da equação
x
b ac b
a
1
4
2
2
= − − −
Figura 29 – Equação da primeira raiz
Figura 30 – Segunda raiz da equação
x
b ac b
a
2
4
2
2
= − −
Figura 31 – Equação da segunda raiz
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Unidade III
 Observação
Vale ressaltar que as fórmulas para as raízes da equação obtidas por 
meio do Maxima diferem da convenção adotada pelas literaturas, isto é, as 
raízes precedem o valor de –b no numerador.
7.1.4.3 Operando numérica e algebricamente
Nesta sessão, aprenderemos, apoiados em exemplos, a usar alguns comandos do Maxima para 
realizar uma série de operações matemáticas.
Operadores aritméticos
Apresentaremos no quadro a seguir uma série de exemplos de como operar no Maxima. Serão vistas 
tanto a sintaxe (como ordenar de forma escrita que algo seja feito no pacote computacional) quanto a 
prioridade (ordem de precedência) do operador:
Quadro 3
Operador Ação Exemplo No Maxima Resultado no Maxima Prioridade
+ Adiciona 2/3 + 1/21 2/3 + 1/21; 5/7 1
‑ Subtrai 2/3 ‑ 1/21 2/3 ‑ 1/21; 13/21 1
* Multiplica 2/3 * 1/21 2/3 * 1/21 2/63 2
/ Divide (2/3) / (1/21) (2/3) / (1/21); 14 2
! Fatorial
5! 5!; 120 3
2 + 2 * 5! 2+2*%; * 242 3, 2, 1
^ Potência
2 ^ 10 2 ^ 10; 1024 3
(1/4) ^ (1/2) (1/4) ^ (1/2); 1/2 3
a a=
1
2 Clacula a raiz 
quadrada de a
1024 sqrt (1024) 32 3
(1024) ^ (1/2) (1024) ^ (1/2); 32 3
a amn
m
n=
Calcula a raiz 
enésima de a 
elevado a n
10 1054
5
4= 10^(5/4); 10 * 10^(1/4) 3
*Caso queira resgatar o resultado de um cálculo imediatamente anterior, basta usar o símbolo %.
%
Resgata 
o último 
resultado (UR)
5 + (UR) 5 + %; depende do (UR)
(UR) * 3 % * 3; depende do (UR)
Operação em cadeia
5! 5!; 120 3
2 + 2 * 5! 2 + 2 * %; * 242 3, 2, 1
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Precedência dos operadores
Ao avaliar uma expressão, o Maxima leva em conta a prioridade das operações; veja a última coluna 
do quadro anterior. As operações de maior prioridade (3 no quadro) são realizadas em primeiro lugar. 
Operações de mesmo grau de prioridade são realizadas na ordem em que aparecem na expressão, da 
esquerda para a direita. O uso de parênteses altera a prioridade. Você já deve ter percebido isso quando 
realizou os procedimentos das letras 5–13*2 e 10/2–3, do exemplo anterior.
Analisando as informações do quadro, você pode verificar que colocamos duas linhas para ação 
fatorial. Nossa intenção era trazer ao seu conhecimento o comando % que resgata o último valor 
calculado e o insere em uma nova operação.
 Lembrete
Revelo a você que eu, ao redigir o presente livro‑texto, o faço com o 
Maxima aberto em outra janela. Recomendo que, ao ler esse texto, faça‑o com 
o Maxima aberto e vá realizando cada atividade à medida que as lê ou estuda.
Já tendo calculado 5! em meu computador, resolvi fazer uma conta em que conseguíssemos ter o 
resultado por cálculo mental, de modo que usasse tal resultado. Essa é a razão que bastou para que eu 
digitasse 2+2*%. Tentei esclarecer tal comando (%) na parte inferior da tabela.
Resultados numéricos oferecidos pelo Maxima
O Maxima é programado para devolver os resultados mais exatos, porém, nem sempre é possível. Isso 
significa que algumas vezes ele devolve uma expressão simbólica no lugar de um valor numérico. Veja 
os exemplos a seguir:
I. (%i3) sqrt(2); (%o3) sqrt(2)
II. (%i4) log(10); (%o4) log(10)
III. (%i5) 2/3; (%o5) 2/3
Porém, muitas vezes não interessa saber o valor fracionáriocomo no exemplo III, mas sim um valor 
aproximado. Para forçar o Maxima a nos devolver um resultado aproximado, usamos a expressão float 
(comando de entrada). Veja como ficam nossos exemplos:
Quadro 4
I. (%i6) float(2/3); (%o6) 0.66666666666667
II. (%i7) float(sqrt(2)); (%o7) 1.414213562373095
III. (%i8) float(log(10)); (%o8) 2.302585092994046
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Unidade III
O quadro a seguir ilustra como inserimos constantes e/ou símbolos especiais no Maxima:
Quadro 5
Algumas notações no Maxima
Nome Símbolo Representação no Maxima
Comando: 
valor 
aproximado
Valor 
aproximado
Número de Euler e %e float(%e); 2.718281828
Pi πp %pi float(%pi); 3.141592654
Raiz quadrada 
de 2
2 sqrt(2) float(sqrt(2)); 1.414213562
Logaritmo de 3 
na base e ln3 log(3) float(log(3)); 0.477121255
Infinito ∞∞ inf
i: nº complexo i = −1 %i
 Observação
Você deve ter observado que até agora o símbolo % teve duas funções: 
chamar o último resultado obtido para inseri‑lo em novo cálculo e para 
indicar que um símbolo é uma constante. Mas e % como porcentagem... se 
você entrar com 10% na caixa de Entrada do Maxima.
(%i1) 10%; Incorrect syntax: % is not an infix operator10%; ^ => ele 
não entende que é 0,1 e chama a sua atenção ao fato de que você está 
cometendo um erro. Fique atento!
Diferentemente de outras, esta versão diferencia letras maiúsculas de minúsculas: A: e a: são 
entendidas como declaração de variáveis diferentes. Consequentemente, se você entrar com sen(pi), ele 
procederá de forma diferente se entrar com sen(PI).
Isto é, sen(PI) ≠ sen(pi).
Abreviamos seno por sin em pacotes computacionais que têm a língua inglesa como base.
Veja os resultados obtidos:
(%i18) sin(%PI); (%o18); sin(%PI)
Já (%i19) sin(%pi); (%o19) 0
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COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
 Lembrete
Há versões do Maxima que não diferenciam letra maiúscula de minúscula.
 Observação
I. (a – b)* c é diferente de a – b*c.
II. O Maxima é um sistema no qual trabalhamos em linhas de comando. 
Você informa um comando na Entrada, obtém uma resposta e pode inserir 
o próximo comando.
III. Se quiser saber um valor aproximado, precisa usar a expressão float [...].
Exemplos
Resolva as operações a seguir, e expresse cada resultado nas formas fracionária e decimal:
a b) _ * ) ,
2
3
2
1
4
2
2
5
15
2
4
3
2
2 3 2
2
3
1




+




+ ( ) −
+










+−
−
33
3
10
3 11
2
2












c)
!
*
Resolução:
a) (%i10) (2/3)^2–2*(1/4) + sqrt(2); (%o10) sqrt(2) – 1/18
Usando a tecla que tem a seta para cima “↑”, resgatamos o resultado já digitado. Na sequência, 
digitamos a palavra ou comando float e inserimos o comando já digitado em (i%10) dentro dos 
parênteses. Tecle Enter.
(%i11) float((2/3)^2 – 2*(1/4)+sqrt(2)); (%o11) 1.35865800681754
b) Para evitar erros de digitação ou que você venha a se perder nos parênteses, sugerimos que faça 
esse item em partes:
150
Unidade III
Parte 1: (%i15) ((2^3)/5)^2; (%o15) 64/25
Parte 2: queremos resultado fracionário, logo, usamos o 1,5 na forma de fração 3/2 e obtemos:
(%i16) (3/2)^(–2); (%o16) 4/9
Parte 3: subdivida e faça passo a passo para ser mais didático:
(%i17) ((2^3)/(4+3/2))^(–1); (%o17) 11/16
(%i18) ((2^3)/(4+3/2))^(–1)+ 1; (%o18) 27/16
(%i19) (((2^3)/(4+3/2))^(–1)+ 1)^2; (%o19) 729/256
Parte 4: fazer a operação entre as partes:
(1)+ (2) – (3): (%i20)(64/25) + (4/9) – (729/256)
(%o20) 9031/57600
(%i21) float(%); (%o21) 0.15678819444444
c) (%i22) sqrt((10!)/(3*11^2)); (%o22) (240*sqrt(21))/11
(%i23) float(%); (%o23) 99.9834697081274
Resultados algébricos e simbólicos oferecidos pelo Maxima
O Maxima efetua operações simbólicas, isto é, realiza operações algébricas como fatorar polinômios, 
expandir expressões algébricas, calcular raízes de uma equação polinomial, resolver sistemas de equações 
etc. Uma das mais importantes características desse aplicativo é que ele manipula e simplifica expressões 
algébricas. Podemos usar os operadores aritméticos para efetuar a simplificação de uma expressão algébrica.
Exemplo 1
Simplifique a expressão: 3
1
3
2
2
x a x a+ − +
Tabela 3
Expressão 3
1
3
2 2x a x a+ − +
Sintaxe 3*x^2+a‑x^2+(1/3)*a;
Resultado 2
4
3
2x
a
+
151
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Dicas de formatação de fórmulas
Podemos dar espaço entre os operadores para melhorar a visualização das expressões na tela sem 
nenhum problema:
•	 (%i11) (1 + sqrt (3))^2; (%o11) 3 1
2
+( )
Se colocada uma expressão, o Maxima conservará a forma simbólica:
•	 (%i10) (1+sqrt(3))^2; (%o10) 3 1
2
+( )
Se inserirmos o símbolo dólar ($) no final da linha de comando antes de teclar Enter, o Maxima 
omitirá o aparecimento do resultado na tela.
Esses artifícios são usados quando pretendemos otimizar tempo e aparência da tela que exibe os cálculos.
Exemplo 2
Decompor 10! em função de seus fatores primos:
Sabemos que 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800. O Maxima irá fazer a decomposição 
para nós; basta colocarmos o prompt na caixa de entrada e digitar a palavra factor(número); 
veja a seguir:
Tabela 4
Sintaxe factor(10!);
Resultado 28 34 52 7
 Lembrete
Para decompor um número em fatores primos, esse número 
obrigatoriamente tem de ser um número natural.
Exemplo 3
Decompor: x2–1
O Maxima também realiza decomposição de expressões algébricas. Para isso, basta digitar a palavra 
factor(expressão); veja:
152
Unidade III
Tabela 5
Sintaxe factor(x^2‑1);
Resultado (x – 1)(x + 1)
Uma limitação do comando factor é que ele não é um bom resolvedor de expressões, caso o 
componente numérico da fatoração seja um número não inteiro.
Veja os dois exemplos:
•	 (%i20) factor(x^2+1); (%o20) x^2+1: aqui, não foi feita a fatoração.
•	 (%i21) factor(x^2–1/4);(%o21) ((2*x–1)*(2*x+1))/4: aqui, a resposta mais simples seria 
(x–1/2)*(x+1/2).
Exemplo 4
Determine a forma expandida de (x–2)4
Para obter a forma expandida de uma expressão qualquer, basta usar o comando expand (expressão) 
e clique Enter, veja:
Tabela 6
Expressão (x–2)4
Sintaxe expand((x‑2)^4);
Resultado x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16
Exemplo 5
Determine a decomposição parcial fracionária de 
13 25
62
x
x x
�
� �
Para obter a decomposição parcial fracionária simples de expressões fracionárias, fazemos uso 
do comando partfrac e procedemos da seguinte forma: na caixa de entrada, digitamos partfrac 
(expressão, variável) e teclamos Enter. Veja no exemplo:
Tabela 7
Expressão
13 25
62
x
x x
−
+ −
Sintaxe partfrac((13*x‑25)/(x^2+x‑6),x);
Resultado
64
5 3
1
5 2x x+( ) + −( )
153
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Outros exemplos
Usando a função factor do Maxima, decomponha os pares de números a seguir e determine o MMC:
a) 473 e 96.
b) 112 e 108.
Respostas:
a) 473 = 43*11 e 96 = 2^5*3
MMC = 45408
b) 112 = 247e 108 = 2233
MMC = 3024
7.1.4.4 Variáveis, funções, constantes e expressões no Maxima
Se desejarmos definir variáveis e funções no Maxima, deveremos proceder como exemplificaremos 
em diversos subitens a seguir.
Atribuindo valores a variáveis e calculando numericamente o resultado de expressões
Para calcular x10, por exemplo, quando (i) x = 2; (ii) x = 0,5:
(%i1) x : 2;(%o1) 2 (%i2) x^10; (%o2) 1024 ou (%i3) x : 2$ (%i4) x^10; (%o4) 1024
Digitamos na caixa de entrada, x, dois pontos (:), 2 e $. Dessa forma, o Maxima vai entender que 
todo x que você colocar em uma expressão daqui para frente, nessa sessão de trabalho, tem valor 
numérico 2. O símbolo de $ é para que ele oculte a saída de x:2 (x=2). Na sequência, voltamos à caixa 
de entrada e fazemos a potência x10, digitando x^10; é só aguardar o resultado.
(ii) (%i5) x: 0.5$ (%i6) x^10; (%o6) 9.765625*10^–4
Exemplo
Sejam a = –1; b = 4; c = 0,5; d = 2; e = –3. Calcule, usando no Maxima, o valor de cada expressão 
a seguir. Antes de pedir ao Maxima que realize as contas, devemos informá‑lo do valor das variáveis. 
Na sequência, inserir a variável, depois os dois pontos (:) e, por fim, o valor da variável:
(%i9) a : –1$; (%i10) b : 4$; (%i11) c : 0.5$; (%i12) d :2$; (%i13)e : –3
154
Unidade III
Tabela 8 – a)
Expressão − + −b b ac
a
2 4
2
Sintaxe (‑b+sqrt(b^2‑4*a*c))/(2*a);
Resultado ‑0.12132034355964
Tabela 9 – b)
Expressão − − −b b ac
a
2 4
2
Sintaxe (‑b‑sqrt(b^2‑4*a*c))/(2*a);
Resultado 4.121320343559642
Tabela 10 – c)
Expressão 1
2 3 4 5
2 3 4 5
− + − + −b
b b b b
! ! ! !
Sintaxe 1‑b+(b^2)/2!‑(b^3)/3!+(b^4)/4!‑(b^5)/5!; ou 1‑b+b^2/2!‑b^3/3!+b^4/4!‑b^5/5!;
Resultado ‑53/15
Tabela 11 – d)
Expressão
( )
( )
2 3b a
a d e
d
c
−
+
Sintaxe ((2*b‑3*a)^d)/(a*(d+e)^c);
Resultado ‑121/(‑1)^0.5
Definindo e operando com funções matemáticas
 Lembrete
Para definir uma função de uma variável, usaremos o comando :=
a) Dada a função f(x)= x2–2x–3, determine f(0) e f(–1/2):
Tabela 12
Expressão F(x)= x2–2x–3(i) f(0)=? e (ii) f(–1/2)=?
Sintaxe F(x):=x^2–2*x–3; f(0); f(–1/2);
Resultado (i) –3 e (ii) –7/4
155
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
b) Dada a função f(x)= x2–2x–3, determine f(x+h):
Tabela 13
Expressão F(x)=x2–2x–3 f(x+h)=?
Sintaxe f(x):=x^2–2*x–3; f(x+h);
Resultado 1 (x+h)2 – 2(x+h) – 3
Vamos expandir o resultado que acabamos de obter?
Tabela 14
Sintaxe expand(%);
Resultado 2 x2+2hx–2x+h2–2h–3
c) Dada a função f(x, y) = (x–1)2+y2, determine f(2, 3)
Tabela 15
Expressão f(x, y)= (x–1)2+y2 e f(2, 3) = ?
Sintaxe f(x, y):=(x–1)^2+y^2 ; f(2, 3);
Resultado 10
d) Dada a função f(x) = cos(2x), determine f(pi)
Tabela 16
Expressão f(x)= cos(2x) e f(pi) = ?
Sintaxe f(x):=cos(2*x); f(%pi);
Resultado 1
Destacamos que é bem simples operarmos com limites, derivadas e integrais no Maxima. 
Recomendamos que, independentemente dessa disciplina, você aprofunde seu conhecimento do 
Maxima. Esse pacote computacional pode ser um importante aliado seu nos estudos de outras 
disciplinas e em nosso curso de Matemática. Boa diversão!
7.1.4.5 Funções internas ao Maxima
O Maxima contém muitos comandos e funções internas – algumas destas vimos na seção anterior. 
Vale lembrar que o nome das funções deve ser digitado sempre em letras minúsculas. Destacamos que 
os parâmetros de uma função devem ser delimitados por parênteses e que basta digitar a abertura dos 
parênteses que o fechamento é inserido automaticamente. Logo, mesmo que você seja desatento, não 
terá muitos problemas com isso.
156
Unidade III
A seguir, apresentamos uma lista de exemplos:
Quadro 6
Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função
abs(x) | x | acos(x) arccos(x) sinh(x) senh(x) asinh(x) arcsenh(x)
sqrt(x) x asin(x) arcsen(x) cosh(x) cosh(x) acosh(x) arcosh(x)
log(x) ln(x) atan(x) arctan(x) tanh(x) tgh(x) atanh(x) arctanh(x)
sec(x) sec(x) asec(x) arcsec(x) sech(x) sech(x) asech(x) arcsech(x)
csc(x) cosec(x) acsc(x) arccosec(x) csch(x) csch(x) acsc(x) arccosech(x)
cot(x) cotg(x) acot(x) arccotg(x) coth(x) cotgh(x) acoth(x) arccotgh(x)
Quadro 7
Sintaxe tan(...) sqrt(...) sin(...) cos(...)
Função tangente de... raiz quadrada de... seno de... cos de...
Sintaxe sign(x) factor(...) expand(...)
Função x
 |x|
a fatoração de um número ou de 
uma expressão
expande uma expressão fatorada
Sintaxe exp(x) ratsimp(...) display(...)
Função ex reduz uma expressão a um 
mesmo denominador
simplifica uma expressão
Sintaxe min(a, b, c) max(a, b, c) partfrac(expressão, variável)
Função valo mínimo 
entre...
valor máximo 
entre...
Calcula a decomposição parcial fracionária simples para 
expressões fracionárias
Sintaxe invert(A) A^^-1 determinante(A) rank(A) transpose(A)
Função inverte a 
Matriz A
inverte a 
Matriz A
determinante da 
Matriz A
posto da Matriz 
A
trasposta da 
Matriz A
Sintaxe charpoly(A, x) echelon(A) eigenvalues(A) eigenvetors(A) triangularize(A)
Função polinômio 
característico
forma 
escalonada 
da matriz A
autovalores da 
Matriz A
autovalores da 
Matriz A
forma triangular 
da Matriz A
7.1.4.6 Vetores, Matrizes, Equações e Sistemas Lineares
No Maxima, um vetor é definido como sendo uma variável, desde que seus parâmetros sejam 
colocados entre colchetes e separados por vírgulas:
v : [a, b, c, ... ,n]. Se desejarmos calcular (i) 
 
u v+ e (ii)
 
u v− 2 , dados 
 
u e v= −( ) = −


1 0 2
3
2
12, , , , .
157
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Primeiramente devemos, na Entrada, atribuir os parâmetros para as variáveis u e v da seguinte forma:
(%i29) v:[3/2,‑1,2]$; (%i30) u:[‑1,0,2]$
Voltamos à Entrada, digitamos u+v e teclamos Enter:
i) (%i31) u+v; (%o31) [1/2,‑1,4].
Na sequência, voltamos à caixa de Entrada, digitamos u‑2v e teclamos Enter:
ii) (%i32) u‑2*v; (%o32) [‑4,2,‑2].
Exemplos
Dados 

r = −( )1 0 5 2, . , e s = − −


3
2
12, , , calcular, usando o Maxima:
a) as componentes do vetor 2 
 
r s+ ;
b) as componentes do vetor e 2
 
r s− 3 .
Resolução:
Primeiramente, definimos, na Entrada, as variáveis r e s.
r:[1 , 0.5, ‑2 ]$ e s: [‑3/2 , ‑1 , 2 ]$
Tabela 17 – a)
Expressão 2 r s+
Sintaxe 2*r+s;
Resultado [1/2,0.0,‑2]
Tabela 18 – b)
Expressão 2
 
r s− 3
Sintaxe 2*r‑3*s;
Resultado [13/2,4.0,‑10]
158
Unidade III
 Saiba mais
Para saber mais e revisar seus conceitos envolvendo vetores, veja:
http://www.youtube.com/watch?v=mtNIaRk1XOE
Leia também o capítulo 6 de:
KOLMAN, B. Introdução à álgebra linear. 6. ed. São Paulo: Editora 
Prentice‑Hall do Brasil, 1998.
Para inserirmos uma matriz, devemos ler cada linha de uma matriz como se fosse um vetor; desta 
forma, se temos uma Matriz Mmxn, devemos digitar na caixa de ENTRADA:Matrix([vetor da 1ª. linha], 
[vetor da 2ª. linha], [vetor da 3ª. linha], ..., [vetor da enésima linha]);
Procedimento: digitamos a palavra Matrix, abrimos os parêntesis (que são automaticamente 
fechados quando se clica no botão Enter) entre os parêntesis, vamos dentro do colchete digitando cada 
vetor linha. Os vetores linhas devem ser separados por vírgulas.
Dadas A e B=








=
−
−
−














2 1 0
3 2 1
0 0 1
1 2 0
2 2 1
1
2
0 0
 determinar A+B
Primeiramente, devemos, na Entrada, definir e inserir as matrizes A e B:
A:matrix([2,1,0],[3,2,1], [0,0,1]) enter;
B:matrix([‑1,2,0],[‑2,2,1], [‑0.5,0,0]) enter;
E verá a seguinte tela:
159
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 32 
Para obter A+B, basta digitar na entrada A+B teclando Enter e terá:
Figura 33 
Outro caminho para inserir uma matriz é seguir os seguintes passos: com o Maxima aberto, digitar 
na caixa ENTRADA a: para poder resgatar essa matriz pela denominação a quando necessitar.
Figura 34 – Nomeando a matriz que iremos inserir no Maxima.
Isto feito, selecionar na barra o tema Álgebra e escolher o item Introduzir matriz.
160
Unidade III
Figura 35 – Inserindo uma matriz no Maxima
Isto feito, automaticamente a seguinte tela se abrirá. Nela, você deverá marcar o número de linhas 
e o número de colunas de que necessita para obter a matriz desejada:
Figura 36 – Inserindo uma matriz no Maxima: definindo a dimensão
Após definir a dimensão da matriz desejada, clique em OK. Você terá acesso a uma tabela na dimensão 
solicitada para completá‑la com os elementos desejados. Veja a figura 37:
Figura 37 – Inserindo uma matriz no Maxima: inserindo os termos
161
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
 Lembrete
Para apagar os zeros apresentados automaticamente, clique sobre eles 
e os apague. Na sequência, digite os valores desejados para cada posição. 
Depois, selecione OK.
Figura 38 – Inserindo uma matriz no Maxima: inserindo os termos desejados
Após clicar em OK, você terá introduzido na matriz a deste arquivo do Maxima, que apresentará uma 
tela semelhante à que apresentamos a seguir:
Figura 39 
Veja que na entrada apareceu nomeada a matriz a:
Figura 40 
162
Unidade III
Necessitávamos de operar com a matriz b. De maneira análoga, vamos inserir a matriz b. Isto 
é, vamos inserir “b:” na entrada, selecionar “Álgebra” na barra de ferramentas, depois optar por 
“Introduzir matriz” e escolher escrever uma matriz 3x3. Na sequência, inserimos a matriz b do início 
deste item. Vejamos:
Figura 41 – Inserindo uma matrizb no Maxima
Voltando à região denominada Entrada, digitamos a+b, pressionamos a tecla Enter e obtemos o 
resultado da soma a+b, conforme a figura a seguir:
Figura 42 – Inserindo a soma de duas matrizes a e b no Maxima
Para calcularmos a inversa de a, basta digitar a na Entrada, voltar a escolher o tema Álgebra e depois 
Inverter matriz:
163
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 43 – Calculando a inversa da matriz a no Maxima
Em segundos, temos a matriz inversa de a, a saber:
Figura 44 
Aprenda a ler a tela de seu computador. Ela está te informando que, para inserir direto a solicitação 
de função inversa na Entrada, basta você digitar invert(a); e teclar Enter.
Caso você deseje calcular o determinante da matriz a, deve colocar o cursor na entrada, digitar a, 
na sequência, selecionar Álgebra e depois determinante. Imediatamente, o Maxima devolve o valor 
numérico do determinante da matriz a.
Figura 45 
164
Unidade III
Figura 46 – Calculando o determinante da matriz a no Maxima
Novamente, lendo a tela de seu computador, ela está te informando que, para inserir direto 
a solicitação do determinante de uma matriz na Entrada, basta você digitar determinant(a); e 
teclar Enter.
Se você precisar transpor a matriz a, o procedimento é semelhante. Digitar a na Entrada, selecionar 
“Álgebra” e optar por “Transpor matriz” e obterá como resposta a matriz a seguir:
Figura 47 
Perceba que o que era linha na matriz a agora é coluna na transposta de a.
Mais uma vez, insisto na atenção a tudo que nos apresenta uma imagem, lendo a tela de seu 
computador. Ela está te informando que para inserir direto a solicitação da transposta da matriz a na 
Entrada, basta você digitar transpose(a); e teclar Enter.
Confira os passos na figura a seguir:
165
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 48 – Calculando a transposta da matriz a no Maxima
Exemplos
Dadas as matrizes A e B anteriores, usando o Maxima, determinar:
a) A*B;
b) o determinante de A;
c) a inversa de A;
d) a transposta de A;
e) posto da matriz A;
f) o polinômio característico de A+B;
g) a forma triangular de (A+B);
h) a forma escalonada de (A+B);
i) a forma triangular de (B);
j) a forma escalonada de (B);
166
Unidade III
Resolução:
Definidas e inseridas as matrizes A e B na caixa de entrada, cada item é resolvido como segue:
Tabela 19 – a) A*B
Expressão A*B
Sintaxe A.B;
Resultado
−
−
−










4 0 6 1
7 5 10 2
0 5 0 0
.
.
.
Comentário: multiplicação de matrizes A*B=C: operação que só pode ser realizada quando o número 
de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz C, se existir, terá o número de linha de A e o 
número de colunas da matriz B. Atenção: a multiplicação de matrizes no Maxima é feita com o símbolo 
. (ponto), e não com *. Caso você precise calcular A3 deve fazer (A.A.A); se entrar com o comando A^3, no 
Maxima, estará elevando cada elemento da matriz A ao cubo. Veja a diferença:
(%i84) A.A.A; (%o84) 
26 15 5
45 26 10
0 0 1










 já (%i85) A^3; (%o85) 
8 1 0
27 8 1
0 0 1










Tabela 20 – b) O determinante de A
Expressão detA
Sintaxe determinant(A);
Resultado 1
Comentário: determinante é uma propriedade matricial muito usada na resolução de sistemas lineares.
Tabela 21 – c) A inversa de A
Expressão A1
Sintaxe invert(A); ou A^^‑1
Resultado
2 1 1
3 2 2
0 0 1
−
− −










Comentário: se a inversa existe, é única. Uma matriz A só admite inversa quando o determinante de 
A for um número diferente de zero e A1*A=A*A1=/. Só matrizes quadradas são inversíveis ou invertíveis: 
(A‑1)‑1=A
167
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Tabela 22 – d) A transposta de A
Expressão AT
Sintaxe transpose(A);
Resultado
2 3 0
1 2 0
0 1 1










Comentário: 1ª linha da matriz A será 1ª coluna da AT; 2ª linha da matriz A será 2ª coluna da AT e 
assim sucessivamente. Se A for uma matriz simétrica, A= AT.
Tabela 23 – e) Posto da matriz A
Expressão Posto de A
Sintaxe rank(A);
Resultado 3
Comentário: quando começamos a abordar o tema matrizes, comentamos que, para inserir uma 
matriz, entendemos cada linha dela como sendo um vetor (as colunas também são interpretadas 
como vetores). O posto de uma matriz é o numero de vetores linha (ou coluna) linearmente 
independentes. Uma matriz 3x5 possui no máximo 3 valores L.I. Logo, o valor máximo que o posto 
pode alcançar é 3. O conceito de posto é muito usado em álgebra linear no estudo de sistemas 
lineares. O número de soluções de um sistema está associado ao posto da matriz dos coeficientes 
e ao posto da matriz ampliada.
Tabela 24 – f) O polinômio característico de A+B
Expressão det(A+B – xI)
Sintaxe charpoly(A+B,x);
Resultado (1–x)2(4–x)–3(2.0–x)
Comentário: você pode não se lembrar, mas calcular o polinômio característico é uma das etapas 
do procedimento realizado para se calcular os autovalores de uma matriz. Para calcular os autovalores, 
igualamos o polinômio característico a zero e as raízes desta equação serão os autovalores.
Tabela 25 – g) A forma triangular de A+B
Sintaxe triangularize(A+B);
Resultado
1 3 0
0 1 2
0 0 4−










168
Unidade III
Tabela 26 – h) A forma escalonada de A+B
Sintaxe echelon(A+B);
Resultado
1 3 0
0 1 2
0 0 1










Tabela 27 – i) A forma triangular de (B)
Sintaxe triangularize(B);
Resultado
−
−
−










1 0 0
0 2 0
0 0 2
Tabela 28 – j) A forma escalonada de (B)
Sintaxe echelon(B);
Resultado
1 0 0
0 1 0
0 0 1










Caso você tenha se esquecido da diferença entre forma triangular e forma escalonada, observe, compare 
e analise nossos quatro itens anteriores. Você deve ter percebido que a diagonal formada pelos elementos que 
ocupam a posição i=j de nossas matrizes escalonadas é composta apenas por uma sequência de números 1.
Vamos agora estudar um pouco de Equações e Sistemas Lineares no Maxima.
Para resolver uma equação, usamos o comando solve, posicionamos o cursor na entrada, digitamos 
solve (equação desejada) e teclamos no botão Enter. Se desejarmos conhecer:
Tabela 29 – a) As raízes da equação x2-2x-3=0
Expressão x2‑2x‑3=0
Sintaxe solve (x^2 – 2*x – 3 = 0);
Resultado [x = 3, x = – 1]
Tabela 30 – b) As raízes da equação mx2+nx+p=0 
na variável x, isto é m,n e p são constantes
Expressão mx2+nx+p=0, com m,n e p números reais
Sintaxe solve(m*x^2+n*x+p=0,x);
Resultado x
n mp n
m
x
n mp n
m
= −
− +
=
− −







2 24
2
4
2
,
169
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Comentário: perceba que o Maxima realizou todos os cálculos algebricamente. Esse é um grande 
diferencial do software.
Tabela 31 – c) A solução do sistema 
2 1
3 2 4
x y
x y
+ =
− =



Expressão
2 1
3 2 4
x y
x y
+ =
− =



Sintaxe solve([2*x+y=1,3*x‑2*y=4],[x,y]);
Resultado [x = 6/7, y = – 5/7]
Comentário: esse sistema é possível e determinado ou simplesmente compatível; logo, possui apenas 
uma solução. A interpretação geométrica da solução de sistemas deste tipo são as coordenadas do 
ponto (x,y), que representam a interseção das duas retas. Após escalonar esses sistemas, você terá um 
sistema equivalente com o mesmo número de equações e incógnitas.
Outro procedimento para inserir um sistema linear é o seguinte: selecione o tema equações, escolha 
o item sistema linear conforme figura 49:
Figura 49 – Inserindo um sistema linear
Na sequência, você irá ter na tela de seu computador a janela a seguir. Nesta janela, você deve 
definir o número de equações do sistema que irá investigar. Em nosso exemplo 2:
Figura 50 – Inserindo um sistema linear de duas variáveis
170
Unidade III
Retire os zeros da figura 51 e inclua as equações e as variáveis do sistema linear conforme indicado 
na figura 52:
Figura 51 – Inserindo as equações de um sistema linear de duas variáveis
Figura 52 – Como inserir as equações e as variáveis
Você também pode trabalhar direto na caixa Entrada usando a funçãolinsolve conforme ilustramos 
a seguir. Em %i3, temos a entrada do sistema realizada pelo Maxima e em %o3 a devolutiva ou resposta 
do Maxima.
Figura 53 
Tabela 32 – d) A solução do sistema 
x y
x y
+ =
+ =



1
4
Expressão
x y
x y
+ =
+ =



1
4
Sintaxe solve([x+y=1, x+y=4],[x,y]);
Resultado Inconsistent equations: 
171
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Comentário: se o sistema que você pretende resolver for incompatível ou impossível, isto é, não 
possuir solução, o Maxima retornará a mensagem Inconsistent equations. A interpretação geométrica da 
solução é que não existe ponto de interseção entre as duas retas, o que significa que, geometricamente, 
estamos operando com duas retas paralelas. Após escalonar esse sistema, você terá um sistema 
equivalente com uma expressão do tipo 0x+0y=k, onde k é uma constante diferente de zero, o que 
torna a expressão 0x+0y=k impossível.
Tabela 33 – e) A solução do sistema 
x y
x y
+ =
+ =



1
2 2 4
Expressão
x y
x y
+ =
+ =



1
2 2 4
Sintaxe solve([x + y =2 , 2*x + 2*y = 4],[x,y]);
Resultado Dependent equations eliminated:[x=2‑%r1, y=%r1]
Comentário: esse sistema é possível e indeterminado ou compatível indeterminado. Por isso, possui 
infinitas soluções. Pense que y=%r1=α; agora você percebeu que ele estava te oferecendo o padrão das 
soluções do sistema x=2 – α e y= α; serão as soluções para qualquer que seja α. A interpretação 
geométrica da solução é que as retas do sistema são duas retas coincidentes. Após escalonar 
esse sistema, você terá um sistema equivalente com o mesmo número de equações menor que o 
número de variáveis.
Exemplo de aplicação para fazer e discutir no fórum
A seguir, apresentaremos três sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas. Use o Maxima 
para resolver os sistemas. Depois, argumente e classifique‑os tanto algébrica como geometricamente 
em sistema possível determinado, sistema impossível e sistema possível indeterminado.
1. 
2 6
4 6
x y
x y
+ =
− =



2. 
x y
x y
− =
− + =



3 9
3 1
3. 
x y
x y
− =
− + =



3 9
3 1
172
Unidade III
6
–6
(2, 2)
1,52 3
Figura 54 ‑ Representação gráfica das retas 2x + y = 6 e 4x ‑ y = 6
1
–3
9
–2
3
Figura 55 ‑ Representação gráfica das retas x ‑ 3y = 9 e ‑ x + 3y = 1
173
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
‑5
2
Figura 56 ‑ Representação gráfica das retas x ‑ 3y = 9 e ‑ x + 3y = 1
Comentário: para resolver um sistema no Maxima, também podemos recorrer ao comando linsolve.
Tabela 34 – f) A solução do sistema: 
x y z
x y z
x y z
− − =
− + =
− + =




2
2 3 2 16
2 9
Expressão
x y z
x y z
x y z
− − =
− + =
− + =




2
2 3 2 16
2 9
Sintaxe linsolve([x‑y‑z=2,2*x‑3+2*z=16,2*x‑y+z=9],[x,y,z]);
Resultado [x = 12, y = 25/2, z = – 5/2]
Comentário: interpretação geométrica: três planos que se interceptam em um único ponto.
Outro procedimento de inserir um sistema linear é o seguinte: selecione o tema equações, escolha o 
item sistema linear conforme figura 57:
174
Unidade III
Figura 57 – Inserindo um sistema linear
Após esta opção, a janela a seguir se abrirá e nela você irá definir a dimensão do sistema pelo 
número de equações:
Figura 58 – Inserindo o número de equações do sistema linear
Definido o tamanho do sistema, você deve digitar as equações. Não se esqueça de escrever o símbolo 
computacional de produto (*) entre os coeficientes e as variáveis. Caso você se esqueça de colocar o *, 
os pacotes computacionais não conseguirão executar o que lhes é solicitado.
Figura 59 – Inserindo o sistema desejado (sistema linear)
Inseridas as equações, você deve, na região designada por variáveis, inserir, separando por vírgulas, 
quais são as variáveis do sistema cuja solução você deseja saber. Em seguida, clique em OK. Você obterá 
os seguintes retornos do Maxima:
175
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura 60 
Sintetizando:
•	 sistema possível e determinado ou sistema compatível determinado: o sistema possui uma única solução;
•	 sistema possível e indeterminado ou sistema compatível indeterminado: o sistema possui 
infinitas soluções;
•	 sistema impossível ou sistema incompatível: o sistema não possui solução.
7.1.5 Considerações importantes sobre classificação de um sistema linear e sua 
interpretação geométrica
No plano, um sistema de duas variáveis pode ser representado por duas retas:
•	 concorrentes: para o caso de ser possível e determinado:
Figura 61 
•	 paralelas: para o caso de ser impossível:
Figura 62 
•	 coincidentes: para o caso de ser possível e indeterminado:
Figura 63 
176
Unidade III
Atividade para pesquisar e debater no fórum
Busque exemplos numéricos que provem o texto a seguir e apresente‑os para verificação e debate no fórum.
Um sistema de três variáveis pode ser pensado como sendo um conjunto de três planos no espaço. Contudo, 
tome cuidado: a famosa regra de Cramer só pode ser usada para discutir sistemas possíveis e determinados:
a) quando o sistema é possível e determinado, os 3 planos se interceptam em um único ponto. Tanto 
quando aplicamos a regra de Cramer quanto quando escalonamos o sistema, temos um sistema 
possível determinado:
p2 p3
P
Figura 64 
b) os três planos coincidem: ao aplicarmos a regra de Cramer, o sistema será indeterminado e o mesmo 
ocorre quando escalonamos o sistema. Ao escalonarmos, percebemos que as três equações são 
equivalentes; logo, os planos são o mesmo plano. A técnica de escalonamento facilita visualizar o 
que está ocorrendo geometricamente.
p1=p2=p3
Figura 65 
c) os dois planos coincidem e um é paralelo: ao aplicarmos a regra de Cramer, concluiremos que o 
sistema é indeterminado e, ao escalonarmos, percebemos que é impossível. Vemos no escalonamento 
que há duas equações equivalentes e algo impossível está ocorrendo. Tente construir o exemplo.
p1=p2
p3
Figura 66 
177
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
d) três planos paralelos entre si: ao aplicarmos a regra de Cramer, concluiremos que o sistema é 
indeterminado e, ao escalonarmos, perceberemos que é impossível. Duas linhas zeram o primeiro 
membro, resultando em valor diferente de zero independente:
p3
p2
p1
Figura 67 
Continue esta discussão no fórum:
•	 dois planos coincidentes e um secante:
— Cramer resultando em Sistema indeterminado e o mesmo ocorrendo com o escalonamento;
•	 dois planos paralelos e um secante:
— Cramer pode variar entre indeterminado e impossível e o escalonamento é impossível;
•	 os três planos serem secantes com uma reta comum:
— Cramer pode variar entre indeterminado e impossível e o escalonamento é impossível.
 Saiba mais
Para saber mais sobre sistemas lineares, leia: 
https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s1‑sistemas_
lineares.html
8 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Imagens que possuem repetição de padrão são encontradas frequentemente na natureza e nas 
artes. Os fractais sempre exibem repetições, com rotações, expansões, contrações e translações 
de padrões.
178
Unidade III
Figura 68 – Azulejamento (fractais)
São exemplos disso a arte do azulejamento, a arte de criar logomarcas para empresas, a estrutura de 
moléculas de cristais, o padrão da folha de samambaia.
 Saiba mais
O artista holandês M. C. Escher (1898–1972) explorou em muitas de 
suas obras a arte de recobrir o plano usando repetições de padrões sem 
sobrepor espaços ou deixar vazios entre as imagens. Para conhecer sua 
vasta obra, acesse: http://www.mcescher.com/
Estudaremos, nesta parte da disciplina, alguns temas específicos de álgebra linear. Faremos uma breve 
visita ao conceito de transformações lineares e, na sequência, exploraremos um pouco as aplicações 
injetoras e não injetoras. Nossa intenção é colocar nosso foco maior nas transformações lineares planas.
O que é uma transformação linear? Uma transformação linear nada mais é do que um tipo especial 
de função.
179
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
8.1 Transformação ou aplicação linear
Uma transformação linear T :V → W é uma aplicação (ou função)que a cada v → V faz corresponder 
um único T(v) → W e que  u, v ∈ V e α	∈ R satisfaz às seguintes condições:
a) T (u + v) = T (u) + T (v);
b) T (αv) = αT (v) .
Se formos pensar em termos de função, V é o domínio e W é o contradomínio, e a nossa imagem 
será um subconjunto de W.
Essa duas condições podem ser reduzidas a uma só:
T :V → W é uma transformação linear se, e somente se, para todos v1, v, ..., vn ∈ V e escalares 
α1, α,...,αn, temos T (α1 v1 + α2 v2 + ...+ αn vn) = α1 T(v1) + α2 T(v2) +...+ αn T(vn)
Chamamos de operador linear uma transformação de um espaço nele mesmo T :V → V. Se formos 
pensar em termos de função, V é o domínio e, no caso de ser um operador, V também será o contradomínio, 
e a nossa imagem será um subconjunto de V.
Como o foco de nosso estudo nesta disciplina são as transformações lineares planas, todos os 
exemplos aqui abordados serão dentro desta característica, isto é, traremos como exemplos apenas 
aplicações do IR2 no IR2.
8.2 Transformação linear plana
No plano, podemos efetuar as seguintes aplicações lineares:
•	 dilatação ou expansão e contração ou retração;
•	 reflexão;
•	 projeção;
•	 cisalhamento;
•	 rotação em um ângulo θ no sentido anti‑horário.
Para sermos didáticos, optamos por trabalhar com esses movimentos por meio de exemplos e 
consideraremos v = (x,y) ∈ IR2.
180
Unidade III
8.2.1 Movimentos de dilatação e contração
Exemplos
1. T: IR2 →	IR2, ou seja, uma aplicação que vai do plano, no plano: T(x,y) =(3x, 3y)
Esta é uma transformação linear. Vamos testar. Será que a afirmação a seguir é verdadeira?
T(α1v1+α2v2+...+αnvn)=α1T(v1)+α2T(v2)+...+αnT(vn)
De fato: sejam v1=(x1, y1) e v2=(x2, y2)
T(α1v1+α2v2)=(3α1(x1, y1)+3α2(x2,y2))=(3α1x1, 3α1y1)+(3α2x2,3α2y2)
(i) α1T(v1)+α2T(v2)=α1(3x1,3y1)+α2(3x2, 3y2)=
(1) (3α1, x1, 3α1, y1)+(3α1 x1, 3α1y1)+(3α2x2, 3α2y2)
(ii) (1) como 3 e α ∈ R 3*α =α*3; para todo α∈ R.
Como (i) = (ii), T(x,y) = (3x, 3y), é uma transformação linear!
Qual será a interpretação geométrica dessa transformação?
Essa transformação representa uma dilatação (ou expansão) uniforme de três unidades:
y
0
v
T (v)
x
Figura 69 – Transformação de v=(0,5;1) para T(v)=(1,5;3)
2. Consideremos agora:
T: IR2 →	IR2
T(v) = T(x,y) =(x/2, y/2) . De maneira análoga, demonstra‑se que T é um operador linear.
A interpretação geométrica é que a transformação representa uma contração (retração) uniforme 
de 0,5 unidades.
181
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
y
v
T (v)
x
Figura 70 – Contração do vetor v=(2,2) em T(v)=(1,1)
A estes dois exemplos de operadores lineares, podemos associar genericamente uma única expressão:
T: IR2 →	IR2
T(v) = T(x,y) =(αx, αy) se α for um número real não nulo. Se α > 1, teremos uma expansão e se 
0 < α < 1, teremos uma contração.
A essa transformação uniforme de expandir ou contrair em alfa unidades podemos genericamente 
associar a seguinte matriz canônica:
A =




α
α
0
0 , veja:
T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>








=




* *
α
α
α
α
0
0
== ( , )α αx y
3. Podemos fazer uma expansão (a) ou contração (b) somente no eixo x.
a) T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (3x,y) a matriz associada a essa aplicação é A =




3 0
0 1
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>








=




* *
3 0
0 1
3
1
== ( , )3x y
182
Unidade III
y
0
T (v) = (3,1)
x
v = (1,1)
Figura 71 
b) T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (x/3,y) a matriz associada a essa aplicação é A =








1
3
0
0 1
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>












=


* *
1
3
0
0 1
3
1




= ( , )x y
3
y
0
T (v) = (2,2)
x
v = (6,2)
Figura 72 
Genericamente, temos a matriz A =




α 0
0 1
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>








=




* *
α α0
0 1 1
== ( , )αx y
4. Podemos fazer uma expansão (a) ou contração (b) somente no eixo y.
a) T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (x, 3y) a matriz associada a essa aplicação é: A =




1 0
0 3
183
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>








=




=* *
1 0
0 3 3
(( , )x y3
0
v = (2,2)
T (v) = (6,2)y
x
Figura 73 
b) T(x,y) = (x,y/3) a matriz associada a essa aplicação é A =








1 0
0
1
3
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>












=




* *
1 0
0
1
3 3




= ( , )x y
3
y
0
(v) = (6,6)
x
T (v) = (6,2)
Figura 74 
Genericamente, temos a matriz A =




1 0
0 α
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>








=




=* *
1 0
0 α α
(( , )x yα
184
Unidade III
8.2.2 Movimentos de reflexão
Exemplos
1. Reflexão em relação ao eixo x.
T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (x, ‑y). Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (1, 0) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (0, ‑1) => 2ª coluna da matriz A.
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =
−




1 0
0 1
y
(x,y)
0
T
x
(x,‑y)
Figura 75 
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 => −








=
−




* *
1 0
0 1
== −( , )x y
2. Reflexão em relação ao eixo y.
T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (‑x, y)
185
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (‑1, 0) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (0, 1) => 2ª coluna da matriz A.
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =
−



1 0
0 1
y
(x,y)
0
T
x
(‑x,y)
Figura 76 
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
y










=





 =>
−







=
−



* *
1 0
0 1
== −( , )x y
3. Reflexão em relação a uma reta, por exemplo, y=x.
T: IR2→IR2
T(x,y) = (y, x)
Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (0, 1) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (1, 0) => 2ª coluna da matriz A.
186
Unidade III
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =




0 1
1 0
y
(x,y)
0
T
x
(y,x)
y = x
Figura 77 
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
y
x










=





 =>








=




=* * (
0 1
1 0
yy x, )
4. Reflexão em relação a uma reta, por exemplo, y=‑x.
T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (‑y, ‑x)
Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (0, ‑1) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (‑1, 0) => 2ª coluna da matriz A.
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =
−
−




0 1
1 0
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
y
x










=





 =>
−
−








=
−
−



* *
0 1
1 0 
= − −( , )y x
187
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
y
(x,y)
0
T
x
(‑y,‑x)
y = ‑x
Figura 78 
8.2.3 Movimentos de projeção
1. Movimento de projeção em relação ao eixo x.
T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (x, 0)
Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (1, 0) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (0, 0) => 2ª coluna da matriz A.
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =




1 0
0 0
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x









=





 =>








=




=* * (
1 0
0 0 0
xx, )0
y v=(x,y)
0 xT(v)=(x,0)
Figura 79 
188
Unidade III
2. Movimento de projeção em relação ao eixo y.
T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (0, y)
Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (0, 0) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (0, 1) => 2ª coluna da matriz A.
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =




0 0
0 1
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y y










=





 =>








=



=* * (
0 0
0 1
0
00, )y
y
v=(‑x,y)
0 x
T(v)=(0,y)
Figura 80 
8.2.4 Movimentos de cisalhamento
1. Cisalhamento na direção do eixo x.
T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (x+2y, y)
189
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (1, 0) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (2, 1) => 2ª coluna da matriz A.
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =




1 2
0 1
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x y
y










=





 =>








=
+



* *
1 2
0 1
2
 = +( , )x y y2
y
0
v = (2,2)
x
T (v) = (6,2)
Figura 81 
A essa transformação, podemos genericamente associar a seguinte matriz canônica:
A =




1
0 1
α
, veja:
T
x
y
A
x
y
x
y
x y
y










=





 =>








=
+



* *
1
0 1
α α
 = +( , )x y yα
y
0
v = (2,2)
x
T6(v) = (‑4,2) T5(v) = (‑1.4,2) T4(v) = (‑1,2) y = 2
T1(v) = (4,2)
T3(v) = (1.4,2)T3(v) = (1.4,2)
T2(v) = (1,2)T2(v) = (1,2)
Figura 82 
190
Unidade III
Tabela 35
Transformação Valor de α
1 2
2 0.5
3 0.7
4 ‑0.5
5 ‑0.7
6 ‑2
2. Cisalhamento na direção do eixo y.
T: IR2 →	IR2
T(x,y) = (x, αx+y)
Para encontrarmos a matriz canônica, calculamos:
T(1,0) = (1, α) => 1ª coluna da matriz A
e
T(0,1) = (0, 1) => 2ª coluna da matriz A.
Consequentemente, a matriz associada a essa aplicação é A =




1 0
1α
De fato: T
x
y
A
x
y
x
y
x
x y










=





 =>








=
+




* *
1 0
1α α 
= +( , )x x yα
A essa transformação, podemos genericamente associar a seguinte matriz canônica:
A =




1
0 1
α
, veja:
T
x
y
A
x
y
x
y
x y
y










=





 =>








=
+



* *
1
0 1
α α
 = ( , )αx y
191
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
y
0
v = (2,2)
x
T6(v) = (2,‑4)
T5(v) = (2,‑2)
T4(v) = (2,‑1.4)
x = 2
T1(v) = (2,4)
T3(v) = (2,1)T3(v) = (2,1)
T2(v) = (2,1.4)T2(v) = (2,1.4)
Figura 83 
Tabela 36
Transformação Valor de α
1 2
2 0,7
3 0,5
4 ‑0,4
5 ‑1
6 ‑2
8.2.5 Movimento de rotação em um ângulo θ no sentido anti-horário
y
0 x
α
0 x’
α
θ
y’
y
x
Rθ(v)
Figura 84 Figura 85 
192
Unidade III
T: IR2 →	IR2
v →	IRθ(v)
( , ) ( , )x y x y ′ ′ , mas como fazer isso?
Analisando e equacionando as ilustrações anteriores, temos que:
I. |v|=|IRθ(v)|; da ilustração, tiramos os seguintes dados:
II. 
sen
y
v
x
v
α
α
=
=






;
cos ;
também pela figura, encontramos as relações;
III. 
sen
y
v
x
v
( ) ;
cos( ) ;
α θ
α θ
+ = ′
+ = ′






da trigonometria, segue que,
IV. 
sen sen sen
sen sen
( ) cos cos ;
cos( ) cos cos
α θ α θ θ α
α θ α θ θ α
+ = +
+ = −



Substituindo o primeiro membro de II pelo segundo de IV, temos:
V. 
sen sen
y
v
sen sen
x
v
α θ θ α
α θ θ α
cos cos
cos cos
+ = ′
− = ′






Substituindo II no primeiro membro de V, temos:
VI. 
y
v
sen
x
v
y
v
x
v
sen
y
v
x
v
cos
cos
θ θ
θ θ
+ = ′
− = ′






;
vemos que todos os termos de VI estão sendo divididos por módulo de v.
193
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Simplificando, temos:
VIII. cordenada de x após rotação;
cordenada de x após rotação
y xsen y
x ysen x
cos
cos
θ θ
θ θ
+ = ′ =>
− = ′ =>



Sabemos que: Rθ(x,y)=(x’,y’), logo:
Rθ(v)=(xcosθ–ysenθ, ycosθ+xsenθ)
Deste modo R
sen
senθ
θ θ
θ θ[ ] =
−





cos
cos
=A. Nossa matriz canônica de rotação.
Exemplo
Qual a transformação que representa rotação de 45º no sentido anti‑horário em um vetor 
v=(x,y)?
Resolução
Como a rotação é de 45º no sentido anti‑horário, isso equivale a –45º graus.
T
x
y
A
x
y
sen
sen










=





 =>
− ° − − °
− °
*
cos( ) ( )
( ) co
45 45
45 ss( )
*
cos
cos
*
− °








=
=
° °
− ° °




45
45 45
45 45
x
y
sen
sen
x
yy
x
y
x y x y




=
=
−
















= + − +
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
* ( , ))
8.3 Aplicações injetoras e não injetoras
Uma transformação linear T: IR2 →	IR2 é injetora se leva vetores distintos do domínio em vetores 
distintos da imagem. Isto é, dados v1=(x1, y1) e v1=(x2, y2) com v1 ≠ v2 ⇒ T(v1) ≠ T(v2)
Exemplo 1
T(x,y)=(x,y) – essa é uma aplicação que leva quaisquer dois pontos nela mesma (identidade); 
geometricamente, representa a reta y=x.
Se, dados v1=(x1, y1) e v1=(x2, y2) com v1 ≠ v2 ⇒ T(v1) = T(v2), a aplicação é não injetora.
194
Unidade III
Exemplo 2
T(x,y)=(0,0) – essa é uma aplicação que leva quaisquer dois pontos na origem.
Exemplo 3
Considere o triângulo de vértices A (– 2, 1), B(1, – 2) e C (2, 2) sobre o qual se aplicam, respectivamente, 
as seguintes transformações: reflexão em relação ao eixo y e triplicação dos módulos.
Encontrar os vértices A’, B’ e C’ determinados pela primeira transformação composta com a segunda.
Representar, geometricamente, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os triângulos ABC e A’B’C’.
Resolução
Consideremos a matriz da transformação T, [ T ], que é obtida pelo produto da matriz da transformação 
T2, [ T2], pela matriz da transformação T1, [ T1].
 Lembrete
Nem a composição de função nem o produto de matrizes são comutativos.
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]T T T T T= ⇒ =






−




 ⇒ =
−




2 1
3 0
0 3
1 0
0 1
3 0
0 3
Vamos utilizar a matriz [ f ] para encontrar os vértices A’, B’ e C’, resultado final das transformações:
A’ = [ T ]A = 
−





−




 =






3 0
0 3
2
1
6
3
B’ = [ T ]B = 
−




 −





 =
−
−






3 0
0 3
1
2
3
6
C’ = [ T ]C = 
−










 =
−
−






3 0
0 3
2
2
6
6
.
Podemos usar o Maxima para calcular A’, B’ e C’. Para tanto, devemos seguir os seguintes passos:
•	 definir as matrizes A, B e C como variáveis;
195
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
•	 inserir a matriz de transformação T, a partir do cálculo das matrizes T2.T1;
•	 para obter A’, multiplicamos a matriz T por A. Repetimos o mesmo procedimento para obtermos 
as matrizes B’ e C’.
Para encerrarmos esta disciplina, deixamos para você a tarefa de encontrar A’, B’ e C’ usando o Maxima.
 Resumo
Tabela 37
Operador Ação Exemplo No maxima Resultado no maxima Prioridade
+ Adiciona 2/2 + 1/21 2/2 + 1/21; 5/7 1
– Subtrai 2/3 –1/21 2/3 –1/21; 13/21 1
* Multiplica 2/3 * 1/21 2/3 * 1/21; 2/63 2
/ Divide (2/3) / (1/21) (2/3) / (1/21); 14 2
! Fatorial 5! 5!; 120 3
Fatorial 2 + 2 * 5! 2 + 2 * %; * 242 3, 2, 1
^ Potência
2^10 2^10; 1024 3
(1/4) ^ (1/2) (1/4) ^ (1/2); 1/2 3
a a=
1
2
Calcula a raiz 
quadrada de a
√1024 sqrt (1024); 32 3
1024 ^ (1/2) 1024 ^ (1/2); 32 3
a amn
m
n=
Calcula a raiz 
enésima de a 
elevado a n 10 10
54
5
4= 10 ^ (5/4); 10 * 10 ^ (1/4) 3
* Caso queira resgatar o resultado de um cálculo imediatamente anterior basta usar o símbolo %
%
Resgata o 
último resultado 
(UR)
5 + (UR) 5 + %; Depende do (UR)
(UR) * 3 % * 3; Depende do (UR)
Operação em cadeia
5! 5!; 120 3
2 + 2 * 5! 2 + 2 * %; 242 3, 2, 1
Tabela 38
Algumas notações no maxima
Nome Símbolo Representação no maxima
Comando: valor 
aproximado
Valor 
aproximado
Número de Euler e %e float(%e); 2.718281828
Pi p %pi float(%pi); 3.141592654
Raiz quadrada de 2 √2 sqrt(2) float(sqrt(2)); 1.414213562
Logaritmo de 3 na base e ln3 log(3) float(log(3)); 0.477121255
Infinito ∞ inf
i: nº complexo i = √–1 %i
196
Unidade III
Definindo e operando com funções matemáticas: para definir uma 
função de uma variável, usaremos o comando :=
Exemplos:
Tabela 39
Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função
abs(x) | x | acos(x) arccos(x) sinh(x) senh(x) asinh(x) arcsenh(x)
sqrt(x) √x asin(x) arcsen(x) cosh(x) cosh(x) acosh(x) arcosh(x)
log(x) ln(x) atan(x) arctan(x) tanh(x) tgh(x) atanh(x) arctanh(x)
sec(x) sec(x) asec(x) arcsec(x)sech(x) sech(x) asech(x) arcsech(x)
csc(x) cosec(x) acsc(x) arccosec(x) csch(x) csch(x) acsc(x) arccosech(x)
cot(x) cotg(x) acot(x) arccotg(x) coth(x) cotgh(x) acoth(x) arccotgh(x)
Tabela 40
Sintase tan(...) sqrt(...) sin(...) cos(...)
Função Tangente de ... Raiz quadrada de... Seno de ... Cos de ...
Sintase sign(x) factor(...) expand(...)
Função
x
x
A fatoração de número ou de uma 
expressão Expande uma expressão fatorada
Sintase exp(x) ratsimp(...) display(...)
Função ex Reduz uma expressão a um mesmo denominador Simplifica uma expressão
Sintase min(a, b, c) max(a, b, c) partfrac (expressão, variável)
Função Valor mínimo entre...
Valor máximo 
entre ...
Calcula a decomposição parcial fracionária simples para 
expressões fracionárias
Sintase invert(A) A^^–1 denominant(A) rank(A) transpose(A)
Função Inverte a Matriz A Inverte a Matriz A
Denominante da 
Matriz A
Posto da Matriz 
A
Transposta da 
Matriz A
Sintase charpoly(A, x) echelon (A) eigenvalues(A) eigenvetors(A) traiangularize(A)
Função Polinômio característico
Forma escalonada 
da Matriz A
Autovalores da 
Matriz A
Autovetores da 
Matriz A
Forma triangular 
da Matriz A
Operando com vetores:
v: [a, b, c, ..., n]. Se desejarmos calcular (i) 
 
u v+ e (ii)  u v− 2 , primeiramente 
devemos, na entrada, atribuir os parâmetros para as variáveis u e v da 
seguinte forma:
(%i29) v:[3/2,‑1,2]$; (%i30) u:[‑1,0,2]$
197
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Operando com matrizes:
Para inserirmos uma matriz devemos digitar na caixa de entrada:
Matrix ([vetor da 1ª. linha], [vetor da 2ª. linha], [vetor da 3ª. linha], ..., [vetor 
da enésima linha]).
Resolvendo equações e sistemas lineares:
a) As raízes da equação m2 + nx + p = 0 na variável x, isto é m, n e p são 
constantes.
Expressão: m2 + nx + p = 0, com são m, n e p números reais.
Sintaxe: solve(m*x^2+n*x+p=0,x).
b) a solução do sistema:
Sintaxe: linsolve([x‑y‑z=2,2*x‑3+2*z=16,2*x‑y+z=9],[x,y,z]).
Transformação ou aplicação linear:
T :V → W se u, v ∈ V e α ∈ R satisfaz as seguintes condições:
a) T (u + v) = T (u) + T (v);
b) T (αv) = αT (v) .
Transformação lineares planas:
Movimentos de dilatação e contração:
T v v v T v T v T vn n n nα α α α α α1 1 2 2 1 1 2 2+ + +( ) = + + +... ( ) ( ) ... ( )
A =




α
α
0
0
T
x
y
A
x
y
x
y
x
y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�. *
�
�
�
�
0
0
�� ( , )� �x y
Reflexão em relação ao eixo x:
T(x,y) = (x, ‑y), onde A =
−




1 0
0 1
198
Unidade III
Reflexão em relação ao eixo y:
T(x,y) = (‑x, y) onde A =
−



1 0
0 1
Reflexão em relação a uma reta por exemplo y=x:
T:R2 → R2
T(x,y) = (y, x) onde A =




0 1
1 0
Reflexão em relação a uma reta por exemplo y=‑x:
T(x,y) = (‑y, ‑x) onde A =
−
−




0 1
1 0
Movimento de Projeção em relação ao eixo x:
T(x,y) = (x, 0) onde A =




1 0
0 0
Movimento de Projeção em relação ao eixo y:
T(x,y) = (0, y) onde A =




0 0
0 1
Movimento de rotação em um ângulo θ no sentido anti‑horário:
( , ) ( ’, ’)x y x y , onde R
sen
senθ
θ θ
θ θ[ ] =
−





cos
cos
=A.
 Exercícios
Questão 1. Considere o triângulo de vértices A (2,‑1), B (1,‑2) e C (2,1) sobre o qual se aplicam, 
respectivamente, as transformações de reflexão em relação ao eixo dos y e a triplicação dos módulos.
Os vértices A’, B’ e C’ do triângulo transformado são:
A) A’(‑2,‑1), B’(1,–2) e C’(2,1)
B) A’(‑6,‑3), B’(‑3,‑6) e C’(‑6,3)
C) A’(2,‑1), B’(1,‑2) e C’(2,1)
199
COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
D) A’(6,‑3), B’(3,‑6) e C’(6,3)
E) A’(‑6,3), B’(‑3,6) e C’(‑6,‑3)
Resposta correta: alternativa B.
Resolução da questão
Consideremos a matriz da transformação T, [ T ], que é obtida pelo produto da matriz da transformação 
T2, [T2] pela matriz da transformação T1, [T1].
T T T
T
T
[ ] = [ ]⋅[ ]
[ ] = 




 ⋅
−





[ ] = −





1 2
3 0
0 3
1 0
0 1
3 0
0 3
Para encontrar os vértices A’, B’ e C’, faremos:
A T A
A
B
’
’
’
=[ ]⋅
=
−




 ⋅ −





 =
−
−






=
−



3 0
0 3
2
1
6
3
3 0
0 3
 ⋅ −





 =
−
−






=
−




 ⋅





 =
−





1
2
3
6
3 0
0 3
2
1
6
3
C ’
Ou seja: A’(‑6,‑3), B’(‑3,‑6) e C’(‑6,3).
Questão 2. Um vetor v (3, 2) sofre uma rotação de 60º no sentido horário. A nova posição do vetor 
após a rotação é:
A)
,
,
0 23
3 60






B)
,
,
−
−






0 23
3 60
200
Unidade III
C)
,
,
−





0 46
3 60
D)
,
,
−





0 23
3 60
E)
,
,
0 23
3 60−






Resposta correta: alternativa D.
Resolução da questão
A matriz canônica de rotação Rθ[ ] fica:
R
R
θ
θ
θ θ
θ θ[ ] =
−





[ ] =
−












cos
cos
,
,
sen
sen
0 5
3
2
3
2
0 5
Assim, temos:
T
x
y
R
x
y
T
x
y





 = [ ]⋅











 =
−












⋅
θ
0 5
3
2
3
2
0 5
3,
,
22
15 3
15 3 1
023
3 60











 =
−
+













 =
−

T
x
y
T
x
y
,
,
,
,



 
201
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 68
DSC04155_v.JPG. 1 fotografia, color. Disponível em: http://mrg.bz/beyk05. Acesso em: 20 jul. 2011.
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https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s1‑sistemas_lineares.html
203
204
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000